MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nqerf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nqerf 10967
Description: Corollary of nqereu 10966: the function [Q] is actually a function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqerf [Q]:(N × N)⟶Q

Proof of Theorem nqerf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-erq 10950 . . . . . . 7 [Q] = ( ~Q ∩ ((N × N) × Q))
2 inss2 4245 . . . . . . 7 ( ~Q ∩ ((N × N) × Q)) ⊆ ((N × N) × Q)
31, 2eqsstri 4029 . . . . . 6 [Q] ⊆ ((N × N) × Q)
4 xpss 5704 . . . . . 6 ((N × N) × Q) ⊆ (V × V)
53, 4sstri 4004 . . . . 5 [Q] ⊆ (V × V)
6 df-rel 5695 . . . . 5 (Rel [Q] ↔ [Q] ⊆ (V × V))
75, 6mpbir 231 . . . 4 Rel [Q]
8 nqereu 10966 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (N × N) → ∃!𝑦Q 𝑦 ~Q 𝑥)
9 df-reu 3378 . . . . . . . . 9 (∃!𝑦Q 𝑦 ~Q 𝑥 ↔ ∃!𝑦(𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥))
10 eumo 2575 . . . . . . . . 9 (∃!𝑦(𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥) → ∃*𝑦(𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥))
119, 10sylbi 217 . . . . . . . 8 (∃!𝑦Q 𝑦 ~Q 𝑥 → ∃*𝑦(𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥))
128, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (N × N) → ∃*𝑦(𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥))
13 moanimv 2616 . . . . . . 7 (∃*𝑦(𝑥 ∈ (N × N) ∧ (𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (N × N) → ∃*𝑦(𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥)))
1412, 13mpbir 231 . . . . . 6 ∃*𝑦(𝑥 ∈ (N × N) ∧ (𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥))
153brel 5753 . . . . . . . . 9 (𝑥[Q]𝑦 → (𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q))
1615simpld 494 . . . . . . . 8 (𝑥[Q]𝑦𝑥 ∈ (N × N))
1715simprd 495 . . . . . . . 8 (𝑥[Q]𝑦𝑦Q)
18 enqer 10958 . . . . . . . . . 10 ~Q Er (N × N)
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥[Q]𝑦 → ~Q Er (N × N))
20 inss1 4244 . . . . . . . . . . 11 ( ~Q ∩ ((N × N) × Q)) ⊆ ~Q
211, 20eqsstri 4029 . . . . . . . . . 10 [Q] ⊆ ~Q
2221ssbri 5192 . . . . . . . . 9 (𝑥[Q]𝑦𝑥 ~Q 𝑦)
2319, 22ersym 8755 . . . . . . . 8 (𝑥[Q]𝑦𝑦 ~Q 𝑥)
2416, 17, 23jca32 515 . . . . . . 7 (𝑥[Q]𝑦 → (𝑥 ∈ (N × N) ∧ (𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥)))
2524moimi 2542 . . . . . 6 (∃*𝑦(𝑥 ∈ (N × N) ∧ (𝑦Q𝑦 ~Q 𝑥)) → ∃*𝑦 𝑥[Q]𝑦)
2614, 25ax-mp 5 . . . . 5 ∃*𝑦 𝑥[Q]𝑦
2726ax-gen 1791 . . . 4 𝑥∃*𝑦 𝑥[Q]𝑦
28 dffun6 6575 . . . 4 (Fun [Q] ↔ (Rel [Q] ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥[Q]𝑦))
297, 27, 28mpbir2an 711 . . 3 Fun [Q]
30 dmss 5915 . . . . . 6 ([Q] ⊆ ((N × N) × Q) → dom [Q] ⊆ dom ((N × N) × Q))
313, 30ax-mp 5 . . . . 5 dom [Q] ⊆ dom ((N × N) × Q)
32 1nq 10965 . . . . . 6 1QQ
33 ne0i 4346 . . . . . 6 (1QQQ ≠ ∅)
34 dmxp 5941 . . . . . 6 (Q ≠ ∅ → dom ((N × N) × Q) = (N × N))
3532, 33, 34mp2b 10 . . . . 5 dom ((N × N) × Q) = (N × N)
3631, 35sseqtri 4031 . . . 4 dom [Q] ⊆ (N × N)
37 reurex 3381 . . . . . . . 8 (∃!𝑦Q 𝑦 ~Q 𝑥 → ∃𝑦Q 𝑦 ~Q 𝑥)
38 simpll 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q) ∧ 𝑦 ~Q 𝑥) → 𝑥 ∈ (N × N))
39 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q) ∧ 𝑦 ~Q 𝑥) → 𝑦Q)
4018a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q) ∧ 𝑦 ~Q 𝑥) → ~Q Er (N × N))
41 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q) ∧ 𝑦 ~Q 𝑥) → 𝑦 ~Q 𝑥)
4240, 41ersym 8755 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q) ∧ 𝑦 ~Q 𝑥) → 𝑥 ~Q 𝑦)
431breqi 5153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥[Q]𝑦𝑥( ~Q ∩ ((N × N) × Q))𝑦)
44 brinxp2 5765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥( ~Q ∩ ((N × N) × Q))𝑦 ↔ ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q) ∧ 𝑥 ~Q 𝑦))
4543, 44bitri 275 . . . . . . . . . . 11 (𝑥[Q]𝑦 ↔ ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q) ∧ 𝑥 ~Q 𝑦))
4638, 39, 42, 45syl21anbrc 1343 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q) ∧ 𝑦 ~Q 𝑥) → 𝑥[Q]𝑦)
4746ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦Q) → (𝑦 ~Q 𝑥𝑥[Q]𝑦))
4847reximdva 3165 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (N × N) → (∃𝑦Q 𝑦 ~Q 𝑥 → ∃𝑦Q 𝑥[Q]𝑦))
49 rexex 3073 . . . . . . . 8 (∃𝑦Q 𝑥[Q]𝑦 → ∃𝑦 𝑥[Q]𝑦)
5037, 48, 49syl56 36 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (N × N) → (∃!𝑦Q 𝑦 ~Q 𝑥 → ∃𝑦 𝑥[Q]𝑦))
518, 50mpd 15 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (N × N) → ∃𝑦 𝑥[Q]𝑦)
52 vex 3481 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
5352eldm 5913 . . . . . 6 (𝑥 ∈ dom [Q] ↔ ∃𝑦 𝑥[Q]𝑦)
5451, 53sylibr 234 . . . . 5 (𝑥 ∈ (N × N) → 𝑥 ∈ dom [Q])
5554ssriv 3998 . . . 4 (N × N) ⊆ dom [Q]
5636, 55eqssi 4011 . . 3 dom [Q] = (N × N)
57 df-fn 6565 . . 3 ([Q] Fn (N × N) ↔ (Fun [Q] ∧ dom [Q] = (N × N)))
5829, 56, 57mpbir2an 711 . 2 [Q] Fn (N × N)
593rnssi 5953 . . 3 ran [Q] ⊆ ran ((N × N) × Q)
60 rnxpss 6193 . . 3 ran ((N × N) × Q) ⊆ Q
6159, 60sstri 4004 . 2 ran [Q] ⊆ Q
62 df-f 6566 . 2 ([Q]:(N × N)⟶Q ↔ ([Q] Fn (N × N) ∧ ran [Q] ⊆ Q))
6358, 61, 62mpbir2an 711 1 [Q]:(N × N)⟶Q
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wal 1534   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  ∃*wmo 2535  ∃!weu 2565  wne 2937  wrex 3067  ∃!wreu 3375  Vcvv 3477  cin 3961  wss 3962  c0 4338   class class class wbr 5147   × cxp 5686  dom cdm 5688  ran crn 5689  Rel wrel 5693  Fun wfun 6556   Fn wfn 6557  wf 6558   Er wer 8740  Ncnpi 10881   ~Q ceq 10888  Qcnq 10889  1Qc1q 10890  [Q]cerq 10891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-ni 10909  df-mi 10911  df-lti 10912  df-enq 10948  df-nq 10949  df-erq 10950  df-1nq 10953
This theorem is referenced by:  nqercl  10968  nqerrel  10969  nqerid  10970  addnqf  10985  mulnqf  10986  adderpq  10993  mulerpq  10994  lterpq  11007
  Copyright terms: Public domain W3C validator