Theorem sbthcl 9068

Description: Schroeder-Bernstein Theorem in class form. (Contributed by NM, 28-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sbthcl	⊢ ≈ = ( ≼ ∩ ◡ ≼ )

Proof of Theorem sbthcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 8925	. 2 ⊢ Rel ≈
2		inss1 4202	. . 3 ⊢ ( ≼ ∩ ◡ ≼ ) ⊆ ≼
3		reldom 8926	. . 3 ⊢ Rel ≼
4		relss 5746	. . 3 ⊢ (( ≼ ∩ ◡ ≼ ) ⊆ ≼ → (Rel ≼ → Rel ( ≼ ∩ ◡ ≼ )))
5	2, 3, 4	mp2 9	. 2 ⊢ Rel ( ≼ ∩ ◡ ≼ )
6		brin 5161	. . 3 ⊢ (𝑥( ≼ ∩ ◡ ≼ )𝑦 ↔ (𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑥◡ ≼ 𝑦))
7		vex 3454	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
8		vex 3454	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
9	7, 8	brcnv 5848	. . . 4 ⊢ (𝑥◡ ≼ 𝑦 ↔ 𝑦 ≼ 𝑥)
10	9	anbi2i 623	. . 3 ⊢ ((𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑥◡ ≼ 𝑦) ↔ (𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥))
11		sbthb 9067	. . 3 ⊢ ((𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) ↔ 𝑥 ≈ 𝑦)
12	6, 10, 11	3bitrri 298	. 2 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑦 ↔ 𝑥( ≼ ∩ ◡ ≼ )𝑦)
13	1, 5, 12	eqbrriv 5756	1 ⊢ ≈ = ( ≼ ∩ ◡ ≼ )

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∩ cin 3915   ⊆ wss 3916   class class class wbr 5109  ^◡ccnv 5639  Rel wrel 5645   ≈ cen 8917   ≼ cdom 8918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922

This theorem is referenced by:  dfsdom2  9069