Theorem sbthcl 9023

Description: Schroeder-Bernstein Theorem in class form. (Contributed by NM, 28-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sbthcl	⊢ ≈ = ( ≼ ∩ ◡ ≼ )

Proof of Theorem sbthcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 8884	. 2 ⊢ Rel ≈
2		inss1 4186	. . 3 ⊢ ( ≼ ∩ ◡ ≼ ) ⊆ ≼
3		reldom 8885	. . 3 ⊢ Rel ≼
4		relss 5728	. . 3 ⊢ (( ≼ ∩ ◡ ≼ ) ⊆ ≼ → (Rel ≼ → Rel ( ≼ ∩ ◡ ≼ )))
5	2, 3, 4	mp2 9	. 2 ⊢ Rel ( ≼ ∩ ◡ ≼ )
6		brin 5147	. . 3 ⊢ (𝑥( ≼ ∩ ◡ ≼ )𝑦 ↔ (𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑥◡ ≼ 𝑦))
7		vex 3441	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
8		vex 3441	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
9	7, 8	brcnv 5828	. . . 4 ⊢ (𝑥◡ ≼ 𝑦 ↔ 𝑦 ≼ 𝑥)
10	9	anbi2i 623	. . 3 ⊢ ((𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑥◡ ≼ 𝑦) ↔ (𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥))
11		sbthb 9022	. . 3 ⊢ ((𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) ↔ 𝑥 ≈ 𝑦)
12	6, 10, 11	3bitrri 298	. 2 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑦 ↔ 𝑥( ≼ ∩ ◡ ≼ )𝑦)
13	1, 5, 12	eqbrriv 5737	1 ⊢ ≈ = ( ≼ ∩ ◡ ≼ )

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5095  ^◡ccnv 5620  Rel wrel 5626   ≈ cen 8876   ≼ cdom 8877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881

This theorem is referenced by:  dfsdom2  9024