colperpexlem3 - Metamath Proof Explorer

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Theorem colperpexlem3 29064

Description: Lemma for colperpex 29065. Case 1 of theorem 8.21 of [Schwabhauser] p. 63. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
colperpex.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
colperpex.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
colperpex.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
colperpex.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
colperpex.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
colperpex.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
colperpexlem3.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))

**Assertion**
Ref	Expression
colperpexlem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))

Distinct variable groups: − ,𝑝,𝑡 𝐴,𝑝,𝑡 𝐵,𝑝,𝑡 𝐶,𝑝,𝑡 𝐺,𝑝,𝑡 𝐼,𝑝,𝑡 𝐿,𝑝,𝑡 𝑃,𝑝,𝑡 𝜑,𝑝,𝑡

Proof of Theorem colperpexlem3 Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		colperpex.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		colperpex.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		colperpex.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		colperpex.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
6		colperpex.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑝) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑝)
9		colperpex.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		colperpex.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11		colperpex.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
12	1, 3, 4, 6, 9, 10, 11	tgelrnln 28954	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
13	12	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
14		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
15	1, 4, 3, 7, 13, 14	tglnpt 28869	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
16		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑥) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑥)
17		colperpex.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
18	17	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
19	1, 2, 3, 4, 5, 7, 15, 16, 18	mircl 28989	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) ∈ 𝑃)
20	9	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
21		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝐴) = ((pInvG‘𝐺)‘𝐴)
22	1, 2, 3, 4, 5, 7, 20, 21, 18	mircl 28989	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) ∈ 𝑃)
23	1, 2, 3, 4, 5, 7, 20, 21, 18	mircgr 28985	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (𝐴 − (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶)) = (𝐴 − 𝐶))
24	10	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25		colperpexlem3.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
26	25	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
27		nelne2 3058	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝑥 ≠ 𝐶)
28	14, 26, 27	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝑥 ≠ 𝐶)
29	1, 3, 4, 7, 15, 18, 28	tgelrnln 28954	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (𝑥𝐿𝐶) ∈ ran 𝐿)
30	1, 3, 4, 7, 15, 18, 28	tglinecom 28959	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (𝑥𝐿𝐶) = (𝐶𝐿𝑥))
31		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
32	30, 31	eqbrtrd 5135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (𝑥𝐿𝐶)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
33	1, 2, 3, 4, 7, 29, 13, 32	perpcom 29044	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝑥𝐿𝐶))
34	1, 2, 3, 4, 7, 20, 24, 14, 18, 33	perprag 29058	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ⟨“𝐴𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
35	1, 2, 3, 4, 5, 7, 20, 15, 18	israg 29028	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (⟨“𝐴𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))))
36	34, 35	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
37	23, 36	eqtr2d 2801	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (𝐴 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)) = (𝐴 − (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶)))
38	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 19, 22, 20, 37	midexlem 29020	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
39	7	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
40	22	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) ∈ 𝑃)
41	20	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
42	18	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
43	19	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) ∈ 𝑃)
44	15	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
45		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
46	1, 2, 3, 4, 5, 39, 41, 21, 42	mirbtwn 28986	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐴 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶)𝐼𝐶))
47	1, 2, 3, 4, 5, 39, 44, 16, 42	mirbtwn 28986	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)𝐼𝐶))
48	1, 2, 3, 4, 5, 39, 45, 8, 43	mirbtwn 28986	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
49		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
50	49	eqcomd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)) = (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶))
51	50	oveq1d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶)𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
52	48, 51	eleqtrd 2867	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶)𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
53	1, 2, 3, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 52	tgtrisegint 28819	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ∃𝑡 ∈ 𝑃 (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥)))
54	39	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
55	41	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑃)
56		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑡 ∈ 𝑃)
57		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))
58		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
59	58	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐴𝐼𝑥) = (𝐴𝐼𝐴))
60	57, 59	eleqtrd 2867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
61	1, 2, 3, 54, 55, 56, 60	axtgbtwnid 28786	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 = 𝑡)
62	61	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑡 = 𝐴)
63	62	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑡𝐿𝑝) = (𝐴𝐿𝑝))
64	50	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)) = (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶))
65	58	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ((pInvG‘𝐺)‘𝑥) = ((pInvG‘𝐺)‘𝐴))
66	65	fveq1d 6887	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶))
67	64, 66	eqtr4d 2803	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))
68	45	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝑃)
69	43	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) ∈ 𝑃)
70	1, 2, 3, 4, 5, 54, 68, 8, 69	mirinv 28994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) ↔ 𝑝 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
71	67, 70	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑝 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))
72	44	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑃)
73	58	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑥𝐼𝑥) = (𝐴𝐼𝑥))
74	57, 73	eleqtrrd 2868	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑥))
75	1, 2, 3, 54, 72, 56, 74	axtgbtwnid 28786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝑡)
76	75	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑡 = 𝑥)
77	71, 76	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑝𝐿𝑡) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)𝐿𝑥))
78	34	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ⟨“𝐴𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
79	1, 2, 3, 4, 5, 39, 45, 8, 43, 50	mircom 28991	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶)) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))
80	28	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ≠ 𝐶)
81	1, 2, 3, 4, 39, 5, 21, 16, 8, 41, 44, 42, 45, 78, 79, 80	colperpexlem2 29063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐴 ≠ 𝑝)
82	81	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝑝)
83	62, 82	eqnetrd 3027	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑡 ≠ 𝑝)
84	1, 3, 4, 54, 56, 68, 83	tglinecom 28959	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑡𝐿𝑝) = (𝑝𝐿𝑡))
85	42	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑃)
86	80	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ≠ 𝐶)
87	54	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) = 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
88	72	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) = 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑃)
89	85	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) = 𝑥) → 𝐶 ∈ 𝑃)
90	1, 2, 3, 4, 5, 87, 88, 16	mircinv 28996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) = 𝑥) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝑥) = 𝑥)
91		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) = 𝑥) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) = 𝑥)
92	90, 91	eqtr4d 2803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) = 𝑥) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝑥) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))
93	1, 2, 3, 4, 5, 87, 88, 16, 88, 89, 92	mireq 28993	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) = 𝑥) → 𝑥 = 𝐶)
94	86	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) = 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝐶)
95	94	neneqd 2965	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) = 𝑥) → ¬ 𝑥 = 𝐶)
96	93, 95	pm2.65da 829	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) = 𝑥)
97	96	neqned 2967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) ≠ 𝑥)
98	47	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)𝐼𝐶))
99	1, 3, 4, 54, 72, 85, 69, 86, 98	btwnlng2 28944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶) ∈ (𝑥𝐿𝐶))
100	1, 3, 4, 54, 72, 85, 86, 69, 97, 99	tglineelsb2 28956	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑥𝐿𝐶) = (𝑥𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
101	28	necomd 3015	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐶 ≠ 𝑥)
102	101	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐶 ≠ 𝑥)
103	1, 3, 4, 54, 85, 72, 102	tglinecom 28959	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐶𝐿𝑥) = (𝑥𝐿𝐶))
104	1, 3, 4, 54, 69, 72, 97	tglinecom 28959	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)𝐿𝑥) = (𝑥𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
105	100, 103, 104	3eqtr4d 2810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐶𝐿𝑥) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)𝐿𝑥))
106	77, 84, 105	3eqtr4d 2810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑡𝐿𝑝) = (𝐶𝐿𝑥))
107	63, 106	eqtr3d 2802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐴𝐿𝑝) = (𝐶𝐿𝑥))
108	31	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
109	107, 108	eqbrtrd 5135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
110	39	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
111	41	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑃)
112	45	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝑃)
113	81	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝑝)
114	1, 3, 4, 110, 111, 112, 113	tgelrnln 28954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿)
115	13	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
116	1, 3, 4, 110, 111, 112, 113	tglinerflx1 28957	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝑝))
117	11	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
118	1, 3, 4, 7, 20, 24, 117	tglinerflx1 28957	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
119	118	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
120	116, 119	elind 4153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝐴 ∈ ((𝐴𝐿𝑝) ∩ (𝐴𝐿𝐵)))
121	1, 3, 4, 110, 111, 112, 113	tglinerflx2 28958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝑝 ∈ (𝐴𝐿𝑝))
122	14	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
123	113	necomd 3015	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝑝 ≠ 𝐴)
124		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≠ 𝐴)
125	44	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑃)
126	1, 2, 3, 4, 39, 5, 21, 16, 8, 41, 44, 42, 45, 78, 79	colperpexlem1 29062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ⟨“𝑥𝐴𝑝”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
127	126	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → ⟨“𝑥𝐴𝑝”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
128	1, 2, 3, 4, 5, 110, 125, 111, 112, 127	ragcom 29029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → ⟨“𝑝𝐴𝑥”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
129	1, 2, 3, 4, 110, 114, 115, 120, 121, 122, 123, 124, 128	ragperp 29048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
130	109, 129	pm2.61dane 3047	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
131	118	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
132	62, 131	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
133	132	orcd 887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
134	24	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑃)
135	117	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐵)
136		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝑡 ∈ 𝑃)
137	124	necomd 3015	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝑥)
138		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))
139	1, 3, 4, 110, 111, 125, 136, 137, 138	btwnlng1 28943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥))
140	1, 3, 4, 110, 111, 134, 135, 125, 124, 122, 136, 139	tglineeltr 28955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
141	140	orcd 887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝐴) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
142	133, 141	pm2.61dane 3047	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
143	39	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
144	45	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
145		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) → 𝑡 ∈ 𝑃)
146	42	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
147		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) → 𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶))
148	1, 2, 3, 143, 144, 145, 146, 147	tgbtwncom 28808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) → 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
149	130, 142, 148	jca32 525	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥))) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
150	149	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) → ((𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥)) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))))
151	150	reximdva 3180	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (∃𝑡 ∈ 𝑃 (𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑥)) → ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))))
152	53, 151	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
153		r19.42v 3199	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) ↔ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
154	152, 153	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
155	154	ex 418	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))))
156	155	reximdva 3180	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (∃𝑝 ∈ 𝑃 (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))))
157	38, 156	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
158	1, 2, 3, 4, 6, 12, 17, 25	footex 29052	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)(𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
159	157, 158	r19.29a 3175	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 401 ∨ wo 861 = wceq 1570 ∈ wcel 2146 ≠ wne 2960 ∃wrex 3091 class class class wbr 5111 ran crn 5664 ‘cfv 6540 (class class class)co 7419 ⟨“cs3 14903 Basecbs 17291 distcds 17341 TarskiGcstrkg 28747 Itvcitv 28753 LineGclng 28754 pInvGcmir 28980 ∟Gcrag 29024 ⟂Gcperpg 29026

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2737 ax-rep 5240 ax-sep 5259 ax-nul 5271 ax-pow 5338 ax-pr 5406 ax-un 7742 ax-cnex 11171 ax-resscn 11172 ax-1cn 11173 ax-icn 11174 ax-addcl 11175 ax-addrcl 11176 ax-mulcl 11177 ax-mulrcl 11178 ax-mulcom 11179 ax-addass 11180 ax-mulass 11181 ax-distr 11182 ax-i2m1 11183 ax-1ne0 11184 ax-1rid 11185 ax-rnegex 11186 ax-rrecex 11187 ax-cnre 11188 ax-pre-lttri 11189 ax-pre-lttrn 11190 ax-pre-ltadd 11191 ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2569 df-eu 2599 df-clab 2744 df-cleq 2757 df-clel 2840 df-nfc 2914 df-ne 2961 df-nel 3067 df-ral 3082 df-rex 3092 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3419 df-v 3459 df-sbc 3747 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-nul 4287 df-if 4490 df-pw 4566 df-sn 4592 df-pr 4594 df-tp 4596 df-op 4598 df-uni 4875 df-int 4915 df-iun 4960 df-br 5112 df-opab 5176 df-mpt 5195 df-tr 5221 df-id 5558 df-eprel 5563 df-po 5571 df-so 5572 df-fr 5616 df-we 5618 df-xp 5669 df-rel 5670 df-cnv 5671 df-co 5672 df-dm 5673 df-rn 5674 df-res 5675 df-ima 5676 df-pred 6306 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6496 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-riota 7376 df-ov 7422 df-oprab 7423 df-mpo 7424 df-om 7869 df-1st 7992 df-2nd 7993 df-frecs 8284 df-wrecs 8315 df-recs 8364 df-rdg 8403 df-1o 8459 df-oadd 8463 df-er 8700 df-map 8832 df-pm 8833 df-en 8950 df-dom 8951 df-sdom 8952 df-fin 8953 df-dju 9903 df-card 9941 df-pnf 11260 df-mnf 11261 df-xr 11262 df-ltxr 11263 df-le 11264 df-sub 11458 df-neg 11459 df-nn 12249 df-2 12318 df-3 12319 df-n0 12520 df-xnn0 12593 df-z 12607 df-uz 12879 df-fz 13552 df-fzo 13700 df-hash 14385 df-word 14569 df-concat 14626 df-s1 14653 df-s2 14909 df-s3 14910 df-trkgc 28768 df-trkgb 28769 df-trkgcb 28770 df-trkg 28773 df-cgrg 28831 df-leg 28903 df-mir 28981 df-rag 29025 df-perpg 29027

This theorem is used by: colperpex 29065

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