Theorem hpgerlem 26268

Description: Lemma for the proof that the half-plane relation is an equivalence relation. Lemma 9.10 of [Schwabhauser] p. 72. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpgid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgid.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hpgid.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
hpgerlem	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝐴𝑂𝑐)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐,𝑡   𝐷,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝜑,𝑐,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑡,𝑎,𝑏,𝑐)   𝑂(𝑐)

Proof of Theorem hpgerlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpgid.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
2		hpgid.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
3		hpgid.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
4	1, 2, 3	tglnne0 26143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ ∅)
5		n0 4190	. . 3 ⊢ (𝐷 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐷)
6	4, 5	sylib 210	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐷)
7		hpgid.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
8		eqid 2771	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
9		hpgid.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
10	2	adantr 473	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11		hpgid.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 473	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑃)
13	3	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
14		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
15	7, 1, 9, 10, 13, 14	tglnpt 26052	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝑃)
16	3	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
17	2	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
18		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
19	7, 9, 1, 17, 18	tglndim0 26132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → ¬ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
20	16, 19	pm2.65da 805	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝑃) = 1)
21	7, 11	tgldimor 26005	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
22	21	ord 851	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝑃) = 1 → 2 ≤ (♯‘𝑃)))
23	20, 22	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
24	23	adantr 473	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
25	7, 8, 9, 10, 12, 15, 24	tgbtwndiff 26009	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐))
26		hpgid.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
27	26	ad4antr 720	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
28	10	ad4antr 720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
29	15	ad4antr 720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝑃)
30		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → 𝑐 ∈ 𝑃)
31	30	ad3antrrr 718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑐 ∈ 𝑃)
32	12	ad4antr 720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑃)
33		simplr 757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝑐)
34		simplr 757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
35	34	adantr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
36	7, 9, 1, 28, 29, 31, 32, 33, 35	btwnlng2 26123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑐))
37	13	ad4antr 720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
38	14	ad4antr 720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
39		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑐 ∈ 𝐷)
40	7, 9, 1, 28, 29, 31, 33, 33, 37, 38, 39	tglinethru 26139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐷 = (𝑥𝐿𝑐))
41	36, 40	eleqtrrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝐷)
42	27, 41	mtand 804	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → ¬ 𝑐 ∈ 𝐷)
43		eleq1w 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑥 → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
44	43	rspcev 3528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
45	44	ad5ant24 749	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
46	27, 42, 45	jca31 507	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
47	46	anasss 459	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐)) → ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
48		hpgid.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
49	12	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → 𝐴 ∈ 𝑃)
50	7, 8, 9, 48, 49, 30	islnopp 26242	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → (𝐴𝑂𝑐 ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))))
51	50	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐)) → (𝐴𝑂𝑐 ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))))
52	47, 51	mpbird 249	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐)) → 𝐴𝑂𝑐)
53	52	ex 405	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → 𝐴𝑂𝑐))
54	53	reximdva 3212	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝐴𝑂𝑐))
55	25, 54	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝐴𝑂𝑐)
56	6, 55	exlimddv 1895	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝐴𝑂𝑐)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1508  ∃wex 1743   ∈ wcel 2051   ≠ wne 2960  ∃wrex 3082   ∖ cdif 3819  ∅c0 4172   class class class wbr 4925  {copab 4987  ran crn 5404  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974  1c1 10334   ≤ cle 10473  2c2 11493  ♯chash 13503  Basecbs 16337  distcds 16428  TarskiGcstrkg 25933  Itvcitv 25939  LineGclng 25940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-pm 8207  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-dju 9122  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-n0 11706  df-xnn0 11778  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-hash 13504  df-word 13671  df-concat 13732  df-s1 13757  df-s2 14070  df-s3 14071  df-trkgc 25951  df-trkgb 25952  df-trkgcb 25953  df-trkg 25956  df-cgrg 26014

This theorem is referenced by:  hpgid  26269  lnperpex  26306