Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk55u1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk55u1 38260
 Description: Lemma for cdlemk55u 38261. (Contributed by NM, 31-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l = (le‘𝐾)
cdlemk5.j = (join‘𝐾)
cdlemk5.m = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
cdlemk5.y 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
cdlemk5.x 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
cdlemk5.u 𝑈 = (𝑔𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑔, 𝑋))
Assertion
Ref Expression
cdlemk55u1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹𝑁) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑈‘(𝐺𝐼)) = ((𝑈𝐺) ∘ (𝑈𝐼)))
Distinct variable groups:   ,𝑔   ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ,𝑏,𝑧   ,𝑏   𝑧,𝑔,   ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,𝑔,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑧,𝑔,𝑏)   𝑋(𝑧,𝑔,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk55u1
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹𝑁) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp21l 1287 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹𝑁) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
3 simp12 1201 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹𝑁) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
4 simp13 1202 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹𝑁) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑁𝑇)
5 simp21r 1288 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹𝑁) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑁)
6 cdlemk5.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 cdlemk5.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 cdlemk5.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9 cdlemk5.r . . . . . 6 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
106, 7, 8, 9trlnid 37474 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐹𝑁 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
111, 3, 4, 5, 2, 10syl122anc 1376 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹𝑁) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
123, 11, 43jca 1125 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹𝑁) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇))
13 simp22 1204 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹𝑁) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺𝑇)
14 simp23 1205 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹𝑁) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐼𝑇)
15 simp3 1135 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹𝑁) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
16 cdlemk5.l . . . 4 = (le‘𝐾)
17 cdlemk5.j . . . 4 = (join‘𝐾)
18 cdlemk5.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
19 cdlemk5.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
20 cdlemk5.z . . . 4 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
21 cdlemk5.y . . . 4 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
22 cdlemk5.x . . . 4 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
236, 16, 17, 18, 19, 7, 8, 9, 20, 21, 22cdlemk55 38256 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 = (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋))
241, 2, 12, 13, 14, 15, 23syl231anc 1387 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹𝑁) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 = (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋))
257, 8ltrnco 38014 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇) → (𝐺𝐼) ∈ 𝑇)
261, 13, 14, 25syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹𝑁) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺𝐼) ∈ 𝑇)
27 cdlemk5.u . . . 4 𝑈 = (𝑔𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑔, 𝑋))
2822, 27cdlemk40f 38214 . . 3 ((𝐹𝑁 ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝑇) → (𝑈‘(𝐺𝐼)) = (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋)
295, 26, 28syl2anc 587 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹𝑁) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑈‘(𝐺𝐼)) = (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋)
3022, 27cdlemk40f 38214 . . . 4 ((𝐹𝑁𝐺𝑇) → (𝑈𝐺) = 𝐺 / 𝑔𝑋)
315, 13, 30syl2anc 587 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹𝑁) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑈𝐺) = 𝐺 / 𝑔𝑋)
3222, 27cdlemk40f 38214 . . . 4 ((𝐹𝑁𝐼𝑇) → (𝑈𝐼) = 𝐼 / 𝑔𝑋)
335, 14, 32syl2anc 587 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹𝑁) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑈𝐼) = 𝐼 / 𝑔𝑋)
3431, 33coeq12d 5703 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹𝑁) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑈𝐺) ∘ (𝑈𝐼)) = (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋))
3524, 29, 343eqtr4d 2846 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹𝑁) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑈‘(𝐺𝐼)) = ((𝑈𝐺) ∘ (𝑈𝐼)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109  ⦋csb 3831  ifcif 4428   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113   I cid 5427  ◡ccnv 5522   ↾ cres 5525   ∘ ccom 5527  ‘cfv 6328  ℩crio 7096  (class class class)co 7139  Basecbs 16479  lecple 16568  joincjn 17550  meetcmee 17551  Atomscatm 36558  HLchlt 36645  LHypclh 37279  LTrncltrn 37396  trLctrl 37453 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-riotaBAD 36248 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-undef 7926  df-map 8395  df-proset 17534  df-poset 17552  df-plt 17564  df-lub 17580  df-glb 17581  df-join 17582  df-meet 17583  df-p0 17645  df-p1 17646  df-lat 17652  df-clat 17714  df-oposet 36471  df-ol 36473  df-oml 36474  df-covers 36561  df-ats 36562  df-atl 36593  df-cvlat 36617  df-hlat 36646  df-llines 36793  df-lplanes 36794  df-lvols 36795  df-lines 36796  df-psubsp 36798  df-pmap 36799  df-padd 37091  df-lhyp 37283  df-laut 37284  df-ldil 37399  df-ltrn 37400  df-trl 37454 This theorem is referenced by:  cdlemk55u  38261
 Copyright terms: Public domain W3C validator