MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1grplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1grplem 25096
Description: Lemma for pi1grp 25097. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1fval.g 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
pi1fval.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pi1fval.3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1fval.4 (𝜑𝑌𝑋)
pi1grplem.z 0 = ((0[,]1) × {𝑌})
Assertion
Ref Expression
pi1grplem (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃ph𝐽) = (0g𝐺)))

Proof of Theorem pi1grplem
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1fval.g . . . . 5 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
2 pi1fval.3 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3 pi1fval.4 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑋)
4 eqid 2735 . . . . 5 (𝐽 Ω1 𝑌) = (𝐽 Ω1 𝑌)
51, 2, 3, 4pi1val 25084 . . . 4 (𝜑𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph𝐽)))
6 pi1fval.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐺))
8 eqidd 2736 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
91, 2, 3, 4, 7, 8pi1buni 25087 . . . 4 (𝜑 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
10 fvexd 6922 . . . 4 (𝜑 → ( ≃ph𝐽) ∈ V)
11 ovexd 7466 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 Ω1 𝑌) ∈ V)
121, 2, 3, 4, 7, 9pi1blem 25086 . . . . 5 (𝜑 → ((( ≃ph𝐽) “ 𝐵) ⊆ 𝐵 𝐵 ⊆ (II Cn 𝐽)))
1312simpld 494 . . . 4 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) “ 𝐵) ⊆ 𝐵)
145, 9, 10, 11, 13qusin 17591 . . 3 (𝜑𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))))
154, 2, 3om1plusg 25081 . . 3 (𝜑 → (*𝑝𝐽) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
16 phtpcer 25041 . . . . 5 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
1716a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
1812simprd 495 . . . 4 (𝜑 𝐵 ⊆ (II Cn 𝐽))
1917, 18erinxp 8830 . . 3 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) Er 𝐵)
20 eqid 2735 . . . . 5 (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) = (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))
21 eqid 2735 . . . . 5 (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))
221, 2, 3, 7, 20, 4, 21pi1cpbl 25091 . . . 4 (𝜑 → ((𝑎(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑐𝑏(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑑) → (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))(𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑)))
2315oveqd 7448 . . . . 5 (𝜑 → (𝑎(*𝑝𝐽)𝑏) = (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏))
2415oveqd 7448 . . . . 5 (𝜑 → (𝑐(*𝑝𝐽)𝑑) = (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑))
2523, 24breq12d 5161 . . . 4 (𝜑 → ((𝑎(*𝑝𝐽)𝑏)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))(𝑐(*𝑝𝐽)𝑑) ↔ (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))(𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑)))
2622, 25sylibrd 259 . . 3 (𝜑 → ((𝑎(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑐𝑏(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑑) → (𝑎(*𝑝𝐽)𝑏)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))(𝑐(*𝑝𝐽)𝑑)))
2723ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵𝑦 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2833ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵𝑦 𝐵) → 𝑌𝑋)
2993ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵𝑦 𝐵) → 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
30 simp2 1136 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵𝑦 𝐵) → 𝑥 𝐵)
31 simp3 1137 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵𝑦 𝐵) → 𝑦 𝐵)
324, 27, 28, 29, 30, 31om1addcl 25080 . . 3 ((𝜑𝑥 𝐵𝑦 𝐵) → (𝑥(*𝑝𝐽)𝑦) ∈ 𝐵)
332adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
343adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝑌𝑋)
359adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
36323adant3r3 1183 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑥(*𝑝𝐽)𝑦) ∈ 𝐵)
37 simpr3 1195 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝑧 𝐵)
384, 33, 34, 35, 36, 37om1addcl 25080 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → ((𝑥(*𝑝𝐽)𝑦)(*𝑝𝐽)𝑧) ∈ 𝐵)
39 simpr1 1193 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝑥 𝐵)
40 simpr2 1194 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝑦 𝐵)
414, 33, 34, 35, 40, 37om1addcl 25080 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑦(*𝑝𝐽)𝑧) ∈ 𝐵)
424, 33, 34, 35, 39, 41om1addcl 25080 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑥(*𝑝𝐽)(𝑦(*𝑝𝐽)𝑧)) ∈ 𝐵)
431, 2, 3, 7pi1eluni 25089 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌)))
4443biimpa 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝐵) → (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌))
45443ad2antr1 1187 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌))
4645simp1d 1141 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
476a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘𝐺))
481, 33, 34, 47pi1eluni 25089 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑦 𝐵 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌)))
4940, 48mpbid 232 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌))
5049simp1d 1141 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
511, 33, 34, 47pi1eluni 25089 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑧 𝐵 ↔ (𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑧‘0) = 𝑌 ∧ (𝑧‘1) = 𝑌)))
5237, 51mpbid 232 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑧‘0) = 𝑌 ∧ (𝑧‘1) = 𝑌))
5352simp1d 1141 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽))
5445simp3d 1143 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑥‘1) = 𝑌)
5549simp2d 1142 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑦‘0) = 𝑌)
5654, 55eqtr4d 2778 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑥‘1) = (𝑦‘0))
5749simp3d 1143 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑦‘1) = 𝑌)
5852simp2d 1142 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑧‘0) = 𝑌)
5957, 58eqtr4d 2778 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑦‘1) = (𝑧‘0))
60 eqid 2735 . . . . 5 (𝑢 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑢 ≤ (1 / 2), if(𝑢 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑢), (𝑢 + (1 / 4))), ((𝑢 / 2) + (1 / 2)))) = (𝑢 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑢 ≤ (1 / 2), if(𝑢 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑢), (𝑢 + (1 / 4))), ((𝑢 / 2) + (1 / 2))))
6146, 50, 53, 56, 59, 60pcoass 25071 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → ((𝑥(*𝑝𝐽)𝑦)(*𝑝𝐽)𝑧)( ≃ph𝐽)(𝑥(*𝑝𝐽)(𝑦(*𝑝𝐽)𝑧)))
62 brinxp2 5766 . . . 4 (((𝑥(*𝑝𝐽)𝑦)(*𝑝𝐽)𝑧)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))(𝑥(*𝑝𝐽)(𝑦(*𝑝𝐽)𝑧)) ↔ ((((𝑥(*𝑝𝐽)𝑦)(*𝑝𝐽)𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(*𝑝𝐽)(𝑦(*𝑝𝐽)𝑧)) ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥(*𝑝𝐽)𝑦)(*𝑝𝐽)𝑧)( ≃ph𝐽)(𝑥(*𝑝𝐽)(𝑦(*𝑝𝐽)𝑧))))
6338, 42, 61, 62syl21anbrc 1343 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → ((𝑥(*𝑝𝐽)𝑦)(*𝑝𝐽)𝑧)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))(𝑥(*𝑝𝐽)(𝑦(*𝑝𝐽)𝑧)))
64 pi1grplem.z . . . . . 6 0 = ((0[,]1) × {𝑌})
6564pcoptcl 25068 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 ‘0) = 𝑌 ∧ ( 0 ‘1) = 𝑌))
662, 3, 65syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 ‘0) = 𝑌 ∧ ( 0 ‘1) = 𝑌))
671, 2, 3, 7pi1eluni 25089 . . . 4 (𝜑 → ( 0 𝐵 ↔ ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 ‘0) = 𝑌 ∧ ( 0 ‘1) = 𝑌)))
6866, 67mpbird 257 . . 3 (𝜑0 𝐵)
692adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
703adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → 𝑌𝑋)
719adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
7268adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → 0 𝐵)
73 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → 𝑥 𝐵)
744, 69, 70, 71, 72, 73om1addcl 25080 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵) → ( 0 (*𝑝𝐽)𝑥) ∈ 𝐵)
7518sselda 3995 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
7644simp2d 1142 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → (𝑥‘0) = 𝑌)
7764pcopt 25069 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌) → ( 0 (*𝑝𝐽)𝑥)( ≃ph𝐽)𝑥)
7875, 76, 77syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵) → ( 0 (*𝑝𝐽)𝑥)( ≃ph𝐽)𝑥)
79 brinxp2 5766 . . . 4 (( 0 (*𝑝𝐽)𝑥)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑥 ↔ ((( 0 (*𝑝𝐽)𝑥) ∈ 𝐵𝑥 𝐵) ∧ ( 0 (*𝑝𝐽)𝑥)( ≃ph𝐽)𝑥))
8074, 73, 78, 79syl21anbrc 1343 . . 3 ((𝜑𝑥 𝐵) → ( 0 (*𝑝𝐽)𝑥)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑥)
81 eqid 2735 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) = (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))
8281pcorevcl 25072 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = (𝑥‘1) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = (𝑥‘0)))
8375, 82syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = (𝑥‘1) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = (𝑥‘0)))
8483simp1d 1141 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵) → (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽))
8583simp2d 1142 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = (𝑥‘1))
8644simp3d 1143 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → (𝑥‘1) = 𝑌)
8785, 86eqtrd 2775 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = 𝑌)
8883simp3d 1143 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = (𝑥‘0))
8988, 76eqtrd 2775 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = 𝑌)
901, 2, 3, 7pi1eluni 25089 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = 𝑌)))
9190adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = 𝑌)))
9284, 87, 89, 91mpbir3and 1341 . . 3 ((𝜑𝑥 𝐵) → (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ 𝐵)
934, 69, 70, 71, 92, 73om1addcl 25080 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝𝐽)𝑥) ∈ 𝐵)
94 eqid 2735 . . . . . . 7 ((0[,]1) × {(𝑥‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝑥‘1)})
9581, 94pcorev 25074 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝𝐽)𝑥)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝑥‘1)}))
9675, 95syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝𝐽)𝑥)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝑥‘1)}))
9786sneqd 4643 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝐵) → {(𝑥‘1)} = {𝑌})
9897xpeq2d 5719 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((0[,]1) × {(𝑥‘1)}) = ((0[,]1) × {𝑌}))
9964, 98eqtr4id 2794 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → 0 = ((0[,]1) × {(𝑥‘1)}))
10096, 99breqtrrd 5176 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝𝐽)𝑥)( ≃ph𝐽) 0 )
101 brinxp2 5766 . . . 4 (((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝𝐽)𝑥)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) 0 ↔ ((((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝𝐽)𝑥) ∈ 𝐵0 𝐵) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝𝐽)𝑥)( ≃ph𝐽) 0 ))
10293, 72, 100, 101syl21anbrc 1343 . . 3 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝𝐽)𝑥)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) 0 )
10314, 9, 15, 19, 11, 26, 32, 63, 68, 80, 92, 102qusgrp2 19089 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) = (0g𝐺)))
104 ecinxp 8831 . . . . 5 (((( ≃ph𝐽) “ 𝐵) ⊆ 𝐵0 𝐵) → [ 0 ]( ≃ph𝐽) = [ 0 ](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
10513, 68, 104syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → [ 0 ]( ≃ph𝐽) = [ 0 ](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
106105eqeq1d 2737 . . 3 (𝜑 → ([ 0 ]( ≃ph𝐽) = (0g𝐺) ↔ [ 0 ](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) = (0g𝐺)))
107106anbi2d 630 . 2 (𝜑 → ((𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃ph𝐽) = (0g𝐺)) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) = (0g𝐺))))
108103, 107mpbird 257 1 (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃ph𝐽) = (0g𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963  ifcif 4531  {csn 4631   cuni 4912   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5687  cima 5692  cfv 6563  (class class class)co 7431   Er wer 8741  [cec 8742  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  4c4 12321  [,]cicc 13387  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  TopOnctopon 22932   Cn ccn 23248  IIcii 24915  phcphtpc 25015  *𝑝cpco 25047   Ω1 comi 25048   π1 cpi1 25050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-qus 17556  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-ii 24917  df-htpy 25016  df-phtpy 25017  df-phtpc 25038  df-pco 25052  df-om1 25053  df-pi1 25055
This theorem is referenced by:  pi1grp  25097  pi1id  25098  pi1inv  25099
  Copyright terms: Public domain W3C validator