Theorem isffth2 17965

Description: A fully faithful functor is a functor which is bijective on hom-sets. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isfth.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
isfth.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isfth.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
isffth2	⊢ (𝐹((𝐶 Full 𝐷) ∩ (𝐶 Faith 𝐷))𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1-onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦

Proof of Theorem isffth2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfth.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		isfth.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
3		isfth.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
4	1, 2, 3	isfull2 17960	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
5	1, 3, 2	isfth2 17964	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
6	4, 5	anbi12i 639	. 2 ⊢ ((𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ∧ 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺) ↔ ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))) ∧ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))))
7		brin 5157	. 2 ⊢ (𝐹((𝐶 Full 𝐷) ∩ (𝐶 Faith 𝐷))𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ∧ 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺))
8		df-f1o 6532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1-onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
9	8	biancomi 467	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1-onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
10	9	2ralbii 3140	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1-onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
11		r19.26-2 3150	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
12	10, 11	bitri 278	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1-onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
13	12	anbi2i 634	. . 3 ⊢ ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1-onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))))
14		anandi 688	. . 3 ⊢ ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))) ↔ ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))) ∧ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))))
15	13, 14	bitri 278	. 2 ⊢ ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1-onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))) ↔ ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))) ∧ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))))
16	6, 7, 15	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐹((𝐶 Full 𝐷) ∩ (𝐶 Faith 𝐷))𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1-onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563  ∀wral 3079   ∩ cin 3906   class class class wbr 5105  –1-1→wf1 6522  –onto→wfo 6523  –1-1-onto→wf1o 6524  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  Hom chom 17311   Func cfunc 17901   Full cful 17951   Faith cfth 17952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8814  df-ixp 8884  df-func 17905  df-full 17953  df-fth 17954

This theorem is referenced by:  idffth  17982  ressffth  17987  catciso  18158  yonffthlem  18328  swapfffth  49912  fucoppc  50039  thincciso2  50084  diagffth  50167