Theorem opsrtoslem2 21963

Description: Lemma for opsrtos 21964. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsrso.o	⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrso.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
opsrso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Toset)
opsrso.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrso.w	⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)
opsrtoslem.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrtoslem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
opsrtoslem.q	⊢ < = (lt‘𝑅)
opsrtoslem.c	⊢ 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
opsrtoslem.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
opsrtoslem.ps	⊢ (𝜓 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))
opsrtoslem.l	⊢ ≤ = (le‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
opsrtoslem2	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Toset)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐶   𝑤,ℎ,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝜑,ℎ,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤, < ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑇,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,ℎ)   𝐵(𝑧,𝑤,ℎ)   𝐶(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,ℎ)   < (ℎ)   𝑇(ℎ)   ≤ (𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,ℎ)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,ℎ)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,ℎ)

Proof of Theorem opsrtoslem2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opsrtoslem.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
2		opsrtoslem.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
3		opsrso.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
4	3, 3	xpexd 7727	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝐼) ∈ V)
5		opsrso.t	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
6	4, 5	ssexd 5279	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
7		opsrso.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)
8	1, 2, 3, 6, 7	ltbwe 21951	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 We 𝐷)
9		opsrso.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Toset)
10		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
12		opsrtoslem.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ < = (lt‘𝑅)
13	10, 11, 12	tosso 18378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → (𝑅 ∈ Toset ↔ ( < Or (Base‘𝑅) ∧ ( I ↾ (Base‘𝑅)) ⊆ (le‘𝑅))))
14	13	ibi 267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → ( < Or (Base‘𝑅) ∧ ( I ↾ (Base‘𝑅)) ⊆ (le‘𝑅)))
15	9, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( < Or (Base‘𝑅) ∧ ( I ↾ (Base‘𝑅)) ⊆ (le‘𝑅)))
16	15	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → < Or (Base‘𝑅))
17		opsrtoslem.ps	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜓 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))
18	17	opabbii 5174	. . . . . . 7 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
19	18	wemapso 9504	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 We 𝐷 ∧ < Or (Base‘𝑅)) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
20	8, 16, 19	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
21		opsrtoslem.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
22		opsrtoslem.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
23	21, 10, 2, 22, 3	psrbas 21842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
24		soeq2 5568	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷) → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or 𝐵 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷)))
25	23, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or 𝐵 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷)))
26	20, 25	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or 𝐵)
27		soinxp 5720	. . . 4 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or 𝐵 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) Or 𝐵)
28	26, 27	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) Or 𝐵)
29		opsrso.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
30	29	fvexi 6872	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 ∈ V
31		opsrtoslem.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝑂)
32		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (lt‘𝑂) = (lt‘𝑂)
33	31, 32	pltfval 18290	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ V → (lt‘𝑂) = ( ≤ ∖ I ))
34	30, 33	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (lt‘𝑂) = ( ≤ ∖ I )
35		difundir 4254	. . . . . . 7 ⊢ ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)) ∖ I ) = ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ) ∪ (( I ↾ 𝐵) ∖ I ))
36		resss 5972	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ↾ 𝐵) ⊆ I
37		ssdif0 4329	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ⊆ I ↔ (( I ↾ 𝐵) ∖ I ) = ∅)
38	36, 37	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∖ I ) = ∅
39	38	uneq2i 4128	. . . . . . 7 ⊢ ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ) ∪ (( I ↾ 𝐵) ∖ I )) = ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ) ∪ ∅)
40		un0 4357	. . . . . . 7 ⊢ ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ) ∪ ∅) = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I )
41	35, 39, 40	3eqtri 2756	. . . . . 6 ⊢ ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)) ∖ I ) = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I )
42	29, 3, 9, 5, 7, 21, 22, 12, 1, 2, 17, 31	opsrtoslem1 21962	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ≤ = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)))
43	42	difeq1d 4088	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ≤ ∖ I ) = ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)) ∖ I ))
44		relinxp 5777	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))
45	44	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Rel ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)))
46		df-br 5108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 I 𝑏 ↔ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I )
47		vex 3451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑏 ∈ V
48	47	ideq 5816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 I 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏)
49	46, 48	bitr3i 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I ↔ 𝑎 = 𝑏)
50		brin 5159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎 ↔ (𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓}𝑎 ∧ 𝑎(𝐵 × 𝐵)𝑎))
51	50	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎 → 𝑎(𝐵 × 𝐵)𝑎)
52		brxp 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎(𝐵 × 𝐵)𝑎 ↔ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵))
53	52	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎(𝐵 × 𝐵)𝑎 → 𝑎 ∈ 𝐵)
54	51, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎 → 𝑎 ∈ 𝐵)
55		sonr 5570	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) Or 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎)
56	55	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) Or 𝐵 → (𝑎 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎))
57	28, 54, 56	syl2im 40	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎 → ¬ 𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎))
58	57	pm2.01d 190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎)
59		breq2 5111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎 ↔ 𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑏))
60		df-br 5108	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑏 ↔ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)))
61	59, 60	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎 ↔ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))))
62	61	notbid 318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (¬ 𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎 ↔ ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))))
63	58, 62	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑎 = 𝑏 → ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))))
64	49, 63	biimtrid 242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I → ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))))
65	64	con2d 134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) → ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I ))
66		opex 5424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ V
67		eldif 3924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (V ∖ I ) ↔ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ V ∧ ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I ))
68	66, 67	mpbiran 709	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (V ∖ I ) ↔ ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I )
69	65, 68	imbitrrdi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (V ∖ I )))
70	45, 69	relssdv 5751	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ⊆ (V ∖ I ))
71		disj2 4421	. . . . . . . 8 ⊢ ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∩ I ) = ∅ ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ⊆ (V ∖ I ))
72	70, 71	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∩ I ) = ∅)
73		disj3 4417	. . . . . . 7 ⊢ ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∩ I ) = ∅ ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ))
74	72, 73	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ))
75	41, 43, 74	3eqtr4a 2790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ≤ ∖ I ) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)))
76	34, 75	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lt‘𝑂) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)))
77	21, 29, 5	opsrbas 21957	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑂))
78	22, 77	eqtr2id 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑂) = 𝐵)
79	76, 78	soeq12d 5569	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lt‘𝑂) Or (Base‘𝑂) ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) Or 𝐵))
80	28, 79	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (lt‘𝑂) Or (Base‘𝑂))
81	78	reseq2d 5950	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑂)) = ( I ↾ 𝐵))
82		ssun2 4142	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐵) ⊆ (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵))
83	81, 82	eqsstrdi 3991	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑂)) ⊆ (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)))
84	83, 42	sseqtrrd 3984	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑂)) ⊆ ≤ )
85		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
86	85, 31, 32	tosso 18378	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → (𝑂 ∈ Toset ↔ ((lt‘𝑂) Or (Base‘𝑂) ∧ ( I ↾ (Base‘𝑂)) ⊆ ≤ )))
87	30, 86	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Toset ↔ ((lt‘𝑂) Or (Base‘𝑂) ∧ ( I ↾ (Base‘𝑂)) ⊆ ≤ ))
88	80, 84, 87	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Toset)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3405  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  ⟨cop 4595   class class class wbr 5107  {copab 5169   I cid 5532   Or wor 5545   We wwe 5590   × cxp 5636  ^◡ccnv 5637   ↾ cres 5640   “ cima 5641  Rel wrel 5643  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799  Fincfn 8918  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  Basecbs 17179  lecple 17227  ltcplt 18269  Tosetctos 18375   mPwSer cmps 21813   <_bag cltb 21816   ordPwSer copws 21817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-seqom 8416  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-omul 8439  df-oexp 8440  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-oi 9463  df-cnf 9615  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-tset 17239  df-ple 17240  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-toset 18376  df-psr 21818  df-ltbag 21821  df-opsr 21822

This theorem is referenced by:  opsrtos  21964