MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nqerid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nqerid 10973
Description: Corollary of nqereu 10969: the function [Q] acts as the identity on members of Q. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqerid (𝐴Q → ([Q]‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem nqerid
StepHypRef Expression
1 nqerf 10970 . . 3 [Q]:(N × N)⟶Q
2 ffun 6739 . . 3 ([Q]:(N × N)⟶Q → Fun [Q])
31, 2ax-mp 5 . 2 Fun [Q]
4 elpqn 10965 . . 3 (𝐴Q𝐴 ∈ (N × N))
5 id 22 . . 3 (𝐴Q𝐴Q)
6 enqer 10961 . . . . 5 ~Q Er (N × N)
76a1i 11 . . . 4 (𝐴Q → ~Q Er (N × N))
87, 4erref 8765 . . 3 (𝐴Q𝐴 ~Q 𝐴)
9 df-erq 10953 . . . . 5 [Q] = ( ~Q ∩ ((N × N) × Q))
109breqi 5149 . . . 4 (𝐴[Q]𝐴𝐴( ~Q ∩ ((N × N) × Q))𝐴)
11 brinxp2 5763 . . . 4 (𝐴( ~Q ∩ ((N × N) × Q))𝐴 ↔ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐴Q) ∧ 𝐴 ~Q 𝐴))
1210, 11bitri 275 . . 3 (𝐴[Q]𝐴 ↔ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐴Q) ∧ 𝐴 ~Q 𝐴))
134, 5, 8, 12syl21anbrc 1345 . 2 (𝐴Q𝐴[Q]𝐴)
14 funbrfv 6957 . 2 (Fun [Q] → (𝐴[Q]𝐴 → ([Q]‘𝐴) = 𝐴))
153, 13, 14mpsyl 68 1 (𝐴Q → ([Q]‘𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950   class class class wbr 5143   × cxp 5683  Fun wfun 6555  wf 6557  cfv 6561   Er wer 8742  Ncnpi 10884   ~Q ceq 10891  Qcnq 10892  [Q]cerq 10894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ni 10912  df-mi 10914  df-lti 10915  df-enq 10951  df-nq 10952  df-erq 10953  df-1nq 10956
This theorem is referenced by:  addassnq  10998  mulassnq  10999  distrnq  11001  mulidnq  11003  recmulnq  11004  1lt2nq  11013  ltexnq  11015  prlem934  11073
  Copyright terms: Public domain W3C validator