Theorem sbthcl 9163

Description: Schroeder-Bernstein Theorem in class form. (Contributed by NM, 28-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sbthcl	⊢ ≈ = ( ≼ ∩ ◡ ≼ )

Proof of Theorem sbthcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 9010	. 2 ⊢ Rel ≈
2		inss1 4258	. . 3 ⊢ ( ≼ ∩ ◡ ≼ ) ⊆ ≼
3		reldom 9011	. . 3 ⊢ Rel ≼
4		relss 5805	. . 3 ⊢ (( ≼ ∩ ◡ ≼ ) ⊆ ≼ → (Rel ≼ → Rel ( ≼ ∩ ◡ ≼ )))
5	2, 3, 4	mp2 9	. 2 ⊢ Rel ( ≼ ∩ ◡ ≼ )
6		brin 5218	. . 3 ⊢ (𝑥( ≼ ∩ ◡ ≼ )𝑦 ↔ (𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑥◡ ≼ 𝑦))
7		vex 3492	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
8		vex 3492	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
9	7, 8	brcnv 5907	. . . 4 ⊢ (𝑥◡ ≼ 𝑦 ↔ 𝑦 ≼ 𝑥)
10	9	anbi2i 622	. . 3 ⊢ ((𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑥◡ ≼ 𝑦) ↔ (𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥))
11		sbthb 9162	. . 3 ⊢ ((𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) ↔ 𝑥 ≈ 𝑦)
12	6, 10, 11	3bitrri 298	. 2 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑦 ↔ 𝑥( ≼ ∩ ◡ ≼ )𝑦)
13	1, 5, 12	eqbrriv 5815	1 ⊢ ≈ = ( ≼ ∩ ◡ ≼ )

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  ^◡ccnv 5699  Rel wrel 5705   ≈ cen 9002   ≼ cdom 9003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007

This theorem is referenced by:  dfsdom2  9164