![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cjval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The value of the conjugate of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
cjval | โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) = (โฉ๐ฅ โ โ ((๐ด + ๐ฅ) โ โ โง (i ยท (๐ด โ ๐ฅ)) โ โ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | oveq1 7413 | . . . . 5 โข (๐ฆ = ๐ด โ (๐ฆ + ๐ฅ) = (๐ด + ๐ฅ)) | |
2 | 1 | eleq1d 2819 | . . . 4 โข (๐ฆ = ๐ด โ ((๐ฆ + ๐ฅ) โ โ โ (๐ด + ๐ฅ) โ โ)) |
3 | oveq1 7413 | . . . . . 6 โข (๐ฆ = ๐ด โ (๐ฆ โ ๐ฅ) = (๐ด โ ๐ฅ)) | |
4 | 3 | oveq2d 7422 | . . . . 5 โข (๐ฆ = ๐ด โ (i ยท (๐ฆ โ ๐ฅ)) = (i ยท (๐ด โ ๐ฅ))) |
5 | 4 | eleq1d 2819 | . . . 4 โข (๐ฆ = ๐ด โ ((i ยท (๐ฆ โ ๐ฅ)) โ โ โ (i ยท (๐ด โ ๐ฅ)) โ โ)) |
6 | 2, 5 | anbi12d 632 | . . 3 โข (๐ฆ = ๐ด โ (((๐ฆ + ๐ฅ) โ โ โง (i ยท (๐ฆ โ ๐ฅ)) โ โ) โ ((๐ด + ๐ฅ) โ โ โง (i ยท (๐ด โ ๐ฅ)) โ โ))) |
7 | 6 | riotabidv 7364 | . 2 โข (๐ฆ = ๐ด โ (โฉ๐ฅ โ โ ((๐ฆ + ๐ฅ) โ โ โง (i ยท (๐ฆ โ ๐ฅ)) โ โ)) = (โฉ๐ฅ โ โ ((๐ด + ๐ฅ) โ โ โง (i ยท (๐ด โ ๐ฅ)) โ โ))) |
8 | df-cj 15043 | . 2 โข โ = (๐ฆ โ โ โฆ (โฉ๐ฅ โ โ ((๐ฆ + ๐ฅ) โ โ โง (i ยท (๐ฆ โ ๐ฅ)) โ โ))) | |
9 | riotaex 7366 | . 2 โข (โฉ๐ฅ โ โ ((๐ด + ๐ฅ) โ โ โง (i ยท (๐ด โ ๐ฅ)) โ โ)) โ V | |
10 | 7, 8, 9 | fvmpt 6996 | 1 โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) = (โฉ๐ฅ โ โ ((๐ด + ๐ฅ) โ โ โง (i ยท (๐ด โ ๐ฅ)) โ โ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โcfv 6541 โฉcrio 7361 (class class class)co 7406 โcc 11105 โcr 11106 ici 11109 + caddc 11110 ยท cmul 11112 โ cmin 11441 โccj 15040 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pr 5427 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rab 3434 df-v 3477 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-nul 4323 df-if 4529 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5574 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-iota 6493 df-fun 6543 df-fv 6549 df-riota 7362 df-ov 7409 df-cj 15043 |
This theorem is referenced by: cjth 15047 remim 15061 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |