MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1grplem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pi1grplem 24556
Description: Lemma for pi1grp 24557. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1fval.g 𝐺 = (𝐽 Ο€1 π‘Œ)
pi1fval.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
pi1fval.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
pi1fval.4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
pi1grplem.z 0 = ((0[,]1) Γ— {π‘Œ})
Assertion
Ref Expression
pi1grplem (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃phβ€˜π½) = (0gβ€˜πΊ)))
Proof of Theorem pi1grplem
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1fval.g . . . . 5 𝐺 = (𝐽 Ο€1 π‘Œ)
2 pi1fval.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3 pi1fval.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
4 eqid 2732 . . . . 5 (𝐽 Ξ©1 π‘Œ) = (𝐽 Ξ©1 π‘Œ)
51, 2, 3, 4pi1val 24544 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = ((𝐽 Ξ©1 π‘Œ) /s ( ≃phβ€˜π½)))
6 pi1fval.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
76a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ))
8 eqidd 2733 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)) = (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))
91, 2, 3, 4, 7, 8pi1buni 24547 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))
10 fvexd 6903 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( ≃phβ€˜π½) ∈ V)
11 ovexd 7440 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐽 Ξ©1 π‘Œ) ∈ V)
121, 2, 3, 4, 7, 9pi1blem 24546 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((( ≃phβ€˜π½) β€œ βˆͺ 𝐡) βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† (II Cn 𝐽)))
1312simpld 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ (( ≃phβ€˜π½) β€œ βˆͺ 𝐡) βŠ† βˆͺ 𝐡)
145, 9, 10, 11, 13qusin 17486 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = ((𝐽 Ξ©1 π‘Œ) /s (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))))
154, 2, 3om1plusg 24541 . . 3 (πœ‘ β†’ (*π‘β€˜π½) = (+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))
16 phtpcer 24502 . . . . 5 ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽)
1716a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽))
1812simprd 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐡 βŠ† (II Cn 𝐽))
1917, 18erinxp 8781 . . 3 (πœ‘ β†’ (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) Er βˆͺ 𝐡)
20 eqid 2732 . . . . 5 (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) = (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))
21 eqid 2732 . . . . 5 (+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)) = (+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))
221, 2, 3, 7, 20, 4, 21pi1cpbl 24551 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))𝑐 ∧ 𝑏(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))𝑑) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑏)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))(𝑐(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑑)))
2315oveqd 7422 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Ž(*π‘β€˜π½)𝑏) = (π‘Ž(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑏))
2415oveqd 7422 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑐(*π‘β€˜π½)𝑑) = (𝑐(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑑))
2523, 24breq12d 5160 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž(*π‘β€˜π½)𝑏)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))(𝑐(*π‘β€˜π½)𝑑) ↔ (π‘Ž(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑏)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))(𝑐(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑑)))
2622, 25sylibrd 258 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))𝑐 ∧ 𝑏(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))𝑑) β†’ (π‘Ž(*π‘β€˜π½)𝑏)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))(𝑐(*π‘β€˜π½)𝑑)))
2723ad2ant1 1133 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2833ad2ant1 1133 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
2993ad2ant1 1133 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ βˆͺ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))
30 simp2 1137 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡)
31 simp3 1138 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡)
324, 27, 28, 29, 30, 31om1addcl 24540 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘₯(*π‘β€˜π½)𝑦) ∈ βˆͺ 𝐡)
332adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
343adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
359adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ βˆͺ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))
36323adant3r3 1184 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (π‘₯(*π‘β€˜π½)𝑦) ∈ βˆͺ 𝐡)
37 simpr3 1196 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)
384, 33, 34, 35, 36, 37om1addcl 24540 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ ((π‘₯(*π‘β€˜π½)𝑦)(*π‘β€˜π½)𝑧) ∈ βˆͺ 𝐡)
39 simpr1 1194 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡)
40 simpr2 1195 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡)
414, 33, 34, 35, 40, 37om1addcl 24540 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (𝑦(*π‘β€˜π½)𝑧) ∈ βˆͺ 𝐡)
424, 33, 34, 35, 39, 41om1addcl 24540 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (π‘₯(*π‘β€˜π½)(𝑦(*π‘β€˜π½)𝑧)) ∈ βˆͺ 𝐡)
431, 2, 3, 7pi1eluni 24549 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ↔ (π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘₯β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘₯β€˜1) = π‘Œ)))
4443biimpa 477 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘₯β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘₯β€˜1) = π‘Œ))
45443ad2antr1 1188 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘₯β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘₯β€˜1) = π‘Œ))
4645simp1d 1142 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽))
476a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ))
481, 33, 34, 47pi1eluni 24549 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘¦β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘¦β€˜1) = π‘Œ)))
4940, 48mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘¦β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘¦β€˜1) = π‘Œ))
5049simp1d 1142 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
511, 33, 34, 47pi1eluni 24549 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡 ↔ (𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘§β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘§β€˜1) = π‘Œ)))
5237, 51mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘§β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘§β€˜1) = π‘Œ))
5352simp1d 1142 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽))
5445simp3d 1144 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (π‘₯β€˜1) = π‘Œ)
5549simp2d 1143 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (π‘¦β€˜0) = π‘Œ)
5654, 55eqtr4d 2775 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (π‘₯β€˜1) = (π‘¦β€˜0))
5749simp3d 1144 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (π‘¦β€˜1) = π‘Œ)
5852simp2d 1143 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (π‘§β€˜0) = π‘Œ)
5957, 58eqtr4d 2775 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (π‘¦β€˜1) = (π‘§β€˜0))
60 eqid 2732 . . . . 5 (𝑒 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑒 ≀ (1 / 2), if(𝑒 ≀ (1 / 4), (2 Β· 𝑒), (𝑒 + (1 / 4))), ((𝑒 / 2) + (1 / 2)))) = (𝑒 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑒 ≀ (1 / 2), if(𝑒 ≀ (1 / 4), (2 Β· 𝑒), (𝑒 + (1 / 4))), ((𝑒 / 2) + (1 / 2))))
6146, 50, 53, 56, 59, 60pcoass 24531 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ ((π‘₯(*π‘β€˜π½)𝑦)(*π‘β€˜π½)𝑧)( ≃phβ€˜π½)(π‘₯(*π‘β€˜π½)(𝑦(*π‘β€˜π½)𝑧)))
62 brinxp2 5751 . . . 4 (((π‘₯(*π‘β€˜π½)𝑦)(*π‘β€˜π½)𝑧)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))(π‘₯(*π‘β€˜π½)(𝑦(*π‘β€˜π½)𝑧)) ↔ ((((π‘₯(*π‘β€˜π½)𝑦)(*π‘β€˜π½)𝑧) ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ (π‘₯(*π‘β€˜π½)(𝑦(*π‘β€˜π½)𝑧)) ∈ βˆͺ 𝐡) ∧ ((π‘₯(*π‘β€˜π½)𝑦)(*π‘β€˜π½)𝑧)( ≃phβ€˜π½)(π‘₯(*π‘β€˜π½)(𝑦(*π‘β€˜π½)𝑧))))
6338, 42, 61, 62syl21anbrc 1344 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ ((π‘₯(*π‘β€˜π½)𝑦)(*π‘β€˜π½)𝑧)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))(π‘₯(*π‘β€˜π½)(𝑦(*π‘β€˜π½)𝑧)))
64 pi1grplem.z . . . . . 6 0 = ((0[,]1) Γ— {π‘Œ})
6564pcoptcl 24528 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 β€˜0) = π‘Œ ∧ ( 0 β€˜1) = π‘Œ))
662, 3, 65syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 β€˜0) = π‘Œ ∧ ( 0 β€˜1) = π‘Œ))
671, 2, 3, 7pi1eluni 24549 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( 0 ∈ βˆͺ 𝐡 ↔ ( 0 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ( 0 β€˜0) = π‘Œ ∧ ( 0 β€˜1) = π‘Œ)))
6866, 67mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ βˆͺ 𝐡)
692adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
703adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
719adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ βˆͺ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))
7268adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 0 ∈ βˆͺ 𝐡)
73 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡)
744, 69, 70, 71, 72, 73om1addcl 24540 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ( 0 (*π‘β€˜π½)π‘₯) ∈ βˆͺ 𝐡)
7518sselda 3981 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽))
7644simp2d 1143 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘₯β€˜0) = π‘Œ)
7764pcopt 24529 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘₯β€˜0) = π‘Œ) β†’ ( 0 (*π‘β€˜π½)π‘₯)( ≃phβ€˜π½)π‘₯)
7875, 76, 77syl2anc 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ( 0 (*π‘β€˜π½)π‘₯)( ≃phβ€˜π½)π‘₯)
79 brinxp2 5751 . . . 4 (( 0 (*π‘β€˜π½)π‘₯)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))π‘₯ ↔ ((( 0 (*π‘β€˜π½)π‘₯) ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) ∧ ( 0 (*π‘β€˜π½)π‘₯)( ≃phβ€˜π½)π‘₯))
8074, 73, 78, 79syl21anbrc 1344 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ( 0 (*π‘β€˜π½)π‘₯)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))π‘₯)
81 eqid 2732 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž))) = (π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))
8281pcorevcl 24532 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜0) = (π‘₯β€˜1) ∧ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜1) = (π‘₯β€˜0)))
8375, 82syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜0) = (π‘₯β€˜1) ∧ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜1) = (π‘₯β€˜0)))
8483simp1d 1142 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž))) ∈ (II Cn 𝐽))
8583simp2d 1143 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜0) = (π‘₯β€˜1))
8644simp3d 1144 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘₯β€˜1) = π‘Œ)
8785, 86eqtrd 2772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜0) = π‘Œ)
8883simp3d 1144 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜1) = (π‘₯β€˜0))
8988, 76eqtrd 2772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜1) = π‘Œ)
901, 2, 3, 7pi1eluni 24549 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž))) ∈ βˆͺ 𝐡 ↔ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜0) = π‘Œ ∧ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜1) = π‘Œ)))
9190adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž))) ∈ βˆͺ 𝐡 ↔ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜0) = π‘Œ ∧ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))β€˜1) = π‘Œ)))
9284, 87, 89, 91mpbir3and 1342 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž))) ∈ βˆͺ 𝐡)
934, 69, 70, 71, 92, 73om1addcl 24540 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))(*π‘β€˜π½)π‘₯) ∈ βˆͺ 𝐡)
94 eqid 2732 . . . . . . 7 ((0[,]1) Γ— {(π‘₯β€˜1)}) = ((0[,]1) Γ— {(π‘₯β€˜1)})
9581, 94pcorev 24534 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))(*π‘β€˜π½)π‘₯)( ≃phβ€˜π½)((0[,]1) Γ— {(π‘₯β€˜1)}))
9675, 95syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))(*π‘β€˜π½)π‘₯)( ≃phβ€˜π½)((0[,]1) Γ— {(π‘₯β€˜1)}))
9786sneqd 4639 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ {(π‘₯β€˜1)} = {π‘Œ})
9897xpeq2d 5705 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((0[,]1) Γ— {(π‘₯β€˜1)}) = ((0[,]1) Γ— {π‘Œ}))
9964, 98eqtr4id 2791 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 0 = ((0[,]1) Γ— {(π‘₯β€˜1)}))
10096, 99breqtrrd 5175 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))(*π‘β€˜π½)π‘₯)( ≃phβ€˜π½) 0 )
101 brinxp2 5751 . . . 4 (((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))(*π‘β€˜π½)π‘₯)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) 0 ↔ ((((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))(*π‘β€˜π½)π‘₯) ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 0 ∈ βˆͺ 𝐡) ∧ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))(*π‘β€˜π½)π‘₯)( ≃phβ€˜π½) 0 ))
10293, 72, 100, 101syl21anbrc 1344 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯β€˜(1 βˆ’ π‘Ž)))(*π‘β€˜π½)π‘₯)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) 0 )
10314, 9, 15, 19, 11, 26, 32, 63, 68, 80, 92, 102qusgrp2 18937 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) = (0gβ€˜πΊ)))
104 ecinxp 8782 . . . . 5 (((( ≃phβ€˜π½) β€œ βˆͺ 𝐡) βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ 0 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ [ 0 ]( ≃phβ€˜π½) = [ 0 ](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)))
10513, 68, 104syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ [ 0 ]( ≃phβ€˜π½) = [ 0 ](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)))
106105eqeq1d 2734 . . 3 (πœ‘ β†’ ([ 0 ]( ≃phβ€˜π½) = (0gβ€˜πΊ) ↔ [ 0 ](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) = (0gβ€˜πΊ)))
107106anbi2d 629 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃phβ€˜π½) = (0gβ€˜πΊ)) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) = (0gβ€˜πΊ))))
108103, 107mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ Grp ∧ [ 0 ]( ≃phβ€˜π½) = (0gβ€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673   β€œ cima 5678  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   Er wer 8696  [cec 8697  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  2c2 12263  4c4 12265  [,]cicc 13323  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  0gc0g 17381  Grpcgrp 18815  TopOnctopon 22403   Cn ccn 22719  IIcii 24382   ≃phcphtpc 24476  *𝑝cpco 24507   Ξ©1 comi 24508   Ο€1 cpi1 24510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-qus 17451  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-ii 24384  df-htpy 24477  df-phtpy 24478  df-phtpc 24499  df-pco 24512  df-om1 24513  df-pi1 24515
This theorem is referenced by:  pi1grp  24557  pi1id  24558  pi1inv  24559
  Copyright terms: Public domain W3C validator