MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1grplem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pi1grplem 24931
Description: Lemma for pi1grp 24932. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1fval.g 𝐺 = (𝐽 Ο€1 π‘Œ)
pi1fval.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
pi1fval.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
pi1fval.4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
pi1grplem.z 0 = ((0[,]1) Γ— {π‘Œ})
Assertion
Ref Expression
pi1grplem (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃phβ€˜π½) = (0gβ€˜πΊ)))
Proof of Theorem pi1grplem
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1fval.g . . . . 5 𝐺 = (𝐽 Ο€1 π‘Œ)
2 pi1fval.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3 pi1fval.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
4 eqid 2726 . . . . 5 (𝐽 Ξ©1 π‘Œ) = (𝐽 Ξ©1 π‘Œ)
51, 2, 3, 4pi1val 24919 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = ((𝐽 Ξ©1 π‘Œ) /s ( ≃phβ€˜π½)))
6 pi1fval.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
76a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ))
8 eqidd 2727 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)) = (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))
91, 2, 3, 4, 7, 8pi1buni 24922 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))
10 fvexd 6900 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( ≃phβ€˜π½) ∈ V)
11 ovexd 7440 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐽 Ξ©1 π‘Œ) ∈ V)
121, 2, 3, 4, 7, 9pi1blem 24921 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((( ≃phβ€˜π½) β€œ βˆͺ 𝐡) βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† (II Cn 𝐽)))
1312simpld 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ (( ≃phβ€˜π½) β€œ βˆͺ 𝐡) βŠ† βˆͺ 𝐡)
145, 9, 10, 11, 13qusin 17499 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = ((𝐽 Ξ©1 π‘Œ) /s (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))))
154, 2, 3om1plusg 24916 . . 3 (πœ‘ β†’ (*π‘β€˜π½) = (+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))
16 phtpcer 24876 . . . . 5 ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽)
1716a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽))
1812simprd 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐡 βŠ† (II Cn 𝐽))
1917, 18erinxp 8787 . . 3 (πœ‘ β†’ (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) Er βˆͺ 𝐡)
20 eqid 2726 . . . . 5 (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) = (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))
21 eqid 2726 . . . . 5 (+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)) = (+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))
221, 2, 3, 7, 20, 4, 21pi1cpbl 24926 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))𝑐 ∧ 𝑏(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))𝑑) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑏)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))(𝑐(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑑)))
2315oveqd 7422 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Ž(*π‘β€˜π½)𝑏) = (π‘Ž(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑏))
2415oveqd 7422 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑐(*π‘β€˜π½)𝑑) = (𝑐(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑑))
2523, 24breq12d 5154 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž(*π‘β€˜π½)𝑏)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))(𝑐(*π‘β€˜π½)𝑑) ↔ (π‘Ž(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑏)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))(𝑐(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑑)))
2622, 25sylibrd 259 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))𝑐 ∧ 𝑏(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))𝑑) β†’ (π‘Ž(*π‘β€˜π½)𝑏)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))(𝑐(*π‘β€˜π½)𝑑)))
2723ad2ant1 1130 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2833ad2ant1 1130 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
2993ad2ant1 1130 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ βˆͺ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))
30 simp2 1134 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡)
31 simp3 1135 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡)
324, 27, 28, 29, 30, 31om1addcl 24915 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘₯(*π‘β€˜π½)𝑦) ∈ βˆͺ 𝐡)
332adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
343adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
359adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ βˆͺ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))
36323adant3r3 1181 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (π‘₯(*π‘β€˜π½)𝑦) ∈ βˆͺ 𝐡)
37 simpr3 1193 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)
384, 33, 34, 35, 36, 37om1addcl 24915 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ ((π‘₯(*π‘β€˜π½)𝑦)(*π‘β€˜π½)𝑧) ∈ βˆͺ 𝐡)
39 simpr1 1191 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡)
40 simpr2 1192 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡)
414, 33, 34, 35, 40, 37om1addcl 24915 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (𝑦(*π‘β€˜π½)𝑧) ∈ βˆͺ 𝐡)
424, 33, 34, 35, 39, 41om1addcl 24915 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (π‘₯(*π‘β€˜π½)(𝑦(*π‘β€˜π½)𝑧)) ∈ βˆͺ 𝐡)
431, 2, 3, 7pi1eluni 24924 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ↔ (π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘₯β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘₯β€˜1) = π‘Œ)))
4443biimpa 476 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘₯β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘₯β€˜1) = π‘Œ))
45443ad2antr1 1185 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘₯β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘₯β€˜1) = π‘Œ))
4645simp1d 1139 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽))
476a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ))
481, 33, 34, 47pi1eluni 24924 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘¦β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘¦β€˜1) = π‘Œ)))
4940, 48mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘¦β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘¦β€˜1) = π‘Œ))
5049simp1d 1139 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
511, 33, 34, 47pi1eluni 24924 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡 ↔ (𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘§β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘§β€˜1) = π‘Œ)))
5237, 51mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘§β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘§β€˜1) = π‘Œ))
5352simp1d 1139 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽))
5445simp3d 1141 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (π‘₯β€˜1) = π‘Œ)
5549simp2d 1140 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (π‘¦β€˜0) = π‘Œ)
5654, 55eqtr4d 2769 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (π‘₯β€˜1) = (π‘¦β€˜0))
5749simp3d 1141 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (π‘¦β€˜1) = π‘Œ)
5852simp2d 1140 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (π‘§β€˜0) = π‘Œ)
5957, 58eqtr4d 2769 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (π‘¦β€˜1) = (π‘§β€˜0))
60 eqid 2726 . . . . 5 (𝑒 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑒 ≀ (1 / 2), if(𝑒 ≀ (1 / 4), (2 Β· 𝑒), (𝑒 + (1 / 4))), ((𝑒 / 2) + (1 / 2)))) = (𝑒 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑒 ≀ (1 / 2), if(𝑒 ≀ (1 / 4), (2 Β· 𝑒), (𝑒 + (1 / 4))), ((𝑒 / 2) + (1 / 2))))
6146, 50, 53, 56, 59, 60pcoass 24906 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ ((π‘₯(*π‘β€˜π½)𝑦)(*π‘β€˜π½)𝑧)( ≃phβ€˜π½)(π‘₯(*π‘β€˜π½)(𝑦(*π‘β€˜π½)𝑧)))
62 brinxp2 5746 . . . 4 (((π‘₯(*π‘β€˜π½)𝑦)(*π‘β€˜π½)𝑧)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))(π‘₯(*π‘β€˜π½)(𝑦(*π‘β€˜π½)𝑧)) ↔ ((((π‘₯(*π‘β€˜π½)𝑦)(*π‘β€˜π½)𝑧) ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ (π‘₯(*π‘β€˜π½)(𝑦(*π‘β€˜π½)𝑧)) ∈ βˆͺ 𝐡) ∧ ((π‘₯(*π‘β€˜π½)𝑦)(*π‘β€˜π½)𝑧)( ≃phβ€˜π½)(π‘₯(*π‘β€˜π½)(𝑦(*π‘β€˜π½)𝑧))))
6338, 42, 61, 62syl21anbrc 1341 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ ((π‘₯(*π‘β€˜π½)𝑦)(*π‘β€˜π½)𝑧)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))(π‘₯(*π‘β€˜π½)(𝑦(*π‘β€˜π½)𝑧)))
64 pi1grplem.z . . . . . 6 0 = ((0[,]1) Γ— {π‘Œ})
6564pcoptcl 24903 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 β€˜0) = π‘Œ ∧ ( 0 β€˜1) = π‘Œ))
662, 3, 65syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 β€˜0) = π‘Œ ∧ ( 0 β€˜1) = π‘Œ))
671, 2, 3, 7pi1eluni 24924 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( 0 ∈ βˆͺ 𝐡 ↔ ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 β€˜0) = π‘Œ ∧ ( 0 β€˜1) = π‘Œ)))
6866, 67mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ βˆͺ 𝐡)
692adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
703adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
719adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ βˆͺ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))
7268adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 0 ∈ βˆͺ 𝐡)
73 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡)
744, 69, 70, 71, 72, 73om1addcl 24915 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ( 0 (*π‘β€˜π½)π‘₯) ∈ βˆͺ 𝐡)
7518sselda 3977 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽))
7644simp2d 1140 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘₯β€˜0) = π‘Œ)
7764pcopt 24904 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘₯β€˜0) = π‘Œ) β†’ ( 0 (*π‘β€˜π½)π‘₯)( ≃phβ€˜π½)π‘₯)
7875, 76, 77syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ( 0 (*π‘β€˜π½)π‘₯)( ≃phβ€˜π½)π‘₯)
79 brinxp2 5746 . . . 4 (( 0 (*π‘β€˜π½)π‘₯)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))π‘₯ ↔ ((( 0 (*π‘β€˜π½)π‘₯) ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) ∧ ( 0 (*π‘β€˜π½)π‘₯)( ≃phβ€˜π½)π‘₯))
8074, 73, 78, 79syl21anbrc 1341 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ( 0 (*π‘β€˜π½)π‘₯)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))π‘₯)
81 eqid 2726 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž))) = (π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))
8281pcorevcl 24907 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜0) = (π‘₯β€˜1) ∧ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜1) = (π‘₯β€˜0)))
8375, 82syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜0) = (π‘₯β€˜1) ∧ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜1) = (π‘₯β€˜0)))
8483simp1d 1139 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž))) ∈ (II Cn 𝐽))
8583simp2d 1140 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜0) = (π‘₯β€˜1))
8644simp3d 1141 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘₯β€˜1) = π‘Œ)
8785, 86eqtrd 2766 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜0) = π‘Œ)
8883simp3d 1141 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜1) = (π‘₯β€˜0))
8988, 76eqtrd 2766 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜1) = π‘Œ)
901, 2, 3, 7pi1eluni 24924 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž))) ∈ βˆͺ 𝐡 ↔ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜0) = π‘Œ ∧ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜1) = π‘Œ)))
9190adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž))) ∈ βˆͺ 𝐡 ↔ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜0) = π‘Œ ∧ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜1) = π‘Œ)))
9284, 87, 89, 91mpbir3and 1339 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž))) ∈ βˆͺ 𝐡)
934, 69, 70, 71, 92, 73om1addcl 24915 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))(*π‘β€˜π½)π‘₯) ∈ βˆͺ 𝐡)
94 eqid 2726 . . . . . . 7 ((0[,]1) Γ— {(π‘₯β€˜1)}) = ((0[,]1) Γ— {(π‘₯β€˜1)})
9581, 94pcorev 24909 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))(*π‘β€˜π½)π‘₯)( ≃phβ€˜π½)((0[,]1) Γ— {(π‘₯β€˜1)}))
9675, 95syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))(*π‘β€˜π½)π‘₯)( ≃phβ€˜π½)((0[,]1) Γ— {(π‘₯β€˜1)}))
9786sneqd 4635 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ {(π‘₯β€˜1)} = {π‘Œ})
9897xpeq2d 5699 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((0[,]1) Γ— {(π‘₯β€˜1)}) = ((0[,]1) Γ— {π‘Œ}))
9964, 98eqtr4id 2785 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 0 = ((0[,]1) Γ— {(π‘₯β€˜1)}))
10096, 99breqtrrd 5169 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))(*π‘β€˜π½)π‘₯)( ≃phβ€˜π½) 0 )
101 brinxp2 5746 . . . 4 (((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))(*π‘β€˜π½)π‘₯)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) 0 ↔ ((((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))(*π‘β€˜π½)π‘₯) ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 0 ∈ βˆͺ 𝐡) ∧ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))(*π‘β€˜π½)π‘₯)( ≃phβ€˜π½) 0 ))
10293, 72, 100, 101syl21anbrc 1341 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))(*π‘β€˜π½)π‘₯)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) 0 )
10314, 9, 15, 19, 11, 26, 32, 63, 68, 80, 92, 102qusgrp2 18986 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) = (0gβ€˜πΊ)))
104 ecinxp 8788 . . . . 5 (((( ≃phβ€˜π½) β€œ βˆͺ 𝐡) βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ 0 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ [ 0 ]( ≃phβ€˜π½) = [ 0 ](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)))
10513, 68, 104syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ [ 0 ]( ≃phβ€˜π½) = [ 0 ](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)))
106105eqeq1d 2728 . . 3 (πœ‘ β†’ ([ 0 ]( ≃phβ€˜π½) = (0gβ€˜πΊ) ↔ [ 0 ](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) = (0gβ€˜πΊ)))
107106anbi2d 628 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃phβ€˜π½) = (0gβ€˜πΊ)) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) = (0gβ€˜πΊ))))
108103, 107mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃phβ€˜π½) = (0gβ€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  ifcif 4523  {csn 4623  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667   β€œ cima 5672  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   Er wer 8702  [cec 8703  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  4c4 12273  [,]cicc 13333  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  0gc0g 17394  Grpcgrp 18863  TopOnctopon 22767   Cn ccn 23083  IIcii 24750   ≃phcphtpc 24850  *𝑝cpco 24882   Ξ©1 comi 24883   Ο€1 cpi1 24885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-qus 17464  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-ii 24752  df-htpy 24851  df-phtpy 24852  df-phtpc 24873  df-pco 24887  df-om1 24888  df-pi1 24890
This theorem is referenced by:  pi1grp  24932  pi1id  24933  pi1inv  24934
  Copyright terms: Public domain W3C validator