Theorem mirln 29157

Description: If two points are on the same line, so is the mirror point of one through the other. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirln.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirln.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
mirln.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
mirln.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mirln	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem mirln

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
2	1	fveq2d 6894	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑀‘𝐴) = (𝑀‘𝐵))
3		mirval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		mirval.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		mirval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		mirval.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		mirval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8		mirval.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		mirln.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
11		mirln.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
12	3, 6, 5, 8, 10, 11	tglnpt 29021	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
14		mirln.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
15	3, 4, 5, 6, 7, 9, 13, 14	mircinv 29149	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑀‘𝐴) = 𝐴)
16	2, 15	eqtr3d 2797	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑀‘𝐵) = 𝐴)
17	11	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
18	16, 17	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝐷)
19	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
20	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
21		mirln.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
22	3, 6, 5, 8, 10, 21	tglnpt 29021	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
23	22	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
24	3, 4, 5, 6, 7, 19, 20, 14, 23	mircl 29142	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝑃)
25		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
26	3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 14, 22	mirbtwn 29139	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))
27	26	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))
28	3, 5, 6, 19, 20, 23, 24, 25, 27	btwnlng2 29097	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐵))
29	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
30	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
31	21	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
32	3, 5, 6, 19, 20, 23, 25, 25, 29, 30, 31	tglinethru 29113	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝐵))
33	28, 32	eleqtrrd 2863	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝐷)
34	18, 33	pm2.61dane 3042	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ran crn 5652  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396  distcds 17446  TarskiGcstrkg 28898  Itvcitv 28904  LineGclng 28905  pInvGcmir 29133

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-oadd 8487  df-er 8724  df-pm 8857  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-dju 9989  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-xnn0 12687  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-hash 14482  df-word 14666  df-concat 14723  df-s1 14750  df-s2 15007  df-s3 15008  df-trkgc 28919  df-trkgb 28920  df-trkgcb 28921  df-trkg 28924  df-cgrg 28983  df-mir 29134

This theorem is used by:  opphllem2  29233  opphllem4  29235  oppmir  29241  colhp  29257  mirplncl  29282  perpeq  29357  tgaaddcpbllem1  29358  tgaaddcpbl  29361  prlngmolem2  29440  prlngmid2  29448  tgextamirn  33076