MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1cpbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1cpbl 23251
Description: The group operation, loop concatenation, is compatible with homotopy equivalence. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1val.g 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
pi1val.1 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1val.2 (𝜑𝑌𝑋)
pi1bas2.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝐺))
pi1bas3.r 𝑅 = (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))
pi1cpbl.o 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
pi1cpbl.a + = (+g𝑂)
Assertion
Ref Expression
pi1cpbl (𝜑 → ((𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄) → (𝑀 + 𝑃)𝑅(𝑁 + 𝑄)))

Proof of Theorem pi1cpbl
StepHypRef Expression
1 pi1cpbl.o . . . . 5 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
2 pi1val.1 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
32adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
4 pi1val.2 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑋)
54adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → 𝑌𝑋)
6 pi1val.g . . . . . 6 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
7 pi1bas2.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐺))
87adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → 𝐵 = (Base‘𝐺))
9 eqidd 2779 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂))
106, 3, 5, 1, 8, 9pi1buni 23247 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → 𝐵 = (Base‘𝑂))
11 simprl 761 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → 𝑀𝑅𝑁)
12 pi1bas3.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))
1312breqi 4892 . . . . . . . 8 (𝑀𝑅𝑁𝑀(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑁)
14 brinxp2 5426 . . . . . . . 8 (𝑀(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑁 ↔ ((𝑀 𝐵𝑁 𝐵) ∧ 𝑀( ≃ph𝐽)𝑁))
1513, 14bitri 267 . . . . . . 7 (𝑀𝑅𝑁 ↔ ((𝑀 𝐵𝑁 𝐵) ∧ 𝑀( ≃ph𝐽)𝑁))
1611, 15sylib 210 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → ((𝑀 𝐵𝑁 𝐵) ∧ 𝑀( ≃ph𝐽)𝑁))
1716simplld 758 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → 𝑀 𝐵)
18 simprr 763 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → 𝑃𝑅𝑄)
1912breqi 4892 . . . . . . . 8 (𝑃𝑅𝑄𝑃(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑄)
20 brinxp2 5426 . . . . . . . 8 (𝑃(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑄 ↔ ((𝑃 𝐵𝑄 𝐵) ∧ 𝑃( ≃ph𝐽)𝑄))
2119, 20bitri 267 . . . . . . 7 (𝑃𝑅𝑄 ↔ ((𝑃 𝐵𝑄 𝐵) ∧ 𝑃( ≃ph𝐽)𝑄))
2218, 21sylib 210 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → ((𝑃 𝐵𝑄 𝐵) ∧ 𝑃( ≃ph𝐽)𝑄))
2322simplld 758 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → 𝑃 𝐵)
241, 3, 5, 10, 17, 23om1addcl 23240 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (𝑀(*𝑝𝐽)𝑃) ∈ 𝐵)
2516simplrd 760 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → 𝑁 𝐵)
2622simplrd 760 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → 𝑄 𝐵)
271, 3, 5, 10, 25, 26om1addcl 23240 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (𝑁(*𝑝𝐽)𝑄) ∈ 𝐵)
286, 3, 5, 8pi1eluni 23249 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (𝑀 𝐵 ↔ (𝑀 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑀‘0) = 𝑌 ∧ (𝑀‘1) = 𝑌)))
2917, 28mpbid 224 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (𝑀 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑀‘0) = 𝑌 ∧ (𝑀‘1) = 𝑌))
3029simp3d 1135 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (𝑀‘1) = 𝑌)
316, 3, 5, 8pi1eluni 23249 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (𝑃 𝐵 ↔ (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = 𝑌 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌)))
3223, 31mpbid 224 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = 𝑌 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌))
3332simp2d 1134 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (𝑃‘0) = 𝑌)
3430, 33eqtr4d 2817 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (𝑀‘1) = (𝑃‘0))
3516simprd 491 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → 𝑀( ≃ph𝐽)𝑁)
3622simprd 491 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → 𝑃( ≃ph𝐽)𝑄)
3734, 35, 36pcohtpy 23227 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (𝑀(*𝑝𝐽)𝑃)( ≃ph𝐽)(𝑁(*𝑝𝐽)𝑄))
3812breqi 4892 . . . . 5 ((𝑀(*𝑝𝐽)𝑃)𝑅(𝑁(*𝑝𝐽)𝑄) ↔ (𝑀(*𝑝𝐽)𝑃)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))(𝑁(*𝑝𝐽)𝑄))
39 brinxp2 5426 . . . . 5 ((𝑀(*𝑝𝐽)𝑃)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))(𝑁(*𝑝𝐽)𝑄) ↔ (((𝑀(*𝑝𝐽)𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁(*𝑝𝐽)𝑄) ∈ 𝐵) ∧ (𝑀(*𝑝𝐽)𝑃)( ≃ph𝐽)(𝑁(*𝑝𝐽)𝑄)))
4038, 39bitri 267 . . . 4 ((𝑀(*𝑝𝐽)𝑃)𝑅(𝑁(*𝑝𝐽)𝑄) ↔ (((𝑀(*𝑝𝐽)𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁(*𝑝𝐽)𝑄) ∈ 𝐵) ∧ (𝑀(*𝑝𝐽)𝑃)( ≃ph𝐽)(𝑁(*𝑝𝐽)𝑄)))
4124, 27, 37, 40syl21anbrc 1401 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (𝑀(*𝑝𝐽)𝑃)𝑅(𝑁(*𝑝𝐽)𝑄))
421, 3, 5om1plusg 23241 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (*𝑝𝐽) = (+g𝑂))
43 pi1cpbl.a . . . . 5 + = (+g𝑂)
4442, 43syl6eqr 2832 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (*𝑝𝐽) = + )
4544oveqd 6939 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (𝑀(*𝑝𝐽)𝑃) = (𝑀 + 𝑃))
4644oveqd 6939 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (𝑁(*𝑝𝐽)𝑄) = (𝑁 + 𝑄))
4741, 45, 463brtr3d 4917 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (𝑀 + 𝑃)𝑅(𝑁 + 𝑄))
4847ex 403 1 (𝜑 → ((𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄) → (𝑀 + 𝑃)𝑅(𝑁 + 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  cin 3791   cuni 4671   class class class wbr 4886   × cxp 5353  cfv 6135  (class class class)co 6922  0cc0 10272  1c1 10273  Basecbs 16255  +gcplusg 16338  TopOnctopon 21122   Cn ccn 21436  IIcii 23086  phcphtpc 23176  *𝑝cpco 23207   Ω1 comi 23208   π1 cpi1 23210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-ec 8028  df-qs 8032  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-qus 16555  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-ii 23088  df-htpy 23177  df-phtpy 23178  df-phtpc 23199  df-pco 23212  df-om1 23213  df-pi1 23215
This theorem is referenced by:  pi1addf  23254  pi1addval  23255  pi1grplem  23256
  Copyright terms: Public domain W3C validator