Theorem isinv 17718

Description: Value of the inverse relation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
invfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invfval.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invfval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
invfval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
invfval.s	⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
isinv	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))

Proof of Theorem isinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invfval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		invfval.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3		invfval.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		invfval.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		invfval.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		invfval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	invfval 17717	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌) = ((𝑋𝑆𝑌) ∩ ◡(𝑌𝑆𝑋)))
8	7	breqd 5097	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ 𝐹((𝑋𝑆𝑌) ∩ ◡(𝑌𝑆𝑋))𝐺))
9		brin 5138	. . 3 ⊢ (𝐹((𝑋𝑆𝑌) ∩ ◡(𝑌𝑆𝑋))𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐹◡(𝑌𝑆𝑋)𝐺))
10	8, 9	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐹◡(𝑌𝑆𝑋)𝐺)))
11		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
12		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
13		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
14	1, 11, 12, 13, 6, 3, 5, 4	sectss 17710	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝑆𝑋) ⊆ ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)))
15		relxp 5642	. . . . 5 ⊢ Rel ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌))
16		relss 5731	. . . . 5 ⊢ ((𝑌𝑆𝑋) ⊆ ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)) → (Rel ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)) → Rel (𝑌𝑆𝑋)))
17	14, 15, 16	mpisyl 21	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Rel (𝑌𝑆𝑋))
18		relbrcnvg 6064	. . . 4 ⊢ (Rel (𝑌𝑆𝑋) → (𝐹◡(𝑌𝑆𝑋)𝐺 ↔ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹))
19	17, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹◡(𝑌𝑆𝑋)𝐺 ↔ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹))
20	19	anbi2d 631	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐹◡(𝑌𝑆𝑋)𝐺) ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))
21	10, 20	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   × cxp 5622  ^◡ccnv 5623  Rel wrel 5629  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  Hom chom 17222  compcco 17223  Catccat 17621  Idccid 17622  Sectcsect 17702  Invcinv 17703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-sect 17705  df-inv 17706

This theorem is referenced by:  invsym  17720  invfun  17722  invco  17729  inveq  17732  monsect  17741  invid  17745  invcoisoid  17750  isocoinvid  17751  funcinv  17831  fthinv  17886  fucinv  17934  invfuc  17935  2initoinv  17968  2termoinv  17975  setcinv  18048  catcisolem  18068  catciso  18069  rngcinv  20605  ringcinv  20639  rngcinvALTV  48764  ringcinvALTV  48798  isinv2  49513  thincinv  49956