MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hpgerlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hpgerlem 27481
Description: Lemma for the proof that the half-plane relation is an equivalence relation. Lemma 9.10 of [Schwabhauser] p. 72. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpgid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a (𝜑𝐴𝑃)
hpgid.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hpgid.1 (𝜑 → ¬ 𝐴𝐷)
Assertion
Ref Expression
hpgerlem (𝜑 → ∃𝑐𝑃 𝐴𝑂𝑐)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐,𝑡   𝐷,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝜑,𝑐,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑡,𝑎,𝑏,𝑐)   𝑂(𝑐)

Proof of Theorem hpgerlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hpgid.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
2 hpgid.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
3 hpgid.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
41, 2, 3tglnne0 27356 . . 3 (𝜑𝐷 ≠ ∅)
5 n0 4301 . . 3 (𝐷 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐷)
64, 5sylib 217 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐷)
7 hpgid.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
8 eqid 2737 . . . 4 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
9 hpgid.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
102adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11 hpgid.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
1211adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐴𝑃)
133adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
14 simpr 486 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
157, 1, 9, 10, 13, 14tglnpt 27265 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥𝑃)
163adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
172adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
18 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
197, 9, 1, 17, 18tglndim0 27345 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → ¬ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2016, 19pm2.65da 815 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (♯‘𝑃) = 1)
217, 11tgldimor 27218 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
2221ord 862 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ (♯‘𝑃) = 1 → 2 ≤ (♯‘𝑃)))
2320, 22mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
2423adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
257, 8, 9, 10, 12, 15, 24tgbtwndiff 27222 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → ∃𝑐𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥𝑐))
26 hpgid.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝐴𝐷)
2726ad4antr 730 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) → ¬ 𝐴𝐷)
2810ad4antr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2915ad4antr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝑥𝑃)
30 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) → 𝑐𝑃)
3130ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝑐𝑃)
3212ad4antr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝐴𝑃)
33 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝑥𝑐)
34 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
3534adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
367, 9, 1, 28, 29, 31, 32, 33, 35btwnlng2 27336 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑐))
3713ad4antr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
3814ad4antr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝑥𝐷)
39 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝑐𝐷)
407, 9, 1, 28, 29, 31, 33, 33, 37, 38, 39tglinethru 27352 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝐷 = (𝑥𝐿𝑐))
4136, 40eleqtrrd 2841 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝐴𝐷)
4227, 41mtand 814 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) → ¬ 𝑐𝐷)
43 eleq1w 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑥 → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
4443rspcev 3576 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐷𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
4544ad5ant24 759 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
4627, 42, 45jca31 516 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) → ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝑐𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
4746anasss 468 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥𝑐)) → ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝑐𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
48 hpgid.o . . . . . . . 8 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
4912adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) → 𝐴𝑃)
507, 8, 9, 48, 49, 30islnopp 27455 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) → (𝐴𝑂𝑐 ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝑐𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))))
5150adantr 482 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥𝑐)) → (𝐴𝑂𝑐 ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝑐𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))))
5247, 51mpbird 257 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥𝑐)) → 𝐴𝑂𝑐)
5352ex 414 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥𝑐) → 𝐴𝑂𝑐))
5453reximdva 3163 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (∃𝑐𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥𝑐) → ∃𝑐𝑃 𝐴𝑂𝑐))
5525, 54mpd 15 . 2 ((𝜑𝑥𝐷) → ∃𝑐𝑃 𝐴𝑂𝑐)
566, 55exlimddv 1938 1 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 𝐴𝑂𝑐)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2941  wrex 3071  cdif 3902  c0 4277   class class class wbr 5100  {copab 5162  ran crn 5628  cfv 6488  (class class class)co 7346  1c1 10982  cle 11120  2c2 12138  chash 14154  Basecbs 17014  distcds 17073  TarskiGcstrkg 27143  Itvcitv 27149  LineGclng 27150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5237  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4861  df-int 4903  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7790  df-1st 7908  df-2nd 7909  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-1o 8376  df-oadd 8380  df-er 8578  df-pm 8698  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-fin 8817  df-dju 9767  df-card 9805  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-nn 12084  df-2 12146  df-3 12147  df-n0 12344  df-xnn0 12416  df-z 12430  df-uz 12693  df-fz 13350  df-fzo 13493  df-hash 14155  df-word 14327  df-concat 14383  df-s1 14408  df-s2 14665  df-s3 14666  df-trkgc 27164  df-trkgb 27165  df-trkgcb 27166  df-trkg 27169  df-cgrg 27227
This theorem is referenced by:  hpgid  27482  lnperpex  27519
  Copyright terms: Public domain W3C validator