Theorem hpgerlem 27126

Description: Lemma for the proof that the half-plane relation is an equivalence relation. Lemma 9.10 of [Schwabhauser] p. 72. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpgid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgid.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hpgid.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
hpgerlem	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝐴𝑂𝑐)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐,𝑡   𝐷,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝜑,𝑐,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑡,𝑎,𝑏,𝑐)   𝑂(𝑐)

Proof of Theorem hpgerlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpgid.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
2		hpgid.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
3		hpgid.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
4	1, 2, 3	tglnne0 27001	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ ∅)
5		n0 4280	. . 3 ⊢ (𝐷 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐷)
6	4, 5	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐷)
7		hpgid.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
8		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
9		hpgid.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
10	2	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11		hpgid.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑃)
13	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
14		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
15	7, 1, 9, 10, 13, 14	tglnpt 26910	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝑃)
16	3	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
17	2	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
18		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
19	7, 9, 1, 17, 18	tglndim0 26990	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → ¬ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
20	16, 19	pm2.65da 814	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝑃) = 1)
21	7, 11	tgldimor 26863	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
22	21	ord 861	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝑃) = 1 → 2 ≤ (♯‘𝑃)))
23	20, 22	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
24	23	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
25	7, 8, 9, 10, 12, 15, 24	tgbtwndiff 26867	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐))
26		hpgid.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
27	26	ad4antr 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
28	10	ad4antr 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
29	15	ad4antr 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝑃)
30		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → 𝑐 ∈ 𝑃)
31	30	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑐 ∈ 𝑃)
32	12	ad4antr 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑃)
33		simplr 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝑐)
34		simplr 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
36	7, 9, 1, 28, 29, 31, 32, 33, 35	btwnlng2 26981	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑐))
37	13	ad4antr 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
38	14	ad4antr 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
39		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑐 ∈ 𝐷)
40	7, 9, 1, 28, 29, 31, 33, 33, 37, 38, 39	tglinethru 26997	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐷 = (𝑥𝐿𝑐))
41	36, 40	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝐷)
42	27, 41	mtand 813	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → ¬ 𝑐 ∈ 𝐷)
43		eleq1w 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑥 → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
44	43	rspcev 3561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
45	44	ad5ant24 758	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
46	27, 42, 45	jca31 515	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
47	46	anasss 467	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐)) → ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
48		hpgid.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
49	12	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → 𝐴 ∈ 𝑃)
50	7, 8, 9, 48, 49, 30	islnopp 27100	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → (𝐴𝑂𝑐 ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))))
51	50	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐)) → (𝐴𝑂𝑐 ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))))
52	47, 51	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐)) → 𝐴𝑂𝑐)
53	52	ex 413	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → 𝐴𝑂𝑐))
54	53	reximdva 3203	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝐴𝑂𝑐))
55	25, 54	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝐴𝑂𝑐)
56	6, 55	exlimddv 1938	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝐴𝑂𝑐)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   ∖ cdif 3884  ∅c0 4256   class class class wbr 5074  {copab 5136  ran crn 5590  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  1c1 10872   ≤ cle 11010  2c2 12028  ♯chash 14044  Basecbs 16912  distcds 16971  TarskiGcstrkg 26788  Itvcitv 26794  LineGclng 26795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-s2 14561  df-s3 14562  df-trkgc 26809  df-trkgb 26810  df-trkgcb 26811  df-trkg 26814  df-cgrg 26872

This theorem is referenced by:  hpgid  27127  lnperpex  27164