MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1grplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1grplem 24896
Description: Lemma for pi1grp 24897. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1fval.g 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
pi1fval.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pi1fval.3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1fval.4 (𝜑𝑌𝑋)
pi1grplem.z 0 = ((0[,]1) × {𝑌})
Assertion
Ref Expression
pi1grplem (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃ph𝐽) = (0g𝐺)))

Proof of Theorem pi1grplem
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1fval.g . . . . 5 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
2 pi1fval.3 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3 pi1fval.4 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑋)
4 eqid 2731 . . . . 5 (𝐽 Ω1 𝑌) = (𝐽 Ω1 𝑌)
51, 2, 3, 4pi1val 24884 . . . 4 (𝜑𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph𝐽)))
6 pi1fval.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐺))
8 eqidd 2732 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
91, 2, 3, 4, 7, 8pi1buni 24887 . . . 4 (𝜑 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
10 fvexd 6906 . . . 4 (𝜑 → ( ≃ph𝐽) ∈ V)
11 ovexd 7447 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 Ω1 𝑌) ∈ V)
121, 2, 3, 4, 7, 9pi1blem 24886 . . . . 5 (𝜑 → ((( ≃ph𝐽) “ 𝐵) ⊆ 𝐵 𝐵 ⊆ (II Cn 𝐽)))
1312simpld 494 . . . 4 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) “ 𝐵) ⊆ 𝐵)
145, 9, 10, 11, 13qusin 17497 . . 3 (𝜑𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))))
154, 2, 3om1plusg 24881 . . 3 (𝜑 → (*𝑝𝐽) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
16 phtpcer 24841 . . . . 5 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
1716a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
1812simprd 495 . . . 4 (𝜑 𝐵 ⊆ (II Cn 𝐽))
1917, 18erinxp 8791 . . 3 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) Er 𝐵)
20 eqid 2731 . . . . 5 (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) = (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))
21 eqid 2731 . . . . 5 (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))
221, 2, 3, 7, 20, 4, 21pi1cpbl 24891 . . . 4 (𝜑 → ((𝑎(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑐𝑏(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑑) → (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))(𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑)))
2315oveqd 7429 . . . . 5 (𝜑 → (𝑎(*𝑝𝐽)𝑏) = (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏))
2415oveqd 7429 . . . . 5 (𝜑 → (𝑐(*𝑝𝐽)𝑑) = (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑))
2523, 24breq12d 5161 . . . 4 (𝜑 → ((𝑎(*𝑝𝐽)𝑏)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))(𝑐(*𝑝𝐽)𝑑) ↔ (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))(𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑)))
2622, 25sylibrd 259 . . 3 (𝜑 → ((𝑎(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑐𝑏(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑑) → (𝑎(*𝑝𝐽)𝑏)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))(𝑐(*𝑝𝐽)𝑑)))
2723ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵𝑦 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2833ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵𝑦 𝐵) → 𝑌𝑋)
2993ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵𝑦 𝐵) → 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
30 simp2 1136 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵𝑦 𝐵) → 𝑥 𝐵)
31 simp3 1137 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵𝑦 𝐵) → 𝑦 𝐵)
324, 27, 28, 29, 30, 31om1addcl 24880 . . 3 ((𝜑𝑥 𝐵𝑦 𝐵) → (𝑥(*𝑝𝐽)𝑦) ∈ 𝐵)
332adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
343adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝑌𝑋)
359adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
36323adant3r3 1183 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑥(*𝑝𝐽)𝑦) ∈ 𝐵)
37 simpr3 1195 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝑧 𝐵)
384, 33, 34, 35, 36, 37om1addcl 24880 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → ((𝑥(*𝑝𝐽)𝑦)(*𝑝𝐽)𝑧) ∈ 𝐵)
39 simpr1 1193 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝑥 𝐵)
40 simpr2 1194 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝑦 𝐵)
414, 33, 34, 35, 40, 37om1addcl 24880 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑦(*𝑝𝐽)𝑧) ∈ 𝐵)
424, 33, 34, 35, 39, 41om1addcl 24880 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑥(*𝑝𝐽)(𝑦(*𝑝𝐽)𝑧)) ∈ 𝐵)
431, 2, 3, 7pi1eluni 24889 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌)))
4443biimpa 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝐵) → (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌))
45443ad2antr1 1187 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌))
4645simp1d 1141 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
476a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘𝐺))
481, 33, 34, 47pi1eluni 24889 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑦 𝐵 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌)))
4940, 48mpbid 231 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌))
5049simp1d 1141 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
511, 33, 34, 47pi1eluni 24889 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑧 𝐵 ↔ (𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑧‘0) = 𝑌 ∧ (𝑧‘1) = 𝑌)))
5237, 51mpbid 231 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑧‘0) = 𝑌 ∧ (𝑧‘1) = 𝑌))
5352simp1d 1141 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽))
5445simp3d 1143 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑥‘1) = 𝑌)
5549simp2d 1142 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑦‘0) = 𝑌)
5654, 55eqtr4d 2774 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑥‘1) = (𝑦‘0))
5749simp3d 1143 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑦‘1) = 𝑌)
5852simp2d 1142 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑧‘0) = 𝑌)
5957, 58eqtr4d 2774 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑦‘1) = (𝑧‘0))
60 eqid 2731 . . . . 5 (𝑢 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑢 ≤ (1 / 2), if(𝑢 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑢), (𝑢 + (1 / 4))), ((𝑢 / 2) + (1 / 2)))) = (𝑢 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑢 ≤ (1 / 2), if(𝑢 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑢), (𝑢 + (1 / 4))), ((𝑢 / 2) + (1 / 2))))
6146, 50, 53, 56, 59, 60pcoass 24871 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → ((𝑥(*𝑝𝐽)𝑦)(*𝑝𝐽)𝑧)( ≃ph𝐽)(𝑥(*𝑝𝐽)(𝑦(*𝑝𝐽)𝑧)))
62 brinxp2 5753 . . . 4 (((𝑥(*𝑝𝐽)𝑦)(*𝑝𝐽)𝑧)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))(𝑥(*𝑝𝐽)(𝑦(*𝑝𝐽)𝑧)) ↔ ((((𝑥(*𝑝𝐽)𝑦)(*𝑝𝐽)𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(*𝑝𝐽)(𝑦(*𝑝𝐽)𝑧)) ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥(*𝑝𝐽)𝑦)(*𝑝𝐽)𝑧)( ≃ph𝐽)(𝑥(*𝑝𝐽)(𝑦(*𝑝𝐽)𝑧))))
6338, 42, 61, 62syl21anbrc 1343 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → ((𝑥(*𝑝𝐽)𝑦)(*𝑝𝐽)𝑧)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))(𝑥(*𝑝𝐽)(𝑦(*𝑝𝐽)𝑧)))
64 pi1grplem.z . . . . . 6 0 = ((0[,]1) × {𝑌})
6564pcoptcl 24868 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 ‘0) = 𝑌 ∧ ( 0 ‘1) = 𝑌))
662, 3, 65syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 ‘0) = 𝑌 ∧ ( 0 ‘1) = 𝑌))
671, 2, 3, 7pi1eluni 24889 . . . 4 (𝜑 → ( 0 𝐵 ↔ ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 ‘0) = 𝑌 ∧ ( 0 ‘1) = 𝑌)))
6866, 67mpbird 257 . . 3 (𝜑0 𝐵)
692adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
703adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → 𝑌𝑋)
719adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
7268adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → 0 𝐵)
73 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → 𝑥 𝐵)
744, 69, 70, 71, 72, 73om1addcl 24880 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵) → ( 0 (*𝑝𝐽)𝑥) ∈ 𝐵)
7518sselda 3982 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
7644simp2d 1142 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → (𝑥‘0) = 𝑌)
7764pcopt 24869 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌) → ( 0 (*𝑝𝐽)𝑥)( ≃ph𝐽)𝑥)
7875, 76, 77syl2anc 583 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵) → ( 0 (*𝑝𝐽)𝑥)( ≃ph𝐽)𝑥)
79 brinxp2 5753 . . . 4 (( 0 (*𝑝𝐽)𝑥)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑥 ↔ ((( 0 (*𝑝𝐽)𝑥) ∈ 𝐵𝑥 𝐵) ∧ ( 0 (*𝑝𝐽)𝑥)( ≃ph𝐽)𝑥))
8074, 73, 78, 79syl21anbrc 1343 . . 3 ((𝜑𝑥 𝐵) → ( 0 (*𝑝𝐽)𝑥)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑥)
81 eqid 2731 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) = (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))
8281pcorevcl 24872 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = (𝑥‘1) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = (𝑥‘0)))
8375, 82syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = (𝑥‘1) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = (𝑥‘0)))
8483simp1d 1141 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵) → (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽))
8583simp2d 1142 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = (𝑥‘1))
8644simp3d 1143 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → (𝑥‘1) = 𝑌)
8785, 86eqtrd 2771 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = 𝑌)
8883simp3d 1143 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = (𝑥‘0))
8988, 76eqtrd 2771 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = 𝑌)
901, 2, 3, 7pi1eluni 24889 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = 𝑌)))
9190adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = 𝑌)))
9284, 87, 89, 91mpbir3and 1341 . . 3 ((𝜑𝑥 𝐵) → (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ 𝐵)
934, 69, 70, 71, 92, 73om1addcl 24880 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝𝐽)𝑥) ∈ 𝐵)
94 eqid 2731 . . . . . . 7 ((0[,]1) × {(𝑥‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝑥‘1)})
9581, 94pcorev 24874 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝𝐽)𝑥)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝑥‘1)}))
9675, 95syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝𝐽)𝑥)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝑥‘1)}))
9786sneqd 4640 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝐵) → {(𝑥‘1)} = {𝑌})
9897xpeq2d 5706 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((0[,]1) × {(𝑥‘1)}) = ((0[,]1) × {𝑌}))
9964, 98eqtr4id 2790 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → 0 = ((0[,]1) × {(𝑥‘1)}))
10096, 99breqtrrd 5176 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝𝐽)𝑥)( ≃ph𝐽) 0 )
101 brinxp2 5753 . . . 4 (((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝𝐽)𝑥)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) 0 ↔ ((((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝𝐽)𝑥) ∈ 𝐵0 𝐵) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝𝐽)𝑥)( ≃ph𝐽) 0 ))
10293, 72, 100, 101syl21anbrc 1343 . . 3 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝𝐽)𝑥)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) 0 )
10314, 9, 15, 19, 11, 26, 32, 63, 68, 80, 92, 102qusgrp2 18984 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) = (0g𝐺)))
104 ecinxp 8792 . . . . 5 (((( ≃ph𝐽) “ 𝐵) ⊆ 𝐵0 𝐵) → [ 0 ]( ≃ph𝐽) = [ 0 ](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
10513, 68, 104syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → [ 0 ]( ≃ph𝐽) = [ 0 ](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
106105eqeq1d 2733 . . 3 (𝜑 → ([ 0 ]( ≃ph𝐽) = (0g𝐺) ↔ [ 0 ](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) = (0g𝐺)))
107106anbi2d 628 . 2 (𝜑 → ((𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃ph𝐽) = (0g𝐺)) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) = (0g𝐺))))
108103, 107mpbird 257 1 (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃ph𝐽) = (0g𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3473  cin 3947  wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628   cuni 4908   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5674  cima 5679  cfv 6543  (class class class)co 7412   Er wer 8706  [cec 8707  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121  cle 11256  cmin 11451   / cdiv 11878  2c2 12274  4c4 12276  [,]cicc 13334  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  0gc0g 17392  Grpcgrp 18861  TopOnctopon 22732   Cn ccn 23048  IIcii 24715  phcphtpc 24815  *𝑝cpco 24847   Ω1 comi 24848   π1 cpi1 24850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-ec 8711  df-qs 8715  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-qus 17462  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-cnfld 21234  df-top 22716  df-topon 22733  df-topsp 22755  df-bases 22769  df-cld 22843  df-cn 23051  df-cnp 23052  df-tx 23386  df-hmeo 23579  df-xms 24146  df-ms 24147  df-tms 24148  df-ii 24717  df-htpy 24816  df-phtpy 24817  df-phtpc 24838  df-pco 24852  df-om1 24853  df-pi1 24855
This theorem is referenced by:  pi1grp  24897  pi1id  24898  pi1inv  24899
  Copyright terms: Public domain W3C validator