MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1cpbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1cpbl 24977
Description: The group operation, loop concatenation, is compatible with homotopy equivalence. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1val.g 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
pi1val.1 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1val.2 (𝜑𝑌𝑋)
pi1bas2.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝐺))
pi1bas3.r 𝑅 = (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))
pi1cpbl.o 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
pi1cpbl.a + = (+g𝑂)
Assertion
Ref Expression
pi1cpbl (𝜑 → ((𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄) → (𝑀 + 𝑃)𝑅(𝑁 + 𝑄)))

Proof of Theorem pi1cpbl
StepHypRef Expression
1 pi1cpbl.o . . . . 5 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
2 pi1val.1 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
32adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
4 pi1val.2 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑋)
54adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → 𝑌𝑋)
6 pi1val.g . . . . . 6 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
7 pi1bas2.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐺))
87adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → 𝐵 = (Base‘𝐺))
9 eqidd 2732 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂))
106, 3, 5, 1, 8, 9pi1buni 24973 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → 𝐵 = (Base‘𝑂))
11 simprl 770 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → 𝑀𝑅𝑁)
12 pi1bas3.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))
1312breqi 5099 . . . . . . . 8 (𝑀𝑅𝑁𝑀(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑁)
14 brinxp2 5697 . . . . . . . 8 (𝑀(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑁 ↔ ((𝑀 𝐵𝑁 𝐵) ∧ 𝑀( ≃ph𝐽)𝑁))
1513, 14bitri 275 . . . . . . 7 (𝑀𝑅𝑁 ↔ ((𝑀 𝐵𝑁 𝐵) ∧ 𝑀( ≃ph𝐽)𝑁))
1611, 15sylib 218 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → ((𝑀 𝐵𝑁 𝐵) ∧ 𝑀( ≃ph𝐽)𝑁))
1716simplld 767 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → 𝑀 𝐵)
18 simprr 772 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → 𝑃𝑅𝑄)
1912breqi 5099 . . . . . . . 8 (𝑃𝑅𝑄𝑃(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑄)
20 brinxp2 5697 . . . . . . . 8 (𝑃(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑄 ↔ ((𝑃 𝐵𝑄 𝐵) ∧ 𝑃( ≃ph𝐽)𝑄))
2119, 20bitri 275 . . . . . . 7 (𝑃𝑅𝑄 ↔ ((𝑃 𝐵𝑄 𝐵) ∧ 𝑃( ≃ph𝐽)𝑄))
2218, 21sylib 218 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → ((𝑃 𝐵𝑄 𝐵) ∧ 𝑃( ≃ph𝐽)𝑄))
2322simplld 767 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → 𝑃 𝐵)
241, 3, 5, 10, 17, 23om1addcl 24966 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (𝑀(*𝑝𝐽)𝑃) ∈ 𝐵)
2516simplrd 769 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → 𝑁 𝐵)
2622simplrd 769 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → 𝑄 𝐵)
271, 3, 5, 10, 25, 26om1addcl 24966 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (𝑁(*𝑝𝐽)𝑄) ∈ 𝐵)
286, 3, 5, 8pi1eluni 24975 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (𝑀 𝐵 ↔ (𝑀 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑀‘0) = 𝑌 ∧ (𝑀‘1) = 𝑌)))
2917, 28mpbid 232 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (𝑀 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑀‘0) = 𝑌 ∧ (𝑀‘1) = 𝑌))
3029simp3d 1144 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (𝑀‘1) = 𝑌)
316, 3, 5, 8pi1eluni 24975 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (𝑃 𝐵 ↔ (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = 𝑌 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌)))
3223, 31mpbid 232 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = 𝑌 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌))
3332simp2d 1143 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (𝑃‘0) = 𝑌)
3430, 33eqtr4d 2769 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (𝑀‘1) = (𝑃‘0))
3516simprd 495 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → 𝑀( ≃ph𝐽)𝑁)
3622simprd 495 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → 𝑃( ≃ph𝐽)𝑄)
3734, 35, 36pcohtpy 24953 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (𝑀(*𝑝𝐽)𝑃)( ≃ph𝐽)(𝑁(*𝑝𝐽)𝑄))
3812breqi 5099 . . . . 5 ((𝑀(*𝑝𝐽)𝑃)𝑅(𝑁(*𝑝𝐽)𝑄) ↔ (𝑀(*𝑝𝐽)𝑃)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))(𝑁(*𝑝𝐽)𝑄))
39 brinxp2 5697 . . . . 5 ((𝑀(*𝑝𝐽)𝑃)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))(𝑁(*𝑝𝐽)𝑄) ↔ (((𝑀(*𝑝𝐽)𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁(*𝑝𝐽)𝑄) ∈ 𝐵) ∧ (𝑀(*𝑝𝐽)𝑃)( ≃ph𝐽)(𝑁(*𝑝𝐽)𝑄)))
4038, 39bitri 275 . . . 4 ((𝑀(*𝑝𝐽)𝑃)𝑅(𝑁(*𝑝𝐽)𝑄) ↔ (((𝑀(*𝑝𝐽)𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁(*𝑝𝐽)𝑄) ∈ 𝐵) ∧ (𝑀(*𝑝𝐽)𝑃)( ≃ph𝐽)(𝑁(*𝑝𝐽)𝑄)))
4124, 27, 37, 40syl21anbrc 1345 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (𝑀(*𝑝𝐽)𝑃)𝑅(𝑁(*𝑝𝐽)𝑄))
421, 3, 5om1plusg 24967 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (*𝑝𝐽) = (+g𝑂))
43 pi1cpbl.a . . . . 5 + = (+g𝑂)
4442, 43eqtr4di 2784 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (*𝑝𝐽) = + )
4544oveqd 7369 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (𝑀(*𝑝𝐽)𝑃) = (𝑀 + 𝑃))
4644oveqd 7369 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (𝑁(*𝑝𝐽)𝑄) = (𝑁 + 𝑄))
4741, 45, 463brtr3d 5124 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄)) → (𝑀 + 𝑃)𝑅(𝑁 + 𝑄))
4847ex 412 1 (𝜑 → ((𝑀𝑅𝑁𝑃𝑅𝑄) → (𝑀 + 𝑃)𝑅(𝑁 + 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1541  wcel 2111  cin 3896   cuni 4858   class class class wbr 5093   × cxp 5617  cfv 6487  (class class class)co 7352  0cc0 11012  1c1 11013  Basecbs 17126  +gcplusg 17167  TopOnctopon 22831   Cn ccn 23145  IIcii 24801  phcphtpc 24901  *𝑝cpco 24933   Ω1 comi 24934   π1 cpi1 24936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-ec 8630  df-qs 8634  df-map 8758  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-ioo 13255  df-icc 13258  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-seq 13915  df-exp 13975  df-hash 14244  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-starv 17182  df-sca 17183  df-vsca 17184  df-ip 17185  df-tset 17186  df-ple 17187  df-ds 17189  df-unif 17190  df-hom 17191  df-cco 17192  df-rest 17332  df-topn 17333  df-0g 17351  df-gsum 17352  df-topgen 17353  df-pt 17354  df-prds 17357  df-xrs 17412  df-qtop 17417  df-imas 17418  df-qus 17419  df-xps 17420  df-mre 17494  df-mrc 17495  df-acs 17497  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-submnd 18698  df-mulg 18987  df-cntz 19235  df-cmn 19700  df-psmet 21289  df-xmet 21290  df-met 21291  df-bl 21292  df-mopn 21293  df-cnfld 21298  df-top 22815  df-topon 22832  df-topsp 22854  df-bases 22867  df-cld 22940  df-cn 23148  df-cnp 23149  df-tx 23483  df-hmeo 23676  df-xms 24241  df-ms 24242  df-tms 24243  df-ii 24803  df-htpy 24902  df-phtpy 24903  df-phtpc 24924  df-pco 24938  df-om1 24939  df-pi1 24941
This theorem is referenced by:  pi1addf  24980  pi1addval  24981  pi1grplem  24982
  Copyright terms: Public domain W3C validator