MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsle 17374
Description: Ordering in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsle.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsle.v 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsle.o 𝑂 = (le‘𝑅)
pwsle.l = (le‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
pwsle ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → = ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))

Proof of Theorem pwsle
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3449 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
2 vex 3449 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
31, 2prss 4780 . . . . . 6 ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵)
4 pwsle.v . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
5 pwsle.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
6 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
75, 6pwsval 17368 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
87fveq2d 6846 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
94, 8eqtrid 2788 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
109sseq2d 3976 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ({𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵 ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
113, 10bitrid 282 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
1211anbi1d 630 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥)) ↔ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥))))
13 fvconst2g 7151 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅𝑉𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
1413ad4ant14 750 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
1514fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (le‘𝑅))
16 pwsle.o . . . . . . . . . 10 𝑂 = (le‘𝑅)
1715, 16eqtr4di 2794 . . . . . . . . 9 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = 𝑂)
1817breqd 5116 . . . . . . . 8 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥) ↔ (𝑓𝑥)𝑂(𝑔𝑥)))
1918ralbidva 3172 . . . . . . 7 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)𝑂(𝑔𝑥)))
20 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑅𝑉)
22 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐼𝑊)
23 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓𝐵)
245, 20, 4, 21, 22, 23pwselbas 17371 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅))
2524ffnd 6669 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓 Fn 𝐼)
26 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔𝐵)
275, 20, 4, 21, 22, 26pwselbas 17371 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔:𝐼⟶(Base‘𝑅))
2827ffnd 6669 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔 Fn 𝐼)
29 inidm 4178 . . . . . . . 8 (𝐼𝐼) = 𝐼
30 eqidd 2737 . . . . . . . 8 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑥))
31 eqidd 2737 . . . . . . . 8 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑥))
3225, 28, 23, 26, 29, 30, 31ofrfvalg 7625 . . . . . . 7 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓r 𝑂𝑔 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)𝑂(𝑔𝑥)))
3319, 32bitr4d 281 . . . . . 6 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥) ↔ 𝑓r 𝑂𝑔))
3433pm5.32da 579 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥)) ↔ ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑓r 𝑂𝑔)))
35 brinxp2 5709 . . . . 5 (𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔 ↔ ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑓r 𝑂𝑔))
3634, 35bitr4di 288 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥)) ↔ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
3712, 36bitr3d 280 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥)) ↔ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
3837opabbidv 5171 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥))} = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔})
39 pwsle.l . . . 4 = (le‘𝑌)
407fveq2d 6846 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (le‘𝑌) = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
4139, 40eqtrid 2788 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
42 eqid 2736 . . . 4 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
43 fvexd 6857 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
44 simpr 485 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐼𝑊)
45 snex 5388 . . . . 5 {𝑅} ∈ V
46 xpexg 7684 . . . . 5 ((𝐼𝑊 ∧ {𝑅} ∈ V) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
4744, 45, 46sylancl 586 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
48 eqid 2736 . . . 4 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
49 snnzg 4735 . . . . . 6 (𝑅𝑉 → {𝑅} ≠ ∅)
5049adantr 481 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → {𝑅} ≠ ∅)
51 dmxp 5884 . . . . 5 ({𝑅} ≠ ∅ → dom (𝐼 × {𝑅}) = 𝐼)
5250, 51syl 17 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → dom (𝐼 × {𝑅}) = 𝐼)
53 eqid 2736 . . . 4 (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
5442, 43, 47, 48, 52, 53prdsle 17344 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥))})
5541, 54eqtrd 2776 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥))})
56 relinxp 5770 . . . 4 Rel ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))
5756a1i 11 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → Rel ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))
58 dfrel4v 6142 . . 3 (Rel ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) ↔ ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔})
5957, 58sylib 217 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔})
6038, 55, 593eqtr4d 2786 1 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → = ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3445  cin 3909  wss 3910  c0 4282  {csn 4586  {cpr 4588   class class class wbr 5105  {copab 5167   × cxp 5631  dom cdm 5633  Rel wrel 5638  cfv 6496  (class class class)co 7357  r cofr 7616  Basecbs 17083  Scalarcsca 17136  lecple 17140  Xscprds 17327  s cpws 17328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-prds 17329  df-pws 17331
This theorem is referenced by:  pwsleval  17375
  Copyright terms: Public domain W3C validator