Theorem isinv 17662

Description: Value of the inverse relation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
invfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invfval.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invfval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
invfval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
invfval.s	⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
isinv	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))

Proof of Theorem isinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invfval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		invfval.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3		invfval.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		invfval.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		invfval.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		invfval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	invfval 17661	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌) = ((𝑋𝑆𝑌) ∩ ◡(𝑌𝑆𝑋)))
8	7	breqd 5097	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ 𝐹((𝑋𝑆𝑌) ∩ ◡(𝑌𝑆𝑋))𝐺))
9		brin 5138	. . 3 ⊢ (𝐹((𝑋𝑆𝑌) ∩ ◡(𝑌𝑆𝑋))𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐹◡(𝑌𝑆𝑋)𝐺))
10	8, 9	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐹◡(𝑌𝑆𝑋)𝐺)))
11		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
12		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
13		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
14	1, 11, 12, 13, 6, 3, 5, 4	sectss 17654	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝑆𝑋) ⊆ ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)))
15		relxp 5629	. . . . 5 ⊢ Rel ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌))
16		relss 5717	. . . . 5 ⊢ ((𝑌𝑆𝑋) ⊆ ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)) → (Rel ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)) → Rel (𝑌𝑆𝑋)))
17	14, 15, 16	mpisyl 21	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Rel (𝑌𝑆𝑋))
18		relbrcnvg 6049	. . . 4 ⊢ (Rel (𝑌𝑆𝑋) → (𝐹◡(𝑌𝑆𝑋)𝐺 ↔ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹))
19	17, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹◡(𝑌𝑆𝑋)𝐺 ↔ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹))
20	19	anbi2d 630	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐹◡(𝑌𝑆𝑋)𝐺) ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))
21	10, 20	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5086   × cxp 5609  ^◡ccnv 5610  Rel wrel 5616  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Basecbs 17115  Hom chom 17167  compcco 17168  Catccat 17565  Idccid 17566  Sectcsect 17646  Invcinv 17647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-sect 17649  df-inv 17650

This theorem is referenced by:  invsym  17664  invfun  17666  invco  17673  inveq  17676  monsect  17685  invid  17689  invcoisoid  17694  isocoinvid  17695  funcinv  17775  fthinv  17830  fucinv  17878  invfuc  17879  2initoinv  17912  2termoinv  17919  setcinv  17992  catcisolem  18012  catciso  18013  rngcinv  20547  ringcinv  20581  rngcinvALTV  48307  ringcinvALTV  48341  isinv2  49058  thincinv  49501