MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1grplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1grplem 23127
Description: Lemma for pi1grp 23128. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1fval.g 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
pi1fval.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pi1fval.3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1fval.4 (𝜑𝑌𝑋)
pi1grplem.z 0 = ((0[,]1) × {𝑌})
Assertion
Ref Expression
pi1grplem (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃ph𝐽) = (0g𝐺)))

Proof of Theorem pi1grplem
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1fval.g . . . . 5 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
2 pi1fval.3 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3 pi1fval.4 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑋)
4 eqid 2765 . . . . 5 (𝐽 Ω1 𝑌) = (𝐽 Ω1 𝑌)
51, 2, 3, 4pi1val 23115 . . . 4 (𝜑𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph𝐽)))
6 pi1fval.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐺))
8 eqidd 2766 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
91, 2, 3, 4, 7, 8pi1buni 23118 . . . 4 (𝜑 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
10 fvexd 6390 . . . 4 (𝜑 → ( ≃ph𝐽) ∈ V)
11 ovexd 6876 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 Ω1 𝑌) ∈ V)
121, 2, 3, 4, 7, 9pi1blem 23117 . . . . 5 (𝜑 → ((( ≃ph𝐽) “ 𝐵) ⊆ 𝐵 𝐵 ⊆ (II Cn 𝐽)))
1312simpld 488 . . . 4 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) “ 𝐵) ⊆ 𝐵)
145, 9, 10, 11, 13qusin 16472 . . 3 (𝜑𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))))
154, 2, 3om1plusg 23112 . . 3 (𝜑 → (*𝑝𝐽) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
16 phtpcer 23073 . . . . 5 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
1716a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
1812simprd 489 . . . 4 (𝜑 𝐵 ⊆ (II Cn 𝐽))
1917, 18erinxp 8024 . . 3 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) Er 𝐵)
20 eqid 2765 . . . . 5 (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) = (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))
21 eqid 2765 . . . . 5 (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))
221, 2, 3, 7, 20, 4, 21pi1cpbl 23122 . . . 4 (𝜑 → ((𝑎(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑐𝑏(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑑) → (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))(𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑)))
2315oveqd 6859 . . . . 5 (𝜑 → (𝑎(*𝑝𝐽)𝑏) = (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏))
2415oveqd 6859 . . . . 5 (𝜑 → (𝑐(*𝑝𝐽)𝑑) = (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑))
2523, 24breq12d 4822 . . . 4 (𝜑 → ((𝑎(*𝑝𝐽)𝑏)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))(𝑐(*𝑝𝐽)𝑑) ↔ (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))(𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑)))
2622, 25sylibrd 250 . . 3 (𝜑 → ((𝑎(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑐𝑏(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑑) → (𝑎(*𝑝𝐽)𝑏)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))(𝑐(*𝑝𝐽)𝑑)))
2723ad2ant1 1163 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵𝑦 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2833ad2ant1 1163 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵𝑦 𝐵) → 𝑌𝑋)
2993ad2ant1 1163 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵𝑦 𝐵) → 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
30 simp2 1167 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵𝑦 𝐵) → 𝑥 𝐵)
31 simp3 1168 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵𝑦 𝐵) → 𝑦 𝐵)
324, 27, 28, 29, 30, 31om1addcl 23111 . . 3 ((𝜑𝑥 𝐵𝑦 𝐵) → (𝑥(*𝑝𝐽)𝑦) ∈ 𝐵)
332adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
343adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝑌𝑋)
359adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
36323adant3r3 1235 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑥(*𝑝𝐽)𝑦) ∈ 𝐵)
37 simpr3 1252 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝑧 𝐵)
384, 33, 34, 35, 36, 37om1addcl 23111 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → ((𝑥(*𝑝𝐽)𝑦)(*𝑝𝐽)𝑧) ∈ 𝐵)
39 simpr1 1248 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝑥 𝐵)
40 simpr2 1250 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝑦 𝐵)
414, 33, 34, 35, 40, 37om1addcl 23111 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑦(*𝑝𝐽)𝑧) ∈ 𝐵)
424, 33, 34, 35, 39, 41om1addcl 23111 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑥(*𝑝𝐽)(𝑦(*𝑝𝐽)𝑧)) ∈ 𝐵)
431, 2, 3, 7pi1eluni 23120 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌)))
4443biimpa 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝐵) → (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌))
45443ad2antr1 1239 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌))
4645simp1d 1172 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
476a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘𝐺))
481, 33, 34, 47pi1eluni 23120 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑦 𝐵 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌)))
4940, 48mpbid 223 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌))
5049simp1d 1172 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
511, 33, 34, 47pi1eluni 23120 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑧 𝐵 ↔ (𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑧‘0) = 𝑌 ∧ (𝑧‘1) = 𝑌)))
5237, 51mpbid 223 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑧‘0) = 𝑌 ∧ (𝑧‘1) = 𝑌))
5352simp1d 1172 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽))
5445simp3d 1174 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑥‘1) = 𝑌)
5549simp2d 1173 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑦‘0) = 𝑌)
5654, 55eqtr4d 2802 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑥‘1) = (𝑦‘0))
5749simp3d 1174 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑦‘1) = 𝑌)
5852simp2d 1173 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑧‘0) = 𝑌)
5957, 58eqtr4d 2802 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → (𝑦‘1) = (𝑧‘0))
60 eqid 2765 . . . . 5 (𝑢 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑢 ≤ (1 / 2), if(𝑢 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑢), (𝑢 + (1 / 4))), ((𝑢 / 2) + (1 / 2)))) = (𝑢 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑢 ≤ (1 / 2), if(𝑢 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑢), (𝑢 + (1 / 4))), ((𝑢 / 2) + (1 / 2))))
6146, 50, 53, 56, 59, 60pcoass 23102 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → ((𝑥(*𝑝𝐽)𝑦)(*𝑝𝐽)𝑧)( ≃ph𝐽)(𝑥(*𝑝𝐽)(𝑦(*𝑝𝐽)𝑧)))
62 brinxp2 5348 . . . 4 (((𝑥(*𝑝𝐽)𝑦)(*𝑝𝐽)𝑧)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))(𝑥(*𝑝𝐽)(𝑦(*𝑝𝐽)𝑧)) ↔ ((((𝑥(*𝑝𝐽)𝑦)(*𝑝𝐽)𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(*𝑝𝐽)(𝑦(*𝑝𝐽)𝑧)) ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥(*𝑝𝐽)𝑦)(*𝑝𝐽)𝑧)( ≃ph𝐽)(𝑥(*𝑝𝐽)(𝑦(*𝑝𝐽)𝑧))))
6338, 42, 61, 62syl21anbrc 1444 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵)) → ((𝑥(*𝑝𝐽)𝑦)(*𝑝𝐽)𝑧)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))(𝑥(*𝑝𝐽)(𝑦(*𝑝𝐽)𝑧)))
64 pi1grplem.z . . . . . 6 0 = ((0[,]1) × {𝑌})
6564pcoptcl 23099 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 ‘0) = 𝑌 ∧ ( 0 ‘1) = 𝑌))
662, 3, 65syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 ‘0) = 𝑌 ∧ ( 0 ‘1) = 𝑌))
671, 2, 3, 7pi1eluni 23120 . . . 4 (𝜑 → ( 0 𝐵 ↔ ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 ‘0) = 𝑌 ∧ ( 0 ‘1) = 𝑌)))
6866, 67mpbird 248 . . 3 (𝜑0 𝐵)
692adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
703adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → 𝑌𝑋)
719adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
7268adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → 0 𝐵)
73 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → 𝑥 𝐵)
744, 69, 70, 71, 72, 73om1addcl 23111 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵) → ( 0 (*𝑝𝐽)𝑥) ∈ 𝐵)
7518sselda 3761 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
7644simp2d 1173 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → (𝑥‘0) = 𝑌)
7764pcopt 23100 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌) → ( 0 (*𝑝𝐽)𝑥)( ≃ph𝐽)𝑥)
7875, 76, 77syl2anc 579 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵) → ( 0 (*𝑝𝐽)𝑥)( ≃ph𝐽)𝑥)
79 brinxp2 5348 . . . 4 (( 0 (*𝑝𝐽)𝑥)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑥 ↔ ((( 0 (*𝑝𝐽)𝑥) ∈ 𝐵𝑥 𝐵) ∧ ( 0 (*𝑝𝐽)𝑥)( ≃ph𝐽)𝑥))
8074, 73, 78, 79syl21anbrc 1444 . . 3 ((𝜑𝑥 𝐵) → ( 0 (*𝑝𝐽)𝑥)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑥)
81 eqid 2765 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) = (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))
8281pcorevcl 23103 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = (𝑥‘1) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = (𝑥‘0)))
8375, 82syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = (𝑥‘1) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = (𝑥‘0)))
8483simp1d 1172 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵) → (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽))
8583simp2d 1173 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = (𝑥‘1))
8644simp3d 1174 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → (𝑥‘1) = 𝑌)
8785, 86eqtrd 2799 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = 𝑌)
8883simp3d 1174 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = (𝑥‘0))
8988, 76eqtrd 2799 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = 𝑌)
901, 2, 3, 7pi1eluni 23120 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = 𝑌)))
9190adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = 𝑌)))
9284, 87, 89, 91mpbir3and 1442 . . 3 ((𝜑𝑥 𝐵) → (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ 𝐵)
934, 69, 70, 71, 92, 73om1addcl 23111 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝𝐽)𝑥) ∈ 𝐵)
94 eqid 2765 . . . . . . 7 ((0[,]1) × {(𝑥‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝑥‘1)})
9581, 94pcorev 23105 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝𝐽)𝑥)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝑥‘1)}))
9675, 95syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝𝐽)𝑥)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝑥‘1)}))
9786sneqd 4346 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝐵) → {(𝑥‘1)} = {𝑌})
9897xpeq2d 5307 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((0[,]1) × {(𝑥‘1)}) = ((0[,]1) × {𝑌}))
9998, 64syl6reqr 2818 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐵) → 0 = ((0[,]1) × {(𝑥‘1)}))
10096, 99breqtrrd 4837 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝𝐽)𝑥)( ≃ph𝐽) 0 )
101 brinxp2 5348 . . . 4 (((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝𝐽)𝑥)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) 0 ↔ ((((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝𝐽)𝑥) ∈ 𝐵0 𝐵) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝𝐽)𝑥)( ≃ph𝐽) 0 ))
10293, 72, 100, 101syl21anbrc 1444 . . 3 ((𝜑𝑥 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝𝐽)𝑥)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) 0 )
10314, 9, 15, 19, 11, 26, 32, 63, 68, 80, 92, 102qusgrp2 17802 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) = (0g𝐺)))
104 ecinxp 8025 . . . . 5 (((( ≃ph𝐽) “ 𝐵) ⊆ 𝐵0 𝐵) → [ 0 ]( ≃ph𝐽) = [ 0 ](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
10513, 68, 104syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → [ 0 ]( ≃ph𝐽) = [ 0 ](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
106105eqeq1d 2767 . . 3 (𝜑 → ([ 0 ]( ≃ph𝐽) = (0g𝐺) ↔ [ 0 ](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) = (0g𝐺)))
107106anbi2d 622 . 2 (𝜑 → ((𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃ph𝐽) = (0g𝐺)) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) = (0g𝐺))))
108103, 107mpbird 248 1 (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃ph𝐽) = (0g𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  Vcvv 3350  cin 3731  wss 3732  ifcif 4243  {csn 4334   cuni 4594   class class class wbr 4809  cmpt 4888   × cxp 5275  cima 5280  cfv 6068  (class class class)co 6842   Er wer 7944  [cec 7945  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  cle 10329  cmin 10520   / cdiv 10938  2c2 11327  4c4 11329  [,]cicc 12380  Basecbs 16132  +gcplusg 16216  0gc0g 16368  Grpcgrp 17691  TopOnctopon 20994   Cn ccn 21308  IIcii 22957  phcphtpc 23047  *𝑝cpco 23078   Ω1 comi 23079   π1 cpi1 23081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-ec 7949  df-qs 7953  df-map 8062  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-rest 16351  df-topn 16352  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-topgen 16372  df-pt 16373  df-prds 16376  df-xrs 16430  df-qtop 16435  df-imas 16436  df-qus 16437  df-xps 16438  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-grp 17694  df-mulg 17810  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-ii 22959  df-htpy 23048  df-phtpy 23049  df-phtpc 23070  df-pco 23083  df-om1 23084  df-pi1 23086
This theorem is referenced by:  pi1grp  23128  pi1id  23129  pi1inv  23130
  Copyright terms: Public domain W3C validator