Theorem sbthcl 9125

Description: Schroeder-Bernstein Theorem in class form. (Contributed by NM, 28-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sbthcl	⊢ ≈ = ( ≼ ∩ ◡ ≼ )

Proof of Theorem sbthcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 8985	. 2 ⊢ Rel ≈
2		inss1 4132	. . 3 ⊢ ( ≼ ∩ ◡ ≼ ) ⊆ ≼
3		reldom 8986	. . 3 ⊢ Rel ≼
4		relss 5759	. . 3 ⊢ (( ≼ ∩ ◡ ≼ ) ⊆ ≼ → (Rel ≼ → Rel ( ≼ ∩ ◡ ≼ )))
5	2, 3, 4	mp2 9	. 2 ⊢ Rel ( ≼ ∩ ◡ ≼ )
6		brin 5156	. . 3 ⊢ (𝑥( ≼ ∩ ◡ ≼ )𝑦 ↔ (𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑥◡ ≼ 𝑦))
7		vex 3454	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
8		vex 3454	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
9	7, 8	brcnv 5861	. . . 4 ⊢ (𝑥◡ ≼ 𝑦 ↔ 𝑦 ≼ 𝑥)
10	9	anbi2i 635	. . 3 ⊢ ((𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑥◡ ≼ 𝑦) ↔ (𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥))
11		sbthb 9124	. . 3 ⊢ ((𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) ↔ 𝑥 ≈ 𝑦)
12	6, 10, 11	3bitrri 301	. 2 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑦 ↔ 𝑥( ≼ ∩ ◡ ≼ )𝑦)
13	1, 5, 12	eqbrriv 5768	1 ⊢ ≈ = ( ≼ ∩ ◡ ≼ )

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569   ⊆ wss 3896   ∩ cin 4088   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5650  Rel wrel 5656   ≈ cen 8977   ≼ cdom 8978

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982

This theorem is used by:  dfsdom2  9126