MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nqerf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nqerf 10089
Description: Corollary of nqereu 10088: the function [Q] is actually a function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqerf [Q]:(N × N)⟶Q

Proof of Theorem nqerf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-erq 10072 . . . . . . 7 [Q] = ( ~Q ∩ ((N × N) × Q))
2 inss2 4054 . . . . . . 7 ( ~Q ∩ ((N × N) × Q)) ⊆ ((N × N) × Q)
31, 2eqsstri 3854 . . . . . 6 [Q] ⊆ ((N × N) × Q)
4 xpss 5373 . . . . . 6 ((N × N) × Q) ⊆ (V × V)
53, 4sstri 3830 . . . . 5 [Q] ⊆ (V × V)
6 df-rel 5364 . . . . 5 (Rel [Q] ↔ [Q] ⊆ (V × V))
75, 6mpbir 223 . . . 4 Rel [Q]
8 nqereu 10088 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (N × N) → ∃!𝑦Q 𝑦 ~Q 𝑥)
9 df-reu 3097 . . . . . . . . 9 (∃!𝑦Q 𝑦 ~Q 𝑥 ↔ ∃!𝑦(𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥))
10 eumo 2598 . . . . . . . . 9 (∃!𝑦(𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥) → ∃*𝑦(𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥))
119, 10sylbi 209 . . . . . . . 8 (∃!𝑦Q 𝑦 ~Q 𝑥 → ∃*𝑦(𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥))
128, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (N × N) → ∃*𝑦(𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥))
13 moanimv 2654 . . . . . . 7 (∃*𝑦(𝑥 ∈ (N × N) ∧ (𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (N × N) → ∃*𝑦(𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥)))
1412, 13mpbir 223 . . . . . 6 ∃*𝑦(𝑥 ∈ (N × N) ∧ (𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥))
153brel 5416 . . . . . . . . 9 (𝑥[Q]𝑦 → (𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q))
1615simpld 490 . . . . . . . 8 (𝑥[Q]𝑦𝑥 ∈ (N × N))
1715simprd 491 . . . . . . . 8 (𝑥[Q]𝑦𝑦Q)
18 enqer 10080 . . . . . . . . . 10 ~Q Er (N × N)
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥[Q]𝑦 → ~Q Er (N × N))
20 inss1 4053 . . . . . . . . . . 11 ( ~Q ∩ ((N × N) × Q)) ⊆ ~Q
211, 20eqsstri 3854 . . . . . . . . . 10 [Q] ⊆ ~Q
2221ssbri 4933 . . . . . . . . 9 (𝑥[Q]𝑦𝑥 ~Q 𝑦)
2319, 22ersym 8040 . . . . . . . 8 (𝑥[Q]𝑦𝑦 ~Q 𝑥)
2416, 17, 23jca32 511 . . . . . . 7 (𝑥[Q]𝑦 → (𝑥 ∈ (N × N) ∧ (𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥)))
2524moimi 2557 . . . . . 6 (∃*𝑦(𝑥 ∈ (N × N) ∧ (𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥)) → ∃*𝑦 𝑥[Q]𝑦)
2614, 25ax-mp 5 . . . . 5 ∃*𝑦 𝑥[Q]𝑦
2726ax-gen 1839 . . . 4 𝑥∃*𝑦 𝑥[Q]𝑦
28 dffun6 6152 . . . 4 (Fun [Q] ↔ (Rel [Q] ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥[Q]𝑦))
297, 27, 28mpbir2an 701 . . 3 Fun [Q]
30 dmss 5570 . . . . . 6 ([Q] ⊆ ((N × N) × Q) → dom [Q] ⊆ dom ((N × N) × Q))
313, 30ax-mp 5 . . . . 5 dom [Q] ⊆ dom ((N × N) × Q)
32 1nq 10087 . . . . . 6 1QQ
33 ne0i 4149 . . . . . 6 (1QQQ ≠ ∅)
34 dmxp 5591 . . . . . 6 (Q ≠ ∅ → dom ((N × N) × Q) = (N × N))
3532, 33, 34mp2b 10 . . . . 5 dom ((N × N) × Q) = (N × N)
3631, 35sseqtri 3856 . . . 4 dom [Q] ⊆ (N × N)
37 reurex 3356 . . . . . . . 8 (∃!𝑦Q 𝑦 ~Q 𝑥 → ∃𝑦Q 𝑦 ~Q 𝑥)
38 simpll 757 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q) ∧ 𝑦 ~Q 𝑥) → 𝑥 ∈ (N × N))
39 simplr 759 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q) ∧ 𝑦 ~Q 𝑥) → 𝑦Q)
4018a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q) ∧ 𝑦 ~Q 𝑥) → ~Q Er (N × N))
41 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q) ∧ 𝑦 ~Q 𝑥) → 𝑦 ~Q 𝑥)
4240, 41ersym 8040 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q) ∧ 𝑦 ~Q 𝑥) → 𝑥 ~Q 𝑦)
431breqi 4894 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥[Q]𝑦𝑥( ~Q ∩ ((N × N) × Q))𝑦)
44 brinxp2 5428 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥( ~Q ∩ ((N × N) × Q))𝑦 ↔ ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q) ∧ 𝑥 ~Q 𝑦))
4543, 44bitri 267 . . . . . . . . . . 11 (𝑥[Q]𝑦 ↔ ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q) ∧ 𝑥 ~Q 𝑦))
4638, 39, 42, 45syl21anbrc 1401 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q) ∧ 𝑦 ~Q 𝑥) → 𝑥[Q]𝑦)
4746ex 403 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q) → (𝑦 ~Q 𝑥𝑥[Q]𝑦))
4847reximdva 3198 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (N × N) → (∃𝑦Q 𝑦 ~Q 𝑥 → ∃𝑦Q 𝑥[Q]𝑦))
49 rexex 3183 . . . . . . . 8 (∃𝑦Q 𝑥[Q]𝑦 → ∃𝑦 𝑥[Q]𝑦)
5037, 48, 49syl56 36 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (N × N) → (∃!𝑦Q 𝑦 ~Q 𝑥 → ∃𝑦 𝑥[Q]𝑦))
518, 50mpd 15 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (N × N) → ∃𝑦 𝑥[Q]𝑦)
52 vex 3401 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
5352eldm 5568 . . . . . 6 (𝑥 ∈ dom [Q] ↔ ∃𝑦 𝑥[Q]𝑦)
5451, 53sylibr 226 . . . . 5 (𝑥 ∈ (N × N) → 𝑥 ∈ dom [Q])
5554ssriv 3825 . . . 4 (N × N) ⊆ dom [Q]
5636, 55eqssi 3837 . . 3 dom [Q] = (N × N)
57 df-fn 6140 . . 3 ([Q] Fn (N × N) ↔ (Fun [Q] ∧ dom [Q] = (N × N)))
5829, 56, 57mpbir2an 701 . 2 [Q] Fn (N × N)
593rnssi 5602 . . 3 ran [Q] ⊆ ran ((N × N) × Q)
60 rnxpss 5822 . . 3 ran ((N × N) × Q) ⊆ Q
6159, 60sstri 3830 . 2 ran [Q] ⊆ Q
62 df-f 6141 . 2 ([Q]:(N × N)⟶Q ↔ ([Q] Fn (N × N) ∧ ran [Q] ⊆ Q))
6358, 61, 62mpbir2an 701 1 [Q]:(N × N)⟶Q
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wal 1599   = wceq 1601  wex 1823  wcel 2107  ∃*wmo 2549  ∃!weu 2586  wne 2969  wrex 3091  ∃!wreu 3092  Vcvv 3398  cin 3791  wss 3792  c0 4141   class class class wbr 4888   × cxp 5355  dom cdm 5357  ran crn 5358  Rel wrel 5362  Fun wfun 6131   Fn wfn 6132  wf 6133   Er wer 8025  Ncnpi 10003   ~Q ceq 10010  Qcnq 10011  1Qc1q 10012  [Q]cerq 10013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-omul 7850  df-er 8028  df-ni 10031  df-mi 10033  df-lti 10034  df-enq 10070  df-nq 10071  df-erq 10072  df-1nq 10075
This theorem is referenced by:  nqercl  10090  nqerrel  10091  nqerid  10092  addnqf  10107  mulnqf  10108  adderpq  10115  mulerpq  10116  lterpq  10129
  Copyright terms: Public domain W3C validator