Theorem pi1grplem 24956

Description: Lemma for pi1grp 24957. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1fval.g	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
pi1fval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
pi1fval.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1fval.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
pi1grplem.z	⊢ 0 = ((0[,]1) × {𝑌})

Assertion

Ref	Expression
pi1grplem	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘𝐺)))

Proof of Theorem pi1grplem

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1fval.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
2		pi1fval.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		pi1fval.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
4		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝐽 Ω1 𝑌) = (𝐽 Ω1 𝑌)
5	1, 2, 3, 4	pi1val 24944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)))
6		pi1fval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
8		eqidd 2731	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	pi1buni 24947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
10		fvexd 6876	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
11		ovexd 7425	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 Ω1 𝑌) ∈ V)
12	1, 2, 3, 4, 7, 9	pi1blem 24946	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ (II Cn 𝐽)))
13	12	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵)
14	5, 9, 10, 11, 13	qusin 17514	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))))
15	4, 2, 3	om1plusg 24941	. . 3 ⊢ (𝜑 → (*𝑝‘𝐽) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
16		phtpcer 24901	. . . . 5 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
18	12	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 ⊆ (II Cn 𝐽))
19	17, 18	erinxp 8767	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) Er ∪ 𝐵)
20		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))
21		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))
22	1, 2, 3, 7, 20, 4, 21	pi1cpbl 24951	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑐 ∧ 𝑏(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑑) → (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑)))
23	15	oveqd 7407	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎(*𝑝‘𝐽)𝑏) = (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏))
24	15	oveqd 7407	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑐(*𝑝‘𝐽)𝑑) = (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑))
25	23, 24	breq12d 5123	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(*𝑝‘𝐽)𝑏)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑐(*𝑝‘𝐽)𝑑) ↔ (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑)))
26	22, 25	sylibrd 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑐 ∧ 𝑏(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑑) → (𝑎(*𝑝‘𝐽)𝑏)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑐(*𝑝‘𝐽)𝑑)))
27	2	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
28	3	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝑋)
29	9	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
30		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐵)
31		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑦 ∈ ∪ 𝐵)
32	4, 27, 28, 29, 30, 31	om1addcl 24940	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦) ∈ ∪ 𝐵)
33	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
34	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝑋)
35	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
36	32	3adant3r3 1185	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦) ∈ ∪ 𝐵)
37		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)
38	4, 33, 34, 35, 36, 37	om1addcl 24940	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → ((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧) ∈ ∪ 𝐵)
39		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐵)
40		simpr2 1196	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ∪ 𝐵)
41	4, 33, 34, 35, 40, 37	om1addcl 24940	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧) ∈ ∪ 𝐵)
42	4, 33, 34, 35, 39, 41	om1addcl 24940	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧)) ∈ ∪ 𝐵)
43	1, 2, 3, 7	pi1eluni 24949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌)))
44	43	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌))
45	44	3ad2antr1 1189	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌))
46	45	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
47	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘𝐺))
48	1, 33, 34, 47	pi1eluni 24949	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌)))
49	40, 48	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌))
50	49	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
51	1, 33, 34, 47	pi1eluni 24949	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑧 ∈ ∪ 𝐵 ↔ (𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑧‘0) = 𝑌 ∧ (𝑧‘1) = 𝑌)))
52	37, 51	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑧‘0) = 𝑌 ∧ (𝑧‘1) = 𝑌))
53	52	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽))
54	45	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑥‘1) = 𝑌)
55	49	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦‘0) = 𝑌)
56	54, 55	eqtr4d 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑥‘1) = (𝑦‘0))
57	49	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦‘1) = 𝑌)
58	52	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑧‘0) = 𝑌)
59	57, 58	eqtr4d 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦‘1) = (𝑧‘0))
60		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑢 ≤ (1 / 2), if(𝑢 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑢), (𝑢 + (1 / 4))), ((𝑢 / 2) + (1 / 2)))) = (𝑢 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑢 ≤ (1 / 2), if(𝑢 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑢), (𝑢 + (1 / 4))), ((𝑢 / 2) + (1 / 2))))
61	46, 50, 53, 56, 59, 60	pcoass 24931	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → ((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧)( ≃ph‘𝐽)(𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧)))
62		brinxp2 5719	. . . 4 ⊢ (((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧)) ↔ ((((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧) ∈ ∪ 𝐵 ∧ (𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧)) ∈ ∪ 𝐵) ∧ ((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧)( ≃ph‘𝐽)(𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧))))
63	38, 42, 61, 62	syl21anbrc 1345	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → ((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧)))
64		pi1grplem.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = ((0[,]1) × {𝑌})
65	64	pcoptcl 24928	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 ‘0) = 𝑌 ∧ ( 0 ‘1) = 𝑌))
66	2, 3, 65	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 ‘0) = 𝑌 ∧ ( 0 ‘1) = 𝑌))
67	1, 2, 3, 7	pi1eluni 24949	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 ∈ ∪ 𝐵 ↔ ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 ‘0) = 𝑌 ∧ ( 0 ‘1) = 𝑌)))
68	66, 67	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ∪ 𝐵)
69	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
70	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝑋)
71	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
72	68	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 0 ∈ ∪ 𝐵)
73		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐵)
74	4, 69, 70, 71, 72, 73	om1addcl 24940	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥) ∈ ∪ 𝐵)
75	18	sselda 3949	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
76	44	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑥‘0) = 𝑌)
77	64	pcopt 24929	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌) → ( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽)𝑥)
78	75, 76, 77	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽)𝑥)
79		brinxp2 5719	. . . 4 ⊢ (( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑥 ↔ ((( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥) ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) ∧ ( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽)𝑥))
80	74, 73, 78, 79	syl21anbrc 1345	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑥)
81		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) = (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))
82	81	pcorevcl 24932	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = (𝑥‘1) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = (𝑥‘0)))
83	75, 82	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = (𝑥‘1) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = (𝑥‘0)))
84	83	simp1d 1142	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽))
85	83	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = (𝑥‘1))
86	44	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑥‘1) = 𝑌)
87	85, 86	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = 𝑌)
88	83	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = (𝑥‘0))
89	88, 76	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = 𝑌)
90	1, 2, 3, 7	pi1eluni 24949	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ ∪ 𝐵 ↔ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = 𝑌)))
91	90	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ ∪ 𝐵 ↔ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = 𝑌)))
92	84, 87, 89, 91	mpbir3and 1343	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ ∪ 𝐵)
93	4, 69, 70, 71, 92, 73	om1addcl 24940	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥) ∈ ∪ 𝐵)
94		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]1) × {(𝑥‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝑥‘1)})
95	81, 94	pcorev 24934	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑥‘1)}))
96	75, 95	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑥‘1)}))
97	86	sneqd 4604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → {(𝑥‘1)} = {𝑌})
98	97	xpeq2d 5671	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((0[,]1) × {(𝑥‘1)}) = ((0[,]1) × {𝑌}))
99	64, 98	eqtr4id 2784	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 0 = ((0[,]1) × {(𝑥‘1)}))
100	96, 99	breqtrrd 5138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽) 0 )
101		brinxp2 5719	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) 0 ↔ ((((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥) ∈ ∪ 𝐵 ∧ 0 ∈ ∪ 𝐵) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽) 0 ))
102	93, 72, 100, 101	syl21anbrc 1345	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) 0 )
103	14, 9, 15, 19, 11, 26, 32, 63, 68, 80, 92, 102	qusgrp2 18997	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (0g‘𝐺)))
104		ecinxp 8768	. . . . 5 ⊢ (((( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵 ∧ 0 ∈ ∪ 𝐵) → [ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = [ 0 ](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
105	13, 68, 104	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = [ 0 ](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
106	105	eqeq1d 2732	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘𝐺) ↔ [ 0 ](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (0g‘𝐺)))
107	106	anbi2d 630	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘𝐺)) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (0g‘𝐺))))
108	103, 107	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ifcif 4491  {csn 4592  ∪ cuni 4874   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191   × cxp 5639   “ cima 5644  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   Er wer 8671  [cec 8672  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   ≤ cle 11216   − cmin 11412   / cdiv 11842  2c2 12248  4c4 12250  [,]cicc 13316  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  0_gc0g 17409  Grpcgrp 18872  TopOnctopon 22804   Cn ccn 23118  IIcii 24775   ≃_phcphtpc 24875  *_𝑝cpco 24907   Ω₁ comi 24908   π₁ cpi1 24910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-ec 8676  df-qs 8680  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-qus 17479  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-ii 24777  df-htpy 24876  df-phtpy 24877  df-phtpc 24898  df-pco 24912  df-om1 24913  df-pi1 24915

This theorem is referenced by:  pi1grp  24957  pi1id  24958  pi1inv  24959