MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsle Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pwsle 17443
Description: Ordering in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsle.y π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsle.v 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
pwsle.o 𝑂 = (leβ€˜π‘…)
pwsle.l ≀ = (leβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
pwsle ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ≀ = ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)))
Proof of Theorem pwsle
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3470 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
2 vex 3470 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
31, 2prss 4816 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ↔ {𝑓, 𝑔} βŠ† 𝐡)
4 pwsle.v . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
5 pwsle.y . . . . . . . . . 10 π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
6 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
75, 6pwsval 17437 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
87fveq2d 6886 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
94, 8eqtrid 2776 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
109sseq2d 4007 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ({𝑓, 𝑔} βŠ† 𝐡 ↔ {𝑓, 𝑔} βŠ† (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))))
113, 10bitrid 283 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ↔ {𝑓, 𝑔} βŠ† (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))))
1211anbi1d 629 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯)) ↔ ({𝑓, 𝑔} βŠ† (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))))
13 fvconst2g 7196 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯) = 𝑅)
1413ad4ant14 749 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯) = 𝑅)
1514fveq2d 6886 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯)) = (leβ€˜π‘…))
16 pwsle.o . . . . . . . . . 10 𝑂 = (leβ€˜π‘…)
1715, 16eqtr4di 2782 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯)) = 𝑂)
1817breqd 5150 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯) ↔ (π‘“β€˜π‘₯)𝑂(π‘”β€˜π‘₯)))
1918ralbidva 3167 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)𝑂(π‘”β€˜π‘₯)))
20 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
21 simpll 764 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
22 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
23 simprl 768 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓 ∈ 𝐡)
245, 20, 4, 21, 22, 23pwselbas 17440 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
2524ffnd 6709 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓 Fn 𝐼)
26 simprr 770 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑔 ∈ 𝐡)
275, 20, 4, 21, 22, 26pwselbas 17440 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑔:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
2827ffnd 6709 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑔 Fn 𝐼)
29 inidm 4211 . . . . . . . 8 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
30 eqidd 2725 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘₯))
31 eqidd 2725 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = (π‘”β€˜π‘₯))
3225, 28, 23, 26, 29, 30, 31ofrfvalg 7672 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓 ∘r 𝑂𝑔 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)𝑂(π‘”β€˜π‘₯)))
3319, 32bitr4d 282 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯) ↔ 𝑓 ∘r 𝑂𝑔))
3433pm5.32da 578 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ 𝑓 ∘r 𝑂𝑔)))
35 brinxp2 5744 . . . . 5 (𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔 ↔ ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ 𝑓 ∘r 𝑂𝑔))
3634, 35bitr4di 289 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯)) ↔ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔))
3712, 36bitr3d 281 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (({𝑓, 𝑔} βŠ† (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯)) ↔ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔))
3837opabbidv 5205 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ ({𝑓, 𝑔} βŠ† (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))} = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔})
39 pwsle.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜π‘Œ)
407fveq2d 6886 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (leβ€˜π‘Œ) = (leβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
4139, 40eqtrid 2776 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ≀ = (leβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
42 eqid 2724 . . . 4 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))
43 fvexd 6897 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (Scalarβ€˜π‘…) ∈ V)
44 simpr 484 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
45 snex 5422 . . . . 5 {𝑅} ∈ V
46 xpexg 7731 . . . . 5 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ {𝑅} ∈ V) β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}) ∈ V)
4744, 45, 46sylancl 585 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}) ∈ V)
48 eqid 2724 . . . 4 (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
49 snnzg 4771 . . . . . 6 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ {𝑅} β‰  βˆ…)
5049adantr 480 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ {𝑅} β‰  βˆ…)
51 dmxp 5919 . . . . 5 ({𝑅} β‰  βˆ… β†’ dom (𝐼 Γ— {𝑅}) = 𝐼)
5250, 51syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ dom (𝐼 Γ— {𝑅}) = 𝐼)
53 eqid 2724 . . . 4 (leβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) = (leβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
5442, 43, 47, 48, 52, 53prdsle 17413 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (leβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ ({𝑓, 𝑔} βŠ† (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))})
5541, 54eqtrd 2764 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ≀ = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ ({𝑓, 𝑔} βŠ† (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))})
56 relinxp 5805 . . . 4 Rel ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
5756a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ Rel ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)))
58 dfrel4v 6180 . . 3 (Rel ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) ↔ ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔})
5957, 58sylib 217 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔})
6038, 55, 593eqtr4d 2774 1 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ≀ = ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  Vcvv 3466   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4315  {csn 4621  {cpr 4623   class class class wbr 5139  {copab 5201   Γ— cxp 5665  dom cdm 5667  Rel wrel 5672  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ∘r cofr 7663  Basecbs 17149  Scalarcsca 17205  lecple 17209  Xscprds 17396   ↑s cpws 17397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-ofr 7665  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-prds 17398  df-pws 17400
This theorem is referenced by:  pwsleval  17444
  Copyright terms: Public domain W3C validator