MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1grplem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pi1grplem 24994
Description: Lemma for pi1grp 24995. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1fval.g 𝐺 = (𝐽 Ο€1 π‘Œ)
pi1fval.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
pi1fval.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
pi1fval.4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
pi1grplem.z 0 = ((0[,]1) Γ— {π‘Œ})
Assertion
Ref Expression
pi1grplem (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃phβ€˜π½) = (0gβ€˜πΊ)))
Proof of Theorem pi1grplem
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1fval.g . . . . 5 𝐺 = (𝐽 Ο€1 π‘Œ)
2 pi1fval.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3 pi1fval.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
4 eqid 2725 . . . . 5 (𝐽 Ξ©1 π‘Œ) = (𝐽 Ξ©1 π‘Œ)
51, 2, 3, 4pi1val 24982 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = ((𝐽 Ξ©1 π‘Œ) /s ( ≃phβ€˜π½)))
6 pi1fval.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
76a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ))
8 eqidd 2726 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)) = (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))
91, 2, 3, 4, 7, 8pi1buni 24985 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))
10 fvexd 6907 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( ≃phβ€˜π½) ∈ V)
11 ovexd 7451 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐽 Ξ©1 π‘Œ) ∈ V)
121, 2, 3, 4, 7, 9pi1blem 24984 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((( ≃phβ€˜π½) β€œ βˆͺ 𝐡) βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† (II Cn 𝐽)))
1312simpld 493 . . . 4 (πœ‘ β†’ (( ≃phβ€˜π½) β€œ βˆͺ 𝐡) βŠ† βˆͺ 𝐡)
145, 9, 10, 11, 13qusin 17525 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = ((𝐽 Ξ©1 π‘Œ) /s (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))))
154, 2, 3om1plusg 24979 . . 3 (πœ‘ β†’ (*π‘β€˜π½) = (+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))
16 phtpcer 24939 . . . . 5 ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽)
1716a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽))
1812simprd 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐡 βŠ† (II Cn 𝐽))
1917, 18erinxp 8808 . . 3 (πœ‘ β†’ (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) Er βˆͺ 𝐡)
20 eqid 2725 . . . . 5 (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) = (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))
21 eqid 2725 . . . . 5 (+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)) = (+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))
221, 2, 3, 7, 20, 4, 21pi1cpbl 24989 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))𝑐 ∧ 𝑏(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))𝑑) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑏)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))(𝑐(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑑)))
2315oveqd 7433 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Ž(*π‘β€˜π½)𝑏) = (π‘Ž(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑏))
2415oveqd 7433 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑐(*π‘β€˜π½)𝑑) = (𝑐(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑑))
2523, 24breq12d 5156 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž(*π‘β€˜π½)𝑏)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))(𝑐(*π‘β€˜π½)𝑑) ↔ (π‘Ž(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑏)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))(𝑐(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑑)))
2622, 25sylibrd 258 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))𝑐 ∧ 𝑏(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))𝑑) β†’ (π‘Ž(*π‘β€˜π½)𝑏)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))(𝑐(*π‘β€˜π½)𝑑)))
2723ad2ant1 1130 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2833ad2ant1 1130 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
2993ad2ant1 1130 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ βˆͺ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))
30 simp2 1134 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡)
31 simp3 1135 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡)
324, 27, 28, 29, 30, 31om1addcl 24978 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘₯(*π‘β€˜π½)𝑦) ∈ βˆͺ 𝐡)
332adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
343adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
359adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ βˆͺ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))
36323adant3r3 1181 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (π‘₯(*π‘β€˜π½)𝑦) ∈ βˆͺ 𝐡)
37 simpr3 1193 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)
384, 33, 34, 35, 36, 37om1addcl 24978 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ ((π‘₯(*π‘β€˜π½)𝑦)(*π‘β€˜π½)𝑧) ∈ βˆͺ 𝐡)
39 simpr1 1191 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡)
40 simpr2 1192 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡)
414, 33, 34, 35, 40, 37om1addcl 24978 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (𝑦(*π‘β€˜π½)𝑧) ∈ βˆͺ 𝐡)
424, 33, 34, 35, 39, 41om1addcl 24978 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (π‘₯(*π‘β€˜π½)(𝑦(*π‘β€˜π½)𝑧)) ∈ βˆͺ 𝐡)
431, 2, 3, 7pi1eluni 24987 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ↔ (π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘₯β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘₯β€˜1) = π‘Œ)))
4443biimpa 475 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘₯β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘₯β€˜1) = π‘Œ))
45443ad2antr1 1185 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘₯β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘₯β€˜1) = π‘Œ))
4645simp1d 1139 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽))
476a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ))
481, 33, 34, 47pi1eluni 24987 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘¦β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘¦β€˜1) = π‘Œ)))
4940, 48mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘¦β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘¦β€˜1) = π‘Œ))
5049simp1d 1139 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
511, 33, 34, 47pi1eluni 24987 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡 ↔ (𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘§β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘§β€˜1) = π‘Œ)))
5237, 51mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘§β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘§β€˜1) = π‘Œ))
5352simp1d 1139 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽))
5445simp3d 1141 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (π‘₯β€˜1) = π‘Œ)
5549simp2d 1140 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (π‘¦β€˜0) = π‘Œ)
5654, 55eqtr4d 2768 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (π‘₯β€˜1) = (π‘¦β€˜0))
5749simp3d 1141 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (π‘¦β€˜1) = π‘Œ)
5852simp2d 1140 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (π‘§β€˜0) = π‘Œ)
5957, 58eqtr4d 2768 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (π‘¦β€˜1) = (π‘§β€˜0))
60 eqid 2725 . . . . 5 (𝑒 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑒 ≀ (1 / 2), if(𝑒 ≀ (1 / 4), (2 Β· 𝑒), (𝑒 + (1 / 4))), ((𝑒 / 2) + (1 / 2)))) = (𝑒 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑒 ≀ (1 / 2), if(𝑒 ≀ (1 / 4), (2 Β· 𝑒), (𝑒 + (1 / 4))), ((𝑒 / 2) + (1 / 2))))
6146, 50, 53, 56, 59, 60pcoass 24969 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ ((π‘₯(*π‘β€˜π½)𝑦)(*π‘β€˜π½)𝑧)( ≃phβ€˜π½)(π‘₯(*π‘β€˜π½)(𝑦(*π‘β€˜π½)𝑧)))
62 brinxp2 5749 . . . 4 (((π‘₯(*π‘β€˜π½)𝑦)(*π‘β€˜π½)𝑧)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))(π‘₯(*π‘β€˜π½)(𝑦(*π‘β€˜π½)𝑧)) ↔ ((((π‘₯(*π‘β€˜π½)𝑦)(*π‘β€˜π½)𝑧) ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ (π‘₯(*π‘β€˜π½)(𝑦(*π‘β€˜π½)𝑧)) ∈ βˆͺ 𝐡) ∧ ((π‘₯(*π‘β€˜π½)𝑦)(*π‘β€˜π½)𝑧)( ≃phβ€˜π½)(π‘₯(*π‘β€˜π½)(𝑦(*π‘β€˜π½)𝑧))))
6338, 42, 61, 62syl21anbrc 1341 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ ((π‘₯(*π‘β€˜π½)𝑦)(*π‘β€˜π½)𝑧)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))(π‘₯(*π‘β€˜π½)(𝑦(*π‘β€˜π½)𝑧)))
64 pi1grplem.z . . . . . 6 0 = ((0[,]1) Γ— {π‘Œ})
6564pcoptcl 24966 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 β€˜0) = π‘Œ ∧ ( 0 β€˜1) = π‘Œ))
662, 3, 65syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 β€˜0) = π‘Œ ∧ ( 0 β€˜1) = π‘Œ))
671, 2, 3, 7pi1eluni 24987 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( 0 ∈ βˆͺ 𝐡 ↔ ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 β€˜0) = π‘Œ ∧ ( 0 β€˜1) = π‘Œ)))
6866, 67mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ βˆͺ 𝐡)
692adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
703adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
719adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ βˆͺ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))
7268adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 0 ∈ βˆͺ 𝐡)
73 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡)
744, 69, 70, 71, 72, 73om1addcl 24978 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ( 0 (*π‘β€˜π½)π‘₯) ∈ βˆͺ 𝐡)
7518sselda 3972 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽))
7644simp2d 1140 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘₯β€˜0) = π‘Œ)
7764pcopt 24967 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘₯β€˜0) = π‘Œ) β†’ ( 0 (*π‘β€˜π½)π‘₯)( ≃phβ€˜π½)π‘₯)
7875, 76, 77syl2anc 582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ( 0 (*π‘β€˜π½)π‘₯)( ≃phβ€˜π½)π‘₯)
79 brinxp2 5749 . . . 4 (( 0 (*π‘β€˜π½)π‘₯)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))π‘₯ ↔ ((( 0 (*π‘β€˜π½)π‘₯) ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) ∧ ( 0 (*π‘β€˜π½)π‘₯)( ≃phβ€˜π½)π‘₯))
8074, 73, 78, 79syl21anbrc 1341 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ( 0 (*π‘β€˜π½)π‘₯)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))π‘₯)
81 eqid 2725 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž))) = (π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))
8281pcorevcl 24970 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜0) = (π‘₯β€˜1) ∧ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜1) = (π‘₯β€˜0)))
8375, 82syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜0) = (π‘₯β€˜1) ∧ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜1) = (π‘₯β€˜0)))
8483simp1d 1139 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž))) ∈ (II Cn 𝐽))
8583simp2d 1140 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜0) = (π‘₯β€˜1))
8644simp3d 1141 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘₯β€˜1) = π‘Œ)
8785, 86eqtrd 2765 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜0) = π‘Œ)
8883simp3d 1141 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜1) = (π‘₯β€˜0))
8988, 76eqtrd 2765 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜1) = π‘Œ)
901, 2, 3, 7pi1eluni 24987 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž))) ∈ βˆͺ 𝐡 ↔ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜0) = π‘Œ ∧ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜1) = π‘Œ)))
9190adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž))) ∈ βˆͺ 𝐡 ↔ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜0) = π‘Œ ∧ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜1) = π‘Œ)))
9284, 87, 89, 91mpbir3and 1339 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž))) ∈ βˆͺ 𝐡)
934, 69, 70, 71, 92, 73om1addcl 24978 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))(*π‘β€˜π½)π‘₯) ∈ βˆͺ 𝐡)
94 eqid 2725 . . . . . . 7 ((0[,]1) Γ— {(π‘₯β€˜1)}) = ((0[,]1) Γ— {(π‘₯β€˜1)})
9581, 94pcorev 24972 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))(*π‘β€˜π½)π‘₯)( ≃phβ€˜π½)((0[,]1) Γ— {(π‘₯β€˜1)}))
9675, 95syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))(*π‘β€˜π½)π‘₯)( ≃phβ€˜π½)((0[,]1) Γ— {(π‘₯β€˜1)}))
9786sneqd 4636 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ {(π‘₯β€˜1)} = {π‘Œ})
9897xpeq2d 5702 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((0[,]1) Γ— {(π‘₯β€˜1)}) = ((0[,]1) Γ— {π‘Œ}))
9964, 98eqtr4id 2784 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 0 = ((0[,]1) Γ— {(π‘₯β€˜1)}))
10096, 99breqtrrd 5171 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))(*π‘β€˜π½)π‘₯)( ≃phβ€˜π½) 0 )
101 brinxp2 5749 . . . 4 (((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))(*π‘β€˜π½)π‘₯)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) 0 ↔ ((((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))(*π‘β€˜π½)π‘₯) ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 0 ∈ βˆͺ 𝐡) ∧ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))(*π‘β€˜π½)π‘₯)( ≃phβ€˜π½) 0 ))
10293, 72, 100, 101syl21anbrc 1341 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))(*π‘β€˜π½)π‘₯)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) 0 )
10314, 9, 15, 19, 11, 26, 32, 63, 68, 80, 92, 102qusgrp2 19018 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) = (0gβ€˜πΊ)))
104 ecinxp 8809 . . . . 5 (((( ≃phβ€˜π½) β€œ βˆͺ 𝐡) βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ 0 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ [ 0 ]( ≃phβ€˜π½) = [ 0 ](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)))
10513, 68, 104syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ [ 0 ]( ≃phβ€˜π½) = [ 0 ](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)))
106105eqeq1d 2727 . . 3 (πœ‘ β†’ ([ 0 ]( ≃phβ€˜π½) = (0gβ€˜πΊ) ↔ [ 0 ](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) = (0gβ€˜πΊ)))
107106anbi2d 628 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃phβ€˜π½) = (0gβ€˜πΊ)) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) = (0gβ€˜πΊ))))
108103, 107mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃phβ€˜π½) = (0gβ€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ∩ cin 3938   βŠ† wss 3939  ifcif 4524  {csn 4624  βˆͺ cuni 4903   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   Γ— cxp 5670   β€œ cima 5675  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   Er wer 8720  [cec 8721  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474   / cdiv 11901  2c2 12297  4c4 12299  [,]cicc 13359  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  0gc0g 17420  Grpcgrp 18894  TopOnctopon 22830   Cn ccn 23146  IIcii 24813   ≃phcphtpc 24913  *𝑝cpco 24945   Ξ©1 comi 24946   Ο€1 cpi1 24948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-ec 8725  df-qs 8729  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-qus 17490  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-ii 24815  df-htpy 24914  df-phtpy 24915  df-phtpc 24936  df-pco 24950  df-om1 24951  df-pi1 24953
This theorem is referenced by:  pi1grp  24995  pi1id  24996  pi1inv  24997
  Copyright terms: Public domain W3C validator