Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsle 16765
 Description: Ordering in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsle.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsle.v 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsle.o 𝑂 = (le‘𝑅)
pwsle.l = (le‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
pwsle ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → = ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))

Proof of Theorem pwsle
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3483 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
2 vex 3483 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
31, 2prss 4737 . . . . . 6 ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵)
4 pwsle.v . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
5 pwsle.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
6 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
75, 6pwsval 16759 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
87fveq2d 6665 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
94, 8syl5eq 2871 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
109sseq2d 3985 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ({𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵 ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
113, 10syl5bb 286 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
1211anbi1d 632 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥)) ↔ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥))))
13 fvconst2g 6955 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅𝑉𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
1413ad4ant14 751 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
1514fveq2d 6665 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (le‘𝑅))
16 pwsle.o . . . . . . . . . 10 𝑂 = (le‘𝑅)
1715, 16syl6eqr 2877 . . . . . . . . 9 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = 𝑂)
1817breqd 5063 . . . . . . . 8 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥) ↔ (𝑓𝑥)𝑂(𝑔𝑥)))
1918ralbidva 3191 . . . . . . 7 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)𝑂(𝑔𝑥)))
20 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑅𝑉)
22 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐼𝑊)
23 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓𝐵)
245, 20, 4, 21, 22, 23pwselbas 16762 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅))
2524ffnd 6504 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓 Fn 𝐼)
26 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔𝐵)
275, 20, 4, 21, 22, 26pwselbas 16762 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔:𝐼⟶(Base‘𝑅))
2827ffnd 6504 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔 Fn 𝐼)
29 inidm 4180 . . . . . . . 8 (𝐼𝐼) = 𝐼
30 eqidd 2825 . . . . . . . 8 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑥))
31 eqidd 2825 . . . . . . . 8 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑥))
3225, 28, 22, 22, 29, 30, 31ofrfval 7411 . . . . . . 7 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓r 𝑂𝑔 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)𝑂(𝑔𝑥)))
3319, 32bitr4d 285 . . . . . 6 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥) ↔ 𝑓r 𝑂𝑔))
3433pm5.32da 582 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥)) ↔ ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑓r 𝑂𝑔)))
35 brinxp2 5616 . . . . 5 (𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔 ↔ ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑓r 𝑂𝑔))
3634, 35syl6bbr 292 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥)) ↔ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
3712, 36bitr3d 284 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥)) ↔ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
3837opabbidv 5118 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥))} = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔})
39 pwsle.l . . . 4 = (le‘𝑌)
407fveq2d 6665 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (le‘𝑌) = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
4139, 40syl5eq 2871 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
42 eqid 2824 . . . 4 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
43 fvexd 6676 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
44 simpr 488 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐼𝑊)
45 snex 5319 . . . . 5 {𝑅} ∈ V
46 xpexg 7467 . . . . 5 ((𝐼𝑊 ∧ {𝑅} ∈ V) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
4744, 45, 46sylancl 589 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
48 eqid 2824 . . . 4 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
49 snnzg 4695 . . . . . 6 (𝑅𝑉 → {𝑅} ≠ ∅)
5049adantr 484 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → {𝑅} ≠ ∅)
51 dmxp 5786 . . . . 5 ({𝑅} ≠ ∅ → dom (𝐼 × {𝑅}) = 𝐼)
5250, 51syl 17 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → dom (𝐼 × {𝑅}) = 𝐼)
53 eqid 2824 . . . 4 (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
5442, 43, 47, 48, 52, 53prdsle 16735 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥))})
5541, 54eqtrd 2859 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥))})
56 relinxp 5674 . . . 4 Rel ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))
5756a1i 11 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → Rel ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))
58 dfrel4v 6034 . . 3 (Rel ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) ↔ ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔})
5957, 58sylib 221 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔})
6038, 55, 593eqtr4d 2869 1 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → = ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∀wral 3133  Vcvv 3480   ∩ cin 3918   ⊆ wss 3919  ∅c0 4276  {csn 4550  {cpr 4552   class class class wbr 5052  {copab 5114   × cxp 5540  dom cdm 5542  Rel wrel 5547  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ∘r cofr 7402  Basecbs 16483  Scalarcsca 16568  lecple 16572  Xscprds 16719   ↑s cpws 16720 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-ofr 7404  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-hom 16589  df-cco 16590  df-prds 16721  df-pws 16723 This theorem is referenced by:  pwsleval  16766
 Copyright terms: Public domain W3C validator