Theorem isstruct 17190

Description: The property of being a structure with components in 𝑀...𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isstruct	⊢ (𝐹 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ ↔ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝑀...𝑁)))

Proof of Theorem isstruct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isstruct2 17187	. 2 ⊢ (𝐹 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ ↔ (⟨𝑀, 𝑁⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℕ × ℕ)) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (...‘⟨𝑀, 𝑁⟩)))
2		df-3an 1101	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
3		brinxp2 5727	. . . 4 ⊢ (𝑀( ≤ ∩ (ℕ × ℕ))𝑁 ↔ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
4		df-br 5103	. . . 4 ⊢ (𝑀( ≤ ∩ (ℕ × ℕ))𝑁 ↔ ⟨𝑀, 𝑁⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℕ × ℕ)))
5	2, 3, 4	3bitr2i 301	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ ⟨𝑀, 𝑁⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℕ × ℕ)))
6		biid 263	. . 3 ⊢ (Fun (𝐹 ∖ {∅}) ↔ Fun (𝐹 ∖ {∅}))
7		df-ov 7401	. . . 4 ⊢ (𝑀...𝑁) = (...‘⟨𝑀, 𝑁⟩)
8	7	sseq2i 3967	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 ⊆ (𝑀...𝑁) ↔ dom 𝐹 ⊆ (...‘⟨𝑀, 𝑁⟩))
9	5, 6, 8	3anbi123i 1169	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝑀...𝑁)) ↔ (⟨𝑀, 𝑁⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℕ × ℕ)) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (...‘⟨𝑀, 𝑁⟩)))
10	1, 9	bitr4i 280	1 ⊢ (𝐹 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ ↔ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝑀...𝑁)))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   ∈ wcel 2144   ∖ cdif 3903   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  {csn 4584  ⟨cop 4590   class class class wbr 5102   × cxp 5647  dom cdm 5649  Fun wfun 6517  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   ≤ cle 11219  ℕcn 12212  ...cfz 13514   Struct cstr 17184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515  df-struct 17185

This theorem is referenced by:  structfn  17194  strleun  17195  strle1  17196  setsstruct  17214