Theorem nqerid 10547

Description: Corollary of nqereu 10543: the function [Q] acts as the identity on members of Q. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nqerid	⊢ (𝐴 ∈ Q → ([Q]‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem nqerid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqerf 10544	. . 3 ⊢ [Q]:(N × N)⟶Q
2		ffun 6548	. . 3 ⊢ ([Q]:(N × N)⟶Q → Fun [Q])
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Fun [Q]
4		elpqn 10539	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → 𝐴 ∈ (N × N))
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → 𝐴 ∈ Q)
6		enqer 10535	. . . . 5 ⊢ ~Q Er (N × N)
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ~Q Er (N × N))
8	7, 4	erref 8411	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → 𝐴 ~Q 𝐴)
9		df-erq 10527	. . . . 5 ⊢ [Q] = ( ~Q ∩ ((N × N) × Q))
10	9	breqi 5059	. . . 4 ⊢ (𝐴[Q]𝐴 ↔ 𝐴( ~Q ∩ ((N × N) × Q))𝐴)
11		brinxp2 5626	. . . 4 ⊢ (𝐴( ~Q ∩ ((N × N) × Q))𝐴 ↔ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ 𝐴 ~Q 𝐴))
12	10, 11	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝐴[Q]𝐴 ↔ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐴 ∈ Q) ∧ 𝐴 ~Q 𝐴))
13	4, 5, 8, 12	syl21anbrc 1346	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → 𝐴[Q]𝐴)
14		funbrfv 6763	. 2 ⊢ (Fun [Q] → (𝐴[Q]𝐴 → ([Q]‘𝐴) = 𝐴))
15	3, 13, 14	mpsyl 68	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ([Q]‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3865   class class class wbr 5053   × cxp 5549  Fun wfun 6374  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380   Er wer 8388  Ncnpi 10458   ~_Q ceq 10465  Qcnq 10466  [Q]cerq 10468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-omul 8207  df-er 8391  df-ni 10486  df-mi 10488  df-lti 10489  df-enq 10525  df-nq 10526  df-erq 10527  df-1nq 10530

This theorem is referenced by:  addassnq  10572  mulassnq  10573  distrnq  10575  mulidnq  10577  recmulnq  10578  1lt2nq  10587  ltexnq  10589  prlem934  10647