MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hpgerlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hpgerlem 26856
Description: Lemma for the proof that the half-plane relation is an equivalence relation. Lemma 9.10 of [Schwabhauser] p. 72. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpgid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a (𝜑𝐴𝑃)
hpgid.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hpgid.1 (𝜑 → ¬ 𝐴𝐷)
Assertion
Ref Expression
hpgerlem (𝜑 → ∃𝑐𝑃 𝐴𝑂𝑐)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐,𝑡   𝐷,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝜑,𝑐,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑡,𝑎,𝑏,𝑐)   𝑂(𝑐)

Proof of Theorem hpgerlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hpgid.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
2 hpgid.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
3 hpgid.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
41, 2, 3tglnne0 26731 . . 3 (𝜑𝐷 ≠ ∅)
5 n0 4261 . . 3 (𝐷 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐷)
64, 5sylib 221 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐷)
7 hpgid.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
8 eqid 2737 . . . 4 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
9 hpgid.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
102adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11 hpgid.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
1211adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐴𝑃)
133adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
14 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
157, 1, 9, 10, 13, 14tglnpt 26640 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥𝑃)
163adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
172adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
18 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
197, 9, 1, 17, 18tglndim0 26720 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → ¬ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2016, 19pm2.65da 817 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (♯‘𝑃) = 1)
217, 11tgldimor 26593 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
2221ord 864 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ (♯‘𝑃) = 1 → 2 ≤ (♯‘𝑃)))
2320, 22mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
2423adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
257, 8, 9, 10, 12, 15, 24tgbtwndiff 26597 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → ∃𝑐𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥𝑐))
26 hpgid.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝐴𝐷)
2726ad4antr 732 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) → ¬ 𝐴𝐷)
2810ad4antr 732 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2915ad4antr 732 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝑥𝑃)
30 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) → 𝑐𝑃)
3130ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝑐𝑃)
3212ad4antr 732 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝐴𝑃)
33 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝑥𝑐)
34 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
3534adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
367, 9, 1, 28, 29, 31, 32, 33, 35btwnlng2 26711 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑐))
3713ad4antr 732 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
3814ad4antr 732 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝑥𝐷)
39 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝑐𝐷)
407, 9, 1, 28, 29, 31, 33, 33, 37, 38, 39tglinethru 26727 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝐷 = (𝑥𝐿𝑐))
4136, 40eleqtrrd 2841 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝐴𝐷)
4227, 41mtand 816 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) → ¬ 𝑐𝐷)
43 eleq1w 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑥 → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
4443rspcev 3537 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐷𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
4544ad5ant24 761 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
4627, 42, 45jca31 518 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) → ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝑐𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
4746anasss 470 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥𝑐)) → ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝑐𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
48 hpgid.o . . . . . . . 8 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
4912adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) → 𝐴𝑃)
507, 8, 9, 48, 49, 30islnopp 26830 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) → (𝐴𝑂𝑐 ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝑐𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))))
5150adantr 484 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥𝑐)) → (𝐴𝑂𝑐 ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝑐𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))))
5247, 51mpbird 260 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥𝑐)) → 𝐴𝑂𝑐)
5352ex 416 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥𝑐) → 𝐴𝑂𝑐))
5453reximdva 3193 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (∃𝑐𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥𝑐) → ∃𝑐𝑃 𝐴𝑂𝑐))
5525, 54mpd 15 . 2 ((𝜑𝑥𝐷) → ∃𝑐𝑃 𝐴𝑂𝑐)
566, 55exlimddv 1943 1 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 𝐴𝑂𝑐)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wex 1787  wcel 2110  wne 2940  wrex 3062  cdif 3863  c0 4237   class class class wbr 5053  {copab 5115  ran crn 5552  cfv 6380  (class class class)co 7213  1c1 10730  cle 10868  2c2 11885  chash 13896  Basecbs 16760  distcds 16811  TarskiGcstrkg 26521  Itvcitv 26527  LineGclng 26528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-er 8391  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-hash 13897  df-word 14070  df-concat 14126  df-s1 14153  df-s2 14413  df-s3 14414  df-trkgc 26539  df-trkgb 26540  df-trkgcb 26541  df-trkg 26544  df-cgrg 26602
This theorem is referenced by:  hpgid  26857  lnperpex  26894
  Copyright terms: Public domain W3C validator