Theorem cdlemk40f 38215

Description: TODO: fix comment. (Contributed by NM, 31-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk40.x	⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 𝜑)
cdlemk40.u	⊢ 𝑈 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑔, 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
cdlemk40f	⊢ ((𝐹 ≠ 𝑁 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝐺) = ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋)

Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝑁   𝑇,𝑔

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑔)   𝑇(𝑧)   𝑈(𝑧,𝑔)   𝐹(𝑧)   𝐺(𝑧,𝑔)   𝑁(𝑧)   𝑋(𝑧,𝑔)

Proof of Theorem cdlemk40f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk40.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 𝜑)
2		cdlemk40.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑔, 𝑋))
3	1, 2	cdlemk40 38213	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → (𝑈‘𝐺) = if(𝐹 = 𝑁, 𝐺, ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋))
4		ifnefalse 4437	. 2 ⊢ (𝐹 ≠ 𝑁 → if(𝐹 = 𝑁, 𝐺, ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋) = ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋)
5	3, 4	sylan9eqr 2855	1 ⊢ ((𝐹 ≠ 𝑁 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝐺) = ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ⦋csb 3828  ifcif 4425   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  ℩crio 7092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-riota 7093

This theorem is referenced by:  cdlemk43N  38259  cdlemk35u  38260  cdlemk55u1  38261  cdlemk39u1  38263  cdlemk19u1  38265