Theorem hpgerlem 28847

Description: Lemma for the proof that the half-plane relation is an equivalence relation. Lemma 9.10 of [Schwabhauser] p. 72. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpgid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgid.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hpgid.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
hpgerlem	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝐴𝑂𝑐)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐,𝑡   𝐷,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝜑,𝑐,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑡,𝑎,𝑏,𝑐)   𝑂(𝑐)

Proof of Theorem hpgerlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpgid.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
2		hpgid.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
3		hpgid.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
4	1, 2, 3	tglnne0 28722	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ ∅)
5		n0 4294	. . 3 ⊢ (𝐷 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐷)
6	4, 5	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐷)
7		hpgid.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
9		hpgid.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
10	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11		hpgid.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑃)
13	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
14		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
15	7, 1, 9, 10, 13, 14	tglnpt 28631	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝑃)
16	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
17	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
18		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
19	7, 9, 1, 17, 18	tglndim0 28711	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → ¬ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
20	16, 19	pm2.65da 817	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝑃) = 1)
21	7, 11	tgldimor 28584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
22	21	ord 865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝑃) = 1 → 2 ≤ (♯‘𝑃)))
23	20, 22	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
24	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
25	7, 8, 9, 10, 12, 15, 24	tgbtwndiff 28588	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐))
26		hpgid.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
27	26	ad4antr 733	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
28	10	ad4antr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
29	15	ad4antr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝑃)
30		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → 𝑐 ∈ 𝑃)
31	30	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑐 ∈ 𝑃)
32	12	ad4antr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑃)
33		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝑐)
34		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
36	7, 9, 1, 28, 29, 31, 32, 33, 35	btwnlng2 28702	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑐))
37	13	ad4antr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
38	14	ad4antr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
39		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑐 ∈ 𝐷)
40	7, 9, 1, 28, 29, 31, 33, 33, 37, 38, 39	tglinethru 28718	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐷 = (𝑥𝐿𝑐))
41	36, 40	eleqtrrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝐷)
42	27, 41	mtand 816	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → ¬ 𝑐 ∈ 𝐷)
43		eleq1w 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑥 → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
44	43	rspcev 3565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
45	44	ad5ant24 761	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
46	27, 42, 45	jca31 514	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
47	46	anasss 466	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐)) → ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
48		hpgid.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
49	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → 𝐴 ∈ 𝑃)
50	7, 8, 9, 48, 49, 30	islnopp 28821	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → (𝐴𝑂𝑐 ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))))
51	50	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐)) → (𝐴𝑂𝑐 ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))))
52	47, 51	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐)) → 𝐴𝑂𝑐)
53	52	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → 𝐴𝑂𝑐))
54	53	reximdva 3151	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝐴𝑂𝑐))
55	25, 54	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝐴𝑂𝑐)
56	6, 55	exlimddv 1937	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝐴𝑂𝑐)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3887  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  {copab 5148  ran crn 5625  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  1c1 11030   ≤ cle 11171  2c2 12227  ♯chash 14283  Basecbs 17170  distcds 17220  TarskiGcstrkg 28509  Itvcitv 28515  LineGclng 28516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-oadd 8402  df-er 8636  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550  df-s2 14801  df-s3 14802  df-trkgc 28530  df-trkgb 28531  df-trkgcb 28532  df-trkg 28535  df-cgrg 28593

This theorem is referenced by:  hpgid  28848  lnperpex  28885