Theorem opsrtoslem2 21616

Description: Lemma for opsrtos 21617. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsrso.o	⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrso.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
opsrso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Toset)
opsrso.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrso.w	⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)
opsrtoslem.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrtoslem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
opsrtoslem.q	⊢ < = (lt‘𝑅)
opsrtoslem.c	⊢ 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
opsrtoslem.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
opsrtoslem.ps	⊢ (𝜓 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))
opsrtoslem.l	⊢ ≤ = (le‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
opsrtoslem2	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Toset)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐶   𝑤,ℎ,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝜑,ℎ,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤, < ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑇,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,ℎ)   𝐵(𝑧,𝑤,ℎ)   𝐶(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,ℎ)   < (ℎ)   𝑇(ℎ)   ≤ (𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,ℎ)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,ℎ)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,ℎ)

Proof of Theorem opsrtoslem2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opsrtoslem.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
2		opsrtoslem.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
3		opsrso.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
4	3, 3	xpexd 7737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝐼) ∈ V)
5		opsrso.t	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
6	4, 5	ssexd 5324	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
7		opsrso.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)
8	1, 2, 3, 6, 7	ltbwe 21598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 We 𝐷)
9		opsrso.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Toset)
10		eqid 2732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		eqid 2732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
12		opsrtoslem.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ < = (lt‘𝑅)
13	10, 11, 12	tosso 18371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → (𝑅 ∈ Toset ↔ ( < Or (Base‘𝑅) ∧ ( I ↾ (Base‘𝑅)) ⊆ (le‘𝑅))))
14	13	ibi 266	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → ( < Or (Base‘𝑅) ∧ ( I ↾ (Base‘𝑅)) ⊆ (le‘𝑅)))
15	9, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( < Or (Base‘𝑅) ∧ ( I ↾ (Base‘𝑅)) ⊆ (le‘𝑅)))
16	15	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → < Or (Base‘𝑅))
17		opsrtoslem.ps	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜓 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))
18	17	opabbii 5215	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
19	18	wemapso 9545	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 We 𝐷 ∧ < Or (Base‘𝑅)) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
20	8, 16, 19	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
21		opsrtoslem.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
22		opsrtoslem.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
23	21, 10, 2, 22, 3	psrbas 21496	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
24		soeq2 5610	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷) → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or 𝐵 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷)))
25	23, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or 𝐵 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷)))
26	20, 25	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or 𝐵)
27		soinxp 5757	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or 𝐵 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) Or 𝐵)
28	26, 27	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) Or 𝐵)
29		opsrso.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
30	29	fvexi 6905	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 ∈ V
31		opsrtoslem.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝑂)
32		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (lt‘𝑂) = (lt‘𝑂)
33	31, 32	pltfval 18283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ V → (lt‘𝑂) = ( ≤ ∖ I ))
34	30, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (lt‘𝑂) = ( ≤ ∖ I )
35		difundir 4280	. . . . . . . 8 ⊢ ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)) ∖ I ) = ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ) ∪ (( I ↾ 𝐵) ∖ I ))
36		resss 6006	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ 𝐵) ⊆ I
37		ssdif0 4363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ⊆ I ↔ (( I ↾ 𝐵) ∖ I ) = ∅)
38	36, 37	mpbi 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∖ I ) = ∅
39	38	uneq2i 4160	. . . . . . . 8 ⊢ ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ) ∪ (( I ↾ 𝐵) ∖ I )) = ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ) ∪ ∅)
40		un0 4390	. . . . . . . 8 ⊢ ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ) ∪ ∅) = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I )
41	35, 39, 40	3eqtri 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)) ∖ I ) = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I )
42	29, 3, 9, 5, 7, 21, 22, 12, 1, 2, 17, 31	opsrtoslem1 21615	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ≤ = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)))
43	42	difeq1d 4121	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( ≤ ∖ I ) = ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)) ∖ I ))
44		relinxp 5814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Rel ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Rel ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)))
46		df-br 5149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 I 𝑏 ↔ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I )
47		vex 3478	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑏 ∈ V
48	47	ideq 5852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 I 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏)
49	46, 48	bitr3i 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I ↔ 𝑎 = 𝑏)
50		brin 5200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎 ↔ (𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓}𝑎 ∧ 𝑎(𝐵 × 𝐵)𝑎))
51	50	simprbi 497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎 → 𝑎(𝐵 × 𝐵)𝑎)
52		brxp 5725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎(𝐵 × 𝐵)𝑎 ↔ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵))
53	52	simprbi 497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎(𝐵 × 𝐵)𝑎 → 𝑎 ∈ 𝐵)
54	51, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎 → 𝑎 ∈ 𝐵)
55		sonr 5611	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) Or 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎)
56	55	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) Or 𝐵 → (𝑎 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎))
57	28, 54, 56	syl2im 40	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎 → ¬ 𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎))
58	57	pm2.01d 189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎)
59		breq2 5152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎 ↔ 𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑏))
60		df-br 5149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑏 ↔ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)))
61	59, 60	bitrdi 286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎 ↔ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))))
62	61	notbid 317	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (¬ 𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎 ↔ ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))))
63	58, 62	syl5ibcom 244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑎 = 𝑏 → ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))))
64	49, 63	biimtrid 241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I → ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))))
65	64	con2d 134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) → ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I ))
66		opex 5464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ V
67		eldif 3958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (V ∖ I ) ↔ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ V ∧ ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I ))
68	66, 67	mpbiran 707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (V ∖ I ) ↔ ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I )
69	65, 68	syl6ibr 251	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (V ∖ I )))
70	45, 69	relssdv 5788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ⊆ (V ∖ I ))
71		disj2 4457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∩ I ) = ∅ ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ⊆ (V ∖ I ))
72	70, 71	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∩ I ) = ∅)
73		disj3 4453	. . . . . . . 8 ⊢ ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∩ I ) = ∅ ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ))
74	72, 73	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ))
75	41, 43, 74	3eqtr4a 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ≤ ∖ I ) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)))
76	34, 75	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lt‘𝑂) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)))
77		soeq1 5609	. . . . 5 ⊢ ((lt‘𝑂) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) → ((lt‘𝑂) Or 𝐵 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) Or 𝐵))
78	76, 77	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((lt‘𝑂) Or 𝐵 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) Or 𝐵))
79	28, 78	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lt‘𝑂) Or 𝐵)
80	21, 29, 5	opsrbas 21605	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑂))
81	22, 80	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑂))
82		soeq2 5610	. . . 4 ⊢ (𝐵 = (Base‘𝑂) → ((lt‘𝑂) Or 𝐵 ↔ (lt‘𝑂) Or (Base‘𝑂)))
83	81, 82	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lt‘𝑂) Or 𝐵 ↔ (lt‘𝑂) Or (Base‘𝑂)))
84	79, 83	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (lt‘𝑂) Or (Base‘𝑂))
85	81	reseq2d 5981	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ (Base‘𝑂)))
86		ssun2 4173	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐵) ⊆ (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵))
87	85, 86	eqsstrrdi 4037	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑂)) ⊆ (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)))
88	87, 42	sseqtrrd 4023	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑂)) ⊆ ≤ )
89		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
90	89, 31, 32	tosso 18371	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → (𝑂 ∈ Toset ↔ ((lt‘𝑂) Or (Base‘𝑂) ∧ ( I ↾ (Base‘𝑂)) ⊆ ≤ )))
91	30, 90	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Toset ↔ ((lt‘𝑂) Or (Base‘𝑂) ∧ ( I ↾ (Base‘𝑂)) ⊆ ≤ ))
92	84, 88, 91	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Toset)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   ∖ cdif 3945   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148  {copab 5210   I cid 5573   Or wor 5587   We wwe 5630   × cxp 5674  ^◡ccnv 5675   ↾ cres 5678   “ cima 5679  Rel wrel 5681  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8819  Fincfn 8938  ℕcn 12211  ℕ₀cn0 12471  Basecbs 17143  lecple 17203  ltcplt 18260  Tosetctos 18368   mPwSer cmps 21456   <_bag cltb 21459   ordPwSer copws 21460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-seqom 8447  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-oexp 8471  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-cnf 9656  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-hash 14290  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-tset 17215  df-ple 17216  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-toset 18369  df-psr 21461  df-ltbag 21464  df-opsr 21465

This theorem is referenced by:  opsrtos  21617