MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrtoslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsrtoslem2 21987
Description: Lemma for opsrtos 21988. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrso.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡)
opsrso.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
opsrso.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Toset)
opsrso.t (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (𝐼 Γ— 𝐼))
opsrso.w (πœ‘ β†’ 𝑇 We 𝐼)
opsrtoslem.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrtoslem.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
opsrtoslem.q < = (ltβ€˜π‘…)
opsrtoslem.c 𝐢 = (𝑇 <bag 𝐼)
opsrtoslem.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
opsrtoslem.ps (πœ“ ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))))
opsrtoslem.l ≀ = (leβ€˜π‘‚)
Assertion
Ref Expression
opsrtoslem2 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ Toset)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝑀,𝑦,𝑧,𝐢   𝑀,β„Ž,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐼   πœ‘,β„Ž,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝐷,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀, < ,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝑅,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝑇,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ“(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,β„Ž)   𝐡(𝑧,𝑀,β„Ž)   𝐢(β„Ž)   𝐷(β„Ž)   𝑅(β„Ž)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,β„Ž)   < (β„Ž)   𝑇(β„Ž)   ≀ (π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,β„Ž)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,β„Ž)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,β„Ž)

Proof of Theorem opsrtoslem2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opsrtoslem.c . . . . . . . 8 𝐢 = (𝑇 <bag 𝐼)
2 opsrtoslem.d . . . . . . . 8 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
3 opsrso.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
43, 3xpexd 7747 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ V)
5 opsrso.t . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (𝐼 Γ— 𝐼))
64, 5ssexd 5318 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
7 opsrso.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 We 𝐼)
81, 2, 3, 6, 7ltbwe 21969 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 We 𝐷)
9 opsrso.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Toset)
10 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
11 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (leβ€˜π‘…) = (leβ€˜π‘…)
12 opsrtoslem.q . . . . . . . . . . 11 < = (ltβ€˜π‘…)
1310, 11, 12tosso 18402 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Toset β†’ (𝑅 ∈ Toset ↔ ( < Or (Baseβ€˜π‘…) ∧ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘…)) βŠ† (leβ€˜π‘…))))
1413ibi 267 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Toset β†’ ( < Or (Baseβ€˜π‘…) ∧ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘…)) βŠ† (leβ€˜π‘…)))
159, 14syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ( < Or (Baseβ€˜π‘…) ∧ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘…)) βŠ† (leβ€˜π‘…)))
1615simpld 494 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ < Or (Baseβ€˜π‘…))
17 opsrtoslem.ps . . . . . . . . 9 (πœ“ ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))))
1817opabbii 5209 . . . . . . . 8 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))}
1918wemapso 9566 . . . . . . 7 ((𝐢 We 𝐷 ∧ < Or (Baseβ€˜π‘…)) β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} Or ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷))
208, 16, 19syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} Or ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷))
21 opsrtoslem.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
22 opsrtoslem.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
2321, 10, 2, 22, 3psrbas 21865 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷))
24 soeq2 5606 . . . . . . 7 (𝐡 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷) β†’ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} Or 𝐡 ↔ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} Or ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷)))
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} Or 𝐡 ↔ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} Or ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷)))
2620, 25mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} Or 𝐡)
27 soinxp 5753 . . . . 5 ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} Or 𝐡 ↔ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) Or 𝐡)
2826, 27sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) Or 𝐡)
29 opsrso.o . . . . . . . 8 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡)
3029fvexi 6905 . . . . . . 7 𝑂 ∈ V
31 opsrtoslem.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜π‘‚)
32 eqid 2727 . . . . . . . 8 (ltβ€˜π‘‚) = (ltβ€˜π‘‚)
3331, 32pltfval 18314 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ V β†’ (ltβ€˜π‘‚) = ( ≀ βˆ– I ))
3430, 33ax-mp 5 . . . . . 6 (ltβ€˜π‘‚) = ( ≀ βˆ– I )
35 difundir 4276 . . . . . . . 8 ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆͺ ( I β†Ύ 𝐡)) βˆ– I ) = ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆ– I ) βˆͺ (( I β†Ύ 𝐡) βˆ– I ))
36 resss 6004 . . . . . . . . . 10 ( I β†Ύ 𝐡) βŠ† I
37 ssdif0 4359 . . . . . . . . . 10 (( I β†Ύ 𝐡) βŠ† I ↔ (( I β†Ύ 𝐡) βˆ– I ) = βˆ…)
3836, 37mpbi 229 . . . . . . . . 9 (( I β†Ύ 𝐡) βˆ– I ) = βˆ…
3938uneq2i 4156 . . . . . . . 8 ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆ– I ) βˆͺ (( I β†Ύ 𝐡) βˆ– I )) = ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆ– I ) βˆͺ βˆ…)
40 un0 4386 . . . . . . . 8 ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆ– I ) βˆͺ βˆ…) = (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆ– I )
4135, 39, 403eqtri 2759 . . . . . . 7 ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆͺ ( I β†Ύ 𝐡)) βˆ– I ) = (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆ– I )
4229, 3, 9, 5, 7, 21, 22, 12, 1, 2, 17, 31opsrtoslem1 21986 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ≀ = (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆͺ ( I β†Ύ 𝐡)))
4342difeq1d 4117 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ( ≀ βˆ– I ) = ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆͺ ( I β†Ύ 𝐡)) βˆ– I ))
44 relinxp 5810 . . . . . . . . . . 11 Rel ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
4544a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Rel ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)))
46 df-br 5143 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž I 𝑏 ↔ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ I )
47 vex 3473 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑏 ∈ V
4847ideq 5849 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž I 𝑏 ↔ π‘Ž = 𝑏)
4946, 48bitr3i 277 . . . . . . . . . . . . 13 (βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ I ↔ π‘Ž = 𝑏)
50 brin 5194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž ↔ (π‘Ž{⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“}π‘Ž ∧ π‘Ž(𝐡 Γ— 𝐡)π‘Ž))
5150simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž β†’ π‘Ž(𝐡 Γ— 𝐡)π‘Ž)
52 brxp 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž(𝐡 Γ— 𝐡)π‘Ž ↔ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ 𝐡))
5352simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž(𝐡 Γ— 𝐡)π‘Ž β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
5451, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
55 sonr 5607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) Or 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ Β¬ π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž)
5655ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) Or 𝐡 β†’ (π‘Ž ∈ 𝐡 β†’ Β¬ π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž))
5728, 54, 56syl2im 40 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž β†’ Β¬ π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž))
5857pm2.01d 189 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž)
59 breq2 5146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž ↔ π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑏))
60 df-br 5143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑏 ↔ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)))
6159, 60bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž ↔ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))))
6261notbid 318 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (Β¬ π‘Ž({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Ž ↔ Β¬ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))))
6358, 62syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘Ž = 𝑏 β†’ Β¬ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))))
6449, 63biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ I β†’ Β¬ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))))
6564con2d 134 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) β†’ Β¬ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ I ))
66 opex 5460 . . . . . . . . . . . 12 βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ V
67 eldif 3954 . . . . . . . . . . . 12 (βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ (V βˆ– I ) ↔ (βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ V ∧ Β¬ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ I ))
6866, 67mpbiran 708 . . . . . . . . . . 11 (βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ (V βˆ– I ) ↔ Β¬ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ I )
6965, 68imbitrrdi 251 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ (V βˆ– I )))
7045, 69relssdv 5784 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βŠ† (V βˆ– I ))
71 disj2 4453 . . . . . . . . 9 ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∩ I ) = βˆ… ↔ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βŠ† (V βˆ– I ))
7270, 71sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∩ I ) = βˆ…)
73 disj3 4449 . . . . . . . 8 ((({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∩ I ) = βˆ… ↔ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) = (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆ– I ))
7472, 73sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) = (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆ– I ))
7541, 43, 743eqtr4a 2793 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( ≀ βˆ– I ) = ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)))
7634, 75eqtrid 2779 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ltβ€˜π‘‚) = ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)))
77 soeq1 5605 . . . . 5 ((ltβ€˜π‘‚) = ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) β†’ ((ltβ€˜π‘‚) Or 𝐡 ↔ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) Or 𝐡))
7876, 77syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ltβ€˜π‘‚) Or 𝐡 ↔ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) Or 𝐡))
7928, 78mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (ltβ€˜π‘‚) Or 𝐡)
8021, 29, 5opsrbas 21976 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘‚))
8122, 80eqtrid 2779 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘‚))
82 soeq2 5606 . . . 4 (𝐡 = (Baseβ€˜π‘‚) β†’ ((ltβ€˜π‘‚) Or 𝐡 ↔ (ltβ€˜π‘‚) Or (Baseβ€˜π‘‚)))
8381, 82syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((ltβ€˜π‘‚) Or 𝐡 ↔ (ltβ€˜π‘‚) Or (Baseβ€˜π‘‚)))
8479, 83mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (ltβ€˜π‘‚) Or (Baseβ€˜π‘‚))
8581reseq2d 5979 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ 𝐡) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‚)))
86 ssun2 4169 . . . 4 ( I β†Ύ 𝐡) βŠ† (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆͺ ( I β†Ύ 𝐡))
8785, 86eqsstrrdi 4033 . . 3 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‚)) βŠ† (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ πœ“} ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) βˆͺ ( I β†Ύ 𝐡)))
8887, 42sseqtrrd 4019 . 2 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‚)) βŠ† ≀ )
89 eqid 2727 . . . 4 (Baseβ€˜π‘‚) = (Baseβ€˜π‘‚)
9089, 31, 32tosso 18402 . . 3 (𝑂 ∈ V β†’ (𝑂 ∈ Toset ↔ ((ltβ€˜π‘‚) Or (Baseβ€˜π‘‚) ∧ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‚)) βŠ† ≀ )))
9130, 90ax-mp 5 . 2 (𝑂 ∈ Toset ↔ ((ltβ€˜π‘‚) Or (Baseβ€˜π‘‚) ∧ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‚)) βŠ† ≀ ))
9284, 88, 91sylanbrc 582 1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ Toset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  {crab 3427  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   βˆͺ cun 3942   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5142  {copab 5204   I cid 5569   Or wor 5583   We wwe 5626   Γ— cxp 5670  β—‘ccnv 5671   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675  Rel wrel 5677  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8836  Fincfn 8955  β„•cn 12234  β„•0cn0 12494  Basecbs 17171  lecple 17231  ltcplt 18291  Tosetctos 18399   mPwSer cmps 21824   <bag cltb 21827   ordPwSer copws 21828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-seqom 8462  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-oexp 8486  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-oi 9525  df-cnf 9677  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-hash 14314  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-tset 17243  df-ple 17244  df-proset 18278  df-poset 18296  df-plt 18313  df-toset 18400  df-psr 21829  df-ltbag 21832  df-opsr 21833
This theorem is referenced by:  opsrtos  21988
  Copyright terms: Public domain W3C validator