MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hpgerlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hpgerlem 28641
Description: Lemma for the proof that the half-plane relation is an equivalence relation. Lemma 9.10 of [Schwabhauser] p. 72. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpgid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a (𝜑𝐴𝑃)
hpgid.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hpgid.1 (𝜑 → ¬ 𝐴𝐷)
Assertion
Ref Expression
hpgerlem (𝜑 → ∃𝑐𝑃 𝐴𝑂𝑐)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐,𝑡   𝐷,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝜑,𝑐,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑡,𝑎,𝑏,𝑐)   𝑂(𝑐)

Proof of Theorem hpgerlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hpgid.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
2 hpgid.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
3 hpgid.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
41, 2, 3tglnne0 28516 . . 3 (𝜑𝐷 ≠ ∅)
5 n0 4346 . . 3 (𝐷 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐷)
64, 5sylib 217 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐷)
7 hpgid.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
8 eqid 2725 . . . 4 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
9 hpgid.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
102adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11 hpgid.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
1211adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐴𝑃)
133adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
14 simpr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
157, 1, 9, 10, 13, 14tglnpt 28425 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥𝑃)
163adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
172adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
18 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
197, 9, 1, 17, 18tglndim0 28505 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → ¬ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2016, 19pm2.65da 815 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (♯‘𝑃) = 1)
217, 11tgldimor 28378 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
2221ord 862 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ (♯‘𝑃) = 1 → 2 ≤ (♯‘𝑃)))
2320, 22mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
2423adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
257, 8, 9, 10, 12, 15, 24tgbtwndiff 28382 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → ∃𝑐𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥𝑐))
26 hpgid.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝐴𝐷)
2726ad4antr 730 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) → ¬ 𝐴𝐷)
2810ad4antr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2915ad4antr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝑥𝑃)
30 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) → 𝑐𝑃)
3130ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝑐𝑃)
3212ad4antr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝐴𝑃)
33 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝑥𝑐)
34 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
3534adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
367, 9, 1, 28, 29, 31, 32, 33, 35btwnlng2 28496 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑐))
3713ad4antr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
3814ad4antr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝑥𝐷)
39 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝑐𝐷)
407, 9, 1, 28, 29, 31, 33, 33, 37, 38, 39tglinethru 28512 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝐷 = (𝑥𝐿𝑐))
4136, 40eleqtrrd 2828 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝐴𝐷)
4227, 41mtand 814 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) → ¬ 𝑐𝐷)
43 eleq1w 2808 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑥 → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
4443rspcev 3606 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐷𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
4544ad5ant24 759 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
4627, 42, 45jca31 513 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) → ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝑐𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
4746anasss 465 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥𝑐)) → ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝑐𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
48 hpgid.o . . . . . . . 8 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
4912adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) → 𝐴𝑃)
507, 8, 9, 48, 49, 30islnopp 28615 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) → (𝐴𝑂𝑐 ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝑐𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))))
5150adantr 479 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥𝑐)) → (𝐴𝑂𝑐 ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝑐𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))))
5247, 51mpbird 256 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥𝑐)) → 𝐴𝑂𝑐)
5352ex 411 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥𝑐) → 𝐴𝑂𝑐))
5453reximdva 3157 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (∃𝑐𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥𝑐) → ∃𝑐𝑃 𝐴𝑂𝑐))
5525, 54mpd 15 . 2 ((𝜑𝑥𝐷) → ∃𝑐𝑃 𝐴𝑂𝑐)
566, 55exlimddv 1930 1 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 𝐴𝑂𝑐)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wne 2929  wrex 3059  cdif 3941  c0 4322   class class class wbr 5149  {copab 5211  ran crn 5679  cfv 6549  (class class class)co 7419  1c1 11141  cle 11281  2c2 12300  chash 14325  Basecbs 17183  distcds 17245  TarskiGcstrkg 28303  Itvcitv 28309  LineGclng 28310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-hash 14326  df-word 14501  df-concat 14557  df-s1 14582  df-s2 14835  df-s3 14836  df-trkgc 28324  df-trkgb 28325  df-trkgcb 28326  df-trkg 28329  df-cgrg 28387
This theorem is referenced by:  hpgid  28642  lnperpex  28679
  Copyright terms: Public domain W3C validator