Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpr 486 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ π β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ = π) β πΉ = π) |
2 | | simpl23 1254 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ π β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ = π) β πΊ β π) |
3 | | cdlemk5.x |
. . . . 5
β’ π = (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π§βπ) = π)) |
4 | | cdlemk5.u |
. . . . 5
β’ π = (π β π β¦ if(πΉ = π, π, π)) |
5 | 3, 4 | cdlemk40t 39431 |
. . . 4
β’ ((πΉ = π β§ πΊ β π) β (πβπΊ) = πΊ) |
6 | 1, 2, 5 | syl2anc 585 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ π β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ = π) β (πβπΊ) = πΊ) |
7 | 6, 2 | eqeltrd 2834 |
. 2
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ π β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ = π) β (πβπΊ) β π) |
8 | | simpr 486 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ π β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ β π) β πΉ β π) |
9 | | simpl23 1254 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ π β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ β π) β πΊ β π) |
10 | 3, 4 | cdlemk40f 39432 |
. . . 4
β’ ((πΉ β π β§ πΊ β π) β (πβπΊ) = β¦πΊ / πβ¦π) |
11 | 8, 9, 10 | syl2anc 585 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ π β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ β π) β (πβπΊ) = β¦πΊ / πβ¦π) |
12 | | simpl1l 1225 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ π β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ β π) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
13 | | simpl21 1252 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ π β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ β π) β πΉ β π) |
14 | | simpl22 1253 |
. . . . . 6
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ π β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ β π) β π β π) |
15 | | simpl1r 1226 |
. . . . . 6
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ π β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ β π) β (π
βπΉ) = (π
βπ)) |
16 | | cdlemk5.b |
. . . . . . 7
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
17 | | cdlemk5.h |
. . . . . . 7
β’ π» = (LHypβπΎ) |
18 | | cdlemk5.t |
. . . . . . 7
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
19 | | cdlemk5.r |
. . . . . . 7
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
20 | 16, 17, 18, 19 | trlnid 38692 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (πΉ β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β πΉ β ( I βΎ π΅)) |
21 | 12, 13, 14, 8, 15, 20 | syl122anc 1380 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ π β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ β π) β πΉ β ( I βΎ π΅)) |
22 | 13, 21 | jca 513 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ π β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ β π) β (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅))) |
23 | | simpl3 1194 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ π β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ β π) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
24 | | cdlemk5.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
25 | | cdlemk5.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
26 | | cdlemk5.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
27 | | cdlemk5.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
28 | | cdlemk5.z |
. . . . 5
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) |
29 | | cdlemk5.y |
. . . . 5
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ (π β¨ (π
β(π β β‘π)))) |
30 | 16, 24, 25, 26, 27, 17, 18, 19, 28, 29, 3 | cdlemk35s-id 39451 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β β¦πΊ / πβ¦π β π) |
31 | 12, 22, 9, 14, 23, 15, 30 | syl132anc 1389 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ π β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ β π) β β¦πΊ / πβ¦π β π) |
32 | 11, 31 | eqeltrd 2834 |
. 2
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ π β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ β π) β (πβπΊ) β π) |
33 | 7, 32 | pm2.61dane 3029 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ π β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πβπΊ) β π) |