HomeHome Metamath Proof Explorer
Theorem List (p. 405 of 470)
< Previous  Next >
Bad symbols? Try the
GIF version.

Mirrors  >  Metamath Home Page  >  MPE Home Page  >  Theorem List Contents  >  Recent Proofs       This page: Page List

Color key:    Metamath Proof Explorer  Metamath Proof Explorer
(1-29658)
  Hilbert Space Explorer  Hilbert Space Explorer
(29659-31181)
  Users' Mathboxes  Users' Mathboxes
(31182-46997)
 

Theorem List for Metamath Proof Explorer - 40401-40500   *Has distinct variable group(s)
TypeLabelDescription
Statement
 
Theoremlcmineqlem21 40401 The lcm inequality lemma without base cases 7 and 8. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ 4 โ‰ค ๐‘)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘((2 ยท ๐‘) + 2)) โ‰ค (lcmโ€˜(1...((2 ยท ๐‘) + 1))))
 
Theoremlcmineqlem22 40402 The lcm inequality lemma without base cases 7 and 8. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ 4 โ‰ค ๐‘)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘((2 ยท ๐‘) + 1)) โ‰ค (lcmโ€˜(1...((2 ยท ๐‘) + 1))) โˆง (2โ†‘((2 ยท ๐‘) + 2)) โ‰ค (lcmโ€˜(1...((2 ยท ๐‘) + 2)))))
 
Theoremlcmineqlem23 40403 Penultimate step to the lcm inequality lemma. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ 9 โ‰ค ๐‘)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐‘) โ‰ค (lcmโ€˜(1...๐‘)))
 
Theoremlcmineqlem 40404 The least common multiple inequality lemma, a central result for future use. Theorem 3.1 from https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf (Contributed by metakunt, 16-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ 7 โ‰ค ๐‘)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐‘) โ‰ค (lcmโ€˜(1...๐‘)))
 
21.25.4  Logarithm inequalities
 
Theorem3exp7 40405 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)
(3โ†‘7) = 2187
 
Theorem3lexlogpow5ineq1 40406 First inequality in inequality chain, proposed by Mario Carneiro (Contributed by metakunt, 22-May-2024.)
9 < ((11 / 7)โ†‘5)
 
Theorem3lexlogpow5ineq2 40407 Second inequality in inequality chain, proposed by Mario Carneiro. (Contributed by metakunt, 22-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘‹)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((11 / 7)โ†‘5) โ‰ค ((2 logb ๐‘‹)โ†‘5))
 
Theorem3lexlogpow5ineq4 40408 Sharper logarithm inequality chain. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘‹)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ 9 < ((2 logb ๐‘‹)โ†‘5))
 
Theorem3lexlogpow5ineq3 40409 Combined inequality chain for a specific power of the binary logarithm, proposed by Mario Carneiro. (Contributed by metakunt, 22-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘‹)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ 7 < ((2 logb ๐‘‹)โ†‘5))
 
Theorem3lexlogpow2ineq1 40410 Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)
((3 / 2) < (2 logb 3) โˆง (2 logb 3) < (5 / 3))
 
Theorem3lexlogpow2ineq2 40411 Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)
(2 < ((2 logb 3)โ†‘2) โˆง ((2 logb 3)โ†‘2) < 3)
 
Theorem3lexlogpow5ineq5 40412 Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)
((2 logb 3)โ†‘5) โ‰ค 15
 
21.25.5  Miscellaneous results for AKS formalisation
 
Theoremintlewftc 40413* Inequality inference by invoking fundamental theorem of calculus. (Contributed by metakunt, 22-Jul-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ((๐ด[,]๐ต)โ€“cnโ†’โ„))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ ((๐ด[,]๐ต)โ€“cnโ†’โ„))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท = (โ„ D ๐น))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ธ = (โ„ D ๐บ))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ ((๐ด(,)๐ต)โ€“cnโ†’โ„))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ ((๐ด(,)๐ต)โ€“cnโ†’โ„))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ ๐ฟ1)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ ๐ฟ1)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ๐‘ƒ))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ธ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ๐‘„))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘„)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐ด) โ‰ค (๐บโ€˜๐ด))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐ต) โ‰ค (๐บโ€˜๐ต))
 
Theoremaks4d1lem1 40414 Technical lemma to reduce proof size. (Contributed by metakunt, 14-Nov-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))    &   ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„• โˆง 9 < ๐ต))
 
Theoremaks4d1p1p1 40415* Exponential law for finite products, special case. (Contributed by metakunt, 22-Jul-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐ดโ†‘๐‘๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜))
 
Theoremdvrelog2 40416* The derivative of the logarithm, ftc2 25330 version. (Contributed by metakunt, 11-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)    &   ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โ†ฆ (logโ€˜๐‘ฅ))    &   ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (1 / ๐‘ฅ))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ„ D ๐น) = ๐บ)
 
Theoremdvrelog3 40417* The derivative of the logarithm on an open interval. (Contributed by metakunt, 11-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)    &   ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (logโ€˜๐‘ฅ))    &   ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (1 / ๐‘ฅ))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ„ D ๐น) = ๐บ)
 
Theoremdvrelog2b 40418* Derivative of the binary logarithm. (Contributed by metakunt, 11-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)    &   ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (2 logb ๐‘ฅ))    &   ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ„ D ๐น) = ๐บ)
 
Theorem0nonelalab 40419 Technical lemma for open interval. (Contributed by metakunt, 12-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (๐ด(,)๐ต))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰  ๐ถ)
 
Theoremdvrelogpow2b 40420* Derivative of the power of the binary logarithm. (Contributed by metakunt, 12-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)    &   ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘๐‘))    &   ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (๐ถ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ)))    &   ๐ถ = (๐‘ / ((logโ€˜2)โ†‘๐‘))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ„ D ๐น) = ๐บ)
 
Theoremaks4d1p1p3 40421 Bound of a ceiling of the binary logarithm to the fifth power. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)    &   ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))    &   (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) < (๐‘โ†‘๐‘(2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))))
 
Theoremaks4d1p1p2 40422* Rewrite ๐ด in more suitable form. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)    &   ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))    &   ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))    &   (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (๐‘โ†‘๐‘(((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2))))
 
Theoremaks4d1p1p4 40423* Technical step for inequality. The hard work is in to prove the final hypothesis. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)    &   ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))    &   ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))    &   (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘)    &   ๐ถ = (2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))    &   ๐ท = ((2 logb ๐‘)โ†‘2)    &   ๐ธ = ((2 logb ๐‘)โ†‘4)    &   (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ถ) + ๐ท) โ‰ค ๐ธ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (2โ†‘๐ต))
 
Theoremdvle2 40424* Collapsed dvle 25293. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โ†ฆ ๐ธ) โˆˆ ((๐ด[,]๐ต)โ€“cnโ†’โ„))    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โ†ฆ ๐บ) โˆˆ ((๐ด[,]๐ต)โ€“cnโ†’โ„))    &   (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ๐ธ)) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ๐น))    &   (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ๐บ)) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ๐ป))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐น โ‰ค ๐ป)    &   (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ๐ธ = ๐‘ƒ)    &   (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ๐บ = ๐‘„)    &   (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ๐ธ = ๐‘…)    &   (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ๐บ = ๐‘†)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โ‰ค ๐‘†)
 
Theoremaks4d1p1p6 40425* Inequality lift to differentiable functions for a term in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰ค ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((2 ยท (2 logb (((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1))) + ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘2)))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((2 ยท ((1 / ((((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1) ยท (logโ€˜2))) ยท (((5 ยท ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘4)) ยท (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logโ€˜2)โ†‘2)) ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(2 โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ)))))
 
Theoremaks4d1p1p7 40426 Bound of intermediary of inequality step. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 4 โ‰ค ๐ด)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ((1 / ((((2 logb ๐ด)โ†‘5) + 1) ยท (logโ€˜2))) ยท (((5 ยท ((2 logb ๐ด)โ†‘4)) ยท (1 / (๐ด ยท (logโ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logโ€˜2)โ†‘2)) ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘(2 โˆ’ 1)) / ๐ด))) โ‰ค ((4 / ((logโ€˜2)โ†‘4)) ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘3) / ๐ด)))
 
Theoremaks4d1p1p5 40427* Show inequality for existence of a non-divisor. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)    &   ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))    &   ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))    &   (๐œ‘ โ†’ 4 โ‰ค ๐‘)    &   ๐ถ = (2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))    &   ๐ท = ((2 logb ๐‘)โ†‘2)    &   ๐ธ = ((2 logb ๐‘)โ†‘4)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (2โ†‘๐ต))
 
Theoremaks4d1p1 40428* Show inequality for existence of a non-divisor. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))    &   ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))    &   ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (2โ†‘๐ต))
 
Theoremaks4d1p2 40429 Technical lemma for existence of non-divisor. (Contributed by metakunt, 27-Oct-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))    &   ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))    &   ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐ต) โ‰ค (lcmโ€˜(1...๐ต)))
 
Theoremaks4d1p3 40430* There exists a small enough number such that it does not divide ๐ด. (Contributed by metakunt, 27-Oct-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))    &   ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))    &   ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด)
 
Theoremaks4d1p4 40431* There exists a small enough number such that it does not divide ๐ด. (Contributed by metakunt, 28-Oct-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))    &   ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))    &   ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))    &   ๐‘… = inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < )    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆˆ (1...๐ต) โˆง ยฌ ๐‘… โˆฅ ๐ด))
 
Theoremaks4d1p5 40432* Show that ๐‘ and ๐‘… are coprime for AKS existence theorem. Precondition will be eliminated in further theorem. (Contributed by metakunt, 30-Oct-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))    &   ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))    &   ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))    &   ๐‘… = inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < )    &   (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ยฌ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) = 1)
 
Theoremaks4d1p6 40433* The maximal prime power exponent is smaller than the binary logarithm floor of ๐ต. (Contributed by metakunt, 30-Oct-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))    &   ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))    &   ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))    &   ๐‘… = inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < )    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘…)    &   ๐พ = (๐‘ƒ pCnt ๐‘…)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)))
 
Theoremaks4d1p7d1 40434* Technical step in AKS lemma 4.1 (Contributed by metakunt, 31-Oct-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))    &   ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))    &   ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))    &   ๐‘… = inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < )    &   (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆฅ (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
 
Theoremaks4d1p7 40435* Technical step in AKS lemma 4.1 (Contributed by metakunt, 31-Oct-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))    &   ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))    &   ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))    &   ๐‘… = inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < )    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
 
Theoremaks4d1p8d1 40436 If a prime divides one number ๐‘€, but not another number ๐‘, then it divides the quotient of ๐‘€ and the gcd of ๐‘€ and ๐‘. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Nov-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)))
 
Theoremaks4d1p8d2 40437 Any prime power dividing a positive integer is less than that integer if that integer has another prime factor. (Contributed by metakunt, 13-Nov-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„™)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘…)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆฅ ๐‘…)    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆฅ ๐‘)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘…)) < ๐‘…)
 
Theoremaks4d1p8d3 40438 The remainder of a division with its maximal prime power is coprime with that prime power. (Contributed by metakunt, 13-Nov-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘))) gcd (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘))) = 1)
 
Theoremaks4d1p8 40439* Show that ๐‘ and ๐‘… are coprime for AKS existence theorem, with eliminated hypothesis. (Contributed by metakunt, 10-Nov-2024.) (Proof sketch by Thierry Arnoux.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))    &   ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))    &   ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))    &   ๐‘… = inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < )    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) = 1)
 
Theoremaks4d1p9 40440* Show that the order is bound by the squared binary logarithm. (Contributed by metakunt, 14-Nov-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))    &   ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))    &   ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))    &   ๐‘… = inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < )    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘2) < ((odโ„คโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘))
 
Theoremaks4d1 40441* Lemma 4.1 from https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf, existence of a polynomially bounded number by the digit size of ๐‘ that asserts the polynomial subspace that we need to search to guarantee that ๐‘ is prime. Eventually we want to show that the polynomial searching space is bounded by degree ๐ต. (Contributed by metakunt, 14-Nov-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))    &   ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต)((๐‘ gcd ๐‘Ÿ) = 1 โˆง ((2 logb ๐‘)โ†‘2) < ((odโ„คโ€˜๐‘Ÿ)โ€˜๐‘)))
 
Theoremfldhmf1 40442 A field homomorphism is injective. This follows immediately from the definition of the ring homomorphism that sends the multiplicative identity to the multiplicative identity. (Contributed by metakunt, 7-Jan-2025.)
(๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ Field)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ Field)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐พ RingHom ๐ฟ))    &   ๐ด = (Baseโ€˜๐พ)    &   ๐ต = (Baseโ€˜๐ฟ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโ€“1-1โ†’๐ต)
 
Theoremaks6d1c2p1 40443* In the AKS-theorem the subset defined by ๐ธ takes values in the positive integers. (Contributed by metakunt, 7-Jan-2025.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)    &   ๐ธ = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0, ๐‘™ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ƒโ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ / ๐‘ƒ)โ†‘๐‘™)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ธ:(โ„•0 ร— โ„•0)โŸถโ„•)
 
Theoremaks6d1c2p2 40444* Injective condition for countability argument assuming that ๐‘ is not a prime power. (Contributed by metakunt, 7-Jan-2025.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)    &   ๐ธ = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0, ๐‘™ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ƒโ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ / ๐‘ƒ)โ†‘๐‘™)))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„™)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆฅ ๐‘)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  ๐‘„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ธ:(โ„•0 ร— โ„•0)โ€“1-1โ†’โ„•)
 
Theorem5bc2eq10 40445 The value of 5 choose 2. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)
(5C2) = 10
 
Theoremfacp2 40446 The factorial of a successor's successor. (Contributed by metakunt, 19-Apr-2024.)
(๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 2)) = ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))))
 
Theorem2np3bcnp1 40447 Part of induction step for 2ap1caineq 40448. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท (๐‘ + 1)) + 1)C(๐‘ + 1)) = ((((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐‘) + 3) / (๐‘ + 2)))))
 
Theorem2ap1caineq 40448 Inequality for Theorem 6.6 for AKS. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰ค ๐‘)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) < (((2 ยท ๐‘) + 1)C๐‘))
 
21.25.6  Sticks and stones
 
Theoremsticksstones1 40449* Different strictly monotone functions have different ranges. (Contributed by metakunt, 27-Sep-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)    &   ๐ด = {๐‘“ โˆฃ (๐‘“:(1...๐พ)โŸถ(1...๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐พ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...๐พ)(๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฅ) < (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))}    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)    &   ๐ผ = inf({๐‘ง โˆˆ (1...๐พ) โˆฃ (๐‘‹โ€˜๐‘ง) โ‰  (๐‘Œโ€˜๐‘ง)}, โ„, < )    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ran ๐‘‹ โ‰  ran ๐‘Œ)
 
Theoremsticksstones2 40450* The range function on strictly monotone functions with finite domain and codomain is an injective mapping onto ๐พ-elemental sets. (Contributed by metakunt, 27-Sep-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)    &   ๐ต = {๐‘Ž โˆˆ ๐’ซ (1...๐‘) โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘Ž) = ๐พ}    &   ๐ด = {๐‘“ โˆฃ (๐‘“:(1...๐พ)โŸถ(1...๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐พ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...๐พ)(๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฅ) < (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))}    &   ๐น = (๐‘ง โˆˆ ๐ด โ†ฆ ran ๐‘ง)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโ€“1-1โ†’๐ต)
 
Theoremsticksstones3 40451* The range function on strictly monotone functions with finite domain and codomain is an surjective mapping onto ๐พ-elemental sets. (Contributed by metakunt, 28-Sep-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)    &   ๐ต = {๐‘Ž โˆˆ ๐’ซ (1...๐‘) โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘Ž) = ๐พ}    &   ๐ด = {๐‘“ โˆฃ (๐‘“:(1...๐พ)โŸถ(1...๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐พ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...๐พ)(๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฅ) < (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))}    &   ๐น = (๐‘ง โˆˆ ๐ด โ†ฆ ran ๐‘ง)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโ€“ontoโ†’๐ต)
 
Theoremsticksstones4 40452* Equinumerosity lemma for sticks and stones. (Contributed by metakunt, 28-Sep-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)    &   ๐ต = {๐‘Ž โˆˆ ๐’ซ (1...๐‘) โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘Ž) = ๐พ}    &   ๐ด = {๐‘“ โˆฃ (๐‘“:(1...๐พ)โŸถ(1...๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐พ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...๐พ)(๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฅ) < (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))}    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ˆ ๐ต)
 
Theoremsticksstones5 40453* Count the number of strictly monotonely increasing functions on finite domains and codomains. (Contributed by metakunt, 28-Sep-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)    &   ๐ด = {๐‘“ โˆฃ (๐‘“:(1...๐พ)โŸถ(1...๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐พ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...๐พ)(๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฅ) < (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))}    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) = (๐‘C๐พ))
 
Theoremsticksstones6 40454* Function induces an order isomorphism for sticks and stones theorem. (Contributed by metakunt, 1-Oct-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐บ:(1...(๐พ + 1))โŸถโ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (1...๐พ))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (1...๐พ))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ < ๐‘Œ)    &   ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐พ) โ†ฆ (๐‘ฅ + ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ฅ)(๐บโ€˜๐‘–)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘‹) < (๐นโ€˜๐‘Œ))
 
Theoremsticksstones7 40455* Closure property of sticks and stones function. (Contributed by metakunt, 1-Oct-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐บ:(1...(๐พ + 1))โŸถโ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (1...๐พ))    &   ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐พ) โ†ฆ (๐‘ฅ + ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ฅ)(๐บโ€˜๐‘–)))    &   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐พ + 1))(๐บโ€˜๐‘–) = ๐‘)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘‹) โˆˆ (1...(๐‘ + ๐พ)))
 
Theoremsticksstones8 40456* Establish mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 1-Oct-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)    &   ๐น = (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘— โˆˆ (1...๐พ) โ†ฆ (๐‘— + ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘—)(๐‘Žโ€˜๐‘™))))    &   ๐ด = {๐‘” โˆฃ (๐‘”:(1...(๐พ + 1))โŸถโ„•0 โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐พ + 1))(๐‘”โ€˜๐‘–) = ๐‘)}    &   ๐ต = {๐‘“ โˆฃ (๐‘“:(1...๐พ)โŸถ(1...(๐‘ + ๐พ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐พ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...๐พ)(๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฅ) < (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))}    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโŸถ๐ต)
 
Theoremsticksstones9 40457* Establish mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 6-Oct-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ = 0)    &   ๐บ = (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐พ = 0, {โŸจ1, ๐‘โŸฉ}, (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐พ + 1)) โ†ฆ if(๐‘˜ = (๐พ + 1), ((๐‘ + ๐พ) โˆ’ (๐‘โ€˜๐พ)), if(๐‘˜ = 1, ((๐‘โ€˜1) โˆ’ 1), (((๐‘โ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐‘โ€˜(๐‘˜ โˆ’ 1))) โˆ’ 1))))))    &   ๐ด = {๐‘” โˆฃ (๐‘”:(1...(๐พ + 1))โŸถโ„•0 โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐พ + 1))(๐‘”โ€˜๐‘–) = ๐‘)}    &   ๐ต = {๐‘“ โˆฃ (๐‘“:(1...๐พ)โŸถ(1...(๐‘ + ๐พ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐พ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...๐พ)(๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฅ) < (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))}    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐บ:๐ตโŸถ๐ด)
 
Theoremsticksstones10 40458* Establish mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 6-Oct-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)    &   ๐บ = (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐พ = 0, {โŸจ1, ๐‘โŸฉ}, (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐พ + 1)) โ†ฆ if(๐‘˜ = (๐พ + 1), ((๐‘ + ๐พ) โˆ’ (๐‘โ€˜๐พ)), if(๐‘˜ = 1, ((๐‘โ€˜1) โˆ’ 1), (((๐‘โ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐‘โ€˜(๐‘˜ โˆ’ 1))) โˆ’ 1))))))    &   ๐ด = {๐‘” โˆฃ (๐‘”:(1...(๐พ + 1))โŸถโ„•0 โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐พ + 1))(๐‘”โ€˜๐‘–) = ๐‘)}    &   ๐ต = {๐‘“ โˆฃ (๐‘“:(1...๐พ)โŸถ(1...(๐‘ + ๐พ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐พ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...๐พ)(๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฅ) < (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))}    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐บ:๐ตโŸถ๐ด)
 
Theoremsticksstones11 40459* Establish bijective mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 6-Oct-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ = 0)    &   ๐น = (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘— โˆˆ (1...๐พ) โ†ฆ (๐‘— + ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘—)(๐‘Žโ€˜๐‘™))))    &   ๐บ = (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐พ = 0, {โŸจ1, ๐‘โŸฉ}, (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐พ + 1)) โ†ฆ if(๐‘˜ = (๐พ + 1), ((๐‘ + ๐พ) โˆ’ (๐‘โ€˜๐พ)), if(๐‘˜ = 1, ((๐‘โ€˜1) โˆ’ 1), (((๐‘โ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐‘โ€˜(๐‘˜ โˆ’ 1))) โˆ’ 1))))))    &   ๐ด = {๐‘” โˆฃ (๐‘”:(1...(๐พ + 1))โŸถโ„•0 โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐พ + 1))(๐‘”โ€˜๐‘–) = ๐‘)}    &   ๐ต = {๐‘“ โˆฃ (๐‘“:(1...๐พ)โŸถ(1...(๐‘ + ๐พ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐พ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...๐พ)(๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฅ) < (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))}    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’๐ต)
 
Theoremsticksstones12a 40460* Establish bijective mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 11-Oct-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)    &   ๐น = (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘— โˆˆ (1...๐พ) โ†ฆ (๐‘— + ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘—)(๐‘Žโ€˜๐‘™))))    &   ๐บ = (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐พ = 0, {โŸจ1, ๐‘โŸฉ}, (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐พ + 1)) โ†ฆ if(๐‘˜ = (๐พ + 1), ((๐‘ + ๐พ) โˆ’ (๐‘โ€˜๐พ)), if(๐‘˜ = 1, ((๐‘โ€˜1) โˆ’ 1), (((๐‘โ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐‘โ€˜(๐‘˜ โˆ’ 1))) โˆ’ 1))))))    &   ๐ด = {๐‘” โˆฃ (๐‘”:(1...(๐พ + 1))โŸถโ„•0 โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐พ + 1))(๐‘”โ€˜๐‘–) = ๐‘)}    &   ๐ต = {๐‘“ โˆฃ (๐‘“:(1...๐พ)โŸถ(1...(๐‘ + ๐พ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐พ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...๐พ)(๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฅ) < (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))}    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘‘ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘‘)) = ๐‘‘)
 
Theoremsticksstones12 40461* Establish bijective mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 6-Oct-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)    &   ๐น = (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘— โˆˆ (1...๐พ) โ†ฆ (๐‘— + ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘—)(๐‘Žโ€˜๐‘™))))    &   ๐บ = (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐พ = 0, {โŸจ1, ๐‘โŸฉ}, (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐พ + 1)) โ†ฆ if(๐‘˜ = (๐พ + 1), ((๐‘ + ๐พ) โˆ’ (๐‘โ€˜๐พ)), if(๐‘˜ = 1, ((๐‘โ€˜1) โˆ’ 1), (((๐‘โ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐‘โ€˜(๐‘˜ โˆ’ 1))) โˆ’ 1))))))    &   ๐ด = {๐‘” โˆฃ (๐‘”:(1...(๐พ + 1))โŸถโ„•0 โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐พ + 1))(๐‘”โ€˜๐‘–) = ๐‘)}    &   ๐ต = {๐‘“ โˆฃ (๐‘“:(1...๐พ)โŸถ(1...(๐‘ + ๐พ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐พ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...๐พ)(๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฅ) < (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))}    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’๐ต)
 
Theoremsticksstones13 40462* Establish bijective mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 6-Oct-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)    &   ๐น = (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘— โˆˆ (1...๐พ) โ†ฆ (๐‘— + ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘—)(๐‘Žโ€˜๐‘™))))    &   ๐บ = (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐พ = 0, {โŸจ1, ๐‘โŸฉ}, (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐พ + 1)) โ†ฆ if(๐‘˜ = (๐พ + 1), ((๐‘ + ๐พ) โˆ’ (๐‘โ€˜๐พ)), if(๐‘˜ = 1, ((๐‘โ€˜1) โˆ’ 1), (((๐‘โ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐‘โ€˜(๐‘˜ โˆ’ 1))) โˆ’ 1))))))    &   ๐ด = {๐‘” โˆฃ (๐‘”:(1...(๐พ + 1))โŸถโ„•0 โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐พ + 1))(๐‘”โ€˜๐‘–) = ๐‘)}    &   ๐ต = {๐‘“ โˆฃ (๐‘“:(1...๐พ)โŸถ(1...(๐‘ + ๐พ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐พ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...๐พ)(๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฅ) < (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))}    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’๐ต)
 
Theoremsticksstones14 40463* Sticks and stones with definitions as hypotheses. (Contributed by metakunt, 7-Oct-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)    &   ๐น = (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘— โˆˆ (1...๐พ) โ†ฆ (๐‘— + ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘—)(๐‘Žโ€˜๐‘™))))    &   ๐บ = (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐พ = 0, {โŸจ1, ๐‘โŸฉ}, (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐พ + 1)) โ†ฆ if(๐‘˜ = (๐พ + 1), ((๐‘ + ๐พ) โˆ’ (๐‘โ€˜๐พ)), if(๐‘˜ = 1, ((๐‘โ€˜1) โˆ’ 1), (((๐‘โ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐‘โ€˜(๐‘˜ โˆ’ 1))) โˆ’ 1))))))    &   ๐ด = {๐‘” โˆฃ (๐‘”:(1...(๐พ + 1))โŸถโ„•0 โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐พ + 1))(๐‘”โ€˜๐‘–) = ๐‘)}    &   ๐ต = {๐‘“ โˆฃ (๐‘“:(1...๐พ)โŸถ(1...(๐‘ + ๐พ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐พ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...๐พ)(๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฅ) < (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))}    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) = ((๐‘ + ๐พ)C๐พ))
 
Theoremsticksstones15 40464* Sticks and stones with almost collapsed definitions for positive integers. (Contributed by metakunt, 7-Oct-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)    &   ๐ด = {๐‘” โˆฃ (๐‘”:(1...(๐พ + 1))โŸถโ„•0 โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(๐พ + 1))(๐‘”โ€˜๐‘–) = ๐‘)}    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) = ((๐‘ + ๐พ)C๐พ))
 
Theoremsticksstones16 40465* Sticks and stones with collapsed definitions for positive integers. (Contributed by metakunt, 20-Oct-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)    &   ๐ด = {๐‘” โˆฃ (๐‘”:(1...๐พ)โŸถโ„•0 โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐พ)(๐‘”โ€˜๐‘–) = ๐‘)}    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) = ((๐‘ + (๐พ โˆ’ 1))C(๐พ โˆ’ 1)))
 
Theoremsticksstones17 40466* Extend sticks and stones to finite sets, bijective builder. (Contributed by metakunt, 23-Oct-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)    &   ๐ด = {๐‘” โˆฃ (๐‘”:(1...๐พ)โŸถโ„•0 โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐พ)(๐‘”โ€˜๐‘–) = ๐‘)}    &   ๐ต = {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:๐‘†โŸถโ„•0 โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ ๐‘† (โ„Žโ€˜๐‘–) = ๐‘)}    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘:(1...๐พ)โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†)    &   ๐บ = (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐พ) โ†ฆ (๐‘โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ฆ))))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐บ:๐ตโŸถ๐ด)
 
Theoremsticksstones18 40467* Extend sticks and stones to finite sets, bijective builder. (Contributed by metakunt, 23-Oct-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)    &   ๐ด = {๐‘” โˆฃ (๐‘”:(1...๐พ)โŸถโ„•0 โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐พ)(๐‘”โ€˜๐‘–) = ๐‘)}    &   ๐ต = {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:๐‘†โŸถโ„•0 โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ ๐‘† (โ„Žโ€˜๐‘–) = ๐‘)}    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘:(1...๐พ)โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†)    &   ๐น = (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (๐‘Žโ€˜(โ—ก๐‘โ€˜๐‘ฅ))))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโŸถ๐ต)
 
Theoremsticksstones19 40468* Extend sticks and stones to finite sets, bijective builder. (Contributed by metakunt, 23-Oct-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)    &   ๐ด = {๐‘” โˆฃ (๐‘”:(1...๐พ)โŸถโ„•0 โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐พ)(๐‘”โ€˜๐‘–) = ๐‘)}    &   ๐ต = {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:๐‘†โŸถโ„•0 โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ ๐‘† (โ„Žโ€˜๐‘–) = ๐‘)}    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘:(1...๐พ)โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†)    &   ๐น = (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (๐‘Žโ€˜(โ—ก๐‘โ€˜๐‘ฅ))))    &   ๐บ = (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐พ) โ†ฆ (๐‘โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ฆ))))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’๐ต)
 
Theoremsticksstones20 40469* Lift sticks and stones to arbitrary finite non-empty sets. (Contributed by metakung, 24-Oct-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)    &   ๐ด = {๐‘” โˆฃ (๐‘”:(1...๐พ)โŸถโ„•0 โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐พ)(๐‘”โ€˜๐‘–) = ๐‘)}    &   ๐ต = {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:๐‘†โŸถโ„•0 โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ ๐‘† (โ„Žโ€˜๐‘–) = ๐‘)}    &   (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘†) = ๐พ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = ((๐‘ + (๐พ โˆ’ 1))C(๐พ โˆ’ 1)))
 
Theoremsticksstones21 40470* Lift sticks and stones to arbitrary finite non-empty sets. (Contributed by metakunt, 24-Oct-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โ‰  โˆ…)    &   ๐ด = {๐‘“ โˆฃ (๐‘“:๐‘†โŸถโ„•0 โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ ๐‘† (๐‘“โ€˜๐‘–) = ๐‘)}    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) = ((๐‘ + ((โ™ฏโ€˜๐‘†) โˆ’ 1))C((โ™ฏโ€˜๐‘†) โˆ’ 1)))
 
Theoremsticksstones22 40471* Non-exhaustive sticks and stones. (Contributed by metakunt, 26-Oct-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โ‰  โˆ…)    &   ๐ด = {๐‘“ โˆฃ (๐‘“:๐‘†โŸถโ„•0 โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ ๐‘† (๐‘“โ€˜๐‘–) โ‰ค ๐‘)}    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) = ((๐‘ + (โ™ฏโ€˜๐‘†))C(โ™ฏโ€˜๐‘†)))
 
21.25.7  Permutation results
 
Theoremmetakunt1 40472* A is an endomapping. (Contributed by metakunt, 23-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰ค ๐‘€)    &   ๐ด = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ผ, ๐‘€, if(๐‘ฅ < ๐ผ, ๐‘ฅ, (๐‘ฅ โˆ’ 1))))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด:(1...๐‘€)โŸถ(1...๐‘€))
 
Theoremmetakunt2 40473* A is an endomapping. (Contributed by metakunt, 23-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰ค ๐‘€)    &   ๐ด = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘€, ๐ผ, if(๐‘ฅ < ๐ผ, ๐‘ฅ, (๐‘ฅ + 1))))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด:(1...๐‘€)โŸถ(1...๐‘€))
 
Theoremmetakunt3 40474* Value of A. (Contributed by metakunt, 23-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰ค ๐‘€)    &   ๐ด = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ผ, ๐‘€, if(๐‘ฅ < ๐ผ, ๐‘ฅ, (๐‘ฅ โˆ’ 1))))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (1...๐‘€))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ€˜๐‘‹) = if(๐‘‹ = ๐ผ, ๐‘€, if(๐‘‹ < ๐ผ, ๐‘‹, (๐‘‹ โˆ’ 1))))
 
Theoremmetakunt4 40475* Value of A. (Contributed by metakunt, 23-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰ค ๐‘€)    &   ๐ด = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘€, ๐ผ, if(๐‘ฅ < ๐ผ, ๐‘ฅ, (๐‘ฅ + 1))))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (1...๐‘€))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ€˜๐‘‹) = if(๐‘‹ = ๐‘€, ๐ผ, if(๐‘‹ < ๐ผ, ๐‘‹, (๐‘‹ + 1))))
 
Theoremmetakunt5 40476* C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰ค ๐‘€)    &   ๐ด = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ผ, ๐‘€, if(๐‘ฅ < ๐ผ, ๐‘ฅ, (๐‘ฅ โˆ’ 1))))    &   ๐ถ = (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐‘€, ๐ผ, if(๐‘ฆ < ๐ผ, ๐‘ฆ, (๐‘ฆ + 1))))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (1...๐‘€))    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ = ๐ผ) โ†’ (๐ถโ€˜(๐ดโ€˜๐‘‹)) = ๐‘‹)
 
Theoremmetakunt6 40477* C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰ค ๐‘€)    &   ๐ด = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ผ, ๐‘€, if(๐‘ฅ < ๐ผ, ๐‘ฅ, (๐‘ฅ โˆ’ 1))))    &   ๐ถ = (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐‘€, ๐ผ, if(๐‘ฆ < ๐ผ, ๐‘ฆ, (๐‘ฆ + 1))))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (1...๐‘€))    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ < ๐ผ) โ†’ (๐ถโ€˜(๐ดโ€˜๐‘‹)) = ๐‘‹)
 
Theoremmetakunt7 40478* C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰ค ๐‘€)    &   ๐ด = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ผ, ๐‘€, if(๐‘ฅ < ๐ผ, ๐‘ฅ, (๐‘ฅ โˆ’ 1))))    &   ๐ถ = (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐‘€, ๐ผ, if(๐‘ฆ < ๐ผ, ๐‘ฆ, (๐‘ฆ + 1))))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (1...๐‘€))    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง ๐ผ < ๐‘‹) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘‹) = (๐‘‹ โˆ’ 1) โˆง ยฌ (๐ดโ€˜๐‘‹) = ๐‘€ โˆง ยฌ (๐ดโ€˜๐‘‹) < ๐ผ))
 
Theoremmetakunt8 40479* C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰ค ๐‘€)    &   ๐ด = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ผ, ๐‘€, if(๐‘ฅ < ๐ผ, ๐‘ฅ, (๐‘ฅ โˆ’ 1))))    &   ๐ถ = (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐‘€, ๐ผ, if(๐‘ฆ < ๐ผ, ๐‘ฆ, (๐‘ฆ + 1))))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (1...๐‘€))    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง ๐ผ < ๐‘‹) โ†’ (๐ถโ€˜(๐ดโ€˜๐‘‹)) = ๐‘‹)
 
Theoremmetakunt9 40480* C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰ค ๐‘€)    &   ๐ด = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ผ, ๐‘€, if(๐‘ฅ < ๐ผ, ๐‘ฅ, (๐‘ฅ โˆ’ 1))))    &   ๐ถ = (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐‘€, ๐ผ, if(๐‘ฆ < ๐ผ, ๐‘ฆ, (๐‘ฆ + 1))))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (1...๐‘€))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ€˜(๐ดโ€˜๐‘‹)) = ๐‘‹)
 
Theoremmetakunt10 40481* C is the right inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰ค ๐‘€)    &   ๐ด = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ผ, ๐‘€, if(๐‘ฅ < ๐ผ, ๐‘ฅ, (๐‘ฅ โˆ’ 1))))    &   ๐ถ = (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐‘€, ๐ผ, if(๐‘ฆ < ๐ผ, ๐‘ฆ, (๐‘ฆ + 1))))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (1...๐‘€))    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ = ๐‘€) โ†’ (๐ดโ€˜(๐ถโ€˜๐‘‹)) = ๐‘‹)
 
Theoremmetakunt11 40482* C is the right inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰ค ๐‘€)    &   ๐ด = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ผ, ๐‘€, if(๐‘ฅ < ๐ผ, ๐‘ฅ, (๐‘ฅ โˆ’ 1))))    &   ๐ถ = (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐‘€, ๐ผ, if(๐‘ฆ < ๐ผ, ๐‘ฆ, (๐‘ฆ + 1))))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (1...๐‘€))    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ < ๐ผ) โ†’ (๐ดโ€˜(๐ถโ€˜๐‘‹)) = ๐‘‹)
 
Theoremmetakunt12 40483* C is the right inverse for A. (Contributed by metakunt, 25-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰ค ๐‘€)    &   ๐ด = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ผ, ๐‘€, if(๐‘ฅ < ๐ผ, ๐‘ฅ, (๐‘ฅ โˆ’ 1))))    &   ๐ถ = (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐‘€, ๐ผ, if(๐‘ฆ < ๐ผ, ๐‘ฆ, (๐‘ฆ + 1))))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (1...๐‘€))    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘‹ = ๐‘€ โˆจ ๐‘‹ < ๐ผ)) โ†’ (๐ดโ€˜(๐ถโ€˜๐‘‹)) = ๐‘‹)
 
Theoremmetakunt13 40484* C is the right inverse for A. (Contributed by metakunt, 25-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰ค ๐‘€)    &   ๐ด = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ผ, ๐‘€, if(๐‘ฅ < ๐ผ, ๐‘ฅ, (๐‘ฅ โˆ’ 1))))    &   ๐ถ = (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐‘€, ๐ผ, if(๐‘ฆ < ๐ผ, ๐‘ฆ, (๐‘ฆ + 1))))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (1...๐‘€))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ€˜(๐ถโ€˜๐‘‹)) = ๐‘‹)
 
Theoremmetakunt14 40485* A is a primitive permutation that moves the I-th element to the end and C is its inverse that moves the last element back to the I-th position. (Contributed by metakunt, 25-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰ค ๐‘€)    &   ๐ด = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ผ, ๐‘€, if(๐‘ฅ < ๐ผ, ๐‘ฅ, (๐‘ฅ โˆ’ 1))))    &   ๐ถ = (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐‘€, ๐ผ, if(๐‘ฆ < ๐ผ, ๐‘ฆ, (๐‘ฆ + 1))))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘€) โˆง โ—ก๐ด = ๐ถ))
 
Theoremmetakunt15 40486* Construction of another permutation. (Contributed by metakunt, 25-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰ค ๐‘€)    &   ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐ผ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘ฅ + (๐‘€ โˆ’ ๐ผ)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐น:(1...(๐ผ โˆ’ 1))โ€“1-1-ontoโ†’(((๐‘€ โˆ’ ๐ผ) + 1)...(๐‘€ โˆ’ 1)))
 
Theoremmetakunt16 40487* Construction of another permutation. (Contributed by metakunt, 25-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰ค ๐‘€)    &   ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ผ...(๐‘€ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘ฅ + (1 โˆ’ ๐ผ)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐น:(๐ผ...(๐‘€ โˆ’ 1))โ€“1-1-ontoโ†’(1...(๐‘€ โˆ’ ๐ผ)))
 
Theoremmetakunt17 40488 The union of three disjoint bijections is a bijection. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐บ:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’๐‘‹)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ป:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’๐‘Œ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ:๐ถโ€“1-1-ontoโ†’๐‘)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆฉ ๐ต) = โˆ…)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆฉ ๐ถ) = โˆ…)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆฉ ๐ถ) = โˆ…)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘Œ) = โˆ…)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆฉ ๐‘) = โˆ…)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆฉ ๐‘) = โˆ…)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐น = ((๐บ โˆช ๐ป) โˆช ๐ผ))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท = ((๐ด โˆช ๐ต) โˆช ๐ถ))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š = ((๐‘‹ โˆช ๐‘Œ) โˆช ๐‘))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ทโ€“1-1-ontoโ†’๐‘Š)
 
Theoremmetakunt18 40489 Disjoint domains and codomains. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰ค ๐‘€)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((((1...(๐ผ โˆ’ 1)) โˆฉ (๐ผ...(๐‘€ โˆ’ 1))) = โˆ… โˆง ((1...(๐ผ โˆ’ 1)) โˆฉ {๐‘€}) = โˆ… โˆง ((๐ผ...(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆฉ {๐‘€}) = โˆ…) โˆง (((((๐‘€ โˆ’ ๐ผ) + 1)...(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆฉ (1...(๐‘€ โˆ’ ๐ผ))) = โˆ… โˆง ((((๐‘€ โˆ’ ๐ผ) + 1)...(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆฉ {๐‘€}) = โˆ… โˆง ((1...(๐‘€ โˆ’ ๐ผ)) โˆฉ {๐‘€}) = โˆ…)))
 
Theoremmetakunt19 40490* Domains on restrictions of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰ค ๐‘€)    &   ๐ต = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘€, ๐‘€, if(๐‘ฅ < ๐ผ, (๐‘ฅ + (๐‘€ โˆ’ ๐ผ)), (๐‘ฅ + (1 โˆ’ ๐ผ)))))    &   ๐ถ = (๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐ผ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘ฅ + (๐‘€ โˆ’ ๐ผ)))    &   ๐ท = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ผ...(๐‘€ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘ฅ + (1 โˆ’ ๐ผ)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ Fn (1...(๐ผ โˆ’ 1)) โˆง ๐ท Fn (๐ผ...(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆง (๐ถ โˆช ๐ท) Fn ((1...(๐ผ โˆ’ 1)) โˆช (๐ผ...(๐‘€ โˆ’ 1)))) โˆง {โŸจ๐‘€, ๐‘€โŸฉ} Fn {๐‘€}))
 
Theoremmetakunt20 40491* Show that B coincides on the union of bijections of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰ค ๐‘€)    &   ๐ต = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘€, ๐‘€, if(๐‘ฅ < ๐ผ, (๐‘ฅ + (๐‘€ โˆ’ ๐ผ)), (๐‘ฅ + (1 โˆ’ ๐ผ)))))    &   ๐ถ = (๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐ผ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘ฅ + (๐‘€ โˆ’ ๐ผ)))    &   ๐ท = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ผ...(๐‘€ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘ฅ + (1 โˆ’ ๐ผ)))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (1...๐‘€))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ = ๐‘€)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ€˜๐‘‹) = (((๐ถ โˆช ๐ท) โˆช {โŸจ๐‘€, ๐‘€โŸฉ})โ€˜๐‘‹))
 
Theoremmetakunt21 40492* Show that B coincides on the union of bijections of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰ค ๐‘€)    &   ๐ต = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘€, ๐‘€, if(๐‘ฅ < ๐ผ, (๐‘ฅ + (๐‘€ โˆ’ ๐ผ)), (๐‘ฅ + (1 โˆ’ ๐ผ)))))    &   ๐ถ = (๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐ผ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘ฅ + (๐‘€ โˆ’ ๐ผ)))    &   ๐ท = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ผ...(๐‘€ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘ฅ + (1 โˆ’ ๐ผ)))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (1...๐‘€))    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘‹ = ๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ < ๐ผ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ€˜๐‘‹) = (((๐ถ โˆช ๐ท) โˆช {โŸจ๐‘€, ๐‘€โŸฉ})โ€˜๐‘‹))
 
Theoremmetakunt22 40493* Show that B coincides on the union of bijections of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰ค ๐‘€)    &   ๐ต = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘€, ๐‘€, if(๐‘ฅ < ๐ผ, (๐‘ฅ + (๐‘€ โˆ’ ๐ผ)), (๐‘ฅ + (1 โˆ’ ๐ผ)))))    &   ๐ถ = (๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐ผ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘ฅ + (๐‘€ โˆ’ ๐ผ)))    &   ๐ท = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ผ...(๐‘€ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘ฅ + (1 โˆ’ ๐ผ)))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (1...๐‘€))    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘‹ = ๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘‹ < ๐ผ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ€˜๐‘‹) = (((๐ถ โˆช ๐ท) โˆช {โŸจ๐‘€, ๐‘€โŸฉ})โ€˜๐‘‹))
 
Theoremmetakunt23 40494* B coincides on the union of bijections of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰ค ๐‘€)    &   ๐ต = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘€, ๐‘€, if(๐‘ฅ < ๐ผ, (๐‘ฅ + (๐‘€ โˆ’ ๐ผ)), (๐‘ฅ + (1 โˆ’ ๐ผ)))))    &   ๐ถ = (๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐ผ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘ฅ + (๐‘€ โˆ’ ๐ผ)))    &   ๐ท = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ผ...(๐‘€ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘ฅ + (1 โˆ’ ๐ผ)))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (1...๐‘€))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ€˜๐‘‹) = (((๐ถ โˆช ๐ท) โˆช {โŸจ๐‘€, ๐‘€โŸฉ})โ€˜๐‘‹))
 
Theoremmetakunt24 40495 Technical condition such that metakunt17 40488 holds. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰ค ๐‘€)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((((1...(๐ผ โˆ’ 1)) โˆช (๐ผ...(๐‘€ โˆ’ 1))) โˆฉ {๐‘€}) = โˆ… โˆง (1...๐‘€) = (((1...(๐ผ โˆ’ 1)) โˆช (๐ผ...(๐‘€ โˆ’ 1))) โˆช {๐‘€}) โˆง (1...๐‘€) = (((((๐‘€ โˆ’ ๐ผ) + 1)...(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆช (1...(๐‘€ โˆ’ ๐ผ))) โˆช {๐‘€})))
 
Theoremmetakunt25 40496* B is a permutation. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰ค ๐‘€)    &   ๐ต = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘€, ๐‘€, if(๐‘ฅ < ๐ผ, (๐‘ฅ + (๐‘€ โˆ’ ๐ผ)), (๐‘ฅ + (1 โˆ’ ๐ผ)))))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ต:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘€))
 
Theoremmetakunt26 40497* Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 7-Jul-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰ค ๐‘€)    &   ๐ด = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ผ, ๐‘€, if(๐‘ฅ < ๐ผ, ๐‘ฅ, (๐‘ฅ โˆ’ 1))))    &   ๐ถ = (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐‘€, ๐ผ, if(๐‘ฆ < ๐ผ, ๐‘ฆ, (๐‘ฆ + 1))))    &   ๐ต = (๐‘ง โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ง = ๐‘€, ๐‘€, if(๐‘ง < ๐ผ, (๐‘ง + (๐‘€ โˆ’ ๐ผ)), (๐‘ง + (1 โˆ’ ๐ผ)))))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ = ๐ผ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ€˜(๐ตโ€˜(๐ดโ€˜๐‘‹))) = ๐‘‹)
 
Theoremmetakunt27 40498* Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 7-Jul-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰ค ๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (1...๐‘€))    &   ๐ด = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ผ, ๐‘€, if(๐‘ฅ < ๐ผ, ๐‘ฅ, (๐‘ฅ โˆ’ 1))))    &   ๐ต = (๐‘ง โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ง = ๐‘€, ๐‘€, if(๐‘ง < ๐ผ, (๐‘ง + (๐‘€ โˆ’ ๐ผ)), (๐‘ง + (1 โˆ’ ๐ผ)))))    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘‹ = ๐ผ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ < ๐ผ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ€˜(๐ดโ€˜๐‘‹)) = (๐‘‹ + (๐‘€ โˆ’ ๐ผ)))
 
Theoremmetakunt28 40499* Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 7-Jul-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰ค ๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (1...๐‘€))    &   ๐ด = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ผ, ๐‘€, if(๐‘ฅ < ๐ผ, ๐‘ฅ, (๐‘ฅ โˆ’ 1))))    &   ๐ต = (๐‘ง โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ง = ๐‘€, ๐‘€, if(๐‘ง < ๐ผ, (๐‘ง + (๐‘€ โˆ’ ๐ผ)), (๐‘ง + (1 โˆ’ ๐ผ)))))    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘‹ = ๐ผ)    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘‹ < ๐ผ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ€˜(๐ดโ€˜๐‘‹)) = (๐‘‹ โˆ’ ๐ผ))
 
Theoremmetakunt29 40500* Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 7-Jul-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰ค ๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (1...๐‘€))    &   ๐ด = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ผ, ๐‘€, if(๐‘ฅ < ๐ผ, ๐‘ฅ, (๐‘ฅ โˆ’ 1))))    &   ๐ต = (๐‘ง โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ง = ๐‘€, ๐‘€, if(๐‘ง < ๐ผ, (๐‘ง + (๐‘€ โˆ’ ๐ผ)), (๐‘ง + (1 โˆ’ ๐ผ)))))    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘‹ = ๐ผ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ < ๐ผ)    &   ๐ถ = (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘€) โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐‘€, ๐ผ, if(๐‘ฆ < ๐ผ, ๐‘ฆ, (๐‘ฆ + 1))))    &   ๐ป = if(๐ผ โ‰ค (๐‘‹ + (๐‘€ โˆ’ ๐ผ)), 1, 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ€˜(๐ตโ€˜(๐ดโ€˜๐‘‹))) = ((๐‘‹ + (๐‘€ โˆ’ ๐ผ)) + ๐ป))
    < Previous  Next >

Page List
Jump to page: Contents  1 1-100 2 101-200 3 201-300 4 301-400 5 401-500 6 501-600 7 601-700 8 701-800 9 801-900 10 901-1000 11 1001-1100 12 1101-1200 13 1201-1300 14 1301-1400 15 1401-1500 16 1501-1600 17 1601-1700 18 1701-1800 19 1801-1900 20 1901-2000 21 2001-2100 22 2101-2200 23 2201-2300 24 2301-2400 25 2401-2500 26 2501-2600 27 2601-2700 28 2701-2800 29 2801-2900 30 2901-3000 31 3001-3100 32 3101-3200 33 3201-3300 34 3301-3400 35 3401-3500 36 3501-3600 37 3601-3700 38 3701-3800 39 3801-3900 40 3901-4000 41 4001-4100 42 4101-4200 43 4201-4300 44 4301-4400 45 4401-4500 46 4501-4600 47 4601-4700 48 4701-4800 49 4801-4900 50 4901-5000 51 5001-5100 52 5101-5200 53 5201-5300 54 5301-5400 55 5401-5500 56 5501-5600 57 5601-5700 58 5701-5800 59 5801-5900 60 5901-6000 61 6001-6100 62 6101-6200 63 6201-6300 64 6301-6400 65 6401-6500 66 6501-6600 67 6601-6700 68 6701-6800 69 6801-6900 70 6901-7000 71 7001-7100 72 7101-7200 73 7201-7300 74 7301-7400 75 7401-7500 76 7501-7600 77 7601-7700 78 7701-7800 79 7801-7900 80 7901-8000 81 8001-8100 82 8101-8200 83 8201-8300 84 8301-8400 85 8401-8500 86 8501-8600 87 8601-8700 88 8701-8800 89 8801-8900 90 8901-9000 91 9001-9100 92 9101-9200 93 9201-9300 94 9301-9400 95 9401-9500 96 9501-9600 97 9601-9700 98 9701-9800 99 9801-9900 100 9901-10000 101 10001-10100 102 10101-10200 103 10201-10300 104 10301-10400 105 10401-10500 106 10501-10600 107 10601-10700 108 10701-10800 109 10801-10900 110 10901-11000 111 11001-11100 112 11101-11200 113 11201-11300 114 11301-11400 115 11401-11500 116 11501-11600 117 11601-11700 118 11701-11800 119 11801-11900 120 11901-12000 121 12001-12100 122 12101-12200 123 12201-12300 124 12301-12400 125 12401-12500 126 12501-12600 127 12601-12700 128 12701-12800 129 12801-12900 130 12901-13000 131 13001-13100 132 13101-13200 133 13201-13300 134 13301-13400 135 13401-13500 136 13501-13600 137 13601-13700 138 13701-13800 139 13801-13900 140 13901-14000 141 14001-14100 142 14101-14200 143 14201-14300 144 14301-14400 145 14401-14500 146 14501-14600 147 14601-14700 148 14701-14800 149 14801-14900 150 14901-15000 151 15001-15100 152 15101-15200 153 15201-15300 154 15301-15400 155 15401-15500 156 15501-15600 157 15601-15700 158 15701-15800 159 15801-15900 160 15901-16000 161 16001-16100 162 16101-16200 163 16201-16300 164 16301-16400 165 16401-16500 166 16501-16600 167 16601-16700 168 16701-16800 169 16801-16900 170 16901-17000 171 17001-17100 172 17101-17200 173 17201-17300 174 17301-17400 175 17401-17500 176 17501-17600 177 17601-17700 178 17701-17800 179 17801-17900 180 17901-18000 181 18001-18100 182 18101-18200 183 18201-18300 184 18301-18400 185 18401-18500 186 18501-18600 187 18601-18700 188 18701-18800 189 18801-18900 190 18901-19000 191 19001-19100 192 19101-19200 193 19201-19300 194 19301-19400 195 19401-19500 196 19501-19600 197 19601-19700 198 19701-19800 199 19801-19900 200 19901-20000 201 20001-20100 202 20101-20200 203 20201-20300 204 20301-20400 205 20401-20500 206 20501-20600 207 20601-20700 208 20701-20800 209 20801-20900 210 20901-21000 211 21001-21100 212 21101-21200 213 21201-21300 214 21301-21400 215 21401-21500 216 21501-21600 217 21601-21700 218 21701-21800 219 21801-21900 220 21901-22000 221 22001-22100 222 22101-22200 223 22201-22300 224 22301-22400 225 22401-22500 226 22501-22600 227 22601-22700 228 22701-22800 229 22801-22900 230 22901-23000 231 23001-23100 232 23101-23200 233 23201-23300 234 23301-23400 235 23401-23500 236 23501-23600 237 23601-23700 238 23701-23800 239 23801-23900 240 23901-24000 241 24001-24100 242 24101-24200 243 24201-24300 244 24301-24400 245 24401-24500 246 24501-24600 247 24601-24700 248 24701-24800 249 24801-24900 250 24901-25000 251 25001-25100 252 25101-25200 253 25201-25300 254 25301-25400 255 25401-25500 256 25501-25600 257 25601-25700 258 25701-25800 259 25801-25900 260 25901-26000 261 26001-26100 262 26101-26200 263 26201-26300 264 26301-26400 265 26401-26500 266 26501-26600 267 26601-26700 268 26701-26800 269 26801-26900 270 26901-27000 271 27001-27100 272 27101-27200 273 27201-27300 274 27301-27400 275 27401-27500 276 27501-27600 277 27601-27700 278 27701-27800 279 27801-27900 280 27901-28000 281 28001-28100 282 28101-28200 283 28201-28300 284 28301-28400 285 28401-28500 286 28501-28600 287 28601-28700 288 28701-28800 289 28801-28900 290 28901-29000 291 29001-29100 292 29101-29200 293 29201-29300 294 29301-29400 295 29401-29500 296 29501-29600 297 29601-29700 298 29701-29800 299 29801-29900 300 29901-30000 301 30001-30100 302 30101-30200 303 30201-30300 304 30301-30400 305 30401-30500 306 30501-30600 307 30601-30700 308 30701-30800 309 30801-30900 310 30901-31000 311 31001-31100 312 31101-31200 313 31201-31300 314 31301-31400 315 31401-31500 316 31501-31600 317 31601-31700 318 31701-31800 319 31801-31900 320 31901-32000 321 32001-32100 322 32101-32200 323 32201-32300 324 32301-32400 325 32401-32500 326 32501-32600 327 32601-32700 328 32701-32800 329 32801-32900 330 32901-33000 331 33001-33100 332 33101-33200 333 33201-33300 334 33301-33400 335 33401-33500 336 33501-33600 337 33601-33700 338 33701-33800 339 33801-33900 340 33901-34000 341 34001-34100 342 34101-34200 343 34201-34300 344 34301-34400 345 34401-34500 346 34501-34600 347 34601-34700 348 34701-34800 349 34801-34900 350 34901-35000 351 35001-35100 352 35101-35200 353 35201-35300 354 35301-35400 355 35401-35500 356 35501-35600 357 35601-35700 358 35701-35800 359 35801-35900 360 35901-36000 361 36001-36100 362 36101-36200 363 36201-36300 364 36301-36400 365 36401-36500 366 36501-36600 367 36601-36700 368 36701-36800 369 36801-36900 370 36901-37000 371 37001-37100 372 37101-37200 373 37201-37300 374 37301-37400 375 37401-37500 376 37501-37600 377 37601-37700 378 37701-37800 379 37801-37900 380 37901-38000 381 38001-38100 382 38101-38200 383 38201-38300 384 38301-38400 385 38401-38500 386 38501-38600 387 38601-38700 388 38701-38800 389 38801-38900 390 38901-39000 391 39001-39100 392 39101-39200 393 39201-39300 394 39301-39400 395 39401-39500 396 39501-39600 397 39601-39700 398 39701-39800 399 39801-39900 400 39901-40000 401 40001-40100 402 40101-40200 403 40201-40300 404 40301-40400 405 40401-40500 406 40501-40600 407 40601-40700 408 40701-40800 409 40801-40900 410 40901-41000 411 41001-41100 412 41101-41200 413 41201-41300 414 41301-41400 415 41401-41500 416 41501-41600 417 41601-41700 418 41701-41800 419 41801-41900 420 41901-42000 421 42001-42100 422 42101-42200 423 42201-42300 424 42301-42400 425 42401-42500 426 42501-42600 427 42601-42700 428 42701-42800 429 42801-42900 430 42901-43000 431 43001-43100 432 43101-43200 433 43201-43300 434 43301-43400 435 43401-43500 436 43501-43600 437 43601-43700 438 43701-43800 439 43801-43900 440 43901-44000 441 44001-44100 442 44101-44200 443 44201-44300 444 44301-44400 445 44401-44500 446 44501-44600 447 44601-44700 448 44701-44800 449 44801-44900 450 44901-45000 451 45001-45100 452 45101-45200 453 45201-45300 454 45301-45400 455 45401-45500 456 45501-45600 457 45601-45700 458 45701-45800 459 45801-45900 460 45901-46000 461 46001-46100 462 46101-46200 463 46201-46300 464 46301-46400 465 46401-46500 466 46501-46600 467 46601-46700 468 46701-46800 469 46801-46900 470 46901-46997
  Copyright terms: Public domain < Previous  Next >