Theorem brin2 38400

Description: Binary relation on an intersection is a special case of binary relation on range Cartesian product. (Contributed by Peter Mazsa, 21-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
brin2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴(𝑅 ∩ 𝑆)𝐵 ↔ 𝐴(𝑅 ⋉ 𝑆)⟨𝐵, 𝐵⟩))

Proof of Theorem brin2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brin 5159	. 2 ⊢ (𝐴(𝑅 ∩ 𝑆)𝐵 ↔ (𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐴𝑆𝐵))
2		brxrn 38356	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴(𝑅 ⋉ 𝑆)⟨𝐵, 𝐵⟩ ↔ (𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐴𝑆𝐵)))
3	2	3anidm23 1423	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴(𝑅 ⋉ 𝑆)⟨𝐵, 𝐵⟩ ↔ (𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐴𝑆𝐵)))
4	1, 3	bitr4id 290	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴(𝑅 ∩ 𝑆)𝐵 ↔ 𝐴(𝑅 ⋉ 𝑆)⟨𝐵, 𝐵⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3913  ⟨cop 4595   class class class wbr 5107   ⋉ cxrn 38168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fo 6517  df-fv 6519  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-xrn 38353

This theorem is referenced by:  brin3  38401