Theorem isffth2 17976

Description: A fully faithful functor is a functor which is bijective on hom-sets. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isfth.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
isfth.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isfth.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
isffth2	⊢ (𝐹((𝐶 Full 𝐷) ∩ (𝐶 Faith 𝐷))𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1-onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦

Proof of Theorem isffth2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfth.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		isfth.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
3		isfth.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
4	1, 2, 3	isfull2 17971	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
5	1, 3, 2	isfth2 17975	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
6	4, 5	anbi12i 639	. 2 ⊢ ((𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ∧ 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺) ↔ ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))) ∧ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))))
7		brin 5164	. 2 ⊢ (𝐹((𝐶 Full 𝐷) ∩ (𝐶 Faith 𝐷))𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ∧ 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺))
8		df-f1o 6545	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1-onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
9	8	biancomi 467	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1-onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
10	9	2ralbii 3140	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1-onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
11		r19.26-2 3150	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
12	10, 11	bitri 278	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1-onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))
13	12	anbi2i 634	. . 3 ⊢ ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1-onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))))
14		anandi 688	. . 3 ⊢ ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))) ↔ ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))) ∧ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))))
15	13, 14	bitri 278	. 2 ⊢ ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1-onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))) ↔ ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))) ∧ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦)))))
16	6, 7, 15	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐹((𝐶 Full 𝐷) ∩ (𝐶 Faith 𝐷))𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐺𝑦):(𝑥𝐻𝑦)–1-1-onto→((𝐹‘𝑥)𝐽(𝐹‘𝑦))))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570  ∀wral 3079   ∩ cin 3905   class class class wbr 5110  –1-1→wf1 6535  –onto→wfo 6536  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  Hom chom 17322   Func cfunc 17912   Full cful 17962   Faith cfth 17963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-map 8827  df-ixp 8897  df-func 17916  df-full 17964  df-fth 17965

This theorem is referenced by:  idffth  17993  ressffth  17998  catciso  18169  yonffthlem  18339  swapfffth  50044  fucoppc  50171  thincciso2  50216  diagffth  50299