MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sbthcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sbthcl 9092
Description: Schroeder-Bernstein Theorem in class form. (Contributed by NM, 28-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
sbthcl ≈ = ( ≼ ∩ ≼ )

Proof of Theorem sbthcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relen 8941 . 2 Rel ≈
2 inss1 4228 . . 3 ( ≼ ∩ ≼ ) ⊆ ≼
3 reldom 8942 . . 3 Rel ≼
4 relss 5780 . . 3 (( ≼ ∩ ≼ ) ⊆ ≼ → (Rel ≼ → Rel ( ≼ ∩ ≼ )))
52, 3, 4mp2 9 . 2 Rel ( ≼ ∩ ≼ )
6 brin 5200 . . 3 (𝑥( ≼ ∩ ≼ )𝑦 ↔ (𝑥𝑦𝑥𝑦))
7 vex 3479 . . . . 5 𝑥 ∈ V
8 vex 3479 . . . . 5 𝑦 ∈ V
97, 8brcnv 5881 . . . 4 (𝑥𝑦𝑦𝑥)
109anbi2i 624 . . 3 ((𝑥𝑦𝑥𝑦) ↔ (𝑥𝑦𝑦𝑥))
11 sbthb 9091 . . 3 ((𝑥𝑦𝑦𝑥) ↔ 𝑥𝑦)
126, 10, 113bitrri 298 . 2 (𝑥𝑦𝑥( ≼ ∩ ≼ )𝑦)
131, 5, 12eqbrriv 5790 1 ≈ = ( ≼ ∩ ≼ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397   = wceq 1542  cin 3947  wss 3948   class class class wbr 5148  ccnv 5675  Rel wrel 5681  cen 8933  cdom 8934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938
This theorem is referenced by:  dfsdom2  9093
  Copyright terms: Public domain W3C validator