Theorem isinv 17849

Description: Value of the inverse relation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
invfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invfval.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invfval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
invfval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
invfval.s	⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
isinv	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))

Proof of Theorem isinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invfval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		invfval.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3		invfval.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		invfval.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		invfval.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		invfval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	invfval 17848	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌) = ((𝑋𝑆𝑌) ∩ ◡(𝑌𝑆𝑋)))
8	7	breqd 5114	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ 𝐹((𝑋𝑆𝑌) ∩ ◡(𝑌𝑆𝑋))𝐺))
9		brin 5157	. . 3 ⊢ (𝐹((𝑋𝑆𝑌) ∩ ◡(𝑌𝑆𝑋))𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐹◡(𝑌𝑆𝑋)𝐺))
10	8, 9	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐹◡(𝑌𝑆𝑋)𝐺)))
11		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
12		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
13		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
14	1, 11, 12, 13, 6, 3, 5, 4	sectss 17841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝑆𝑋) ⊆ ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)))
15		relxp 5673	. . . . 5 ⊢ Rel ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌))
16		relss 5762	. . . . 5 ⊢ ((𝑌𝑆𝑋) ⊆ ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)) → (Rel ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)) → Rel (𝑌𝑆𝑋)))
17	14, 15, 16	mpisyl 22	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Rel (𝑌𝑆𝑋))
18		relbrcnvg 6101	. . . 4 ⊢ (Rel (𝑌𝑆𝑋) → (𝐹◡(𝑌𝑆𝑋)𝐺 ↔ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹))
19	17, 18	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹◡(𝑌𝑆𝑋)𝐺 ↔ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹))
20	19	anbi2d 642	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐹◡(𝑌𝑆𝑋)𝐺) ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))
21	10, 20	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   × cxp 5653  ^◡ccnv 5654  Rel wrel 5660  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  Hom chom 17353  compcco 17354  Catccat 17752  Idccid 17753  Sectcsect 17833  Invcinv 17834

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-sect 17836  df-inv 17837

This theorem is used by:  invsym  17851  invfun  17853  invco  17860  inveq  17863  monsect  17872  invid  17876  invcoisoid  17881  isocoinvid  17882  funcinv  17962  fthinv  18017  fucinv  18065  invfuc  18066  2initoinv  18099  2termoinv  18106  setcinv  18179  catcisolem  18199  catciso  18200  rngcinv  20799  ringcinv  20833  rngcinvALTV  49191  ringcinvALTV  49225  isinv2  49952  thincinv  50395