MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrtoslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsrtoslem2 21836
Description: Lemma for opsrtos 21837. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrso.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡)
opsrso.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
opsrso.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Toset)
opsrso.t (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (𝐼 Γ— 𝐼))
opsrso.w (πœ‘ β†’ 𝑇 We 𝐼)
opsrtoslem.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrtoslem.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
opsrtoslem.q < = (ltβ€˜π‘…)
opsrtoslem.c 𝐢 = (𝑇 <bag 𝐼)
opsrtoslem.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
opsrtoslem.ps (πœ“ ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))))
opsrtoslem.l ≀ = (leβ€˜π‘‚)
Assertion
Ref Expression
opsrtoslem2 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ Toset)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝑀,𝑦,𝑧,𝐢   𝑀,β„Ž,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐼   πœ‘,β„Ž,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝐷,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀, < ,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝑅,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝑇,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ“(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,β„Ž)   𝐡(𝑧,𝑀,β„Ž)   𝐢(β„Ž)   𝐷(β„Ž)   𝑅(β„Ž)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,β„Ž)   < (β„Ž)   𝑇(β„Ž)   ≀ (π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,β„Ž)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,β„Ž)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,β„Ž)

Proof of Theorem opsrtoslem2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opsrtoslem.c . . . . . . . 8 𝐢 = (𝑇 <bag 𝐼)
2 opsrtoslem.d . . . . . . . 8 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
3 opsrso.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
43, 3xpexd 7740 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ V)
5 opsrso.t . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (𝐼 Γ— 𝐼))
64, 5ssexd 5323 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
7 opsrso.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 We 𝐼)
81, 2, 3, 6, 7ltbwe 21818 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 We 𝐷)
9 opsrso.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Toset)
10 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
11 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (leβ€˜π‘…) = (leβ€˜π‘…)
12 opsrtoslem.q . . . . . . . . . . 11 < = (ltβ€˜π‘…)
1310, 11, 12tosso 18376 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Toset β†’ (𝑅 ∈ Toset ↔ ( < Or (Baseβ€˜π‘…) ∧ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘…)) βŠ† (leβ€˜π‘…))))
1413ibi 266 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Toset β†’ ( < Or (Baseβ€˜π‘…) ∧ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘…)) βŠ† (leβ€˜π‘…)))
159, 14syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ( < Or (Baseβ€˜π‘…) ∧ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘…)) βŠ† (leβ€˜π‘…)))
1615simpld 493 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ < Or (Baseβ€˜π‘…))
17 opsrtoslem.ps . . . . . . . . 9 (πœ“ ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))))
1817opabbii 5214 . . . . . . . 8 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))}
1918wemapso 9548 . . . . . . 7 ((𝐢 We 𝐷 ∧ < Or (Baseβ€˜π‘…)) β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} Or ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷))
208, 16, 19syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} Or ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷))
21 opsrtoslem.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
22 opsrtoslem.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
2321, 10, 2, 22, 3psrbas 21716 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷))
24 soeq2 5609 . . . . . . 7 (𝐡 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷) β†’ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} Or 𝐡 ↔ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} Or ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷)))
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} Or 𝐡 ↔ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} Or ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷)))
2620, 25mpbird 256 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} Or 𝐡)
27 soinxp 5756 . . . . 5 ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} Or 𝐡 ↔ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) Or 𝐡)
2826, 27sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) Or 𝐡)
29 opsrso.o . . . . . . . 8 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡)
3029fvexi 6904 . . . . . . 7 𝑂 ∈ V
31 opsrtoslem.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜π‘‚)
32 eqid 2730 . . . . . . . 8 (ltβ€˜π‘‚) = (ltβ€˜π‘‚)
3331, 32pltfval 18288 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ V β†’ (ltβ€˜π‘‚) = ( ≀ βˆ– I ))
3430, 33ax-mp 5 . . . . . 6 (ltβ€˜π‘‚) = ( ≀ βˆ– I )
35 difundir 4279 . . . . . . . 8 ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆͺ ( I β†Ύ 𝐡)) βˆ– I ) = ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆ– I ) βˆͺ (( I β†Ύ 𝐡) βˆ– I ))
36 resss 6005 . . . . . . . . . 10 ( I β†Ύ 𝐡) βŠ† I
37 ssdif0 4362 . . . . . . . . . 10 (( I β†Ύ 𝐡) βŠ† I ↔ (( I β†Ύ 𝐡) βˆ– I ) = βˆ…)
3836, 37mpbi 229 . . . . . . . . 9 (( I β†Ύ 𝐡) βˆ– I ) = βˆ…
3938uneq2i 4159 . . . . . . . 8 ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆ– I ) βˆͺ (( I β†Ύ 𝐡) βˆ– I )) = ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆ– I ) βˆͺ βˆ…)
40 un0 4389 . . . . . . . 8 ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆ– I ) βˆͺ βˆ…) = (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆ– I )
4135, 39, 403eqtri 2762 . . . . . . 7 ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆͺ ( I β†Ύ 𝐡)) βˆ– I ) = (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆ– I )
4229, 3, 9, 5, 7, 21, 22, 12, 1, 2, 17, 31opsrtoslem1 21835 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ≀ = (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆͺ ( I β†Ύ 𝐡)))
4342difeq1d 4120 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ( ≀ βˆ– I ) = ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆͺ ( I β†Ύ 𝐡)) βˆ– I ))
44 relinxp 5813 . . . . . . . . . . 11 Rel ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
4544a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Rel ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)))
46 df-br 5148 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž I 𝑏 ↔ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ I )
47 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑏 ∈ V
4847ideq 5851 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž I 𝑏 ↔ π‘Ž = 𝑏)
4946, 48bitr3i 276 . . . . . . . . . . . . 13 (βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ I ↔ π‘Ž = 𝑏)
50 brin 5199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž ↔ (π‘Ž{⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“}π‘Ž ∧ π‘Ž(𝐡 Γ— 𝐡)π‘Ž))
5150simprbi 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž β†’ π‘Ž(𝐡 Γ— 𝐡)π‘Ž)
52 brxp 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž(𝐡 Γ— 𝐡)π‘Ž ↔ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ 𝐡))
5352simprbi 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž(𝐡 Γ— 𝐡)π‘Ž β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
5451, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
55 sonr 5610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) Or 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ Β¬ π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž)
5655ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) Or 𝐡 β†’ (π‘Ž ∈ 𝐡 β†’ Β¬ π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž))
5728, 54, 56syl2im 40 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž β†’ Β¬ π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž))
5857pm2.01d 189 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž)
59 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž ↔ π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑏))
60 df-br 5148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑏 ↔ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)))
6159, 60bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž ↔ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))))
6261notbid 317 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (Β¬ π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž ↔ Β¬ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))))
6358, 62syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘Ž = 𝑏 β†’ Β¬ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))))
6449, 63biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ I β†’ Β¬ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))))
6564con2d 134 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) β†’ Β¬ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ I ))
66 opex 5463 . . . . . . . . . . . 12 βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ V
67 eldif 3957 . . . . . . . . . . . 12 (βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ (V βˆ– I ) ↔ (βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ V ∧ Β¬ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ I ))
6866, 67mpbiran 705 . . . . . . . . . . 11 (βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ (V βˆ– I ) ↔ Β¬ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ I )
6965, 68imbitrrdi 251 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ (V βˆ– I )))
7045, 69relssdv 5787 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βŠ† (V βˆ– I ))
71 disj2 4456 . . . . . . . . 9 ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∩ I ) = βˆ… ↔ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βŠ† (V βˆ– I ))
7270, 71sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∩ I ) = βˆ…)
73 disj3 4452 . . . . . . . 8 ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∩ I ) = βˆ… ↔ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) = (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆ– I ))
7472, 73sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) = (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆ– I ))
7541, 43, 743eqtr4a 2796 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( ≀ βˆ– I ) = ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)))
7634, 75eqtrid 2782 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ltβ€˜π‘‚) = ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)))
77 soeq1 5608 . . . . 5 ((ltβ€˜π‘‚) = ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) β†’ ((ltβ€˜π‘‚) Or 𝐡 ↔ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) Or 𝐡))
7876, 77syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ltβ€˜π‘‚) Or 𝐡 ↔ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) Or 𝐡))
7928, 78mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ (ltβ€˜π‘‚) Or 𝐡)
8021, 29, 5opsrbas 21825 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘‚))
8122, 80eqtrid 2782 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘‚))
82 soeq2 5609 . . . 4 (𝐡 = (Baseβ€˜π‘‚) β†’ ((ltβ€˜π‘‚) Or 𝐡 ↔ (ltβ€˜π‘‚) Or (Baseβ€˜π‘‚)))
8381, 82syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((ltβ€˜π‘‚) Or 𝐡 ↔ (ltβ€˜π‘‚) Or (Baseβ€˜π‘‚)))
8479, 83mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (ltβ€˜π‘‚) Or (Baseβ€˜π‘‚))
8581reseq2d 5980 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ 𝐡) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‚)))
86 ssun2 4172 . . . 4 ( I β†Ύ 𝐡) βŠ† (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆͺ ( I β†Ύ 𝐡))
8785, 86eqsstrrdi 4036 . . 3 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‚)) βŠ† (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆͺ ( I β†Ύ 𝐡)))
8887, 42sseqtrrd 4022 . 2 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‚)) βŠ† ≀ )
89 eqid 2730 . . . 4 (Baseβ€˜π‘‚) = (Baseβ€˜π‘‚)
9089, 31, 32tosso 18376 . . 3 (𝑂 ∈ V β†’ (𝑂 ∈ Toset ↔ ((ltβ€˜π‘‚) Or (Baseβ€˜π‘‚) ∧ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‚)) βŠ† ≀ )))
9130, 90ax-mp 5 . 2 (𝑂 ∈ Toset ↔ ((ltβ€˜π‘‚) Or (Baseβ€˜π‘‚) ∧ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‚)) βŠ† ≀ ))
9284, 88, 91sylanbrc 581 1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ Toset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147  {copab 5209   I cid 5572   Or wor 5586   We wwe 5629   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678  Rel wrel 5680  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  Basecbs 17148  lecple 17208  ltcplt 18265  Tosetctos 18373   mPwSer cmps 21676   <bag cltb 21679   ordPwSer copws 21680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-seqom 8450  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-oexp 8474  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-cnf 9659  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-tset 17220  df-ple 17221  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-toset 18374  df-psr 21681  df-ltbag 21684  df-opsr 21685
This theorem is referenced by:  opsrtos  21837
  Copyright terms: Public domain W3C validator