MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsle Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pwsle 17434
Description: Ordering in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsle.y π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsle.v 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
pwsle.o 𝑂 = (leβ€˜π‘…)
pwsle.l ≀ = (leβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
pwsle ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ≀ = ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)))
Proof of Theorem pwsle
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3478 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
2 vex 3478 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
31, 2prss 4822 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ↔ {𝑓, 𝑔} βŠ† 𝐡)
4 pwsle.v . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
5 pwsle.y . . . . . . . . . 10 π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
6 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
75, 6pwsval 17428 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
87fveq2d 6892 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
94, 8eqtrid 2784 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
109sseq2d 4013 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ({𝑓, 𝑔} βŠ† 𝐡 ↔ {𝑓, 𝑔} βŠ† (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))))
113, 10bitrid 282 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ↔ {𝑓, 𝑔} βŠ† (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))))
1211anbi1d 630 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯)) ↔ ({𝑓, 𝑔} βŠ† (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))))
13 fvconst2g 7199 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯) = 𝑅)
1413ad4ant14 750 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯) = 𝑅)
1514fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯)) = (leβ€˜π‘…))
16 pwsle.o . . . . . . . . . 10 𝑂 = (leβ€˜π‘…)
1715, 16eqtr4di 2790 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯)) = 𝑂)
1817breqd 5158 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯) ↔ (π‘“β€˜π‘₯)𝑂(π‘”β€˜π‘₯)))
1918ralbidva 3175 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)𝑂(π‘”β€˜π‘₯)))
20 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
21 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
22 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
23 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓 ∈ 𝐡)
245, 20, 4, 21, 22, 23pwselbas 17431 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
2524ffnd 6715 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓 Fn 𝐼)
26 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑔 ∈ 𝐡)
275, 20, 4, 21, 22, 26pwselbas 17431 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑔:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
2827ffnd 6715 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑔 Fn 𝐼)
29 inidm 4217 . . . . . . . 8 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
30 eqidd 2733 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘₯))
31 eqidd 2733 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = (π‘”β€˜π‘₯))
3225, 28, 23, 26, 29, 30, 31ofrfvalg 7674 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓 ∘r 𝑂𝑔 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)𝑂(π‘”β€˜π‘₯)))
3319, 32bitr4d 281 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯) ↔ 𝑓 ∘r 𝑂𝑔))
3433pm5.32da 579 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ 𝑓 ∘r 𝑂𝑔)))
35 brinxp2 5751 . . . . 5 (𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔 ↔ ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ 𝑓 ∘r 𝑂𝑔))
3634, 35bitr4di 288 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯)) ↔ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔))
3712, 36bitr3d 280 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (({𝑓, 𝑔} βŠ† (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯)) ↔ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔))
3837opabbidv 5213 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ ({𝑓, 𝑔} βŠ† (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))} = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔})
39 pwsle.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜π‘Œ)
407fveq2d 6892 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (leβ€˜π‘Œ) = (leβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
4139, 40eqtrid 2784 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ≀ = (leβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
42 eqid 2732 . . . 4 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))
43 fvexd 6903 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (Scalarβ€˜π‘…) ∈ V)
44 simpr 485 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
45 snex 5430 . . . . 5 {𝑅} ∈ V
46 xpexg 7733 . . . . 5 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ {𝑅} ∈ V) β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}) ∈ V)
4744, 45, 46sylancl 586 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}) ∈ V)
48 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
49 snnzg 4777 . . . . . 6 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ {𝑅} β‰  βˆ…)
5049adantr 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ {𝑅} β‰  βˆ…)
51 dmxp 5926 . . . . 5 ({𝑅} β‰  βˆ… β†’ dom (𝐼 Γ— {𝑅}) = 𝐼)
5250, 51syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ dom (𝐼 Γ— {𝑅}) = 𝐼)
53 eqid 2732 . . . 4 (leβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) = (leβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
5442, 43, 47, 48, 52, 53prdsle 17404 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (leβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ ({𝑓, 𝑔} βŠ† (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))})
5541, 54eqtrd 2772 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ≀ = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ ({𝑓, 𝑔} βŠ† (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))})
56 relinxp 5812 . . . 4 Rel ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
5756a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ Rel ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)))
58 dfrel4v 6186 . . 3 (Rel ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) ↔ ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔})
5957, 58sylib 217 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔})
6038, 55, 593eqtr4d 2782 1 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ≀ = ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627  {cpr 4629   class class class wbr 5147  {copab 5209   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675  Rel wrel 5680  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘r cofr 7665  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196  lecple 17200  Xscprds 17387   ↑s cpws 17388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-prds 17389  df-pws 17391
This theorem is referenced by:  pwsleval  17435
  Copyright terms: Public domain W3C validator