Theorem nqerid 10971

Description: Corollary of nqereu 10967: the function [Q] acts as the identity on members of Q. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nqerid	⊢ (𝐴 ∈ Q → ([Q]‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem nqerid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqerf 10968	. . 3 ⊢ [Q]:(N × N)⟶Q
2		ffun 6740	. . 3 ⊢ ([Q]:(N × N)⟶Q → Fun [Q])
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Fun [Q]
4		elpqn 10963	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → 𝐴 ∈ (N × N))
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → 𝐴 ∈ Q)
6		enqer 10959	. . . . 5 ⊢ ~Q Er (N × N)
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ~Q Er (N × N))
8	7, 4	erref 8764	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → 𝐴 ~Q 𝐴)
9		df-erq 10951	. . . . 5 ⊢ [Q] = ( ~Q ∩ ((N × N) × Q))
10	9	breqi 5154	. . . 4 ⊢ (𝐴[Q]𝐴 ↔ 𝐴( ~Q ∩ ((N × N) × Q))𝐴)
11		brinxp2 5766	. . . 4 ⊢ (𝐴( ~Q ∩ ((N × N) × Q))𝐴 ↔ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ 𝐴 ~Q 𝐴))
12	10, 11	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝐴[Q]𝐴 ↔ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ 𝐴 ~Q 𝐴))
13	4, 5, 8, 12	syl21anbrc 1343	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → 𝐴[Q]𝐴)
14		funbrfv 6958	. 2 ⊢ (Fun [Q] → (𝐴[Q]𝐴 → ([Q]‘𝐴) = 𝐴))
15	3, 13, 14	mpsyl 68	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ([Q]‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3962   class class class wbr 5148   × cxp 5687  Fun wfun 6557  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563   Er wer 8741  Ncnpi 10882   ~_Q ceq 10889  Qcnq 10890  [Q]cerq 10892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-ni 10910  df-mi 10912  df-lti 10913  df-enq 10949  df-nq 10950  df-erq 10951  df-1nq 10954

This theorem is referenced by:  addassnq  10996  mulassnq  10997  distrnq  10999  mulidnq  11001  recmulnq  11002  1lt2nq  11011  ltexnq  11013  prlem934  11071