Theorem pi1grplem 23219

Description: Lemma for pi1grp 23220. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1fval.g	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
pi1fval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
pi1fval.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1fval.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
pi1grplem.z	⊢ 0 = ((0[,]1) × {𝑌})

Assertion

Ref	Expression
pi1grplem	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘𝐺)))

Proof of Theorem pi1grplem

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1fval.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
2		pi1fval.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		pi1fval.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
4		eqid 2826	. . . . 5 ⊢ (𝐽 Ω1 𝑌) = (𝐽 Ω1 𝑌)
5	1, 2, 3, 4	pi1val 23207	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)))
6		pi1fval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
8		eqidd 2827	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	pi1buni 23210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
10		fvexd 6449	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
11		ovexd 6940	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 Ω1 𝑌) ∈ V)
12	1, 2, 3, 4, 7, 9	pi1blem 23209	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ (II Cn 𝐽)))
13	12	simpld 490	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵)
14	5, 9, 10, 11, 13	qusin 16558	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))))
15	4, 2, 3	om1plusg 23204	. . 3 ⊢ (𝜑 → (*𝑝‘𝐽) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
16		phtpcer 23165	. . . . 5 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
18	12	simprd 491	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 ⊆ (II Cn 𝐽))
19	17, 18	erinxp 8087	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) Er ∪ 𝐵)
20		eqid 2826	. . . . 5 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))
21		eqid 2826	. . . . 5 ⊢ (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))
22	1, 2, 3, 7, 20, 4, 21	pi1cpbl 23214	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑐 ∧ 𝑏(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑑) → (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑)))
23	15	oveqd 6923	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎(*𝑝‘𝐽)𝑏) = (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏))
24	15	oveqd 6923	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑐(*𝑝‘𝐽)𝑑) = (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑))
25	23, 24	breq12d 4887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(*𝑝‘𝐽)𝑏)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑐(*𝑝‘𝐽)𝑑) ↔ (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑)))
26	22, 25	sylibrd 251	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑐 ∧ 𝑏(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑑) → (𝑎(*𝑝‘𝐽)𝑏)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑐(*𝑝‘𝐽)𝑑)))
27	2	3ad2ant1 1169	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
28	3	3ad2ant1 1169	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝑋)
29	9	3ad2ant1 1169	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
30		simp2 1173	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐵)
31		simp3 1174	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑦 ∈ ∪ 𝐵)
32	4, 27, 28, 29, 30, 31	om1addcl 23203	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦) ∈ ∪ 𝐵)
33	2	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
34	3	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝑋)
35	9	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
36	32	3adant3r3 1241	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦) ∈ ∪ 𝐵)
37		simpr3 1258	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)
38	4, 33, 34, 35, 36, 37	om1addcl 23203	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → ((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧) ∈ ∪ 𝐵)
39		simpr1 1254	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐵)
40		simpr2 1256	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ∪ 𝐵)
41	4, 33, 34, 35, 40, 37	om1addcl 23203	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧) ∈ ∪ 𝐵)
42	4, 33, 34, 35, 39, 41	om1addcl 23203	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧)) ∈ ∪ 𝐵)
43	1, 2, 3, 7	pi1eluni 23212	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌)))
44	43	biimpa 470	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌))
45	44	3ad2antr1 1245	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌))
46	45	simp1d 1178	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
47	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘𝐺))
48	1, 33, 34, 47	pi1eluni 23212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌)))
49	40, 48	mpbid 224	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌))
50	49	simp1d 1178	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
51	1, 33, 34, 47	pi1eluni 23212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑧 ∈ ∪ 𝐵 ↔ (𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑧‘0) = 𝑌 ∧ (𝑧‘1) = 𝑌)))
52	37, 51	mpbid 224	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑧‘0) = 𝑌 ∧ (𝑧‘1) = 𝑌))
53	52	simp1d 1178	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽))
54	45	simp3d 1180	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑥‘1) = 𝑌)
55	49	simp2d 1179	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦‘0) = 𝑌)
56	54, 55	eqtr4d 2865	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑥‘1) = (𝑦‘0))
57	49	simp3d 1180	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦‘1) = 𝑌)
58	52	simp2d 1179	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑧‘0) = 𝑌)
59	57, 58	eqtr4d 2865	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦‘1) = (𝑧‘0))
60		eqid 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑢 ≤ (1 / 2), if(𝑢 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑢), (𝑢 + (1 / 4))), ((𝑢 / 2) + (1 / 2)))) = (𝑢 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑢 ≤ (1 / 2), if(𝑢 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑢), (𝑢 + (1 / 4))), ((𝑢 / 2) + (1 / 2))))
61	46, 50, 53, 56, 59, 60	pcoass 23194	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → ((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧)( ≃ph‘𝐽)(𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧)))
62		brinxp2 5414	. . . 4 ⊢ (((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧)) ↔ ((((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧) ∈ ∪ 𝐵 ∧ (𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧)) ∈ ∪ 𝐵) ∧ ((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧)( ≃ph‘𝐽)(𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧))))
63	38, 42, 61, 62	syl21anbrc 1450	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → ((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧)))
64		pi1grplem.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = ((0[,]1) × {𝑌})
65	64	pcoptcl 23191	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 ‘0) = 𝑌 ∧ ( 0 ‘1) = 𝑌))
66	2, 3, 65	syl2anc 581	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 ‘0) = 𝑌 ∧ ( 0 ‘1) = 𝑌))
67	1, 2, 3, 7	pi1eluni 23212	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 ∈ ∪ 𝐵 ↔ ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 ‘0) = 𝑌 ∧ ( 0 ‘1) = 𝑌)))
68	66, 67	mpbird 249	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ∪ 𝐵)
69	2	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
70	3	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝑋)
71	9	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
72	68	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 0 ∈ ∪ 𝐵)
73		simpr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐵)
74	4, 69, 70, 71, 72, 73	om1addcl 23203	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥) ∈ ∪ 𝐵)
75	18	sselda 3828	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
76	44	simp2d 1179	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑥‘0) = 𝑌)
77	64	pcopt 23192	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌) → ( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽)𝑥)
78	75, 76, 77	syl2anc 581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽)𝑥)
79		brinxp2 5414	. . . 4 ⊢ (( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑥 ↔ ((( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥) ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) ∧ ( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽)𝑥))
80	74, 73, 78, 79	syl21anbrc 1450	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑥)
81		eqid 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) = (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))
82	81	pcorevcl 23195	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = (𝑥‘1) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = (𝑥‘0)))
83	75, 82	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = (𝑥‘1) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = (𝑥‘0)))
84	83	simp1d 1178	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽))
85	83	simp2d 1179	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = (𝑥‘1))
86	44	simp3d 1180	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑥‘1) = 𝑌)
87	85, 86	eqtrd 2862	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = 𝑌)
88	83	simp3d 1180	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = (𝑥‘0))
89	88, 76	eqtrd 2862	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = 𝑌)
90	1, 2, 3, 7	pi1eluni 23212	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ ∪ 𝐵 ↔ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = 𝑌)))
91	90	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ ∪ 𝐵 ↔ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = 𝑌)))
92	84, 87, 89, 91	mpbir3and 1448	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ ∪ 𝐵)
93	4, 69, 70, 71, 92, 73	om1addcl 23203	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥) ∈ ∪ 𝐵)
94		eqid 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]1) × {(𝑥‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝑥‘1)})
95	81, 94	pcorev 23197	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑥‘1)}))
96	75, 95	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑥‘1)}))
97	86	sneqd 4410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → {(𝑥‘1)} = {𝑌})
98	97	xpeq2d 5373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((0[,]1) × {(𝑥‘1)}) = ((0[,]1) × {𝑌}))
99	98, 64	syl6reqr 2881	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 0 = ((0[,]1) × {(𝑥‘1)}))
100	96, 99	breqtrrd 4902	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽) 0 )
101		brinxp2 5414	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) 0 ↔ ((((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥) ∈ ∪ 𝐵 ∧ 0 ∈ ∪ 𝐵) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽) 0 ))
102	93, 72, 100, 101	syl21anbrc 1450	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) 0 )
103	14, 9, 15, 19, 11, 26, 32, 63, 68, 80, 92, 102	qusgrp2 17888	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (0g‘𝐺)))
104		ecinxp 8088	. . . . 5 ⊢ (((( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵 ∧ 0 ∈ ∪ 𝐵) → [ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = [ 0 ](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
105	13, 68, 104	syl2anc 581	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = [ 0 ](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
106	105	eqeq1d 2828	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘𝐺) ↔ [ 0 ](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (0g‘𝐺)))
107	106	anbi2d 624	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘𝐺)) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (0g‘𝐺))))
108	103, 107	mpbird 249	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  Vcvv 3415   ∩ cin 3798   ⊆ wss 3799  ifcif 4307  {csn 4398  ∪ cuni 4659   class class class wbr 4874   ↦ cmpt 4953   × cxp 5341   “ cima 5346  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906   Er wer 8007  [cec 8008  0cc0 10253  1c1 10254   + caddc 10256   · cmul 10258   ≤ cle 10393   − cmin 10586   / cdiv 11010  2c2 11407  4c4 11409  [,]cicc 12467  Basecbs 16223  +_gcplusg 16306  0_gc0g 16454  Grpcgrp 17777  TopOnctopon 21086   Cn ccn 21400  IIcii 23049   ≃_phcphtpc 23139  *_𝑝cpco 23170   Ω₁ comi 23171   π₁ cpi1 23173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331  ax-addf 10332  ax-mulf 10333

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-supp 7561  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-2o 7828  df-oadd 7831  df-er 8010  df-ec 8012  df-qs 8016  df-map 8125  df-ixp 8177  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fsupp 8546  df-fi 8587  df-sup 8618  df-inf 8619  df-oi 8685  df-card 9079  df-cda 9306  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-q 12073  df-rp 12114  df-xneg 12233  df-xadd 12234  df-xmul 12235  df-ioo 12468  df-icc 12471  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-seq 13097  df-exp 13156  df-hash 13412  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-starv 16321  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-ip 16324  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-unif 16329  df-hom 16330  df-cco 16331  df-rest 16437  df-topn 16438  df-0g 16456  df-gsum 16457  df-topgen 16458  df-pt 16459  df-prds 16462  df-xrs 16516  df-qtop 16521  df-imas 16522  df-qus 16523  df-xps 16524  df-mre 16600  df-mrc 16601  df-acs 16603  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-submnd 17690  df-grp 17780  df-mulg 17896  df-cntz 18101  df-cmn 18549  df-psmet 20099  df-xmet 20100  df-met 20101  df-bl 20102  df-mopn 20103  df-cnfld 20108  df-top 21070  df-topon 21087  df-topsp 21109  df-bases 21122  df-cld 21195  df-cn 21403  df-cnp 21404  df-tx 21737  df-hmeo 21930  df-xms 22496  df-ms 22497  df-tms 22498  df-ii 23051  df-htpy 23140  df-phtpy 23141  df-phtpc 23162  df-pco 23175  df-om1 23176  df-pi1 23178

This theorem is referenced by:  pi1grp  23220  pi1id  23221  pi1inv  23222