Theorem ffthres2c 16996

Description: Condition for a fully faithful functor to also be a fully faithful functor into the restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ffthres2c.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
ffthres2c.e	⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾s 𝑆)
ffthres2c.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
ffthres2c.r	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
ffthres2c.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ffthres2c	⊢ (𝜑 → (𝐹((𝐶 Full 𝐷) ∩ (𝐶 Faith 𝐷))𝐺 ↔ 𝐹((𝐶 Full 𝐸) ∩ (𝐶 Faith 𝐸))𝐺))

Proof of Theorem ffthres2c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffthres2c.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
2		ffthres2c.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾s 𝑆)
3		ffthres2c.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
4		ffthres2c.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5		ffthres2c.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
6	1, 2, 3, 4, 5	fullres2c 16995	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ 𝐹(𝐶 Full 𝐸)𝐺))
7	1, 2, 3, 4, 5	fthres2c 16987	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 ↔ 𝐹(𝐶 Faith 𝐸)𝐺))
8	6, 7	anbi12d 624	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ∧ 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺) ↔ (𝐹(𝐶 Full 𝐸)𝐺 ∧ 𝐹(𝐶 Faith 𝐸)𝐺)))
9		brin 4940	. 2 ⊢ (𝐹((𝐶 Full 𝐷) ∩ (𝐶 Faith 𝐷))𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ∧ 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺))
10		brin 4940	. 2 ⊢ (𝐹((𝐶 Full 𝐸) ∩ (𝐶 Faith 𝐸))𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Full 𝐸)𝐺 ∧ 𝐹(𝐶 Faith 𝐸)𝐺))
11	8, 9, 10	3bitr4g 306	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹((𝐶 Full 𝐷) ∩ (𝐶 Faith 𝐷))𝐺 ↔ 𝐹((𝐶 Full 𝐸) ∩ (𝐶 Faith 𝐸))𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3791   class class class wbr 4888  ⟶wf 6133  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16266   ↾_s cress 16267  Catccat 16721   Full cful 16958   Faith cfth 16959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-hom 16373  df-cco 16374  df-cat 16725  df-cid 16726  df-homf 16727  df-comf 16728  df-ssc 16866  df-resc 16867  df-subc 16868  df-func 16914  df-full 16960  df-fth 16961

This theorem is referenced by:  yoniso  17322