Theorem nqerid 10689

Description: Corollary of nqereu 10685: the function [Q] acts as the identity on members of Q. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nqerid	⊢ (𝐴 ∈ Q → ([Q]‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem nqerid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqerf 10686	. . 3 ⊢ [Q]:(N × N)⟶Q
2		ffun 6603	. . 3 ⊢ ([Q]:(N × N)⟶Q → Fun [Q])
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Fun [Q]
4		elpqn 10681	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → 𝐴 ∈ (N × N))
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → 𝐴 ∈ Q)
6		enqer 10677	. . . . 5 ⊢ ~Q Er (N × N)
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ~Q Er (N × N))
8	7, 4	erref 8518	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → 𝐴 ~Q 𝐴)
9		df-erq 10669	. . . . 5 ⊢ [Q] = ( ~Q ∩ ((N × N) × Q))
10	9	breqi 5080	. . . 4 ⊢ (𝐴[Q]𝐴 ↔ 𝐴( ~Q ∩ ((N × N) × Q))𝐴)
11		brinxp2 5664	. . . 4 ⊢ (𝐴( ~Q ∩ ((N × N) × Q))𝐴 ↔ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ 𝐴 ~Q 𝐴))
12	10, 11	bitri 274	. . 3 ⊢ (𝐴[Q]𝐴 ↔ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ 𝐴 ~Q 𝐴))
13	4, 5, 8, 12	syl21anbrc 1343	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → 𝐴[Q]𝐴)
14		funbrfv 6820	. 2 ⊢ (Fun [Q] → (𝐴[Q]𝐴 → ([Q]‘𝐴) = 𝐴))
15	3, 13, 14	mpsyl 68	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ([Q]‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3886   class class class wbr 5074   × cxp 5587  Fun wfun 6427  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433   Er wer 8495  Ncnpi 10600   ~_Q ceq 10607  Qcnq 10608  [Q]cerq 10610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-ni 10628  df-mi 10630  df-lti 10631  df-enq 10667  df-nq 10668  df-erq 10669  df-1nq 10672

This theorem is referenced by:  addassnq  10714  mulassnq  10715  distrnq  10717  mulidnq  10719  recmulnq  10720  1lt2nq  10729  ltexnq  10731  prlem934  10789