MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsle Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pwsle 17473
Description: Ordering in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsle.y π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsle.v 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
pwsle.o 𝑂 = (leβ€˜π‘…)
pwsle.l ≀ = (leβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
pwsle ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ≀ = ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)))
Proof of Theorem pwsle
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3475 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
2 vex 3475 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
31, 2prss 4824 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ↔ {𝑓, 𝑔} βŠ† 𝐡)
4 pwsle.v . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
5 pwsle.y . . . . . . . . . 10 π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
6 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
75, 6pwsval 17467 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
87fveq2d 6901 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
94, 8eqtrid 2780 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
109sseq2d 4012 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ({𝑓, 𝑔} βŠ† 𝐡 ↔ {𝑓, 𝑔} βŠ† (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))))
113, 10bitrid 283 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ↔ {𝑓, 𝑔} βŠ† (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))))
1211anbi1d 630 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯)) ↔ ({𝑓, 𝑔} βŠ† (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))))
13 fvconst2g 7214 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯) = 𝑅)
1413ad4ant14 751 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯) = 𝑅)
1514fveq2d 6901 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯)) = (leβ€˜π‘…))
16 pwsle.o . . . . . . . . . 10 𝑂 = (leβ€˜π‘…)
1715, 16eqtr4di 2786 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯)) = 𝑂)
1817breqd 5159 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯) ↔ (π‘“β€˜π‘₯)𝑂(π‘”β€˜π‘₯)))
1918ralbidva 3172 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)𝑂(π‘”β€˜π‘₯)))
20 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
21 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
22 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
23 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓 ∈ 𝐡)
245, 20, 4, 21, 22, 23pwselbas 17470 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
2524ffnd 6723 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓 Fn 𝐼)
26 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑔 ∈ 𝐡)
275, 20, 4, 21, 22, 26pwselbas 17470 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑔:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
2827ffnd 6723 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑔 Fn 𝐼)
29 inidm 4219 . . . . . . . 8 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
30 eqidd 2729 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘₯))
31 eqidd 2729 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = (π‘”β€˜π‘₯))
3225, 28, 23, 26, 29, 30, 31ofrfvalg 7693 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓 ∘r 𝑂𝑔 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)𝑂(π‘”β€˜π‘₯)))
3319, 32bitr4d 282 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯) ↔ 𝑓 ∘r 𝑂𝑔))
3433pm5.32da 578 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ 𝑓 ∘r 𝑂𝑔)))
35 brinxp2 5755 . . . . 5 (𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔 ↔ ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ 𝑓 ∘r 𝑂𝑔))
3634, 35bitr4di 289 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯)) ↔ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔))
3712, 36bitr3d 281 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (({𝑓, 𝑔} βŠ† (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯)) ↔ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔))
3837opabbidv 5214 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ ({𝑓, 𝑔} βŠ† (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))} = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔})
39 pwsle.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜π‘Œ)
407fveq2d 6901 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (leβ€˜π‘Œ) = (leβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
4139, 40eqtrid 2780 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ≀ = (leβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
42 eqid 2728 . . . 4 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))
43 fvexd 6912 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (Scalarβ€˜π‘…) ∈ V)
44 simpr 484 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
45 snex 5433 . . . . 5 {𝑅} ∈ V
46 xpexg 7752 . . . . 5 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ {𝑅} ∈ V) β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}) ∈ V)
4744, 45, 46sylancl 585 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}) ∈ V)
48 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
49 snnzg 4779 . . . . . 6 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ {𝑅} β‰  βˆ…)
5049adantr 480 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ {𝑅} β‰  βˆ…)
51 dmxp 5931 . . . . 5 ({𝑅} β‰  βˆ… β†’ dom (𝐼 Γ— {𝑅}) = 𝐼)
5250, 51syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ dom (𝐼 Γ— {𝑅}) = 𝐼)
53 eqid 2728 . . . 4 (leβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) = (leβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
5442, 43, 47, 48, 52, 53prdsle 17443 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (leβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ ({𝑓, 𝑔} βŠ† (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))})
5541, 54eqtrd 2768 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ≀ = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ ({𝑓, 𝑔} βŠ† (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))})
56 relinxp 5816 . . . 4 Rel ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
5756a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ Rel ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)))
58 dfrel4v 6194 . . 3 (Rel ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) ↔ ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔})
5957, 58sylib 217 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔})
6038, 55, 593eqtr4d 2778 1 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ≀ = ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  Vcvv 3471   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4323  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5148  {copab 5210   Γ— cxp 5676  dom cdm 5678  Rel wrel 5683  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ∘r cofr 7684  Basecbs 17179  Scalarcsca 17235  lecple 17239  Xscprds 17426   ↑s cpws 17427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-ofr 7686  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-prds 17428  df-pws 17430
This theorem is referenced by:  pwsleval  17474
  Copyright terms: Public domain W3C validator