Theorem pwsle 17714

Description: Ordering in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsle.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsle.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsle.o	⊢ 𝑂 = (le‘𝑅)
pwsle.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwsle	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ≤ = ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))

Proof of Theorem pwsle

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3458	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
2		vex 3458	. . . . . . 7 ⊢ 𝑔 ∈ V
3	1, 2	prss 4781	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵)
4		pwsle.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		pwsle.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
6		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
7	5, 6	pwsval 17707	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
8	7	fveq2d 6920	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
9	4, 8	eqtrid 2810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
10	9	sseq2d 3945	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ({𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵 ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
11	3, 10	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
12	11	anbi1d 643	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥)) ↔ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))))
13		fvconst2g 7239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
14	13	ad4ant14 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
15	14	fveq2d 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (le‘𝑅))
16		pwsle.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = (le‘𝑅)
17	15, 16	eqtr4di 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = 𝑂)
18	17	breqd 5119	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥)𝑂(𝑔‘𝑥)))
19	18	ralbidva 3187	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)𝑂(𝑔‘𝑥)))
20		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ 𝑉)
22		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
23		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓 ∈ 𝐵)
24	5, 20, 4, 21, 22, 23	pwselbas 17710	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅))
25	24	ffnd 6740	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓 Fn 𝐼)
26		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔 ∈ 𝐵)
27	5, 20, 4, 21, 22, 26	pwselbas 17710	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔:𝐼⟶(Base‘𝑅))
28	27	ffnd 6740	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔 Fn 𝐼)
29		inidm 4126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
30		eqidd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
31		eqidd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑔‘𝑥) = (𝑔‘𝑥))
32	25, 28, 23, 26, 29, 30, 31	ofrfvalg 7733	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓 ∘r 𝑂𝑔 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)𝑂(𝑔‘𝑥)))
33	19, 32	bitr4d 285	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥) ↔ 𝑓 ∘r 𝑂𝑔))
34	33	pm5.32da 590	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∘r 𝑂𝑔)))
35		brinxp2 5737	. . . . 5 ⊢ (𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔 ↔ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∘r 𝑂𝑔))
36	34, 35	bitr4di 292	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥)) ↔ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
37	12, 36	bitr3d 284	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥)) ↔ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
38	37	opabbidv 5177	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))} = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔})
39		pwsle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
40	7	fveq2d 6920	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (le‘𝑌) = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
41	39, 40	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ≤ = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
42		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
43		fvexd 6931	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
44		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑊)
45		snex 5404	. . . . 5 ⊢ {𝑅} ∈ V
46		xpexg 7796	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ {𝑅} ∈ V) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
47	44, 45, 46	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
48		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
49		snnzg 4737	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → {𝑅} ≠ ∅)
50	49	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → {𝑅} ≠ ∅)
51		dmxp 5923	. . . . 5 ⊢ ({𝑅} ≠ ∅ → dom (𝐼 × {𝑅}) = 𝐼)
52	50, 51	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → dom (𝐼 × {𝑅}) = 𝐼)
53		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
54	42, 43, 47, 48, 52, 53	prdsle 17683	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))})
55	41, 54	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ≤ = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))})
56		relinxp 5801	. . . 4 ⊢ Rel ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))
57	56	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → Rel ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))
58		dfrel4v 6200	. . 3 ⊢ (Rel ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) ↔ ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔})
59	57, 58	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔})
60	38, 55, 59	3eqtr4d 2808	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ≤ = ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  {csn 4588  {cpr 4590   class class class wbr 5108  {copab 5173   × cxp 5656  dom cdm 5658  Rel wrel 5663  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∘_r cofr 7724  Basecbs 17431  Scalarcsca 17475  lecple 17479  X_scprds 17666   ↑_s cpws 17667

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-ofr 7726  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-hom 17497  df-cco 17498  df-prds 17668  df-pws 17670

This theorem is used by:  pwsleval  17715