MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nqerid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nqerid 10924
Description: Corollary of nqereu 10920: the function [Q] acts as the identity on members of Q. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqerid (𝐴Q → ([Q]‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem nqerid
StepHypRef Expression
1 nqerf 10921 . . 3 [Q]:(N × N)⟶Q
2 ffun 6717 . . 3 ([Q]:(N × N)⟶Q → Fun [Q])
31, 2ax-mp 5 . 2 Fun [Q]
4 elpqn 10916 . . 3 (𝐴Q𝐴 ∈ (N × N))
5 id 22 . . 3 (𝐴Q𝐴Q)
6 enqer 10912 . . . . 5 ~Q Er (N × N)
76a1i 11 . . . 4 (𝐴Q → ~Q Er (N × N))
87, 4erref 8719 . . 3 (𝐴Q𝐴 ~Q 𝐴)
9 df-erq 10904 . . . . 5 [Q] = ( ~Q ∩ ((N × N) × Q))
109breqi 5153 . . . 4 (𝐴[Q]𝐴𝐴( ~Q ∩ ((N × N) × Q))𝐴)
11 brinxp2 5751 . . . 4 (𝐴( ~Q ∩ ((N × N) × Q))𝐴 ↔ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐴Q) ∧ 𝐴 ~Q 𝐴))
1210, 11bitri 274 . . 3 (𝐴[Q]𝐴 ↔ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐴Q) ∧ 𝐴 ~Q 𝐴))
134, 5, 8, 12syl21anbrc 1344 . 2 (𝐴Q𝐴[Q]𝐴)
14 funbrfv 6939 . 2 (Fun [Q] → (𝐴[Q]𝐴 → ([Q]‘𝐴) = 𝐴))
153, 13, 14mpsyl 68 1 (𝐴Q → ([Q]‘𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cin 3946   class class class wbr 5147   × cxp 5673  Fun wfun 6534  wf 6536  cfv 6540   Er wer 8696  Ncnpi 10835   ~Q ceq 10842  Qcnq 10843  [Q]cerq 10845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-ni 10863  df-mi 10865  df-lti 10866  df-enq 10902  df-nq 10903  df-erq 10904  df-1nq 10907
This theorem is referenced by:  addassnq  10949  mulassnq  10950  distrnq  10952  mulidnq  10954  recmulnq  10955  1lt2nq  10964  ltexnq  10966  prlem934  11024
  Copyright terms: Public domain W3C validator