MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nqerid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nqerid 10927
Description: Corollary of nqereu 10923: the function [Q] acts as the identity on members of Q. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqerid (𝐴Q → ([Q]‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem nqerid
StepHypRef Expression
1 nqerf 10924 . . 3 [Q]:(N × N)⟶Q
2 ffun 6720 . . 3 ([Q]:(N × N)⟶Q → Fun [Q])
31, 2ax-mp 5 . 2 Fun [Q]
4 elpqn 10919 . . 3 (𝐴Q𝐴 ∈ (N × N))
5 id 22 . . 3 (𝐴Q𝐴Q)
6 enqer 10915 . . . . 5 ~Q Er (N × N)
76a1i 11 . . . 4 (𝐴Q → ~Q Er (N × N))
87, 4erref 8722 . . 3 (𝐴Q𝐴 ~Q 𝐴)
9 df-erq 10907 . . . . 5 [Q] = ( ~Q ∩ ((N × N) × Q))
109breqi 5154 . . . 4 (𝐴[Q]𝐴𝐴( ~Q ∩ ((N × N) × Q))𝐴)
11 brinxp2 5753 . . . 4 (𝐴( ~Q ∩ ((N × N) × Q))𝐴 ↔ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐴Q) ∧ 𝐴 ~Q 𝐴))
1210, 11bitri 274 . . 3 (𝐴[Q]𝐴 ↔ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐴Q) ∧ 𝐴 ~Q 𝐴))
134, 5, 8, 12syl21anbrc 1344 . 2 (𝐴Q𝐴[Q]𝐴)
14 funbrfv 6942 . 2 (Fun [Q] → (𝐴[Q]𝐴 → ([Q]‘𝐴) = 𝐴))
153, 13, 14mpsyl 68 1 (𝐴Q → ([Q]‘𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cin 3947   class class class wbr 5148   × cxp 5674  Fun wfun 6537  wf 6539  cfv 6543   Er wer 8699  Ncnpi 10838   ~Q ceq 10845  Qcnq 10846  [Q]cerq 10848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-ni 10866  df-mi 10868  df-lti 10869  df-enq 10905  df-nq 10906  df-erq 10907  df-1nq 10910
This theorem is referenced by:  addassnq  10952  mulassnq  10953  distrnq  10955  mulidnq  10957  recmulnq  10958  1lt2nq  10967  ltexnq  10969  prlem934  11027
  Copyright terms: Public domain W3C validator