Theorem pwsle 17203

Description: Ordering in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsle.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsle.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsle.o	⊢ 𝑂 = (le‘𝑅)
pwsle.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwsle	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ≤ = ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))

Proof of Theorem pwsle

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3436	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
2		vex 3436	. . . . . . 7 ⊢ 𝑔 ∈ V
3	1, 2	prss 4753	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵)
4		pwsle.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		pwsle.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
6		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
7	5, 6	pwsval 17197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
8	7	fveq2d 6778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
9	4, 8	eqtrid 2790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
10	9	sseq2d 3953	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ({𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵 ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
11	3, 10	bitrid 282	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
12	11	anbi1d 630	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥)) ↔ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))))
13		fvconst2g 7077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
14	13	ad4ant14 749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
15	14	fveq2d 6778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (le‘𝑅))
16		pwsle.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = (le‘𝑅)
17	15, 16	eqtr4di 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = 𝑂)
18	17	breqd 5085	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥)𝑂(𝑔‘𝑥)))
19	18	ralbidva 3111	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)𝑂(𝑔‘𝑥)))
20		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21		simpll 764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ 𝑉)
22		simplr 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
23		simprl 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓 ∈ 𝐵)
24	5, 20, 4, 21, 22, 23	pwselbas 17200	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅))
25	24	ffnd 6601	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓 Fn 𝐼)
26		simprr 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔 ∈ 𝐵)
27	5, 20, 4, 21, 22, 26	pwselbas 17200	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔:𝐼⟶(Base‘𝑅))
28	27	ffnd 6601	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔 Fn 𝐼)
29		inidm 4152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
30		eqidd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
31		eqidd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑔‘𝑥) = (𝑔‘𝑥))
32	25, 28, 23, 26, 29, 30, 31	ofrfvalg 7541	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓 ∘r 𝑂𝑔 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)𝑂(𝑔‘𝑥)))
33	19, 32	bitr4d 281	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥) ↔ 𝑓 ∘r 𝑂𝑔))
34	33	pm5.32da 579	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∘r 𝑂𝑔)))
35		brinxp2 5664	. . . . 5 ⊢ (𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔 ↔ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∘r 𝑂𝑔))
36	34, 35	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥)) ↔ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
37	12, 36	bitr3d 280	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥)) ↔ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
38	37	opabbidv 5140	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))} = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔})
39		pwsle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
40	7	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (le‘𝑌) = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
41	39, 40	eqtrid 2790	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ≤ = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
42		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
43		fvexd 6789	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
44		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑊)
45		snex 5354	. . . . 5 ⊢ {𝑅} ∈ V
46		xpexg 7600	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ {𝑅} ∈ V) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
47	44, 45, 46	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
48		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
49		snnzg 4710	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → {𝑅} ≠ ∅)
50	49	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → {𝑅} ≠ ∅)
51		dmxp 5838	. . . . 5 ⊢ ({𝑅} ≠ ∅ → dom (𝐼 × {𝑅}) = 𝐼)
52	50, 51	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → dom (𝐼 × {𝑅}) = 𝐼)
53		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
54	42, 43, 47, 48, 52, 53	prdsle 17173	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))})
55	41, 54	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ≤ = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))})
56		relinxp 5724	. . . 4 ⊢ Rel ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))
57	56	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → Rel ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))
58		dfrel4v 6093	. . 3 ⊢ (Rel ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) ↔ ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔})
59	57, 58	sylib 217	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔})
60	38, 55, 59	3eqtr4d 2788	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ≤ = ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  Vcvv 3432   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  {csn 4561  {cpr 4563   class class class wbr 5074  {copab 5136   × cxp 5587  dom cdm 5589  Rel wrel 5594  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∘_r cofr 7532  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965  lecple 16969  X_scprds 17156   ↑_s cpws 17157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-prds 17158  df-pws 17160

This theorem is referenced by:  pwsleval  17204