Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fpwwe2lem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fpwwe2lem7 10051
 Description: Lemma for fpwwe2 10058. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwwe2.1 𝑊 = {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑟 ⊆ (𝑥 × 𝑥)) ∧ (𝑟 We 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 [(𝑟 “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(𝑟 ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦))}
fpwwe2.2 (𝜑𝐴 ∈ V)
fpwwe2.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑟 ⊆ (𝑥 × 𝑥) ∧ 𝑟 We 𝑥)) → (𝑥𝐹𝑟) ∈ 𝐴)
fpwwe2lem9.x (𝜑𝑋𝑊𝑅)
fpwwe2lem9.y (𝜑𝑌𝑊𝑆)
fpwwe2lem9.m 𝑀 = OrdIso(𝑅, 𝑋)
fpwwe2lem9.n 𝑁 = OrdIso(𝑆, 𝑌)
fpwwe2lem7.1 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑀)
fpwwe2lem7.2 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑁)
fpwwe2lem7.3 (𝜑 → (𝑀𝐵) = (𝑁𝐵))
Assertion
Ref Expression
fpwwe2lem7 ((𝜑𝐶𝑅(𝑀𝐵)) → (𝐶𝑆(𝑁𝐵) ∧ (𝐷𝑅(𝑀𝐵) → (𝐶𝑅𝐷𝐶𝑆𝐷))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑢,𝐵   𝑢,𝑟,𝑥,𝑦,𝐹   𝑋,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦   𝑀,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦   𝑁,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦   𝜑,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦   𝐴,𝑟,𝑥   𝑅,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦   𝑌,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦   𝑆,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦   𝑊,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑢)   𝐵(𝑥,𝑟)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑢,𝑟)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑢,𝑟)

Proof of Theorem fpwwe2lem7
StepHypRef Expression
1 fpwwe2lem9.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑊𝑆)
2 fpwwe2.1 . . . . . . . . . 10 𝑊 = {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑟 ⊆ (𝑥 × 𝑥)) ∧ (𝑟 We 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 [(𝑟 “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(𝑟 ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦))}
32relopabi 5662 . . . . . . . . 9 Rel 𝑊
43brrelex1i 5576 . . . . . . . 8 (𝑌𝑊𝑆𝑌 ∈ V)
51, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ V)
6 fpwwe2.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ V)
72, 6fpwwe2lem2 10047 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌𝑊𝑆 ↔ ((𝑌𝐴𝑆 ⊆ (𝑌 × 𝑌)) ∧ (𝑆 We 𝑌 ∧ ∀𝑦𝑌 [(𝑆 “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(𝑆 ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦))))
81, 7mpbid 235 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑌𝐴𝑆 ⊆ (𝑌 × 𝑌)) ∧ (𝑆 We 𝑌 ∧ ∀𝑦𝑌 [(𝑆 “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(𝑆 ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦)))
98simprld 771 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 We 𝑌)
10 fpwwe2lem9.n . . . . . . . 8 𝑁 = OrdIso(𝑆, 𝑌)
1110oiiso 8989 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ V ∧ 𝑆 We 𝑌) → 𝑁 Isom E , 𝑆 (dom 𝑁, 𝑌))
125, 9, 11syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑𝑁 Isom E , 𝑆 (dom 𝑁, 𝑌))
1312adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝑅(𝑀𝐵)) → 𝑁 Isom E , 𝑆 (dom 𝑁, 𝑌))
14 isof1o 7059 . . . . 5 (𝑁 Isom E , 𝑆 (dom 𝑁, 𝑌) → 𝑁:dom 𝑁1-1-onto𝑌)
1513, 14syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑅(𝑀𝐵)) → 𝑁:dom 𝑁1-1-onto𝑌)
16 fpwwe2.3 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑟 ⊆ (𝑥 × 𝑥) ∧ 𝑟 We 𝑥)) → (𝑥𝐹𝑟) ∈ 𝐴)
17 fpwwe2lem9.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑊𝑅)
18 fpwwe2lem9.m . . . . . 6 𝑀 = OrdIso(𝑅, 𝑋)
19 fpwwe2lem7.1 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑀)
20 fpwwe2lem7.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑁)
21 fpwwe2lem7.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝐵) = (𝑁𝐵))
222, 6, 16, 17, 1, 18, 10, 19, 20, 21fpwwe2lem6 10050 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝑅(𝑀𝐵)) → (𝐶𝑋𝐶𝑌 ∧ (𝑀𝐶) = (𝑁𝐶)))
2322simp2d 1140 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑅(𝑀𝐵)) → 𝐶𝑌)
24 f1ocnvfv2 7016 . . . 4 ((𝑁:dom 𝑁1-1-onto𝑌𝐶𝑌) → (𝑁‘(𝑁𝐶)) = 𝐶)
2515, 23, 24syl2anc 587 . . 3 ((𝜑𝐶𝑅(𝑀𝐵)) → (𝑁‘(𝑁𝐶)) = 𝐶)
2622simp3d 1141 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝑅(𝑀𝐵)) → (𝑀𝐶) = (𝑁𝐶))
273brrelex1i 5576 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝑊𝑅𝑋 ∈ V)
2817, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ V)
292, 6fpwwe2lem2 10047 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋𝑊𝑅 ↔ ((𝑋𝐴𝑅 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ (𝑅 We 𝑋 ∧ ∀𝑦𝑋 [(𝑅 “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(𝑅 ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦))))
3017, 29mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋𝐴𝑅 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ (𝑅 We 𝑋 ∧ ∀𝑦𝑋 [(𝑅 “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(𝑅 ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦)))
3130simprld 771 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 We 𝑋)
3218oiiso 8989 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑅 We 𝑋) → 𝑀 Isom E , 𝑅 (dom 𝑀, 𝑋))
3328, 31, 32syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 Isom E , 𝑅 (dom 𝑀, 𝑋))
3433adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶𝑅(𝑀𝐵)) → 𝑀 Isom E , 𝑅 (dom 𝑀, 𝑋))
35 isof1o 7059 . . . . . . . . 9 (𝑀 Isom E , 𝑅 (dom 𝑀, 𝑋) → 𝑀:dom 𝑀1-1-onto𝑋)
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶𝑅(𝑀𝐵)) → 𝑀:dom 𝑀1-1-onto𝑋)
3722simp1d 1139 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶𝑅(𝑀𝐵)) → 𝐶𝑋)
38 f1ocnvfv2 7016 . . . . . . . 8 ((𝑀:dom 𝑀1-1-onto𝑋𝐶𝑋) → (𝑀‘(𝑀𝐶)) = 𝐶)
3936, 37, 38syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶𝑅(𝑀𝐵)) → (𝑀‘(𝑀𝐶)) = 𝐶)
40 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶𝑅(𝑀𝐵)) → 𝐶𝑅(𝑀𝐵))
4139, 40eqbrtrd 5055 . . . . . 6 ((𝜑𝐶𝑅(𝑀𝐵)) → (𝑀‘(𝑀𝐶))𝑅(𝑀𝐵))
42 f1ocnv 6606 . . . . . . . . 9 (𝑀:dom 𝑀1-1-onto𝑋𝑀:𝑋1-1-onto→dom 𝑀)
43 f1of 6594 . . . . . . . . 9 (𝑀:𝑋1-1-onto→dom 𝑀𝑀:𝑋⟶dom 𝑀)
4436, 42, 433syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶𝑅(𝑀𝐵)) → 𝑀:𝑋⟶dom 𝑀)
4544, 37ffvelrnd 6833 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶𝑅(𝑀𝐵)) → (𝑀𝐶) ∈ dom 𝑀)
4619adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶𝑅(𝑀𝐵)) → 𝐵 ∈ dom 𝑀)
47 isorel 7062 . . . . . . 7 ((𝑀 Isom E , 𝑅 (dom 𝑀, 𝑋) ∧ ((𝑀𝐶) ∈ dom 𝑀𝐵 ∈ dom 𝑀)) → ((𝑀𝐶) E 𝐵 ↔ (𝑀‘(𝑀𝐶))𝑅(𝑀𝐵)))
4834, 45, 46, 47syl12anc 835 . . . . . 6 ((𝜑𝐶𝑅(𝑀𝐵)) → ((𝑀𝐶) E 𝐵 ↔ (𝑀‘(𝑀𝐶))𝑅(𝑀𝐵)))
4941, 48mpbird 260 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝑅(𝑀𝐵)) → (𝑀𝐶) E 𝐵)
5026, 49eqbrtrrd 5057 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑅(𝑀𝐵)) → (𝑁𝐶) E 𝐵)
51 f1ocnv 6606 . . . . . . 7 (𝑁:dom 𝑁1-1-onto𝑌𝑁:𝑌1-1-onto→dom 𝑁)
52 f1of 6594 . . . . . . 7 (𝑁:𝑌1-1-onto→dom 𝑁𝑁:𝑌⟶dom 𝑁)
5315, 51, 523syl 18 . . . . . 6 ((𝜑𝐶𝑅(𝑀𝐵)) → 𝑁:𝑌⟶dom 𝑁)
5453, 23ffvelrnd 6833 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝑅(𝑀𝐵)) → (𝑁𝐶) ∈ dom 𝑁)
5520adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝑅(𝑀𝐵)) → 𝐵 ∈ dom 𝑁)
56 isorel 7062 . . . . 5 ((𝑁 Isom E , 𝑆 (dom 𝑁, 𝑌) ∧ ((𝑁𝐶) ∈ dom 𝑁𝐵 ∈ dom 𝑁)) → ((𝑁𝐶) E 𝐵 ↔ (𝑁‘(𝑁𝐶))𝑆(𝑁𝐵)))
5713, 54, 55, 56syl12anc 835 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑅(𝑀𝐵)) → ((𝑁𝐶) E 𝐵 ↔ (𝑁‘(𝑁𝐶))𝑆(𝑁𝐵)))
5850, 57mpbid 235 . . 3 ((𝜑𝐶𝑅(𝑀𝐵)) → (𝑁‘(𝑁𝐶))𝑆(𝑁𝐵))
5925, 58eqbrtrrd 5057 . 2 ((𝜑𝐶𝑅(𝑀𝐵)) → 𝐶𝑆(𝑁𝐵))
6026adantrr 716 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑅(𝑀𝐵) ∧ 𝐷𝑅(𝑀𝐵))) → (𝑀𝐶) = (𝑁𝐶))
612, 6, 16, 17, 1, 18, 10, 19, 20, 21fpwwe2lem6 10050 . . . . . . 7 ((𝜑𝐷𝑅(𝑀𝐵)) → (𝐷𝑋𝐷𝑌 ∧ (𝑀𝐷) = (𝑁𝐷)))
6261simp3d 1141 . . . . . 6 ((𝜑𝐷𝑅(𝑀𝐵)) → (𝑀𝐷) = (𝑁𝐷))
6362adantrl 715 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑅(𝑀𝐵) ∧ 𝐷𝑅(𝑀𝐵))) → (𝑀𝐷) = (𝑁𝐷))
6460, 63breq12d 5046 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑅(𝑀𝐵) ∧ 𝐷𝑅(𝑀𝐵))) → ((𝑀𝐶) E (𝑀𝐷) ↔ (𝑁𝐶) E (𝑁𝐷)))
6533adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑅(𝑀𝐵) ∧ 𝐷𝑅(𝑀𝐵))) → 𝑀 Isom E , 𝑅 (dom 𝑀, 𝑋))
66 isocnv 7066 . . . . . 6 (𝑀 Isom E , 𝑅 (dom 𝑀, 𝑋) → 𝑀 Isom 𝑅, E (𝑋, dom 𝑀))
6765, 66syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑅(𝑀𝐵) ∧ 𝐷𝑅(𝑀𝐵))) → 𝑀 Isom 𝑅, E (𝑋, dom 𝑀))
6837adantrr 716 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑅(𝑀𝐵) ∧ 𝐷𝑅(𝑀𝐵))) → 𝐶𝑋)
6930simplrd 769 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
7069ssbrd 5076 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷𝑅(𝑀𝐵) → 𝐷(𝑋 × 𝑋)(𝑀𝐵)))
7170imp 410 . . . . . . 7 ((𝜑𝐷𝑅(𝑀𝐵)) → 𝐷(𝑋 × 𝑋)(𝑀𝐵))
72 brxp 5569 . . . . . . . 8 (𝐷(𝑋 × 𝑋)(𝑀𝐵) ↔ (𝐷𝑋 ∧ (𝑀𝐵) ∈ 𝑋))
7372simplbi 501 . . . . . . 7 (𝐷(𝑋 × 𝑋)(𝑀𝐵) → 𝐷𝑋)
7471, 73syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐷𝑅(𝑀𝐵)) → 𝐷𝑋)
7574adantrl 715 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑅(𝑀𝐵) ∧ 𝐷𝑅(𝑀𝐵))) → 𝐷𝑋)
76 isorel 7062 . . . . 5 ((𝑀 Isom 𝑅, E (𝑋, dom 𝑀) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → (𝐶𝑅𝐷 ↔ (𝑀𝐶) E (𝑀𝐷)))
7767, 68, 75, 76syl12anc 835 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑅(𝑀𝐵) ∧ 𝐷𝑅(𝑀𝐵))) → (𝐶𝑅𝐷 ↔ (𝑀𝐶) E (𝑀𝐷)))
7812adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑅(𝑀𝐵) ∧ 𝐷𝑅(𝑀𝐵))) → 𝑁 Isom E , 𝑆 (dom 𝑁, 𝑌))
79 isocnv 7066 . . . . . 6 (𝑁 Isom E , 𝑆 (dom 𝑁, 𝑌) → 𝑁 Isom 𝑆, E (𝑌, dom 𝑁))
8078, 79syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑅(𝑀𝐵) ∧ 𝐷𝑅(𝑀𝐵))) → 𝑁 Isom 𝑆, E (𝑌, dom 𝑁))
8123adantrr 716 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑅(𝑀𝐵) ∧ 𝐷𝑅(𝑀𝐵))) → 𝐶𝑌)
8261simp2d 1140 . . . . . 6 ((𝜑𝐷𝑅(𝑀𝐵)) → 𝐷𝑌)
8382adantrl 715 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑅(𝑀𝐵) ∧ 𝐷𝑅(𝑀𝐵))) → 𝐷𝑌)
84 isorel 7062 . . . . 5 ((𝑁 Isom 𝑆, E (𝑌, dom 𝑁) ∧ (𝐶𝑌𝐷𝑌)) → (𝐶𝑆𝐷 ↔ (𝑁𝐶) E (𝑁𝐷)))
8580, 81, 83, 84syl12anc 835 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑅(𝑀𝐵) ∧ 𝐷𝑅(𝑀𝐵))) → (𝐶𝑆𝐷 ↔ (𝑁𝐶) E (𝑁𝐷)))
8664, 77, 853bitr4d 314 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑅(𝑀𝐵) ∧ 𝐷𝑅(𝑀𝐵))) → (𝐶𝑅𝐷𝐶𝑆𝐷))
8786expr 460 . 2 ((𝜑𝐶𝑅(𝑀𝐵)) → (𝐷𝑅(𝑀𝐵) → (𝐶𝑅𝐷𝐶𝑆𝐷)))
8859, 87jca 515 1 ((𝜑𝐶𝑅(𝑀𝐵)) → (𝐶𝑆(𝑁𝐵) ∧ (𝐷𝑅(𝑀𝐵) → (𝐶𝑅𝐷𝐶𝑆𝐷))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  Vcvv 3444  [wsbc 3723   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  {csn 4528   class class class wbr 5033  {copab 5095   E cep 5432   We wwe 5481   × cxp 5521  ◡ccnv 5522  dom cdm 5523   ↾ cres 5525   “ cima 5526  ⟶wf 6324  –1-1-onto→wf1o 6327  ‘cfv 6328   Isom wiso 6329  (class class class)co 7139  OrdIsocoi 8961 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-oi 8962 This theorem is referenced by:  fpwwe2lem8  10052
 Copyright terms: Public domain W3C validator