MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrtoslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsrtoslem2 19806
Description: Lemma for opsrtos 19807. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrso.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrso.i (𝜑𝐼𝑉)
opsrso.r (𝜑𝑅 ∈ Toset)
opsrso.t (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrso.w (𝜑𝑇 We 𝐼)
opsrtoslem.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrtoslem.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
opsrtoslem.q < = (lt‘𝑅)
opsrtoslem.c 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
opsrtoslem.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
opsrtoslem.ps (𝜓 ↔ ∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))))
opsrtoslem.l = (le‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
opsrtoslem2 (𝜑𝑂 ∈ Toset)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐶   𝑤,,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝜑,,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤, < ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑇,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,)   𝐵(𝑧,𝑤,)   𝐶()   𝐷()   𝑅()   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,)   < ()   𝑇()   (𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,)

Proof of Theorem opsrtoslem2
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opsrtoslem.d . . . . . . . 8 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
2 ovex 6911 . . . . . . . 8 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
31, 2rabex2 5010 . . . . . . 7 𝐷 ∈ V
4 opsrtoslem.c . . . . . . . 8 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
5 opsrso.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝑉)
6 xpexg 7195 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝐼𝑉) → (𝐼 × 𝐼) ∈ V)
75, 5, 6syl2anc 580 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 × 𝐼) ∈ V)
8 opsrso.t . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
97, 8ssexd 5001 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ V)
10 opsrso.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 We 𝐼)
114, 1, 5, 9, 10ltbwe 19794 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 We 𝐷)
12 opsrso.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Toset)
13 eqid 2800 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14 eqid 2800 . . . . . . . . . . 11 (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
15 opsrtoslem.q . . . . . . . . . . 11 < = (lt‘𝑅)
1613, 14, 15tosso 17350 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Toset → (𝑅 ∈ Toset ↔ ( < Or (Base‘𝑅) ∧ ( I ↾ (Base‘𝑅)) ⊆ (le‘𝑅))))
1716ibi 259 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Toset → ( < Or (Base‘𝑅) ∧ ( I ↾ (Base‘𝑅)) ⊆ (le‘𝑅)))
1812, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( < Or (Base‘𝑅) ∧ ( I ↾ (Base‘𝑅)) ⊆ (le‘𝑅)))
1918simpld 489 . . . . . . 7 (𝜑< Or (Base‘𝑅))
20 opsrtoslem.ps . . . . . . . . 9 (𝜓 ↔ ∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))))
2120opabbii 4911 . . . . . . . 8 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
2221wemapso 8699 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐶 We 𝐷< Or (Base‘𝑅)) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
233, 11, 19, 22mp3an2i 1591 . . . . . 6 (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
24 opsrtoslem.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
25 opsrtoslem.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑆)
2624, 13, 1, 25, 5psrbas 19700 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
27 soeq2 5254 . . . . . . 7 (𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷) → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or 𝐵 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷)))
2826, 27syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or 𝐵 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷)))
2923, 28mpbird 249 . . . . 5 (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or 𝐵)
30 soinxp 5389 . . . . 5 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or 𝐵 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) Or 𝐵)
3129, 30sylib 210 . . . 4 (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) Or 𝐵)
32 opsrso.o . . . . . . . 8 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
3332fvexi 6426 . . . . . . 7 𝑂 ∈ V
34 opsrtoslem.l . . . . . . . 8 = (le‘𝑂)
35 eqid 2800 . . . . . . . 8 (lt‘𝑂) = (lt‘𝑂)
3634, 35pltfval 17273 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ V → (lt‘𝑂) = ( ∖ I ))
3733, 36ax-mp 5 . . . . . 6 (lt‘𝑂) = ( ∖ I )
38 difundir 4082 . . . . . . . 8 ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)) ∖ I ) = ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ) ∪ (( I ↾ 𝐵) ∖ I ))
39 resss 5633 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ 𝐵) ⊆ I
40 ssdif0 4143 . . . . . . . . . 10 (( I ↾ 𝐵) ⊆ I ↔ (( I ↾ 𝐵) ∖ I ) = ∅)
4139, 40mpbi 222 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐵) ∖ I ) = ∅
4241uneq2i 3963 . . . . . . . 8 ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ) ∪ (( I ↾ 𝐵) ∖ I )) = ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ) ∪ ∅)
43 un0 4164 . . . . . . . 8 ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ) ∪ ∅) = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I )
4438, 42, 433eqtri 2826 . . . . . . 7 ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)) ∖ I ) = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I )
4532, 5, 12, 8, 10, 24, 25, 15, 4, 1, 20, 34opsrtoslem1 19805 . . . . . . . 8 (𝜑 = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)))
4645difeq1d 3926 . . . . . . 7 (𝜑 → ( ∖ I ) = ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)) ∖ I ))
47 inss2 4030 . . . . . . . . . . . 12 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ⊆ (𝐵 × 𝐵)
48 relxp 5331 . . . . . . . . . . . 12 Rel (𝐵 × 𝐵)
49 relss 5412 . . . . . . . . . . . 12 (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ⊆ (𝐵 × 𝐵) → (Rel (𝐵 × 𝐵) → Rel ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))))
5047, 48, 49mp2 9 . . . . . . . . . . 11 Rel ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Rel ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)))
52 df-br 4845 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 I 𝑏 ↔ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I )
53 vex 3389 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑏 ∈ V
5453ideq 5479 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 I 𝑏𝑎 = 𝑏)
5552, 54bitr3i 269 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I ↔ 𝑎 = 𝑏)
56 brin 4896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎 ↔ (𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓}𝑎𝑎(𝐵 × 𝐵)𝑎))
5756simprbi 491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎𝑎(𝐵 × 𝐵)𝑎)
58 brxp 5359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎(𝐵 × 𝐵)𝑎 ↔ (𝑎𝐵𝑎𝐵))
5958simprbi 491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎(𝐵 × 𝐵)𝑎𝑎𝐵)
6057, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎𝑎𝐵)
61 sonr 5255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) Or 𝐵𝑎𝐵) → ¬ 𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎)
6261ex 402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) Or 𝐵 → (𝑎𝐵 → ¬ 𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎))
6331, 60, 62syl2im 40 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎 → ¬ 𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎))
6463pm2.01d 182 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ¬ 𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎)
65 breq2 4848 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑏))
66 df-br 4845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑏 ↔ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)))
6765, 66syl6bb 279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎 ↔ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))))
6867notbid 310 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑏 → (¬ 𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎 ↔ ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))))
6964, 68syl5ibcom 237 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑎 = 𝑏 → ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))))
7055, 69syl5bi 234 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I → ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))))
7170con2d 132 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) → ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I ))
72 opex 5124 . . . . . . . . . . . 12 𝑎, 𝑏⟩ ∈ V
73 eldif 3780 . . . . . . . . . . . 12 (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (V ∖ I ) ↔ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ V ∧ ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I ))
7472, 73mpbiran 701 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (V ∖ I ) ↔ ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I )
7571, 74syl6ibr 244 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (V ∖ I )))
7651, 75relssdv 5417 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ⊆ (V ∖ I ))
77 disj2 4221 . . . . . . . . 9 ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∩ I ) = ∅ ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ⊆ (V ∖ I ))
7876, 77sylibr 226 . . . . . . . 8 (𝜑 → (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∩ I ) = ∅)
79 disj3 4217 . . . . . . . 8 ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∩ I ) = ∅ ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ))
8078, 79sylib 210 . . . . . . 7 (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ))
8144, 46, 803eqtr4a 2860 . . . . . 6 (𝜑 → ( ∖ I ) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)))
8237, 81syl5eq 2846 . . . . 5 (𝜑 → (lt‘𝑂) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)))
83 soeq1 5253 . . . . 5 ((lt‘𝑂) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) → ((lt‘𝑂) Or 𝐵 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) Or 𝐵))
8482, 83syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((lt‘𝑂) Or 𝐵 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) Or 𝐵))
8531, 84mpbird 249 . . 3 (𝜑 → (lt‘𝑂) Or 𝐵)
8624, 32, 8opsrbas 19800 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑂))
8725, 86syl5eq 2846 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑂))
88 soeq2 5254 . . . 4 (𝐵 = (Base‘𝑂) → ((lt‘𝑂) Or 𝐵 ↔ (lt‘𝑂) Or (Base‘𝑂)))
8987, 88syl 17 . . 3 (𝜑 → ((lt‘𝑂) Or 𝐵 ↔ (lt‘𝑂) Or (Base‘𝑂)))
9085, 89mpbid 224 . 2 (𝜑 → (lt‘𝑂) Or (Base‘𝑂))
9187reseq2d 5601 . . . 4 (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ (Base‘𝑂)))
92 ssun2 3976 . . . 4 ( I ↾ 𝐵) ⊆ (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵))
9391, 92syl6eqssr 3853 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑂)) ⊆ (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)))
9493, 45sseqtr4d 3839 . 2 (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑂)) ⊆ )
95 eqid 2800 . . . 4 (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
9695, 34, 35tosso 17350 . . 3 (𝑂 ∈ V → (𝑂 ∈ Toset ↔ ((lt‘𝑂) Or (Base‘𝑂) ∧ ( I ↾ (Base‘𝑂)) ⊆ )))
9733, 96ax-mp 5 . 2 (𝑂 ∈ Toset ↔ ((lt‘𝑂) Or (Base‘𝑂) ∧ ( I ↾ (Base‘𝑂)) ⊆ ))
9890, 94, 97sylanbrc 579 1 (𝜑𝑂 ∈ Toset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3090  wrex 3091  {crab 3094  Vcvv 3386  cdif 3767  cun 3768  cin 3769  wss 3770  c0 4116  cop 4375   class class class wbr 4844  {copab 4906   I cid 5220   Or wor 5233   We wwe 5271   × cxp 5311  ccnv 5312  cres 5315  cima 5316  Rel wrel 5318  cfv 6102  (class class class)co 6879  𝑚 cmap 8096  Fincfn 8196  cn 11313  0cn0 11579  Basecbs 16183  lecple 16273  ltcplt 17255  Tosetctos 17347   mPwSer cmps 19673   <bag cltb 19676   ordPwSer copws 19677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-inf2 8789  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-se 5273  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-isom 6111  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-of 7132  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-supp 7534  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-seqom 7783  df-1o 7800  df-2o 7801  df-oadd 7804  df-omul 7805  df-oexp 7806  df-er 7983  df-map 8098  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-fsupp 8519  df-oi 8658  df-cnf 8810  df-card 9052  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11580  df-xnn0 11652  df-z 11666  df-dec 11783  df-uz 11930  df-fz 12580  df-hash 13370  df-struct 16185  df-ndx 16186  df-slot 16187  df-base 16189  df-sets 16190  df-plusg 16279  df-mulr 16280  df-sca 16282  df-vsca 16283  df-tset 16285  df-ple 16286  df-proset 17242  df-poset 17260  df-plt 17272  df-toset 17348  df-psr 19678  df-ltbag 19681  df-opsr 19682
This theorem is referenced by:  opsrtos  19807
  Copyright terms: Public domain W3C validator