Theorem isffth2 17938

Description: A fully faithful functor is a functor which is bijective on hom-sets. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isfth.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
isfth.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isfth.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
isffth2	⊢ (𝐹((𝐶 Full 𝐷) ∩ (𝐶 Faith 𝐷))𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1-onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦

Proof of Theorem isffth2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfth.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		isfth.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
3		isfth.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
4	1, 2, 3	isfull2 17933	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
5	1, 3, 2	isfth2 17937	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
6	4, 5	anbi12i 626	. 2 ⊢ ((𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ∧ 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺) ↔ ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))) ∧ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))))
7		brin 5205	. 2 ⊢ (𝐹((𝐶 Full 𝐷) ∩ (𝐶 Faith 𝐷))𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ∧ 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺))
8		df-f1o 6561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1-onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
9	8	biancomi 461	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1-onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
10	9	2ralbii 3118	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1-onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
11		r19.26-2 3128	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
12	10, 11	bitri 274	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1-onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
13	12	anbi2i 621	. . 3 ⊢ ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1-onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))))
14		anandi 674	. . 3 ⊢ ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))) ↔ ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))) ∧ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))))
15	13, 14	bitri 274	. 2 ⊢ ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1-onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))) ↔ ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))) ∧ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))))
16	6, 7, 15	3bitr4i 302	1 ⊢ (𝐹((𝐶 Full 𝐷) ∩ (𝐶 Faith 𝐷))𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1-onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534  ∀wral 3051   ∩ cin 3946   class class class wbr 5153  –1-1→wf1 6551  –onto→wfo 6552  –1-1-onto→wf1o 6553  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  Hom chom 17277   Func cfunc 17873   Full cful 17924   Faith cfth 17925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-map 8857  df-ixp 8927  df-func 17877  df-full 17926  df-fth 17927

This theorem is referenced by:  idffth  17955  ressffth  17960  catciso  18133  yonffthlem  18307