MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrtoslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsrtoslem2 22080
Description: Lemma for opsrtos 22081. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrso.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrso.i (𝜑𝐼𝑉)
opsrso.r (𝜑𝑅 ∈ Toset)
opsrso.t (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrso.w (𝜑𝑇 We 𝐼)
opsrtoslem.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrtoslem.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
opsrtoslem.q < = (lt‘𝑅)
opsrtoslem.c 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
opsrtoslem.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
opsrtoslem.ps (𝜓 ↔ ∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))))
opsrtoslem.l = (le‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
opsrtoslem2 (𝜑𝑂 ∈ Toset)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐶   𝑤,,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝜑,,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤, < ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑇,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,)   𝐵(𝑧,𝑤,)   𝐶()   𝐷()   𝑅()   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,)   < ()   𝑇()   (𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,)

Proof of Theorem opsrtoslem2
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opsrtoslem.c . . . . . . 7 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
2 opsrtoslem.d . . . . . . 7 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
3 opsrso.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑉)
43, 3xpexd 7771 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼 × 𝐼) ∈ V)
5 opsrso.t . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
64, 5ssexd 5324 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ V)
7 opsrso.w . . . . . . 7 (𝜑𝑇 We 𝐼)
81, 2, 3, 6, 7ltbwe 22062 . . . . . 6 (𝜑𝐶 We 𝐷)
9 opsrso.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Toset)
10 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
12 opsrtoslem.q . . . . . . . . . 10 < = (lt‘𝑅)
1310, 11, 12tosso 18464 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Toset → (𝑅 ∈ Toset ↔ ( < Or (Base‘𝑅) ∧ ( I ↾ (Base‘𝑅)) ⊆ (le‘𝑅))))
1413ibi 267 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Toset → ( < Or (Base‘𝑅) ∧ ( I ↾ (Base‘𝑅)) ⊆ (le‘𝑅)))
159, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ( < Or (Base‘𝑅) ∧ ( I ↾ (Base‘𝑅)) ⊆ (le‘𝑅)))
1615simpld 494 . . . . . 6 (𝜑< Or (Base‘𝑅))
17 opsrtoslem.ps . . . . . . . 8 (𝜓 ↔ ∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))))
1817opabbii 5210 . . . . . . 7 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
1918wemapso 9591 . . . . . 6 ((𝐶 We 𝐷< Or (Base‘𝑅)) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
208, 16, 19syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
21 opsrtoslem.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
22 opsrtoslem.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑆)
2321, 10, 2, 22, 3psrbas 21953 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
24 soeq2 5614 . . . . . 6 (𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷) → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or 𝐵 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷)))
2523, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or 𝐵 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷)))
2620, 25mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or 𝐵)
27 soinxp 5767 . . . 4 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} Or 𝐵 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) Or 𝐵)
2826, 27sylib 218 . . 3 (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) Or 𝐵)
29 opsrso.o . . . . . . 7 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
3029fvexi 6920 . . . . . 6 𝑂 ∈ V
31 opsrtoslem.l . . . . . . 7 = (le‘𝑂)
32 eqid 2737 . . . . . . 7 (lt‘𝑂) = (lt‘𝑂)
3331, 32pltfval 18376 . . . . . 6 (𝑂 ∈ V → (lt‘𝑂) = ( ∖ I ))
3430, 33ax-mp 5 . . . . 5 (lt‘𝑂) = ( ∖ I )
35 difundir 4291 . . . . . . 7 ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)) ∖ I ) = ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ) ∪ (( I ↾ 𝐵) ∖ I ))
36 resss 6019 . . . . . . . . 9 ( I ↾ 𝐵) ⊆ I
37 ssdif0 4366 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐵) ⊆ I ↔ (( I ↾ 𝐵) ∖ I ) = ∅)
3836, 37mpbi 230 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝐵) ∖ I ) = ∅
3938uneq2i 4165 . . . . . . 7 ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ) ∪ (( I ↾ 𝐵) ∖ I )) = ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ) ∪ ∅)
40 un0 4394 . . . . . . 7 ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ) ∪ ∅) = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I )
4135, 39, 403eqtri 2769 . . . . . 6 ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)) ∖ I ) = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I )
4229, 3, 9, 5, 7, 21, 22, 12, 1, 2, 17, 31opsrtoslem1 22079 . . . . . . 7 (𝜑 = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)))
4342difeq1d 4125 . . . . . 6 (𝜑 → ( ∖ I ) = ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)) ∖ I ))
44 relinxp 5824 . . . . . . . . . 10 Rel ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))
4544a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Rel ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)))
46 df-br 5144 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 I 𝑏 ↔ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I )
47 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏 ∈ V
4847ideq 5863 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 I 𝑏𝑎 = 𝑏)
4946, 48bitr3i 277 . . . . . . . . . . . 12 (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I ↔ 𝑎 = 𝑏)
50 brin 5195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎 ↔ (𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓}𝑎𝑎(𝐵 × 𝐵)𝑎))
5150simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎𝑎(𝐵 × 𝐵)𝑎)
52 brxp 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎(𝐵 × 𝐵)𝑎 ↔ (𝑎𝐵𝑎𝐵))
5352simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎(𝐵 × 𝐵)𝑎𝑎𝐵)
5451, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎𝑎𝐵)
55 sonr 5616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) Or 𝐵𝑎𝐵) → ¬ 𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎)
5655ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) Or 𝐵 → (𝑎𝐵 → ¬ 𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎))
5728, 54, 56syl2im 40 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎 → ¬ 𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎))
5857pm2.01d 190 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎)
59 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑏))
60 df-br 5144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑏 ↔ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)))
6159, 60bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎 ↔ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))))
6261notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑏 → (¬ 𝑎({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑎 ↔ ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))))
6358, 62syl5ibcom 245 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑎 = 𝑏 → ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))))
6449, 63biimtrid 242 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I → ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵))))
6564con2d 134 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) → ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I ))
66 opex 5469 . . . . . . . . . . 11 𝑎, 𝑏⟩ ∈ V
67 eldif 3961 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (V ∖ I ) ↔ (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ V ∧ ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I ))
6866, 67mpbiran 709 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (V ∖ I ) ↔ ¬ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ I )
6965, 68imbitrrdi 252 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (V ∖ I )))
7045, 69relssdv 5798 . . . . . . . 8 (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ⊆ (V ∖ I ))
71 disj2 4458 . . . . . . . 8 ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∩ I ) = ∅ ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ⊆ (V ∖ I ))
7270, 71sylibr 234 . . . . . . 7 (𝜑 → (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∩ I ) = ∅)
73 disj3 4454 . . . . . . 7 ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∩ I ) = ∅ ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ))
7472, 73sylib 218 . . . . . 6 (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∖ I ))
7541, 43, 743eqtr4a 2803 . . . . 5 (𝜑 → ( ∖ I ) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)))
7634, 75eqtrid 2789 . . . 4 (𝜑 → (lt‘𝑂) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)))
7721, 29, 5opsrbas 22069 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑂))
7822, 77eqtr2id 2790 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑂) = 𝐵)
7976, 78soeq12d 5615 . . 3 (𝜑 → ((lt‘𝑂) Or (Base‘𝑂) ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) Or 𝐵))
8028, 79mpbird 257 . 2 (𝜑 → (lt‘𝑂) Or (Base‘𝑂))
8178reseq2d 5997 . . . 4 (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑂)) = ( I ↾ 𝐵))
82 ssun2 4179 . . . 4 ( I ↾ 𝐵) ⊆ (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵))
8381, 82eqsstrdi 4028 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑂)) ⊆ (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)))
8483, 42sseqtrrd 4021 . 2 (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑂)) ⊆ )
85 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
8685, 31, 32tosso 18464 . . 3 (𝑂 ∈ V → (𝑂 ∈ Toset ↔ ((lt‘𝑂) Or (Base‘𝑂) ∧ ( I ↾ (Base‘𝑂)) ⊆ )))
8730, 86ax-mp 5 . 2 (𝑂 ∈ Toset ↔ ((lt‘𝑂) Or (Base‘𝑂) ∧ ( I ↾ (Base‘𝑂)) ⊆ ))
8880, 84, 87sylanbrc 583 1 (𝜑𝑂 ∈ Toset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  cop 4632   class class class wbr 5143  {copab 5205   I cid 5577   Or wor 5591   We wwe 5636   × cxp 5683  ccnv 5684  cres 5687  cima 5688  Rel wrel 5690  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  Fincfn 8985  cn 12266  0cn0 12526  Basecbs 17247  lecple 17304  ltcplt 18354  Tosetctos 18461   mPwSer cmps 21924   <bag cltb 21927   ordPwSer copws 21928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-seqom 8488  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-oexp 8512  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-cnf 9702  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-ple 17317  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-toset 18462  df-psr 21929  df-ltbag 21932  df-opsr 21933
This theorem is referenced by:  opsrtos  22081
  Copyright terms: Public domain W3C validator