Theorem sbthcl 9023

Description: Schroeder-Bernstein Theorem in class form. (Contributed by NM, 28-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sbthcl	⊢ ≈ = ( ≼ ∩ ◡ ≼ )

Proof of Theorem sbthcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 8884	. 2 ⊢ Rel ≈
2		inss1 4190	. . 3 ⊢ ( ≼ ∩ ◡ ≼ ) ⊆ ≼
3		reldom 8885	. . 3 ⊢ Rel ≼
4		relss 5729	. . 3 ⊢ (( ≼ ∩ ◡ ≼ ) ⊆ ≼ → (Rel ≼ → Rel ( ≼ ∩ ◡ ≼ )))
5	2, 3, 4	mp2 9	. 2 ⊢ Rel ( ≼ ∩ ◡ ≼ )
6		brin 5147	. . 3 ⊢ (𝑥( ≼ ∩ ◡ ≼ )𝑦 ↔ (𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑥◡ ≼ 𝑦))
7		vex 3442	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
8		vex 3442	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
9	7, 8	brcnv 5829	. . . 4 ⊢ (𝑥◡ ≼ 𝑦 ↔ 𝑦 ≼ 𝑥)
10	9	anbi2i 623	. . 3 ⊢ ((𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑥◡ ≼ 𝑦) ↔ (𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥))
11		sbthb 9022	. . 3 ⊢ ((𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) ↔ 𝑥 ≈ 𝑦)
12	6, 10, 11	3bitrri 298	. 2 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑦 ↔ 𝑥( ≼ ∩ ◡ ≼ )𝑦)
13	1, 5, 12	eqbrriv 5738	1 ⊢ ≈ = ( ≼ ∩ ◡ ≼ )

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095  ^◡ccnv 5622  Rel wrel 5628   ≈ cen 8876   ≼ cdom 8877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881

This theorem is referenced by:  dfsdom2  9024