Theorem btwnlng2 28908

Description: Betweenness implies colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
btwnlng1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
btwnlng1.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
btwnlng1.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
btwnlng1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
btwnlng1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
btwnlng1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
btwnlng1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
btwnlng1.d	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
btwnlng2.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌))

Assertion

Ref	Expression
btwnlng2	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))

Proof of Theorem btwnlng2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwnlng2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌))
2	1	3mix2d 1356	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
3		btwnlng1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		btwnlng1.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		btwnlng1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		btwnlng1.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		btwnlng1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		btwnlng1.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
9		btwnlng1.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
10		btwnlng1.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	tgellng 28837	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
12	2, 11	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17279  TarskiGcstrkg 28711  Itvcitv 28717  LineGclng 28718

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pr 5407

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-br 5113  df-opab 5177  df-id 5559  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-trkg 28737

This theorem is used by:  mirln  28968  colperpexlem3  29028  outpasch  29052  hpgerlem  29062  plngrotlem1  29084  plngrotlem2  29085  morleylemrneab  35071