Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp22 1208 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΉ β π) |
2 | | simp21 1207 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΉ β π) |
3 | | cdlemk5.x |
. . . . 5
β’ π = (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π§βπ) = π)) |
4 | | cdlemk5.u |
. . . . 5
β’ π = (π β π β¦ if(πΉ = π, π, π)) |
5 | 3, 4 | cdlemk40f 39432 |
. . . 4
β’ ((πΉ β π β§ πΉ β π) β (πβπΉ) = β¦πΉ / πβ¦π) |
6 | 1, 2, 5 | syl2anc 585 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πβπΉ) = β¦πΉ / πβ¦π) |
7 | 6 | fveq1d 6848 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πβπΉ)βπ) = (β¦πΉ / πβ¦πβπ)) |
8 | | simp1l 1198 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
9 | | simp23 1209 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β π) |
10 | | simp1r 1199 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π
βπΉ) = (π
βπ)) |
11 | | cdlemk5.b |
. . . . . 6
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
12 | | cdlemk5.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
13 | | cdlemk5.t |
. . . . . 6
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
14 | | cdlemk5.r |
. . . . . 6
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
15 | 11, 12, 13, 14 | trlnid 38692 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (πΉ β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β πΉ β ( I βΎ π΅)) |
16 | 8, 2, 9, 1, 10, 15 | syl122anc 1380 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΉ β ( I βΎ π΅)) |
17 | 2, 16, 9 | 3jca 1129 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π)) |
18 | | cdlemk5.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
19 | | cdlemk5.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
20 | | cdlemk5.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
21 | | cdlemk5.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
22 | | cdlemk5.z |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) |
23 | | cdlemk5.y |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ (π β¨ (π
β(π β β‘π)))) |
24 | 11, 18, 19, 20, 21, 12, 13, 14, 22, 23, 3 | cdlemk19x 39456 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (β¦πΉ / πβ¦πβπ) = (πβπ)) |
25 | 17, 24 | syld3an2 1412 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (β¦πΉ / πβ¦πβπ) = (πβπ)) |
26 | 7, 25 | eqtrd 2773 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πβπΉ)βπ) = (πβπ)) |