MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1cpbl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pi1cpbl 24792
Description: The group operation, loop concatenation, is compatible with homotopy equivalence. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1val.g 𝐺 = (𝐽 Ο€1 π‘Œ)
pi1val.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
pi1val.2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
pi1bas2.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ))
pi1bas3.r 𝑅 = (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))
pi1cpbl.o 𝑂 = (𝐽 Ξ©1 π‘Œ)
pi1cpbl.a + = (+gβ€˜π‘‚)
Assertion
Ref Expression
pi1cpbl (πœ‘ β†’ ((𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄) β†’ (𝑀 + 𝑃)𝑅(𝑁 + 𝑄)))
Proof of Theorem pi1cpbl
StepHypRef Expression
1 pi1cpbl.o . . . . 5 𝑂 = (𝐽 Ξ©1 π‘Œ)
2 pi1val.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
32adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
4 pi1val.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
54adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
6 pi1val.g . . . . . 6 𝐺 = (𝐽 Ο€1 π‘Œ)
7 pi1bas2.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ))
87adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ))
9 eqidd 2732 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ (Baseβ€˜π‘‚) = (Baseβ€˜π‘‚))
106, 3, 5, 1, 8, 9pi1buni 24788 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ βˆͺ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘‚))
11 simprl 768 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ 𝑀𝑅𝑁)
12 pi1bas3.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))
1312breqi 5154 . . . . . . . 8 (𝑀𝑅𝑁 ↔ 𝑀(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))𝑁)
14 brinxp2 5753 . . . . . . . 8 (𝑀(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))𝑁 ↔ ((𝑀 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ βˆͺ 𝐡) ∧ 𝑀( ≃phβ€˜π½)𝑁))
1513, 14bitri 275 . . . . . . 7 (𝑀𝑅𝑁 ↔ ((𝑀 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ βˆͺ 𝐡) ∧ 𝑀( ≃phβ€˜π½)𝑁))
1611, 15sylib 217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ ((𝑀 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ βˆͺ 𝐡) ∧ 𝑀( ≃phβ€˜π½)𝑁))
1716simplld 765 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ 𝐡)
18 simprr 770 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ 𝑃𝑅𝑄)
1912breqi 5154 . . . . . . . 8 (𝑃𝑅𝑄 ↔ 𝑃(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))𝑄)
20 brinxp2 5753 . . . . . . . 8 (𝑃(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))𝑄 ↔ ((𝑃 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ βˆͺ 𝐡) ∧ 𝑃( ≃phβ€˜π½)𝑄))
2119, 20bitri 275 . . . . . . 7 (𝑃𝑅𝑄 ↔ ((𝑃 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ βˆͺ 𝐡) ∧ 𝑃( ≃phβ€˜π½)𝑄))
2218, 21sylib 217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ ((𝑃 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ βˆͺ 𝐡) ∧ 𝑃( ≃phβ€˜π½)𝑄))
2322simplld 765 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝐡)
241, 3, 5, 10, 17, 23om1addcl 24781 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ (𝑀(*π‘β€˜π½)𝑃) ∈ βˆͺ 𝐡)
2516simplrd 767 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ 𝑁 ∈ βˆͺ 𝐡)
2622simplrd 767 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ 𝑄 ∈ βˆͺ 𝐡)
271, 3, 5, 10, 25, 26om1addcl 24781 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ (𝑁(*π‘β€˜π½)𝑄) ∈ βˆͺ 𝐡)
286, 3, 5, 8pi1eluni 24790 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ (𝑀 ∈ βˆͺ 𝐡 ↔ (𝑀 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘€β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘€β€˜1) = π‘Œ)))
2917, 28mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ (𝑀 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘€β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘€β€˜1) = π‘Œ))
3029simp3d 1143 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ (π‘€β€˜1) = π‘Œ)
316, 3, 5, 8pi1eluni 24790 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐡 ↔ (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘ƒβ€˜1) = π‘Œ)))
3223, 31mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘ƒβ€˜1) = π‘Œ))
3332simp2d 1142 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) = π‘Œ)
3430, 33eqtr4d 2774 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ (π‘€β€˜1) = (π‘ƒβ€˜0))
3516simprd 495 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ 𝑀( ≃phβ€˜π½)𝑁)
3622simprd 495 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ 𝑃( ≃phβ€˜π½)𝑄)
3734, 35, 36pcohtpy 24768 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ (𝑀(*π‘β€˜π½)𝑃)( ≃phβ€˜π½)(𝑁(*π‘β€˜π½)𝑄))
3812breqi 5154 . . . . 5 ((𝑀(*π‘β€˜π½)𝑃)𝑅(𝑁(*π‘β€˜π½)𝑄) ↔ (𝑀(*π‘β€˜π½)𝑃)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))(𝑁(*π‘β€˜π½)𝑄))
39 brinxp2 5753 . . . . 5 ((𝑀(*π‘β€˜π½)𝑃)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))(𝑁(*π‘β€˜π½)𝑄) ↔ (((𝑀(*π‘β€˜π½)𝑃) ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ (𝑁(*π‘β€˜π½)𝑄) ∈ βˆͺ 𝐡) ∧ (𝑀(*π‘β€˜π½)𝑃)( ≃phβ€˜π½)(𝑁(*π‘β€˜π½)𝑄)))
4038, 39bitri 275 . . . 4 ((𝑀(*π‘β€˜π½)𝑃)𝑅(𝑁(*π‘β€˜π½)𝑄) ↔ (((𝑀(*π‘β€˜π½)𝑃) ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ (𝑁(*π‘β€˜π½)𝑄) ∈ βˆͺ 𝐡) ∧ (𝑀(*π‘β€˜π½)𝑃)( ≃phβ€˜π½)(𝑁(*π‘β€˜π½)𝑄)))
4124, 27, 37, 40syl21anbrc 1343 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ (𝑀(*π‘β€˜π½)𝑃)𝑅(𝑁(*π‘β€˜π½)𝑄))
421, 3, 5om1plusg 24782 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ (*π‘β€˜π½) = (+gβ€˜π‘‚))
43 pi1cpbl.a . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘‚)
4442, 43eqtr4di 2789 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ (*π‘β€˜π½) = + )
4544oveqd 7429 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ (𝑀(*π‘β€˜π½)𝑃) = (𝑀 + 𝑃))
4644oveqd 7429 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ (𝑁(*π‘β€˜π½)𝑄) = (𝑁 + 𝑄))
4741, 45, 463brtr3d 5179 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄)) β†’ (𝑀 + 𝑃)𝑅(𝑁 + 𝑄))
4847ex 412 1 (πœ‘ β†’ ((𝑀𝑅𝑁 ∧ 𝑃𝑅𝑄) β†’ (𝑀 + 𝑃)𝑅(𝑁 + 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3947  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11113  1c1 11114  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  TopOnctopon 22633   Cn ccn 22949  IIcii 24616   ≃phcphtpc 24716  *𝑝cpco 24748   Ξ©1 comi 24749   Ο€1 cpi1 24751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-ec 8708  df-qs 8712  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-qus 17460  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-ii 24618  df-htpy 24717  df-phtpy 24718  df-phtpc 24739  df-pco 24753  df-om1 24754  df-pi1 24756
This theorem is referenced by:  pi1addf  24795  pi1addval  24796  pi1grplem  24797
  Copyright terms: Public domain W3C validator