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Theorem colperpexlem3 29013

Description: Lemma for colperpex 29014. Case 1 of theorem 8.21 of [Schwabhauser] p. 63. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
colperpex.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
colperpex.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
colperpex.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
colperpex.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
colperpex.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
colperpex.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
colperpexlem3.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))

**Assertion**
Ref	Expression
colperpexlem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))

Distinct variable groups: − ,𝑝,𝑡 𝐴,𝑝,𝑡 𝐵,𝑝,𝑡 𝐶,𝑝,𝑡 𝐺,𝑝,𝑡 𝐼,𝑝,𝑡 𝐿,𝑝,𝑡 𝑃,𝑝,𝑡 𝜑,𝑝,𝑡

Proof of Theorem colperpexlem3 Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		colperpex.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		colperpex.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		colperpex.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		colperpex.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
6		colperpex.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑝) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑝)
9		colperpex.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		colperpex.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11		colperpex.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
12	1, 3, 4, 6, 9, 10, 11	tgelrnln 28903	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
13	12	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
14		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
15	1, 4, 3, 7, 13, 14	tglnpt 28818	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
16		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑥) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑥)
17		colperpex.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
18	17	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
19	1, 2, 3, 4, 5, 7, 15, 16, 18	mircl 28938	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) ∈ 𝑃)
20	9	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
21		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝐴) = ((pInvG‘𝐺)‘𝐴)
22	1, 2, 3, 4, 5, 7, 20, 21, 18	mircl 28938	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) ∈ 𝑃)
23	1, 2, 3, 4, 5, 7, 20, 21, 18	mircgr 28934	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (𝐴 − (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶)) = (𝐴 − 𝐶))
24	10	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25		colperpexlem3.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
26	25	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
27		nelne2 3056	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝑥 ≠ 𝐶)
28	14, 26, 27	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝑥 ≠ 𝐶)
29	1, 3, 4, 7, 15, 18, 28	tgelrnln 28903	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (𝑥𝐿𝐶) ∈ ran 𝐿)
30	1, 3, 4, 7, 15, 18, 28	tglinecom 28908	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (𝑥𝐿𝐶) = (𝐶𝐿𝑥))
31		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
32	30, 31	eqbrtrd 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (𝑥𝐿𝐶)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
33	1, 2, 3, 4, 7, 29, 13, 32	perpcom 28993	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝑥𝐿𝐶))
34	1, 2, 3, 4, 7, 20, 24, 14, 18, 33	perprag 29007	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝐴𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
35	1, 2, 3, 4, 5, 7, 20, 15, 18	israg 28977	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (⟨“𝐴𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))))
36	34, 35	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
37	23, 36	eqtr2d 2799	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (𝐴 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)) = (𝐴 − (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶)))
38	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 19, 22, 20, 37	midexlem 28969	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
39	7	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
40	22	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) ∈ 𝑃)
41	20	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
42	18	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
43	19	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) ∈ 𝑃)
44	15	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
45		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
46	1, 2, 3, 4, 5, 39, 41, 21, 42	mirbtwn 28935	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐴 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶)𝐼𝐶))
47	1, 2, 3, 4, 5, 39, 44, 16, 42	mirbtwn 28935	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)𝐼𝐶))
48	1, 2, 3, 4, 5, 39, 45, 8, 43	mirbtwn 28935	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
49		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
50	49	eqcomd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)) = (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶))
51	50	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶)𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
52	48, 51	eleqtrd 2865	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶)𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
53	1, 2, 3, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 52	tgtrisegint 28768	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ∃𝑡 ∈ 𝑃 (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥)))
54	39	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
55	41	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑃)
56		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑡 ∈ 𝑃)
57		simplrr 789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))
58		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
59	58	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐴𝐼𝑥) = (𝐴𝐼𝐴))
60	57, 59	eleqtrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
61	1, 2, 3, 54, 55, 56, 60	axtgbtwnid 28735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 = 𝑡)
62	61	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑡 = 𝐴)
63	62	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑡𝐿𝑝) = (𝐴𝐿𝑝))
64	50	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)) = (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶))
65	58	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ((pInvG‘𝐺)‘𝑥) = ((pInvG‘𝐺)‘𝐴))
66	65	fveq1d 6883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶))
67	64, 66	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))
68	45	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝑃)
69	43	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) ∈ 𝑃)
70	1, 2, 3, 4, 5, 54, 68, 8, 69	mirinv 28943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) ↔ 𝑝 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
71	67, 70	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑝 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))
72	44	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑃)
73	58	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑥𝐼𝑥) = (𝐴𝐼𝑥))
74	57, 73	eleqtrrd 2866	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑥))
75	1, 2, 3, 54, 72, 56, 74	axtgbtwnid 28735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝑡)
76	75	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑡 = 𝑥)
77	71, 76	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑝𝐿𝑡) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)𝐿𝑥))
78	34	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ⟨“𝐴𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
79	1, 2, 3, 4, 5, 39, 45, 8, 43, 50	mircom 28940	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶)) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))
80	28	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ≠ 𝐶)
81	1, 2, 3, 4, 39, 5, 21, 16, 8, 41, 44, 42, 45, 78, 79, 80	colperpexlem2 29012	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐴 ≠ 𝑝)
82	81	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝑝)
83	62, 82	eqnetrd 3025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑡 ≠ 𝑝)
84	1, 3, 4, 54, 56, 68, 83	tglinecom 28908	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑡𝐿𝑝) = (𝑝𝐿𝑡))
85	42	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑃)
86	80	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ≠ 𝐶)
87	54	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) = 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
88	72	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) = 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑃)
89	85	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) = 𝑥) → 𝐶 ∈ 𝑃)
90	1, 2, 3, 4, 5, 87, 88, 16	mircinv 28945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) = 𝑥) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝑥) = 𝑥)
91		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) = 𝑥) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) = 𝑥)
92	90, 91	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) = 𝑥) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝑥) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))
93	1, 2, 3, 4, 5, 87, 88, 16, 88, 89, 92	mireq 28942	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) = 𝑥) → 𝑥 = 𝐶)
94	86	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) = 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝐶)
95	94	neneqd 2963	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) = 𝑥) → ¬ 𝑥 = 𝐶)
96	93, 95	pm2.65da 828	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) = 𝑥)
97	96	neqned 2965	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) ≠ 𝑥)
98	47	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)𝐼𝐶))
99	1, 3, 4, 54, 72, 85, 69, 86, 98	btwnlng2 28893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) ∈ (𝑥𝐿𝐶))
100	1, 3, 4, 54, 72, 85, 86, 69, 97, 99	tglineelsb2 28905	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑥𝐿𝐶) = (𝑥𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
101	28	necomd 3013	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐶 ≠ 𝑥)
102	101	ad5antr 746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐶 ≠ 𝑥)
103	1, 3, 4, 54, 85, 72, 102	tglinecom 28908	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐶𝐿𝑥) = (𝑥𝐿𝐶))
104	1, 3, 4, 54, 69, 72, 97	tglinecom 28908	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)𝐿𝑥) = (𝑥𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
105	100, 103, 104	3eqtr4d 2808	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐶𝐿𝑥) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)𝐿𝑥))
106	77, 84, 105	3eqtr4d 2808	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑡𝐿𝑝) = (𝐶𝐿𝑥))
107	63, 106	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐴𝐿𝑝) = (𝐶𝐿𝑥))
108	31	ad5antr 746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
109	107, 108	eqbrtrd 5133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
110	39	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
111	41	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑃)
112	45	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝑃)
113	81	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝑝)
114	1, 3, 4, 110, 111, 112, 113	tgelrnln 28903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿)
115	13	ad5antr 746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
116	1, 3, 4, 110, 111, 112, 113	tglinerflx1 28906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝑝))
117	11	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
118	1, 3, 4, 7, 20, 24, 117	tglinerflx1 28906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
119	118	ad5antr 746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
120	116, 119	elind 4153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝐴 ∈ ((𝐴𝐿𝑝) ∩ (𝐴𝐿𝐵)))
121	1, 3, 4, 110, 111, 112, 113	tglinerflx2 28907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝑝 ∈ (𝐴𝐿𝑝))
122	14	ad5antr 746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
123	113	necomd 3013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝑝 ≠ 𝐴)
124		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≠ 𝐴)
125	44	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑃)
126	1, 2, 3, 4, 39, 5, 21, 16, 8, 41, 44, 42, 45, 78, 79	colperpexlem1 29011	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ⟨“𝑥𝐴𝑝”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
127	126	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → ⟨“𝑥𝐴𝑝”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
128	1, 2, 3, 4, 5, 110, 125, 111, 112, 127	ragcom 28978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → ⟨“𝑝𝐴𝑥”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
129	1, 2, 3, 4, 110, 114, 115, 120, 121, 122, 123, 124, 128	ragperp 28997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
130	109, 129	pm2.61dane 3045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
131	118	ad5antr 746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
132	62, 131	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
133	132	orcd 886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
134	24	ad5antr 746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑃)
135	117	ad5antr 746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐵)
136		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝑡 ∈ 𝑃)
137	124	necomd 3013	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝑥)
138		simplrr 789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))
139	1, 3, 4, 110, 111, 125, 136, 137, 138	btwnlng1 28892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥))
140	1, 3, 4, 110, 111, 134, 135, 125, 124, 122, 136, 139	tglineeltr 28904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
141	140	orcd 886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
142	133, 141	pm2.61dane 3045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
143	39	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
144	45	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
145		simplr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) → 𝑡 ∈ 𝑃)
146	42	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
147		simprl 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) → 𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶))
148	1, 2, 3, 143, 144, 145, 146, 147	tgbtwncom 28757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) → 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
149	130, 142, 148	jca32 524	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
150	149	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) → ((𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥)) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))))
151	150	reximdva 3178	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (∃𝑡 ∈ 𝑃 (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥)) → ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))))
152	53, 151	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
153		r19.42v 3197	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) ↔ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
154	152, 153	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
155	154	ex 417	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))))
156	155	reximdva 3178	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (∃𝑝 ∈ 𝑃 (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))))
157	38, 156	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
158	1, 2, 3, 4, 6, 12, 17, 25	footex 29001	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)(𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
159	157, 158	r19.29a 3173	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 400 ∨ wo 860 = wceq 1570 ∈ wcel 2143 ≠ wne 2958 ∃wrex 3089 class class class wbr 5109 ran crn 5662 ‘cfv 6536 (class class class)co 7410 ⟨“cs3 14875 Basecbs 17264 distcds 17314 TarskiGcstrkg 28696 Itvcitv 28702 LineGclng 28703 pInvGcmir 28929 ∟Gcrag 28973 ⟂Gcperpg 28975

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1825 ax-4 1839 ax-5 1940 ax-6 1997 ax-7 2038 ax-8 2145 ax-9 2153 ax-10 2176 ax-11 2192 ax-12 2213 ax-ext 2735 ax-rep 5238 ax-sep 5257 ax-nul 5269 ax-pow 5336 ax-pr 5404 ax-un 7732 ax-cnex 11151 ax-resscn 11152 ax-1cn 11153 ax-icn 11154 ax-addcl 11155 ax-addrcl 11156 ax-mulcl 11157 ax-mulrcl 11158 ax-mulcom 11159 ax-addass 11160 ax-mulass 11161 ax-distr 11162 ax-i2m1 11163 ax-1ne0 11164 ax-1rid 11165 ax-rnegex 11166 ax-rrecex 11167 ax-cnre 11168 ax-pre-lttri 11169 ax-pre-lttrn 11170 ax-pre-ltadd 11171 ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1810 df-nf 1814 df-sb 2097 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2838 df-nfc 2912 df-ne 2959 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3457 df-sbc 3745 df-csb 3854 df-dif 3908 df-un 3910 df-in 3912 df-ss 3922 df-pss 3925 df-nul 4287 df-if 4488 df-pw 4564 df-sn 4590 df-pr 4592 df-tp 4594 df-op 4596 df-uni 4873 df-int 4913 df-iun 4958 df-br 5110 df-opab 5174 df-mpt 5193 df-tr 5219 df-id 5556 df-eprel 5561 df-po 5569 df-so 5570 df-fr 5614 df-we 5616 df-xp 5667 df-rel 5668 df-cnv 5669 df-co 5670 df-dm 5671 df-rn 5672 df-res 5673 df-ima 5674 df-pred 6302 df-ord 6363 df-on 6364 df-lim 6365 df-suc 6366 df-iota 6492 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7367 df-ov 7413 df-oprab 7414 df-mpo 7415 df-om 7859 df-1st 7982 df-2nd 7983 df-frecs 8274 df-wrecs 8305 df-recs 8354 df-rdg 8393 df-1o 8449 df-oadd 8453 df-er 8690 df-map 8822 df-pm 8823 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-fin 8943 df-dju 9883 df-card 9921 df-pnf 11240 df-mnf 11241 df-xr 11242 df-ltxr 11243 df-le 11244 df-sub 11438 df-neg 11439 df-nn 12229 df-2 12298 df-3 12299 df-n0 12500 df-xnn0 12573 df-z 12587 df-uz 12858 df-fz 13531 df-fzo 13679 df-hash 14363 df-word 14547 df-concat 14604 df-s1 14630 df-s2 14881 df-s3 14882 df-trkgc 28717 df-trkgb 28718 df-trkgcb 28719 df-trkg 28722 df-cgrg 28780 df-leg 28852 df-mir 28930 df-rag 28974 df-perpg 28976

This theorem is referenced by: colperpex 29014

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