MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nqerf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nqerf 10973
Description: Corollary of nqereu 10972: the function [Q] is actually a function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqerf [Q]:(N × N)⟶Q

Proof of Theorem nqerf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-erq 10956 . . . . . . 7 [Q] = ( ~Q ∩ ((N × N) × Q))
2 inss2 4231 . . . . . . 7 ( ~Q ∩ ((N × N) × Q)) ⊆ ((N × N) × Q)
31, 2eqsstri 4014 . . . . . 6 [Q] ⊆ ((N × N) × Q)
4 xpss 5698 . . . . . 6 ((N × N) × Q) ⊆ (V × V)
53, 4sstri 3989 . . . . 5 [Q] ⊆ (V × V)
6 df-rel 5689 . . . . 5 (Rel [Q] ↔ [Q] ⊆ (V × V))
75, 6mpbir 230 . . . 4 Rel [Q]
8 nqereu 10972 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (N × N) → ∃!𝑦Q 𝑦 ~Q 𝑥)
9 df-reu 3365 . . . . . . . . 9 (∃!𝑦Q 𝑦 ~Q 𝑥 ↔ ∃!𝑦(𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥))
10 eumo 2567 . . . . . . . . 9 (∃!𝑦(𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥) → ∃*𝑦(𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥))
119, 10sylbi 216 . . . . . . . 8 (∃!𝑦Q 𝑦 ~Q 𝑥 → ∃*𝑦(𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥))
128, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (N × N) → ∃*𝑦(𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥))
13 moanimv 2608 . . . . . . 7 (∃*𝑦(𝑥 ∈ (N × N) ∧ (𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (N × N) → ∃*𝑦(𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥)))
1412, 13mpbir 230 . . . . . 6 ∃*𝑦(𝑥 ∈ (N × N) ∧ (𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥))
153brel 5747 . . . . . . . . 9 (𝑥[Q]𝑦 → (𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q))
1615simpld 493 . . . . . . . 8 (𝑥[Q]𝑦𝑥 ∈ (N × N))
1715simprd 494 . . . . . . . 8 (𝑥[Q]𝑦𝑦Q)
18 enqer 10964 . . . . . . . . . 10 ~Q Er (N × N)
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥[Q]𝑦 → ~Q Er (N × N))
20 inss1 4230 . . . . . . . . . . 11 ( ~Q ∩ ((N × N) × Q)) ⊆ ~Q
211, 20eqsstri 4014 . . . . . . . . . 10 [Q] ⊆ ~Q
2221ssbri 5198 . . . . . . . . 9 (𝑥[Q]𝑦𝑥 ~Q 𝑦)
2319, 22ersym 8746 . . . . . . . 8 (𝑥[Q]𝑦𝑦 ~Q 𝑥)
2416, 17, 23jca32 514 . . . . . . 7 (𝑥[Q]𝑦 → (𝑥 ∈ (N × N) ∧ (𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥)))
2524moimi 2534 . . . . . 6 (∃*𝑦(𝑥 ∈ (N × N) ∧ (𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥)) → ∃*𝑦 𝑥[Q]𝑦)
2614, 25ax-mp 5 . . . . 5 ∃*𝑦 𝑥[Q]𝑦
2726ax-gen 1790 . . . 4 𝑥∃*𝑦 𝑥[Q]𝑦
28 dffun6 6567 . . . 4 (Fun [Q] ↔ (Rel [Q] ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥[Q]𝑦))
297, 27, 28mpbir2an 709 . . 3 Fun [Q]
30 dmss 5909 . . . . . 6 ([Q] ⊆ ((N × N) × Q) → dom [Q] ⊆ dom ((N × N) × Q))
313, 30ax-mp 5 . . . . 5 dom [Q] ⊆ dom ((N × N) × Q)
32 1nq 10971 . . . . . 6 1QQ
33 ne0i 4337 . . . . . 6 (1QQQ ≠ ∅)
34 dmxp 5935 . . . . . 6 (Q ≠ ∅ → dom ((N × N) × Q) = (N × N))
3532, 33, 34mp2b 10 . . . . 5 dom ((N × N) × Q) = (N × N)
3631, 35sseqtri 4016 . . . 4 dom [Q] ⊆ (N × N)
37 reurex 3368 . . . . . . . 8 (∃!𝑦Q 𝑦 ~Q 𝑥 → ∃𝑦Q 𝑦 ~Q 𝑥)
38 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q) ∧ 𝑦 ~Q 𝑥) → 𝑥 ∈ (N × N))
39 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q) ∧ 𝑦 ~Q 𝑥) → 𝑦Q)
4018a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q) ∧ 𝑦 ~Q 𝑥) → ~Q Er (N × N))
41 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q) ∧ 𝑦 ~Q 𝑥) → 𝑦 ~Q 𝑥)
4240, 41ersym 8746 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q) ∧ 𝑦 ~Q 𝑥) → 𝑥 ~Q 𝑦)
431breqi 5159 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥[Q]𝑦𝑥( ~Q ∩ ((N × N) × Q))𝑦)
44 brinxp2 5759 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥( ~Q ∩ ((N × N) × Q))𝑦 ↔ ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q) ∧ 𝑥 ~Q 𝑦))
4543, 44bitri 274 . . . . . . . . . . 11 (𝑥[Q]𝑦 ↔ ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q) ∧ 𝑥 ~Q 𝑦))
4638, 39, 42, 45syl21anbrc 1341 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q) ∧ 𝑦 ~Q 𝑥) → 𝑥[Q]𝑦)
4746ex 411 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q) → (𝑦 ~Q 𝑥𝑥[Q]𝑦))
4847reximdva 3158 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (N × N) → (∃𝑦Q 𝑦 ~Q 𝑥 → ∃𝑦Q 𝑥[Q]𝑦))
49 rexex 3066 . . . . . . . 8 (∃𝑦Q 𝑥[Q]𝑦 → ∃𝑦 𝑥[Q]𝑦)
5037, 48, 49syl56 36 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (N × N) → (∃!𝑦Q 𝑦 ~Q 𝑥 → ∃𝑦 𝑥[Q]𝑦))
518, 50mpd 15 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (N × N) → ∃𝑦 𝑥[Q]𝑦)
52 vex 3466 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
5352eldm 5907 . . . . . 6 (𝑥 ∈ dom [Q] ↔ ∃𝑦 𝑥[Q]𝑦)
5451, 53sylibr 233 . . . . 5 (𝑥 ∈ (N × N) → 𝑥 ∈ dom [Q])
5554ssriv 3983 . . . 4 (N × N) ⊆ dom [Q]
5636, 55eqssi 3996 . . 3 dom [Q] = (N × N)
57 df-fn 6557 . . 3 ([Q] Fn (N × N) ↔ (Fun [Q] ∧ dom [Q] = (N × N)))
5829, 56, 57mpbir2an 709 . 2 [Q] Fn (N × N)
593rnssi 5946 . . 3 ran [Q] ⊆ ran ((N × N) × Q)
60 rnxpss 6183 . . 3 ran ((N × N) × Q) ⊆ Q
6159, 60sstri 3989 . 2 ran [Q] ⊆ Q
62 df-f 6558 . 2 ([Q]:(N × N)⟶Q ↔ ([Q] Fn (N × N) ∧ ran [Q] ⊆ Q))
6358, 61, 62mpbir2an 709 1 [Q]:(N × N)⟶Q
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wal 1532   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  ∃*wmo 2527  ∃!weu 2557  wne 2930  wrex 3060  ∃!wreu 3362  Vcvv 3462  cin 3946  wss 3947  c0 4325   class class class wbr 5153   × cxp 5680  dom cdm 5682  ran crn 5683  Rel wrel 5687  Fun wfun 6548   Fn wfn 6549  wf 6550   Er wer 8731  Ncnpi 10887   ~Q ceq 10894  Qcnq 10895  1Qc1q 10896  [Q]cerq 10897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-oadd 8500  df-omul 8501  df-er 8734  df-ni 10915  df-mi 10917  df-lti 10918  df-enq 10954  df-nq 10955  df-erq 10956  df-1nq 10959
This theorem is referenced by:  nqercl  10974  nqerrel  10975  nqerid  10976  addnqf  10991  mulnqf  10992  adderpq  10999  mulerpq  11000  lterpq  11013
  Copyright terms: Public domain W3C validator