Theorem cjval 15149

Description: The value of the conjugate of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cjval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem cjval

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 + 𝑥) = (𝐴 + 𝑥))
2	1	eleq1d 2854	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 + 𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ))
3		oveq1 7415	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 − 𝑥) = (𝐴 − 𝑥))
4	3	oveq2d 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (i · (𝑦 − 𝑥)) = (i · (𝐴 − 𝑥)))
5	4	eleq1d 2854	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((i · (𝑦 − 𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
6	2, 5	anbi12d 643	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑦 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)))
7	6	riotabidv 7367	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑦 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑦 − 𝑥)) ∈ ℝ)) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)))
8		df-cj 15146	. 2 ⊢ ∗ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑦 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑦 − 𝑥)) ∈ ℝ)))
9		riotaex 7369	. 2 ⊢ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 6987	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6534  ℩crio 7364  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  ℝcr 11095  ici 11098   + caddc 11099   · cmul 11101   − cmin 11437  ∗ccj 15143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-cj 15146

This theorem is referenced by:  cjth  15150  remim  15164