Theorem hpgerlem 29276

Description: Lemma for the proof that the half-plane relation is an equivalence relation. Lemma 9.10 of [Schwabhauser] p. 72. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpgid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgid.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hpgid.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
hpgerlem	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝐴𝑂𝑐)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐,𝑡   𝐷,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝜑,𝑐,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏)   𝐴(𝑎, 𝑏)   𝐿(𝑡, 𝑎, 𝑏, 𝑐)   𝑂(𝑐)

Proof of Theorem hpgerlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpgid.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
2		hpgid.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
3		hpgid.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
4	1, 2, 3	tglnne0 29142	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ ∅)
5		n0 4303	. . 3 ⊢ (𝐷 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐷)
6	4, 5	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐷)
7		hpgid.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
9		hpgid.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
10	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11		hpgid.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑃)
13	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
14		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
15	7, 1, 9, 10, 13, 14	tglnpt 29045	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝑃)
16	3	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
17	2	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
18		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
19	7, 9, 1, 17, 18	tglndim0 29130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → ¬ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
20	16, 19	pm2.65da 829	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝑃) = 1)
21	7, 11	tgldimor 28998	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
22	21	ord 878	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝑃) = 1 → 2 ≤ (♯‘𝑃)))
23	20, 22	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
24	23	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
25	7, 8, 9, 10, 12, 15, 24	tgbtwndiff 29002	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐))
26		hpgid.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
27	26	ad4antr 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
28	10	ad4antr 745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
29	15	ad4antr 745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝑃)
30		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → 𝑐 ∈ 𝑃)
31	30	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑐 ∈ 𝑃)
32	12	ad4antr 745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑃)
33		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝑐)
34		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
35	34	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
36	7, 9, 1, 28, 29, 31, 32, 33, 35	btwnlng2 29121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑐))
37	13	ad4antr 745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
38	14	ad4antr 745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
39		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑐 ∈ 𝐷)
40	7, 9, 1, 28, 29, 31, 33, 33, 37, 38, 39	tglinethru 29137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐷 = (𝑥𝐿𝑐))
41	36, 40	eleqtrrd 2867	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝐷)
42	27, 41	mtand 828	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → ¬ 𝑐 ∈ 𝐷)
43		eleq1w 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑥 → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
44	43	rspcev 3580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
45	44	ad5ant24 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
46	27, 42, 45	jca31 524	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
47	46	anasss 472	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐)) → ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
48		hpgid.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
49	12	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → 𝐴 ∈ 𝑃)
50	7, 8, 9, 48, 49, 30	islnopp 29248	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → (𝐴𝑂𝑐 ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))))
51	50	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐)) → (𝐴𝑂𝑐 ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))))
52	47, 51	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐)) → 𝐴𝑂𝑐)
53	52	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → 𝐴𝑂𝑐))
54	53	reximdva 3179	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝐴𝑂𝑐))
55	25, 54	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝐴𝑂𝑐)
56	6, 55	exlimddv 1970	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝐴𝑂𝑐)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281   class class class wbr 5106  {copab 5171  ran crn 5657  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  1c1 11231   ≤ cle 11374  2c2 12427  ♯chash 14504  Basecbs 17419  distcds 17469  TarskiGcstrkg 28922  Itvcitv 28928  LineGclng 28929

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-oadd 8511  df-er 8748  df-pm 8881  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-dju 10012  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-xnn0 12710  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-hash 14505  df-word 14689  df-concat 14746  df-s1 14773  df-s2 15030  df-s3 15031  df-trkgc 28943  df-trkgb 28944  df-trkgcb 28945  df-trkg 28948  df-cgrg 29007

This theorem is used by:  hpgid  29277  lnperpex  29342