MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ffthres2c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ffthres2c 17957
Description: Condition for a fully faithful functor to also be a fully faithful functor into the restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ffthres2c.a 𝐴 = (Base‘𝐶)
ffthres2c.e 𝐸 = (𝐷s 𝑆)
ffthres2c.d (𝜑𝐷 ∈ Cat)
ffthres2c.r (𝜑𝑆𝑉)
ffthres2c.1 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
Assertion
Ref Expression
ffthres2c (𝜑 → (𝐹((𝐶 Full 𝐷) ∩ (𝐶 Faith 𝐷))𝐺𝐹((𝐶 Full 𝐸) ∩ (𝐶 Faith 𝐸))𝐺))

Proof of Theorem ffthres2c
StepHypRef Expression
1 ffthres2c.a . . . 4 𝐴 = (Base‘𝐶)
2 ffthres2c.e . . . 4 𝐸 = (𝐷s 𝑆)
3 ffthres2c.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ Cat)
4 ffthres2c.r . . . 4 (𝜑𝑆𝑉)
5 ffthres2c.1 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
61, 2, 3, 4, 5fullres2c 17956 . . 3 (𝜑 → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺𝐹(𝐶 Full 𝐸)𝐺))
71, 2, 3, 4, 5fthres2c 17948 . . 3 (𝜑 → (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺𝐹(𝐶 Faith 𝐸)𝐺))
86, 7anbi12d 630 . 2 (𝜑 → ((𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺) ↔ (𝐹(𝐶 Full 𝐸)𝐺𝐹(𝐶 Faith 𝐸)𝐺)))
9 brin 5197 . 2 (𝐹((𝐶 Full 𝐷) ∩ (𝐶 Faith 𝐷))𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺))
10 brin 5197 . 2 (𝐹((𝐶 Full 𝐸) ∩ (𝐶 Faith 𝐸))𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Full 𝐸)𝐺𝐹(𝐶 Faith 𝐸)𝐺))
118, 9, 103bitr4g 313 1 (𝜑 → (𝐹((𝐶 Full 𝐷) ∩ (𝐶 Faith 𝐷))𝐺𝐹((𝐶 Full 𝐸) ∩ (𝐶 Faith 𝐸))𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  cin 3945   class class class wbr 5145  wf 6542  cfv 6546  (class class class)co 7416  Basecbs 17208  s cress 17237  Catccat 17672   Full cful 17919   Faith cfth 17920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-hom 17285  df-cco 17286  df-cat 17676  df-cid 17677  df-homf 17678  df-comf 17679  df-ssc 17821  df-resc 17822  df-subc 17823  df-func 17872  df-full 17921  df-fth 17922
This theorem is referenced by:  yoniso  18305
  Copyright terms: Public domain W3C validator