Theorem pi1grplem 24947

Description: Lemma for pi1grp 24948. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1fval.g	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
pi1fval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
pi1fval.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1fval.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
pi1grplem.z	⊢ 0 = ((0[,]1) × {𝑌})

Assertion

Ref	Expression
pi1grplem	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘𝐺)))

Proof of Theorem pi1grplem

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1fval.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
2		pi1fval.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		pi1fval.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
4		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝐽 Ω1 𝑌) = (𝐽 Ω1 𝑌)
5	1, 2, 3, 4	pi1val 24935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)))
6		pi1fval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
8		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	pi1buni 24938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
10		fvexd 6837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
11		ovexd 7384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 Ω1 𝑌) ∈ V)
12	1, 2, 3, 4, 7, 9	pi1blem 24937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ (II Cn 𝐽)))
13	12	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵)
14	5, 9, 10, 11, 13	qusin 17448	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))))
15	4, 2, 3	om1plusg 24932	. . 3 ⊢ (𝜑 → (*𝑝‘𝐽) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
16		phtpcer 24892	. . . . 5 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
18	12	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 ⊆ (II Cn 𝐽))
19	17, 18	erinxp 8718	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) Er ∪ 𝐵)
20		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))
21		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))
22	1, 2, 3, 7, 20, 4, 21	pi1cpbl 24942	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑐 ∧ 𝑏(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑑) → (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑)))
23	15	oveqd 7366	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎(*𝑝‘𝐽)𝑏) = (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏))
24	15	oveqd 7366	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑐(*𝑝‘𝐽)𝑑) = (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑))
25	23, 24	breq12d 5105	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(*𝑝‘𝐽)𝑏)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑐(*𝑝‘𝐽)𝑑) ↔ (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑)))
26	22, 25	sylibrd 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑐 ∧ 𝑏(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑑) → (𝑎(*𝑝‘𝐽)𝑏)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑐(*𝑝‘𝐽)𝑑)))
27	2	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
28	3	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝑋)
29	9	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
30		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐵)
31		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑦 ∈ ∪ 𝐵)
32	4, 27, 28, 29, 30, 31	om1addcl 24931	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦) ∈ ∪ 𝐵)
33	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
34	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝑋)
35	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
36	32	3adant3r3 1185	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦) ∈ ∪ 𝐵)
37		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)
38	4, 33, 34, 35, 36, 37	om1addcl 24931	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → ((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧) ∈ ∪ 𝐵)
39		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐵)
40		simpr2 1196	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ∪ 𝐵)
41	4, 33, 34, 35, 40, 37	om1addcl 24931	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧) ∈ ∪ 𝐵)
42	4, 33, 34, 35, 39, 41	om1addcl 24931	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧)) ∈ ∪ 𝐵)
43	1, 2, 3, 7	pi1eluni 24940	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌)))
44	43	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌))
45	44	3ad2antr1 1189	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌))
46	45	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
47	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘𝐺))
48	1, 33, 34, 47	pi1eluni 24940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌)))
49	40, 48	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌))
50	49	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
51	1, 33, 34, 47	pi1eluni 24940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑧 ∈ ∪ 𝐵 ↔ (𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑧‘0) = 𝑌 ∧ (𝑧‘1) = 𝑌)))
52	37, 51	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑧‘0) = 𝑌 ∧ (𝑧‘1) = 𝑌))
53	52	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽))
54	45	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑥‘1) = 𝑌)
55	49	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦‘0) = 𝑌)
56	54, 55	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑥‘1) = (𝑦‘0))
57	49	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦‘1) = 𝑌)
58	52	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑧‘0) = 𝑌)
59	57, 58	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑦‘1) = (𝑧‘0))
60		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑢 ≤ (1 / 2), if(𝑢 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑢), (𝑢 + (1 / 4))), ((𝑢 / 2) + (1 / 2)))) = (𝑢 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑢 ≤ (1 / 2), if(𝑢 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑢), (𝑢 + (1 / 4))), ((𝑢 / 2) + (1 / 2))))
61	46, 50, 53, 56, 59, 60	pcoass 24922	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → ((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧)( ≃ph‘𝐽)(𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧)))
62		brinxp2 5697	. . . 4 ⊢ (((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧)) ↔ ((((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧) ∈ ∪ 𝐵 ∧ (𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧)) ∈ ∪ 𝐵) ∧ ((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧)( ≃ph‘𝐽)(𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧))))
63	38, 42, 61, 62	syl21anbrc 1345	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐵)) → ((𝑥(*𝑝‘𝐽)𝑦)(*𝑝‘𝐽)𝑧)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑥(*𝑝‘𝐽)(𝑦(*𝑝‘𝐽)𝑧)))
64		pi1grplem.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = ((0[,]1) × {𝑌})
65	64	pcoptcl 24919	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 ‘0) = 𝑌 ∧ ( 0 ‘1) = 𝑌))
66	2, 3, 65	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 ‘0) = 𝑌 ∧ ( 0 ‘1) = 𝑌))
67	1, 2, 3, 7	pi1eluni 24940	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 ∈ ∪ 𝐵 ↔ ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 ‘0) = 𝑌 ∧ ( 0 ‘1) = 𝑌)))
68	66, 67	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ∪ 𝐵)
69	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
70	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝑋)
71	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
72	68	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 0 ∈ ∪ 𝐵)
73		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐵)
74	4, 69, 70, 71, 72, 73	om1addcl 24931	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥) ∈ ∪ 𝐵)
75	18	sselda 3935	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
76	44	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑥‘0) = 𝑌)
77	64	pcopt 24920	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌) → ( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽)𝑥)
78	75, 76, 77	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽)𝑥)
79		brinxp2 5697	. . . 4 ⊢ (( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑥 ↔ ((( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥) ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) ∧ ( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽)𝑥))
80	74, 73, 78, 79	syl21anbrc 1345	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ( 0 (*𝑝‘𝐽)𝑥)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑥)
81		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) = (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))
82	81	pcorevcl 24923	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = (𝑥‘1) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = (𝑥‘0)))
83	75, 82	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = (𝑥‘1) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = (𝑥‘0)))
84	83	simp1d 1142	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽))
85	83	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = (𝑥‘1))
86	44	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑥‘1) = 𝑌)
87	85, 86	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = 𝑌)
88	83	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = (𝑥‘0))
89	88, 76	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = 𝑌)
90	1, 2, 3, 7	pi1eluni 24940	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ ∪ 𝐵 ↔ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = 𝑌)))
91	90	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ ∪ 𝐵 ↔ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘0) = 𝑌 ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))‘1) = 𝑌)))
92	84, 87, 89, 91	mpbir3and 1343	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → (𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎))) ∈ ∪ 𝐵)
93	4, 69, 70, 71, 92, 73	om1addcl 24931	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥) ∈ ∪ 𝐵)
94		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]1) × {(𝑥‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝑥‘1)})
95	81, 94	pcorev 24925	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑥‘1)}))
96	75, 95	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝑥‘1)}))
97	86	sneqd 4589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → {(𝑥‘1)} = {𝑌})
98	97	xpeq2d 5649	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((0[,]1) × {(𝑥‘1)}) = ((0[,]1) × {𝑌}))
99	64, 98	eqtr4id 2783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → 0 = ((0[,]1) × {(𝑥‘1)}))
100	96, 99	breqtrrd 5120	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽) 0 )
101		brinxp2 5697	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) 0 ↔ ((((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥) ∈ ∪ 𝐵 ∧ 0 ∈ ∪ 𝐵) ∧ ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)( ≃ph‘𝐽) 0 ))
102	93, 72, 100, 101	syl21anbrc 1345	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘(1 − 𝑎)))(*𝑝‘𝐽)𝑥)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) 0 )
103	14, 9, 15, 19, 11, 26, 32, 63, 68, 80, 92, 102	qusgrp2 18937	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (0g‘𝐺)))
104		ecinxp 8719	. . . . 5 ⊢ (((( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵 ∧ 0 ∈ ∪ 𝐵) → [ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = [ 0 ](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
105	13, 68, 104	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = [ 0 ](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
106	105	eqeq1d 2731	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘𝐺) ↔ [ 0 ](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (0g‘𝐺)))
107	106	anbi2d 630	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘𝐺)) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (0g‘𝐺))))
108	103, 107	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ifcif 4476  {csn 4577  ∪ cuni 4858   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173   × cxp 5617   “ cima 5622  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   Er wer 8622  [cec 8623  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   ≤ cle 11150   − cmin 11347   / cdiv 11777  2c2 12183  4c4 12185  [,]cicc 13251  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  0_gc0g 17343  Grpcgrp 18812  TopOnctopon 22795   Cn ccn 23109  IIcii 24766   ≃_phcphtpc 24866  *_𝑝cpco 24898   Ω₁ comi 24899   π₁ cpi1 24901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-ec 8627  df-qs 8631  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-qus 17413  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208  df-ii 24768  df-htpy 24867  df-phtpy 24868  df-phtpc 24889  df-pco 24903  df-om1 24904  df-pi1 24906

This theorem is referenced by:  pi1grp  24948  pi1id  24949  pi1inv  24950