Theorem pi1grplem 24412

Description: Lemma for pi1grp 24413. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1fval.g	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
pi1fval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
pi1fval.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1fval.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
pi1grplem.z	⊢ 0 = ((0[,]1) × {𝑌})

Assertion

Ref	Expression
pi1grplem	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘𝐺)))

Proof of Theorem pi1grplem

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1fval.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
2		pi1fval.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		pi1fval.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝐽 Ω1 𝑌) = (𝐽 Ω1 𝑌)
5	1, 2, 3, 4	pi1val 24400	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)))
6		pi1fval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
8		eqidd 2737	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	pi1buni 24403	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
10		fvexd 6857	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
11		ovexd 7392	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 Ω1 𝑌) ∈ V)
12	1, 2, 3, 4, 7, 9	pi1blem 24402	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ (II Cn 𝐽)))
13	12	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵)
14	5, 9, 10, 11, 13	qusin 17426	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))))
15	4, 2, 3	om1plusg 24397	. . 3 ⊢ (𝜑 → (*𝑝‘𝐽) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
16		phtpcer 24358	. . . . 5 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
18	12	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 ⊆ (II Cn 𝐽))
19	17, 18	erinxp 8730	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) Er ∪ 𝐵)
20		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))
21		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))
22	1, 2, 3, 7, 20, 4, 21	pi1cpbl 24407	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑐 ∧ 𝑏(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑑) → (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑)))
23	15	oveqd 7374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎(*𝑝‘𝐽)𝑏) = (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏))
24	15	oveqd 7374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑐(*𝑝‘𝐽)𝑑) = (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑))
25	23, 24	breq12d 5118	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(*𝑝‘𝐽)𝑏)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑐(*𝑝‘𝐽)𝑑) ↔ (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑)))
26	22, 25	sylibrd 258	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑐 ∧ 𝑏(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑑) → (𝑎(*𝑝‘𝐽)𝑏)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑐(*𝑝‘𝐽)𝑑)))
27	2	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
28	3	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝑋)
29	9	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
30		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐵)
31		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑦 ∈ ∪ 𝐵)
32	4, 27, 28, 29, 30, 31	om1addcl 24396	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦) ∈ ∪ 𝐵)
33	2	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
34	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝑋)
35	9	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
36	32	3adant3r3 1184	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦) ∈ ∪ 𝐵)
37		simpr3 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)
38	4, 33, 34, 35, 36, 37	om1addcl 24396	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → ((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧) ∈ ∪ 𝐵)
39		simpr1 1194	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐵)
40		simpr2 1195	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ∪ 𝐵)
41	4, 33, 34, 35, 40, 37	om1addcl 24396	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧) ∈ ∪ 𝐵)
42	4, 33, 34, 35, 39, 41	om1addcl 24396	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧)) ∈ ∪ 𝐵)
43	1, 2, 3, 7	pi1eluni 24405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌)))
44	43	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌))
45	44	3ad2antr1 1188	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌))
46	45	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
47	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘𝐺))
48	1, 33, 34, 47	pi1eluni 24405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌)))
49	40, 48	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌))
50	49	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
51	1, 33, 34, 47	pi1eluni 24405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑧 ∈ ∪ 𝐵 ↔ (𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑧‘0) = 𝑌 ∧ (𝑧‘1) = 𝑌)))
52	37, 51	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑧‘0) = 𝑌 ∧ (𝑧‘1) = 𝑌))
53	52	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽))
54	45	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑥‘1) = 𝑌)
55	49	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦‘0) = 𝑌)
56	54, 55	eqtr4d 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑥‘1) = (𝑦‘0))
57	49	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦‘1) = 𝑌)
58	52	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑧‘0) = 𝑌)
59	57, 58	eqtr4d 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦‘1) = (𝑧‘0))
60		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑢 ≤ (1 / 2), if(𝑢 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑢), (𝑢 + (1 / 4))), ((𝑢 / 2) + (1 / 2)))) = (𝑢 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑢 ≤ (1 / 2), if(𝑢 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑢), (𝑢 + (1 / 4))), ((𝑢 / 2) + (1 / 2))))
61	46, 50, 53, 56, 59, 60	pcoass 24387	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → ((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧)( ≃ph‘𝐽)(𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧)))
62		brinxp2 5709	. . . 4 ⊢ (((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧)) ↔ ((((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧) ∈ ∪ 𝐵 ∧ (𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧)) ∈ ∪ 𝐵) ∧ ((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧)( ≃ph‘𝐽)(𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧))))
63	38, 42, 61, 62	syl21anbrc 1344	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → ((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧)))
64		pi1grplem.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = ((0[,]1) × {𝑌})
65	64	pcoptcl 24384	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 ‘0) = 𝑌 ∧ ( 0 ‘1) = 𝑌))
66	2, 3, 65	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 ‘0) = 𝑌 ∧ ( 0 ‘1) = 𝑌))
67	1, 2, 3, 7	pi1eluni 24405	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 ∈ ∪ 𝐵 ↔ ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 ‘0) = 𝑌 ∧ ( 0 ‘1) = 𝑌)))
68	66, 67	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ∪ 𝐵)
69	2	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
70	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝑋)
71	9	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
72	68	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 0 ∈ ∪ 𝐵)
73		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐵)
74	4, 69, 70, 71, 72, 73	om1addcl 24396	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥) ∈ ∪ 𝐵)
75	18	sselda 3944	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
76	44	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑥‘0) = 𝑌)
77	64	pcopt 24385	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌) → ( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽)𝑥)
78	75, 76, 77	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽)𝑥)
79		brinxp2 5709	. . . 4 ⊢ (( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑥 ↔ ((( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥) ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) ∧ ( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽)𝑥))
80	74, 73, 78, 79	syl21anbrc 1344	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑥)
81		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) = (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))
82	81	pcorevcl 24388	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = (𝑥‘1) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = (𝑥‘0)))
83	75, 82	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = (𝑥‘1) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = (𝑥‘0)))
84	83	simp1d 1142	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽))
85	83	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = (𝑥‘1))
86	44	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑥‘1) = 𝑌)
87	85, 86	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = 𝑌)
88	83	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = (𝑥‘0))
89	88, 76	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = 𝑌)
90	1, 2, 3, 7	pi1eluni 24405	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ ∪ 𝐵 ↔ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = 𝑌)))
91	90	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ ∪ 𝐵 ↔ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = 𝑌)))
92	84, 87, 89, 91	mpbir3and 1342	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ ∪ 𝐵)
93	4, 69, 70, 71, 92, 73	om1addcl 24396	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥) ∈ ∪ 𝐵)
94		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]1) × {(𝑥‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝑥‘1)})
95	81, 94	pcorev 24390	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑥‘1)}))
96	75, 95	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑥‘1)}))
97	86	sneqd 4598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → {(𝑥‘1)} = {𝑌})
98	97	xpeq2d 5663	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((0[,]1) × {(𝑥‘1)}) = ((0[,]1) × {𝑌}))
99	64, 98	eqtr4id 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 0 = ((0[,]1) × {(𝑥‘1)}))
100	96, 99	breqtrrd 5133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽) 0 )
101		brinxp2 5709	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) 0 ↔ ((((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥) ∈ ∪ 𝐵 ∧ 0 ∈ ∪ 𝐵) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽) 0 ))
102	93, 72, 100, 101	syl21anbrc 1344	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) 0 )
103	14, 9, 15, 19, 11, 26, 32, 63, 68, 80, 92, 102	qusgrp2 18865	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (0g‘𝐺)))
104		ecinxp 8731	. . . . 5 ⊢ (((( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵 ∧ 0 ∈ ∪ 𝐵) → [ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = [ 0 ](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
105	13, 68, 104	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = [ 0 ](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
106	105	eqeq1d 2738	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘𝐺) ↔ [ 0 ](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (0g‘𝐺)))
107	106	anbi2d 629	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘𝐺)) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (0g‘𝐺))))
108	103, 107	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910  ifcif 4486  {csn 4586  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   × cxp 5631   “ cima 5636  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   Er wer 8645  [cec 8646  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   ≤ cle 11190   − cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  4c4 12210  [,]cicc 13267  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133  0_gc0g 17321  Grpcgrp 18748  TopOnctopon 22259   Cn ccn 22575  IIcii 24238   ≃_phcphtpc 24332  *_𝑝cpco 24363   Ω₁ comi 24364   π₁ cpi1 24366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-qus 17391  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-ii 24240  df-htpy 24333  df-phtpy 24334  df-phtpc 24355  df-pco 24368  df-om1 24369  df-pi1 24371

This theorem is referenced by:  pi1grp  24413  pi1id  24414  pi1inv  24415