Theorem pi1grplem 25030

Description: Lemma for pi1grp 25031. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1fval.g	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
pi1fval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
pi1fval.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1fval.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
pi1grplem.z	⊢ 0 = ((0[,]1) × {𝑌})

Assertion

Ref	Expression
pi1grplem	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘𝐺)))

Proof of Theorem pi1grplem

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1fval.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
2		pi1fval.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		pi1fval.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝐽 Ω1 𝑌) = (𝐽 Ω1 𝑌)
5	1, 2, 3, 4	pi1val 25018	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)))
6		pi1fval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
8		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	pi1buni 25021	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
10		fvexd 6851	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
11		ovexd 7397	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 Ω1 𝑌) ∈ V)
12	1, 2, 3, 4, 7, 9	pi1blem 25020	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ (II Cn 𝐽)))
13	12	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵)
14	5, 9, 10, 11, 13	qusin 17503	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))))
15	4, 2, 3	om1plusg 25015	. . 3 ⊢ (𝜑 → (*𝑝‘𝐽) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
16		phtpcer 24976	. . . . 5 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
18	12	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 ⊆ (II Cn 𝐽))
19	17, 18	erinxp 8733	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) Er ∪ 𝐵)
20		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))
21		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))
22	1, 2, 3, 7, 20, 4, 21	pi1cpbl 25025	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑐 ∧ 𝑏(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑑) → (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑)))
23	15	oveqd 7379	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎(*𝑝‘𝐽)𝑏) = (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏))
24	15	oveqd 7379	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑐(*𝑝‘𝐽)𝑑) = (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑))
25	23, 24	breq12d 5099	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(*𝑝‘𝐽)𝑏)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑐(*𝑝‘𝐽)𝑑) ↔ (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑)))
26	22, 25	sylibrd 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑐 ∧ 𝑏(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑑) → (𝑎(*𝑝‘𝐽)𝑏)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑐(*𝑝‘𝐽)𝑑)))
27	2	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
28	3	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝑋)
29	9	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
30		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐵)
31		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑦 ∈ ∪ 𝐵)
32	4, 27, 28, 29, 30, 31	om1addcl 25014	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦) ∈ ∪ 𝐵)
33	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
34	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝑋)
35	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
36	32	3adant3r3 1186	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦) ∈ ∪ 𝐵)
37		simpr3 1198	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)
38	4, 33, 34, 35, 36, 37	om1addcl 25014	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → ((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧) ∈ ∪ 𝐵)
39		simpr1 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐵)
40		simpr2 1197	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ∪ 𝐵)
41	4, 33, 34, 35, 40, 37	om1addcl 25014	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧) ∈ ∪ 𝐵)
42	4, 33, 34, 35, 39, 41	om1addcl 25014	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧)) ∈ ∪ 𝐵)
43	1, 2, 3, 7	pi1eluni 25023	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌)))
44	43	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌))
45	44	3ad2antr1 1190	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌))
46	45	simp1d 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
47	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘𝐺))
48	1, 33, 34, 47	pi1eluni 25023	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌)))
49	40, 48	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌))
50	49	simp1d 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
51	1, 33, 34, 47	pi1eluni 25023	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑧 ∈ ∪ 𝐵 ↔ (𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑧‘0) = 𝑌 ∧ (𝑧‘1) = 𝑌)))
52	37, 51	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑧‘0) = 𝑌 ∧ (𝑧‘1) = 𝑌))
53	52	simp1d 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽))
54	45	simp3d 1145	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑥‘1) = 𝑌)
55	49	simp2d 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦‘0) = 𝑌)
56	54, 55	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑥‘1) = (𝑦‘0))
57	49	simp3d 1145	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦‘1) = 𝑌)
58	52	simp2d 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑧‘0) = 𝑌)
59	57, 58	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦‘1) = (𝑧‘0))
60		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑢 ≤ (1 / 2), if(𝑢 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑢), (𝑢 + (1 / 4))), ((𝑢 / 2) + (1 / 2)))) = (𝑢 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑢 ≤ (1 / 2), if(𝑢 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑢), (𝑢 + (1 / 4))), ((𝑢 / 2) + (1 / 2))))
61	46, 50, 53, 56, 59, 60	pcoass 25005	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → ((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧)( ≃ph‘𝐽)(𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧)))
62		brinxp2 5704	. . . 4 ⊢ (((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧)) ↔ ((((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧) ∈ ∪ 𝐵 ∧ (𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧)) ∈ ∪ 𝐵) ∧ ((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧)( ≃ph‘𝐽)(𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧))))
63	38, 42, 61, 62	syl21anbrc 1346	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → ((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧)))
64		pi1grplem.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = ((0[,]1) × {𝑌})
65	64	pcoptcl 25002	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 ‘0) = 𝑌 ∧ ( 0 ‘1) = 𝑌))
66	2, 3, 65	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 ‘0) = 𝑌 ∧ ( 0 ‘1) = 𝑌))
67	1, 2, 3, 7	pi1eluni 25023	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 ∈ ∪ 𝐵 ↔ ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 ‘0) = 𝑌 ∧ ( 0 ‘1) = 𝑌)))
68	66, 67	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ∪ 𝐵)
69	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
70	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝑋)
71	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
72	68	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 0 ∈ ∪ 𝐵)
73		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐵)
74	4, 69, 70, 71, 72, 73	om1addcl 25014	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥) ∈ ∪ 𝐵)
75	18	sselda 3922	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
76	44	simp2d 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑥‘0) = 𝑌)
77	64	pcopt 25003	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌) → ( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽)𝑥)
78	75, 76, 77	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽)𝑥)
79		brinxp2 5704	. . . 4 ⊢ (( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑥 ↔ ((( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥) ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) ∧ ( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽)𝑥))
80	74, 73, 78, 79	syl21anbrc 1346	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑥)
81		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) = (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))
82	81	pcorevcl 25006	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = (𝑥‘1) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = (𝑥‘0)))
83	75, 82	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = (𝑥‘1) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = (𝑥‘0)))
84	83	simp1d 1143	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽))
85	83	simp2d 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = (𝑥‘1))
86	44	simp3d 1145	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑥‘1) = 𝑌)
87	85, 86	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = 𝑌)
88	83	simp3d 1145	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = (𝑥‘0))
89	88, 76	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = 𝑌)
90	1, 2, 3, 7	pi1eluni 25023	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ ∪ 𝐵 ↔ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = 𝑌)))
91	90	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ ∪ 𝐵 ↔ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = 𝑌)))
92	84, 87, 89, 91	mpbir3and 1344	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ ∪ 𝐵)
93	4, 69, 70, 71, 92, 73	om1addcl 25014	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥) ∈ ∪ 𝐵)
94		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]1) × {(𝑥‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝑥‘1)})
95	81, 94	pcorev 25008	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑥‘1)}))
96	75, 95	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑥‘1)}))
97	86	sneqd 4580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → {(𝑥‘1)} = {𝑌})
98	97	xpeq2d 5656	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((0[,]1) × {(𝑥‘1)}) = ((0[,]1) × {𝑌}))
99	64, 98	eqtr4id 2791	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 0 = ((0[,]1) × {(𝑥‘1)}))
100	96, 99	breqtrrd 5114	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽) 0 )
101		brinxp2 5704	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) 0 ↔ ((((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥) ∈ ∪ 𝐵 ∧ 0 ∈ ∪ 𝐵) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽) 0 ))
102	93, 72, 100, 101	syl21anbrc 1346	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) 0 )
103	14, 9, 15, 19, 11, 26, 32, 63, 68, 80, 92, 102	qusgrp2 19029	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (0g‘𝐺)))
104		ecinxp 8734	. . . . 5 ⊢ (((( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵 ∧ 0 ∈ ∪ 𝐵) → [ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = [ 0 ](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
105	13, 68, 104	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = [ 0 ](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
106	105	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘𝐺) ↔ [ 0 ](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (0g‘𝐺)))
107	106	anbi2d 631	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘𝐺)) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (0g‘𝐺))))
108	103, 107	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ifcif 4467  {csn 4568  ∪ cuni 4851   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   × cxp 5624   “ cima 5629  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   Er wer 8635  [cec 8636  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   · cmul 11038   ≤ cle 11175   − cmin 11372   / cdiv 11802  2c2 12231  4c4 12233  [,]cicc 13296  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  0_gc0g 17397  Grpcgrp 18904  TopOnctopon 22889   Cn ccn 23203  IIcii 24856   ≃_phcphtpc 24950  *_𝑝cpco 24981   Ω₁ comi 24982   π₁ cpi1 24984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-ec 8640  df-qs 8644  df-map 8770  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-fi 9319  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-qus 17468  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-mulg 19039  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-cnfld 21349  df-top 22873  df-topon 22890  df-topsp 22912  df-bases 22925  df-cld 22998  df-cn 23206  df-cnp 23207  df-tx 23541  df-hmeo 23734  df-xms 24299  df-ms 24300  df-tms 24301  df-ii 24858  df-htpy 24951  df-phtpy 24952  df-phtpc 24973  df-pco 24986  df-om1 24987  df-pi1 24989

This theorem is referenced by:  pi1grp  25031  pi1id  25032  pi1inv  25033