Theorem pwsle 16757

Description: Ordering in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsle.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsle.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsle.o	⊢ 𝑂 = (le‘𝑅)
pwsle.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwsle	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ≤ = ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))

Proof of Theorem pwsle

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3444	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
2		vex 3444	. . . . . . 7 ⊢ 𝑔 ∈ V
3	1, 2	prss 4713	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵)
4		pwsle.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		pwsle.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
6		eqid 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
7	5, 6	pwsval 16751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
8	7	fveq2d 6649	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
9	4, 8	syl5eq 2845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
10	9	sseq2d 3947	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ({𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵 ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
11	3, 10	syl5bb 286	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
12	11	anbi1d 632	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥)) ↔ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))))
13		fvconst2g 6941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
14	13	ad4ant14 751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
15	14	fveq2d 6649	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (le‘𝑅))
16		pwsle.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = (le‘𝑅)
17	15, 16	eqtr4di 2851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = 𝑂)
18	17	breqd 5041	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥)𝑂(𝑔‘𝑥)))
19	18	ralbidva 3161	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)𝑂(𝑔‘𝑥)))
20		eqid 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ 𝑉)
22		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
23		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓 ∈ 𝐵)
24	5, 20, 4, 21, 22, 23	pwselbas 16754	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅))
25	24	ffnd 6488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓 Fn 𝐼)
26		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔 ∈ 𝐵)
27	5, 20, 4, 21, 22, 26	pwselbas 16754	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔:𝐼⟶(Base‘𝑅))
28	27	ffnd 6488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔 Fn 𝐼)
29		inidm 4145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
30		eqidd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
31		eqidd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑔‘𝑥) = (𝑔‘𝑥))
32	25, 28, 22, 22, 29, 30, 31	ofrfval 7397	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓 ∘r 𝑂𝑔 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)𝑂(𝑔‘𝑥)))
33	19, 32	bitr4d 285	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥) ↔ 𝑓 ∘r 𝑂𝑔))
34	33	pm5.32da 582	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∘r 𝑂𝑔)))
35		brinxp2 5593	. . . . 5 ⊢ (𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔 ↔ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∘r 𝑂𝑔))
36	34, 35	syl6bbr 292	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥)) ↔ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
37	12, 36	bitr3d 284	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥)) ↔ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
38	37	opabbidv 5096	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))} = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔})
39		pwsle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
40	7	fveq2d 6649	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (le‘𝑌) = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
41	39, 40	syl5eq 2845	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ≤ = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
42		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
43		fvexd 6660	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
44		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑊)
45		snex 5297	. . . . 5 ⊢ {𝑅} ∈ V
46		xpexg 7453	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ {𝑅} ∈ V) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
47	44, 45, 46	sylancl 589	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
48		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
49		snnzg 4670	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → {𝑅} ≠ ∅)
50	49	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → {𝑅} ≠ ∅)
51		dmxp 5763	. . . . 5 ⊢ ({𝑅} ≠ ∅ → dom (𝐼 × {𝑅}) = 𝐼)
52	50, 51	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → dom (𝐼 × {𝑅}) = 𝐼)
53		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
54	42, 43, 47, 48, 52, 53	prdsle 16727	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))})
55	41, 54	eqtrd 2833	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ≤ = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))})
56		relinxp 5651	. . . 4 ⊢ Rel ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))
57	56	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → Rel ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))
58		dfrel4v 6014	. . 3 ⊢ (Rel ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) ↔ ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔})
59	57, 58	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔})
60	38, 55, 59	3eqtr4d 2843	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ≤ = ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  Vcvv 3441   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  {csn 4525  {cpr 4527   class class class wbr 5030  {copab 5092   × cxp 5517  dom cdm 5519  Rel wrel 5524  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∘_r cofr 7388  Basecbs 16475  Scalarcsca 16560  lecple 16564  X_scprds 16711   ↑_s cpws 16712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-ofr 7390  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-hom 16581  df-cco 16582  df-prds 16713  df-pws 16715

This theorem is referenced by:  pwsleval  16758