MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrtoslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsrtoslem2 21486
Description: Lemma for opsrtos 21487. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrso.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡)
opsrso.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
opsrso.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Toset)
opsrso.t (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (𝐼 Γ— 𝐼))
opsrso.w (πœ‘ β†’ 𝑇 We 𝐼)
opsrtoslem.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrtoslem.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
opsrtoslem.q < = (ltβ€˜π‘…)
opsrtoslem.c 𝐢 = (𝑇 <bag 𝐼)
opsrtoslem.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
opsrtoslem.ps (πœ“ ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))))
opsrtoslem.l ≀ = (leβ€˜π‘‚)
Assertion
Ref Expression
opsrtoslem2 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ Toset)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝑀,𝑦,𝑧,𝐢   𝑀,β„Ž,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐼   πœ‘,β„Ž,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝐷,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀, < ,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝑅,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝑇,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ“(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,β„Ž)   𝐡(𝑧,𝑀,β„Ž)   𝐢(β„Ž)   𝐷(β„Ž)   𝑅(β„Ž)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,β„Ž)   < (β„Ž)   𝑇(β„Ž)   ≀ (π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,β„Ž)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,β„Ž)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,β„Ž)

Proof of Theorem opsrtoslem2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opsrtoslem.c . . . . . . . 8 𝐢 = (𝑇 <bag 𝐼)
2 opsrtoslem.d . . . . . . . 8 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
3 opsrso.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
43, 3xpexd 7689 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ V)
5 opsrso.t . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (𝐼 Γ— 𝐼))
64, 5ssexd 5285 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
7 opsrso.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 We 𝐼)
81, 2, 3, 6, 7ltbwe 21468 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 We 𝐷)
9 opsrso.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Toset)
10 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
11 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (leβ€˜π‘…) = (leβ€˜π‘…)
12 opsrtoslem.q . . . . . . . . . . 11 < = (ltβ€˜π‘…)
1310, 11, 12tosso 18316 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Toset β†’ (𝑅 ∈ Toset ↔ ( < Or (Baseβ€˜π‘…) ∧ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘…)) βŠ† (leβ€˜π‘…))))
1413ibi 267 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Toset β†’ ( < Or (Baseβ€˜π‘…) ∧ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘…)) βŠ† (leβ€˜π‘…)))
159, 14syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ( < Or (Baseβ€˜π‘…) ∧ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘…)) βŠ† (leβ€˜π‘…)))
1615simpld 496 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ < Or (Baseβ€˜π‘…))
17 opsrtoslem.ps . . . . . . . . 9 (πœ“ ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))))
1817opabbii 5176 . . . . . . . 8 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))}
1918wemapso 9495 . . . . . . 7 ((𝐢 We 𝐷 ∧ < Or (Baseβ€˜π‘…)) β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} Or ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷))
208, 16, 19syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} Or ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷))
21 opsrtoslem.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
22 opsrtoslem.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
2321, 10, 2, 22, 3psrbas 21369 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷))
24 soeq2 5571 . . . . . . 7 (𝐡 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷) β†’ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} Or 𝐡 ↔ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} Or ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷)))
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} Or 𝐡 ↔ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} Or ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷)))
2620, 25mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} Or 𝐡)
27 soinxp 5717 . . . . 5 ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} Or 𝐡 ↔ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) Or 𝐡)
2826, 27sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) Or 𝐡)
29 opsrso.o . . . . . . . 8 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡)
3029fvexi 6860 . . . . . . 7 𝑂 ∈ V
31 opsrtoslem.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜π‘‚)
32 eqid 2733 . . . . . . . 8 (ltβ€˜π‘‚) = (ltβ€˜π‘‚)
3331, 32pltfval 18228 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ V β†’ (ltβ€˜π‘‚) = ( ≀ βˆ– I ))
3430, 33ax-mp 5 . . . . . 6 (ltβ€˜π‘‚) = ( ≀ βˆ– I )
35 difundir 4244 . . . . . . . 8 ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆͺ ( I β†Ύ 𝐡)) βˆ– I ) = ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆ– I ) βˆͺ (( I β†Ύ 𝐡) βˆ– I ))
36 resss 5966 . . . . . . . . . 10 ( I β†Ύ 𝐡) βŠ† I
37 ssdif0 4327 . . . . . . . . . 10 (( I β†Ύ 𝐡) βŠ† I ↔ (( I β†Ύ 𝐡) βˆ– I ) = βˆ…)
3836, 37mpbi 229 . . . . . . . . 9 (( I β†Ύ 𝐡) βˆ– I ) = βˆ…
3938uneq2i 4124 . . . . . . . 8 ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆ– I ) βˆͺ (( I β†Ύ 𝐡) βˆ– I )) = ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆ– I ) βˆͺ βˆ…)
40 un0 4354 . . . . . . . 8 ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆ– I ) βˆͺ βˆ…) = (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆ– I )
4135, 39, 403eqtri 2765 . . . . . . 7 ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆͺ ( I β†Ύ 𝐡)) βˆ– I ) = (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆ– I )
4229, 3, 9, 5, 7, 21, 22, 12, 1, 2, 17, 31opsrtoslem1 21485 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ≀ = (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆͺ ( I β†Ύ 𝐡)))
4342difeq1d 4085 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ( ≀ βˆ– I ) = ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆͺ ( I β†Ύ 𝐡)) βˆ– I ))
44 relinxp 5774 . . . . . . . . . . 11 Rel ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
4544a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Rel ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)))
46 df-br 5110 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž I 𝑏 ↔ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ I )
47 vex 3451 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑏 ∈ V
4847ideq 5812 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž I 𝑏 ↔ π‘Ž = 𝑏)
4946, 48bitr3i 277 . . . . . . . . . . . . 13 (βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ I ↔ π‘Ž = 𝑏)
50 brin 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž ↔ (π‘Ž{⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“}π‘Ž ∧ π‘Ž(𝐡 Γ— 𝐡)π‘Ž))
5150simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž β†’ π‘Ž(𝐡 Γ— 𝐡)π‘Ž)
52 brxp 5685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž(𝐡 Γ— 𝐡)π‘Ž ↔ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ 𝐡))
5352simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž(𝐡 Γ— 𝐡)π‘Ž β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
5451, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
55 sonr 5572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) Or 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ Β¬ π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž)
5655ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) Or 𝐡 β†’ (π‘Ž ∈ 𝐡 β†’ Β¬ π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž))
5728, 54, 56syl2im 40 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž β†’ Β¬ π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž))
5857pm2.01d 189 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž)
59 breq2 5113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž ↔ π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑏))
60 df-br 5110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑏 ↔ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)))
6159, 60bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž ↔ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))))
6261notbid 318 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (Β¬ π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž ↔ Β¬ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))))
6358, 62syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘Ž = 𝑏 β†’ Β¬ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))))
6449, 63biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ I β†’ Β¬ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))))
6564con2d 134 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) β†’ Β¬ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ I ))
66 opex 5425 . . . . . . . . . . . 12 βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ V
67 eldif 3924 . . . . . . . . . . . 12 (βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ (V βˆ– I ) ↔ (βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ V ∧ Β¬ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ I ))
6866, 67mpbiran 708 . . . . . . . . . . 11 (βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ (V βˆ– I ) ↔ Β¬ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ I )
6965, 68syl6ibr 252 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ (V βˆ– I )))
7045, 69relssdv 5748 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βŠ† (V βˆ– I ))
71 disj2 4421 . . . . . . . . 9 ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∩ I ) = βˆ… ↔ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βŠ† (V βˆ– I ))
7270, 71sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∩ I ) = βˆ…)
73 disj3 4417 . . . . . . . 8 ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∩ I ) = βˆ… ↔ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) = (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆ– I ))
7472, 73sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) = (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆ– I ))
7541, 43, 743eqtr4a 2799 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( ≀ βˆ– I ) = ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)))
7634, 75eqtrid 2785 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ltβ€˜π‘‚) = ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)))
77 soeq1 5570 . . . . 5 ((ltβ€˜π‘‚) = ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) β†’ ((ltβ€˜π‘‚) Or 𝐡 ↔ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) Or 𝐡))
7876, 77syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ltβ€˜π‘‚) Or 𝐡 ↔ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) Or 𝐡))
7928, 78mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (ltβ€˜π‘‚) Or 𝐡)
8021, 29, 5opsrbas 21475 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘‚))
8122, 80eqtrid 2785 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘‚))
82 soeq2 5571 . . . 4 (𝐡 = (Baseβ€˜π‘‚) β†’ ((ltβ€˜π‘‚) Or 𝐡 ↔ (ltβ€˜π‘‚) Or (Baseβ€˜π‘‚)))
8381, 82syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((ltβ€˜π‘‚) Or 𝐡 ↔ (ltβ€˜π‘‚) Or (Baseβ€˜π‘‚)))
8479, 83mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (ltβ€˜π‘‚) Or (Baseβ€˜π‘‚))
8581reseq2d 5941 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ 𝐡) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‚)))
86 ssun2 4137 . . . 4 ( I β†Ύ 𝐡) βŠ† (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆͺ ( I β†Ύ 𝐡))
8785, 86eqsstrrdi 4003 . . 3 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‚)) βŠ† (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆͺ ( I β†Ύ 𝐡)))
8887, 42sseqtrrd 3989 . 2 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‚)) βŠ† ≀ )
89 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘‚) = (Baseβ€˜π‘‚)
9089, 31, 32tosso 18316 . . 3 (𝑂 ∈ V β†’ (𝑂 ∈ Toset ↔ ((ltβ€˜π‘‚) Or (Baseβ€˜π‘‚) ∧ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‚)) βŠ† ≀ )))
9130, 90ax-mp 5 . 2 (𝑂 ∈ Toset ↔ ((ltβ€˜π‘‚) Or (Baseβ€˜π‘‚) ∧ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‚)) βŠ† ≀ ))
9284, 88, 91sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ Toset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   βˆͺ cun 3912   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  βŸ¨cop 4596   class class class wbr 5109  {copab 5171   I cid 5534   Or wor 5548   We wwe 5591   Γ— cxp 5635  β—‘ccnv 5636   β†Ύ cres 5639   β€œ cima 5640  Rel wrel 5642  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771  Fincfn 8889  β„•cn 12161  β„•0cn0 12421  Basecbs 17091  lecple 17148  ltcplt 18205  Tosetctos 18313   mPwSer cmps 21329   <bag cltb 21332   ordPwSer copws 21333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-seqom 8398  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-oexp 8422  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-oi 9454  df-cnf 9606  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-tset 17160  df-ple 17161  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-toset 18314  df-psr 21334  df-ltbag 21337  df-opsr 21338
This theorem is referenced by:  opsrtos  21487
  Copyright terms: Public domain W3C validator