MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsle 16538
Description: Ordering in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsle.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsle.v 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsle.o 𝑂 = (le‘𝑅)
pwsle.l = (le‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
pwsle ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → = ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))

Proof of Theorem pwsle
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3400 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
2 vex 3400 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
31, 2prss 4582 . . . . . 6 ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵)
4 pwsle.v . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
5 pwsle.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
6 eqid 2777 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
75, 6pwsval 16532 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
87fveq2d 6450 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
94, 8syl5eq 2825 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
109sseq2d 3851 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ({𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵 ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
113, 10syl5bb 275 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
1211anbi1d 623 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥)) ↔ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥))))
13 fvconst2g 6739 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅𝑉𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
1413ad4ant14 742 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
1514fveq2d 6450 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (le‘𝑅))
16 pwsle.o . . . . . . . . . 10 𝑂 = (le‘𝑅)
1715, 16syl6eqr 2831 . . . . . . . . 9 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = 𝑂)
1817breqd 4897 . . . . . . . 8 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥) ↔ (𝑓𝑥)𝑂(𝑔𝑥)))
1918ralbidva 3166 . . . . . . 7 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)𝑂(𝑔𝑥)))
20 eqid 2777 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21 simpll 757 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑅𝑉)
22 simplr 759 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐼𝑊)
23 simprl 761 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓𝐵)
245, 20, 4, 21, 22, 23pwselbas 16535 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅))
2524ffnd 6292 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓 Fn 𝐼)
26 simprr 763 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔𝐵)
275, 20, 4, 21, 22, 26pwselbas 16535 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔:𝐼⟶(Base‘𝑅))
2827ffnd 6292 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔 Fn 𝐼)
29 inidm 4042 . . . . . . . 8 (𝐼𝐼) = 𝐼
30 eqidd 2778 . . . . . . . 8 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑥))
31 eqidd 2778 . . . . . . . 8 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑥))
3225, 28, 22, 22, 29, 30, 31ofrfval 7182 . . . . . . 7 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓𝑟 𝑂𝑔 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)𝑂(𝑔𝑥)))
3319, 32bitr4d 274 . . . . . 6 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥) ↔ 𝑓𝑟 𝑂𝑔))
3433pm5.32da 574 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥)) ↔ ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑓𝑟 𝑂𝑔)))
35 brinxp2 5426 . . . . 5 (𝑓( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔 ↔ ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑓𝑟 𝑂𝑔))
3634, 35syl6bbr 281 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥)) ↔ 𝑓( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
3712, 36bitr3d 273 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥)) ↔ 𝑓( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
3837opabbidv 4952 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥))} = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ 𝑓( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔})
39 pwsle.l . . . 4 = (le‘𝑌)
407fveq2d 6450 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (le‘𝑌) = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
4139, 40syl5eq 2825 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
42 eqid 2777 . . . 4 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
43 fvexd 6461 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
44 simpr 479 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐼𝑊)
45 snex 5140 . . . . 5 {𝑅} ∈ V
46 xpexg 7237 . . . . 5 ((𝐼𝑊 ∧ {𝑅} ∈ V) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
4744, 45, 46sylancl 580 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
48 eqid 2777 . . . 4 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
49 snnzg 4540 . . . . . 6 (𝑅𝑉 → {𝑅} ≠ ∅)
5049adantr 474 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → {𝑅} ≠ ∅)
51 dmxp 5589 . . . . 5 ({𝑅} ≠ ∅ → dom (𝐼 × {𝑅}) = 𝐼)
5250, 51syl 17 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → dom (𝐼 × {𝑅}) = 𝐼)
53 eqid 2777 . . . 4 (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
5442, 43, 47, 48, 52, 53prdsle 16508 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥))})
5541, 54eqtrd 2813 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥))})
56 relinxp 5485 . . . 4 Rel ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))
5756a1i 11 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → Rel ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))
58 dfrel4v 5838 . . 3 (Rel ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) ↔ ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ 𝑓( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔})
5957, 58sylib 210 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ 𝑓( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔})
6038, 55, 593eqtr4d 2823 1 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → = ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  wne 2968  wral 3089  Vcvv 3397  cin 3790  wss 3791  c0 4140  {csn 4397  {cpr 4399   class class class wbr 4886  {copab 4948   × cxp 5353  dom cdm 5355  Rel wrel 5360  cfv 6135  (class class class)co 6922  𝑟 cofr 7173  Basecbs 16255  Scalarcsca 16341  lecple 16345  Xscprds 16492  s cpws 16493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-ofr 7175  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-hom 16362  df-cco 16363  df-prds 16494  df-pws 16496
This theorem is referenced by:  pwsleval  16539
  Copyright terms: Public domain W3C validator