Theorem mirln 28833

Description: If two points are on the same line, so is the mirror point of one through the other. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirln.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirln.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
mirln.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
mirln.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mirln	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem mirln

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
2	1	fveq2d 6866	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑀‘𝐴) = (𝑀‘𝐵))
3		mirval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		mirval.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		mirval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		mirval.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		mirval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8		mirval.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		mirln.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
11		mirln.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
12	3, 6, 5, 8, 10, 11	tglnpt 28706	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
14		mirln.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
15	3, 4, 5, 6, 7, 9, 13, 14	mircinv 28825	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑀‘𝐴) = 𝐴)
16	2, 15	eqtr3d 2798	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑀‘𝐵) = 𝐴)
17	11	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
18	16, 17	eqeltrd 2861	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝐷)
19	8	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
20	12	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
21		mirln.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
22	3, 6, 5, 8, 10, 21	tglnpt 28706	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
23	22	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
24	3, 4, 5, 6, 7, 19, 20, 14, 23	mircl 28818	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝑃)
25		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
26	3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 14, 22	mirbtwn 28815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))
27	26	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))
28	3, 5, 6, 19, 20, 23, 24, 25, 27	btwnlng2 28777	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐵))
29	10	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
30	11	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
31	21	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
32	3, 5, 6, 19, 20, 23, 25, 25, 29, 30, 31	tglinethru 28793	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝐵))
33	28, 32	eleqtrrd 2864	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝐷)
34	18, 33	pm2.61dane 3043	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ran crn 5644  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  Basecbs 17236  distcds 17286  TarskiGcstrkg 28584  Itvcitv 28590  LineGclng 28591  pInvGcmir 28809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-oadd 8435  df-er 8672  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9853  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12476  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12834  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-hash 14338  df-word 14521  df-concat 14578  df-s1 14604  df-s2 14855  df-s3 14856  df-trkgc 28605  df-trkgb 28606  df-trkgcb 28607  df-trkg 28610  df-cgrg 28668  df-mir 28810

This theorem is referenced by:  opphllem2  28905  opphllem4  28907  colhp  28927