Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hpgerlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hpgerlem 26600
 Description: Lemma for the proof that the half-plane relation is an equivalence relation. Lemma 9.10 of [Schwabhauser] p. 72. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpgid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a (𝜑𝐴𝑃)
hpgid.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hpgid.1 (𝜑 → ¬ 𝐴𝐷)
Assertion
Ref Expression
hpgerlem (𝜑 → ∃𝑐𝑃 𝐴𝑂𝑐)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐,𝑡   𝐷,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑐,𝑡   𝜑,𝑐,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑡,𝑎,𝑏,𝑐)   𝑂(𝑐)

Proof of Theorem hpgerlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hpgid.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
2 hpgid.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
3 hpgid.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
41, 2, 3tglnne0 26475 . . 3 (𝜑𝐷 ≠ ∅)
5 n0 4262 . . 3 (𝐷 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐷)
64, 5sylib 221 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐷)
7 hpgid.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
8 eqid 2798 . . . 4 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
9 hpgid.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
102adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11 hpgid.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
1211adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐴𝑃)
133adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
14 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
157, 1, 9, 10, 13, 14tglnpt 26384 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥𝑃)
163adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
172adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
18 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
197, 9, 1, 17, 18tglndim0 26464 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → ¬ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2016, 19pm2.65da 816 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (♯‘𝑃) = 1)
217, 11tgldimor 26337 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
2221ord 861 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ (♯‘𝑃) = 1 → 2 ≤ (♯‘𝑃)))
2320, 22mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
2423adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
257, 8, 9, 10, 12, 15, 24tgbtwndiff 26341 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → ∃𝑐𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥𝑐))
26 hpgid.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝐴𝐷)
2726ad4antr 731 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) → ¬ 𝐴𝐷)
2810ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2915ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝑥𝑃)
30 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) → 𝑐𝑃)
3130ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝑐𝑃)
3212ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝐴𝑃)
33 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝑥𝑐)
34 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
3534adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
367, 9, 1, 28, 29, 31, 32, 33, 35btwnlng2 26455 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑐))
3713ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
3814ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝑥𝐷)
39 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝑐𝐷)
407, 9, 1, 28, 29, 31, 33, 33, 37, 38, 39tglinethru 26471 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝐷 = (𝑥𝐿𝑐))
4136, 40eleqtrrd 2893 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) ∧ 𝑐𝐷) → 𝐴𝐷)
4227, 41mtand 815 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) → ¬ 𝑐𝐷)
43 eleq1w 2872 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑥 → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
4443rspcev 3571 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐷𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
4544ad5ant24 760 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
4627, 42, 45jca31 518 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥𝑐) → ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝑐𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
4746anasss 470 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥𝑐)) → ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝑐𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
48 hpgid.o . . . . . . . 8 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
4912adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) → 𝐴𝑃)
507, 8, 9, 48, 49, 30islnopp 26574 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) → (𝐴𝑂𝑐 ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝑐𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))))
5150adantr 484 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥𝑐)) → (𝐴𝑂𝑐 ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝑐𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))))
5247, 51mpbird 260 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥𝑐)) → 𝐴𝑂𝑐)
5352ex 416 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑐𝑃) → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥𝑐) → 𝐴𝑂𝑐))
5453reximdva 3233 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (∃𝑐𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥𝑐) → ∃𝑐𝑃 𝐴𝑂𝑐))
5525, 54mpd 15 . 2 ((𝜑𝑥𝐷) → ∃𝑐𝑃 𝐴𝑂𝑐)
566, 55exlimddv 1936 1 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 𝐴𝑂𝑐)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107   ∖ cdif 3879  ∅c0 4245   class class class wbr 5033  {copab 5095  ran crn 5523  ‘cfv 6329  (class class class)co 7142  1c1 10542   ≤ cle 10680  2c2 11695  ♯chash 13703  Basecbs 16492  distcds 16583  TarskiGcstrkg 26265  Itvcitv 26271  LineGclng 26272 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7451  ax-cnex 10597  ax-resscn 10598  ax-1cn 10599  ax-icn 10600  ax-addcl 10601  ax-addrcl 10602  ax-mulcl 10603  ax-mulrcl 10604  ax-mulcom 10605  ax-addass 10606  ax-mulass 10607  ax-distr 10608  ax-i2m1 10609  ax-1ne0 10610  ax-1rid 10611  ax-rnegex 10612  ax-rrecex 10613  ax-cnre 10614  ax-pre-lttri 10615  ax-pre-lttrn 10616  ax-pre-ltadd 10617  ax-pre-mulgt0 10618 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3722  df-csb 3830  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4246  df-if 4428  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7571  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-er 8287  df-pm 8407  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-dju 9329  df-card 9367  df-pnf 10681  df-mnf 10682  df-xr 10683  df-ltxr 10684  df-le 10685  df-sub 10876  df-neg 10877  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-xnn0 11973  df-z 11987  df-uz 12249  df-fz 12903  df-fzo 13046  df-hash 13704  df-word 13875  df-concat 13931  df-s1 13958  df-s2 14218  df-s3 14219  df-trkgc 26283  df-trkgb 26284  df-trkgcb 26285  df-trkg 26288  df-cgrg 26346 This theorem is referenced by:  hpgid  26601  lnperpex  26638
 Copyright terms: Public domain W3C validator