MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hpgerlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hpgerlem 27804
Description: Lemma for the proof that the half-plane relation is an equivalence relation. Lemma 9.10 of [Schwabhauser] p. 72. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpgid.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
hpgid.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
hpgid.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
hpgid.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgid.o 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
hpgid.1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
hpgerlem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 𝐴𝑂𝑐)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐,𝑑   𝐷,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑   𝐺,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑   𝐼,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑   𝑂,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝑃,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑   πœ‘,𝑐,𝑑
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ž,𝑏)   𝐴(π‘Ž,𝑏)   𝐿(𝑑,π‘Ž,𝑏,𝑐)   𝑂(𝑐)

Proof of Theorem hpgerlem
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hpgid.l . . . 4 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
2 hpgid.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
3 hpgid.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
41, 2, 3tglnne0 27679 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 β‰  βˆ…)
5 n0 4326 . . 3 (𝐷 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐷)
64, 5sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐷)
7 hpgid.p . . . 4 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
8 eqid 2731 . . . 4 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
9 hpgid.i . . . 4 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
102adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
11 hpgid.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
1211adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
133adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
14 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
157, 1, 9, 10, 13, 14tglnpt 27588 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
163adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 1) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
172adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 1) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
18 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 1) β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) = 1)
197, 9, 1, 17, 18tglndim0 27668 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 1) β†’ Β¬ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2016, 19pm2.65da 815 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘ƒ) = 1)
217, 11tgldimor 27541 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘ƒ) = 1 ∨ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)))
2221ord 862 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Β¬ (β™―β€˜π‘ƒ) = 1 β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)))
2320, 22mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ))
2423adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ))
257, 8, 9, 10, 12, 15, 24tgbtwndiff 27545 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ π‘₯ β‰  𝑐))
26 hpgid.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
2726ad4antr 730 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ π‘₯ β‰  𝑐) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
2810ad4antr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ π‘₯ β‰  𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
2915ad4antr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ π‘₯ β‰  𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
30 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) β†’ 𝑐 ∈ 𝑃)
3130ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ π‘₯ β‰  𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) β†’ 𝑐 ∈ 𝑃)
3212ad4antr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ π‘₯ β‰  𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
33 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ π‘₯ β‰  𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ β‰  𝑐)
34 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ π‘₯ β‰  𝑐) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝑐))
3534adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ π‘₯ β‰  𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝑐))
367, 9, 1, 28, 29, 31, 32, 33, 35btwnlng2 27659 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ π‘₯ β‰  𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ (π‘₯𝐿𝑐))
3713ad4antr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ π‘₯ β‰  𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
3814ad4antr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ π‘₯ β‰  𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
39 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ π‘₯ β‰  𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) β†’ 𝑐 ∈ 𝐷)
407, 9, 1, 28, 29, 31, 33, 33, 37, 38, 39tglinethru 27675 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ π‘₯ β‰  𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) β†’ 𝐷 = (π‘₯𝐿𝑐))
4136, 40eleqtrrd 2835 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ π‘₯ β‰  𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
4227, 41mtand 814 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ π‘₯ β‰  𝑐) β†’ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐷)
43 eleq1w 2815 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = π‘₯ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ↔ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
4443rspcev 3595 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝑐)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
4544ad5ant24 759 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ π‘₯ β‰  𝑐) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
4627, 42, 45jca31 515 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ π‘₯ β‰  𝑐) β†’ ((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
4746anasss 467 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ π‘₯ β‰  𝑐)) β†’ ((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
48 hpgid.o . . . . . . . 8 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
4912adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
507, 8, 9, 48, 49, 30islnopp 27778 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) β†’ (𝐴𝑂𝑐 ↔ ((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝑐))))
5150adantr 481 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ π‘₯ β‰  𝑐)) β†’ (𝐴𝑂𝑐 ↔ ((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝑐))))
5247, 51mpbird 256 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ π‘₯ β‰  𝑐)) β†’ 𝐴𝑂𝑐)
5352ex 413 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ π‘₯ β‰  𝑐) β†’ 𝐴𝑂𝑐))
5453reximdva 3167 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ π‘₯ β‰  𝑐) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 𝐴𝑂𝑐))
5525, 54mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 𝐴𝑂𝑐)
566, 55exlimddv 1938 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 𝐴𝑂𝑐)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069   βˆ– cdif 3925  βˆ…c0 4302   class class class wbr 5125  {copab 5187  ran crn 5654  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  1c1 11076   ≀ cle 11214  2c2 12232  β™―chash 14255  Basecbs 17109  distcds 17171  TarskiGcstrkg 27466  Itvcitv 27472  LineGclng 27473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-oadd 8436  df-er 8670  df-pm 8790  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-n0 12438  df-xnn0 12510  df-z 12524  df-uz 12788  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-hash 14256  df-word 14430  df-concat 14486  df-s1 14511  df-s2 14764  df-s3 14765  df-trkgc 27487  df-trkgb 27488  df-trkgcb 27489  df-trkg 27492  df-cgrg 27550
This theorem is referenced by:  hpgid  27805  lnperpex  27842
  Copyright terms: Public domain W3C validator