MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsle 17375
Description: Ordering in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsle.y π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsle.v 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
pwsle.o 𝑂 = (leβ€˜π‘…)
pwsle.l ≀ = (leβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
pwsle ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ≀ = ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)))

Proof of Theorem pwsle
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3450 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
2 vex 3450 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
31, 2prss 4781 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ↔ {𝑓, 𝑔} βŠ† 𝐡)
4 pwsle.v . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
5 pwsle.y . . . . . . . . . 10 π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
6 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
75, 6pwsval 17369 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
87fveq2d 6847 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
94, 8eqtrid 2789 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
109sseq2d 3977 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ({𝑓, 𝑔} βŠ† 𝐡 ↔ {𝑓, 𝑔} βŠ† (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))))
113, 10bitrid 283 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ↔ {𝑓, 𝑔} βŠ† (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))))
1211anbi1d 631 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯)) ↔ ({𝑓, 𝑔} βŠ† (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))))
13 fvconst2g 7152 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯) = 𝑅)
1413ad4ant14 751 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯) = 𝑅)
1514fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯)) = (leβ€˜π‘…))
16 pwsle.o . . . . . . . . . 10 𝑂 = (leβ€˜π‘…)
1715, 16eqtr4di 2795 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯)) = 𝑂)
1817breqd 5117 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯) ↔ (π‘“β€˜π‘₯)𝑂(π‘”β€˜π‘₯)))
1918ralbidva 3173 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)𝑂(π‘”β€˜π‘₯)))
20 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
21 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
22 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
23 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓 ∈ 𝐡)
245, 20, 4, 21, 22, 23pwselbas 17372 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
2524ffnd 6670 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓 Fn 𝐼)
26 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑔 ∈ 𝐡)
275, 20, 4, 21, 22, 26pwselbas 17372 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑔:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
2827ffnd 6670 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑔 Fn 𝐼)
29 inidm 4179 . . . . . . . 8 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
30 eqidd 2738 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘₯))
31 eqidd 2738 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = (π‘”β€˜π‘₯))
3225, 28, 23, 26, 29, 30, 31ofrfvalg 7626 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓 ∘r 𝑂𝑔 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)𝑂(π‘”β€˜π‘₯)))
3319, 32bitr4d 282 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯) ↔ 𝑓 ∘r 𝑂𝑔))
3433pm5.32da 580 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ 𝑓 ∘r 𝑂𝑔)))
35 brinxp2 5710 . . . . 5 (𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔 ↔ ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ 𝑓 ∘r 𝑂𝑔))
3634, 35bitr4di 289 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯)) ↔ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔))
3712, 36bitr3d 281 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (({𝑓, 𝑔} βŠ† (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯)) ↔ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔))
3837opabbidv 5172 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ ({𝑓, 𝑔} βŠ† (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))} = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔})
39 pwsle.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜π‘Œ)
407fveq2d 6847 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (leβ€˜π‘Œ) = (leβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
4139, 40eqtrid 2789 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ≀ = (leβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
42 eqid 2737 . . . 4 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))
43 fvexd 6858 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (Scalarβ€˜π‘…) ∈ V)
44 simpr 486 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
45 snex 5389 . . . . 5 {𝑅} ∈ V
46 xpexg 7685 . . . . 5 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ {𝑅} ∈ V) β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}) ∈ V)
4744, 45, 46sylancl 587 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}) ∈ V)
48 eqid 2737 . . . 4 (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
49 snnzg 4736 . . . . . 6 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ {𝑅} β‰  βˆ…)
5049adantr 482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ {𝑅} β‰  βˆ…)
51 dmxp 5885 . . . . 5 ({𝑅} β‰  βˆ… β†’ dom (𝐼 Γ— {𝑅}) = 𝐼)
5250, 51syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ dom (𝐼 Γ— {𝑅}) = 𝐼)
53 eqid 2737 . . . 4 (leβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) = (leβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
5442, 43, 47, 48, 52, 53prdsle 17345 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (leβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ ({𝑓, 𝑔} βŠ† (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))})
5541, 54eqtrd 2777 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ≀ = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ ({𝑓, 𝑔} βŠ† (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))})
56 relinxp 5771 . . . 4 Rel ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
5756a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ Rel ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)))
58 dfrel4v 6143 . . 3 (Rel ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) ↔ ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔})
5957, 58sylib 217 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ 𝑓( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑔})
6038, 55, 593eqtr4d 2787 1 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ≀ = ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  Vcvv 3446   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  {csn 4587  {cpr 4589   class class class wbr 5106  {copab 5168   Γ— cxp 5632  dom cdm 5634  Rel wrel 5639  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘r cofr 7617  Basecbs 17084  Scalarcsca 17137  lecple 17141  Xscprds 17328   ↑s cpws 17329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-hom 17158  df-cco 17159  df-prds 17330  df-pws 17332
This theorem is referenced by:  pwsleval  17376
  Copyright terms: Public domain W3C validator