Theorem isinv 17718

Description: Value of the inverse relation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
invfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invfval.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invfval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
invfval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
invfval.s	⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
isinv	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))

Proof of Theorem isinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invfval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		invfval.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3		invfval.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		invfval.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		invfval.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		invfval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	invfval 17717	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌) = ((𝑋𝑆𝑌) ∩ ◡(𝑌𝑆𝑋)))
8	7	breqd 5083	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ 𝐹((𝑋𝑆𝑌) ∩ ◡(𝑌𝑆𝑋))𝐺))
9		brin 5124	. . 3 ⊢ (𝐹((𝑋𝑆𝑌) ∩ ◡(𝑌𝑆𝑋))𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐹◡(𝑌𝑆𝑋)𝐺))
10	8, 9	bitrdi 288	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐹◡(𝑌𝑆𝑋)𝐺)))
11		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
12		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
13		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
14	1, 11, 12, 13, 6, 3, 5, 4	sectss 17710	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝑆𝑋) ⊆ ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)))
15		relxp 5636	. . . . 5 ⊢ Rel ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌))
16		relss 5725	. . . . 5 ⊢ ((𝑌𝑆𝑋) ⊆ ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)) → (Rel ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)) → Rel (𝑌𝑆𝑋)))
17	14, 15, 16	mpisyl 21	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Rel (𝑌𝑆𝑋))
18		relbrcnvg 6057	. . . 4 ⊢ (Rel (𝑌𝑆𝑋) → (𝐹◡(𝑌𝑆𝑋)𝐺 ↔ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹))
19	17, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹◡(𝑌𝑆𝑋)𝐺 ↔ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹))
20	19	anbi2d 636	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐹◡(𝑌𝑆𝑋)𝐺) ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))
21	10, 20	bitrd 280	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5072   × cxp 5616  ^◡ccnv 5617  Rel wrel 5623  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  Hom chom 17222  compcco 17223  Catccat 17621  Idccid 17622  Sectcsect 17702  Invcinv 17703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-sect 17705  df-inv 17706

This theorem is referenced by:  invsym  17720  invfun  17722  invco  17729  inveq  17732  monsect  17741  invid  17745  invcoisoid  17750  isocoinvid  17751  funcinv  17831  fthinv  17886  fucinv  17934  invfuc  17935  2initoinv  17968  2termoinv  17975  setcinv  18048  catcisolem  18068  catciso  18069  rngcinv  20609  ringcinv  20643  rngcinvALTV  48767  ringcinvALTV  48801  isinv2  49516  thincinv  49959