MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isinv 17707
Description: Value of the inverse relation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
invfval.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
invfval.n 𝑁 = (Invβ€˜πΆ)
invfval.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
invfval.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
invfval.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
invfval.s 𝑆 = (Sectβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
isinv (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹(π‘‹π‘†π‘Œ)𝐺 ∧ 𝐺(π‘Œπ‘†π‘‹)𝐹)))

Proof of Theorem isinv
StepHypRef Expression
1 invfval.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
2 invfval.n . . . . 5 𝑁 = (Invβ€˜πΆ)
3 invfval.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
4 invfval.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5 invfval.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
6 invfval.s . . . . 5 𝑆 = (Sectβ€˜πΆ)
71, 2, 3, 4, 5, 6invfval 17706 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‹π‘π‘Œ) = ((π‘‹π‘†π‘Œ) ∩ β—‘(π‘Œπ‘†π‘‹)))
87breqd 5160 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘π‘Œ)𝐺 ↔ 𝐹((π‘‹π‘†π‘Œ) ∩ β—‘(π‘Œπ‘†π‘‹))𝐺))
9 brin 5201 . . 3 (𝐹((π‘‹π‘†π‘Œ) ∩ β—‘(π‘Œπ‘†π‘‹))𝐺 ↔ (𝐹(π‘‹π‘†π‘Œ)𝐺 ∧ 𝐹◑(π‘Œπ‘†π‘‹)𝐺))
108, 9bitrdi 287 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹(π‘‹π‘†π‘Œ)𝐺 ∧ 𝐹◑(π‘Œπ‘†π‘‹)𝐺)))
11 eqid 2733 . . . . . 6 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
12 eqid 2733 . . . . . 6 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
13 eqid 2733 . . . . . 6 (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜πΆ)
141, 11, 12, 13, 6, 3, 5, 4sectss 17699 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œπ‘†π‘‹) βŠ† ((π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) Γ— (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)))
15 relxp 5695 . . . . 5 Rel ((π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) Γ— (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ))
16 relss 5782 . . . . 5 ((π‘Œπ‘†π‘‹) βŠ† ((π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) Γ— (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) β†’ (Rel ((π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) Γ— (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ)) β†’ Rel (π‘Œπ‘†π‘‹)))
1714, 15, 16mpisyl 21 . . . 4 (πœ‘ β†’ Rel (π‘Œπ‘†π‘‹))
18 relbrcnvg 6105 . . . 4 (Rel (π‘Œπ‘†π‘‹) β†’ (𝐹◑(π‘Œπ‘†π‘‹)𝐺 ↔ 𝐺(π‘Œπ‘†π‘‹)𝐹))
1917, 18syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹◑(π‘Œπ‘†π‘‹)𝐺 ↔ 𝐺(π‘Œπ‘†π‘‹)𝐹))
2019anbi2d 630 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹(π‘‹π‘†π‘Œ)𝐺 ∧ 𝐹◑(π‘Œπ‘†π‘‹)𝐺) ↔ (𝐹(π‘‹π‘†π‘Œ)𝐺 ∧ 𝐺(π‘Œπ‘†π‘‹)𝐹)))
2110, 20bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹(π‘‹π‘†π‘Œ)𝐺 ∧ 𝐺(π‘Œπ‘†π‘‹)𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  Rel wrel 5682  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  Hom chom 17208  compcco 17209  Catccat 17608  Idccid 17609  Sectcsect 17691  Invcinv 17692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-sect 17694  df-inv 17695
This theorem is referenced by:  invsym  17709  invfun  17711  invco  17718  inveq  17721  monsect  17730  invid  17734  invcoisoid  17739  isocoinvid  17740  funcinv  17823  fthinv  17877  fucinv  17926  invfuc  17927  2initoinv  17960  2termoinv  17967  setcinv  18040  catcisolem  18060  catciso  18061  rngcinv  46879  rngcinvALTV  46891  ringcinv  46930  ringcinvALTV  46954  thincinv  47679
  Copyright terms: Public domain W3C validator