Theorem mirln 28953

Description: If two points are on the same line, so is the mirror point of one through the other. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirln.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirln.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
mirln.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
mirln.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mirln	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem mirln

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
2	1	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑀‘𝐴) = (𝑀‘𝐵))
3		mirval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		mirval.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		mirval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		mirval.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		mirval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8		mirval.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		mirln.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
11		mirln.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
12	3, 6, 5, 8, 10, 11	tglnpt 28818	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
14		mirln.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
15	3, 4, 5, 6, 7, 9, 13, 14	mircinv 28945	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑀‘𝐴) = 𝐴)
16	2, 15	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑀‘𝐵) = 𝐴)
17	11	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
18	16, 17	eqeltrd 2863	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝐷)
19	8	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
20	12	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
21		mirln.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
22	3, 6, 5, 8, 10, 21	tglnpt 28818	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
23	22	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
24	3, 4, 5, 6, 7, 19, 20, 14, 23	mircl 28938	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝑃)
25		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
26	3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 14, 22	mirbtwn 28935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))
27	26	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))
28	3, 5, 6, 19, 20, 23, 24, 25, 27	btwnlng2 28893	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐵))
29	10	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
30	11	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
31	21	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
32	3, 5, 6, 19, 20, 23, 25, 25, 29, 30, 31	tglinethru 28909	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝐵))
33	28, 32	eleqtrrd 2866	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝐷)
34	18, 33	pm2.61dane 3045	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ran crn 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  distcds 17314  TarskiGcstrkg 28696  Itvcitv 28702  LineGclng 28703  pInvGcmir 28929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-concat 14604  df-s1 14630  df-s2 14881  df-s3 14882  df-trkgc 28717  df-trkgb 28718  df-trkgcb 28719  df-trkg 28722  df-cgrg 28780  df-mir 28930

This theorem is referenced by:  opphllem2  29029  opphllem4  29031  oppmir  29036  colhp  29052  mirplncl  29077  perpeq  29151  prlngmolem2  29203  prlngmid2  29211