MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cjval 15046
Description: The value of the conjugate of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
cjval (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem cjval
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7413 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ฅ) = (๐ด + ๐‘ฅ))
21eleq1d 2819 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฆ + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โ†” (๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„))
3 oveq1 7413 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) = (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ))
43oveq2d 7422 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (i ยท (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) = (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)))
54eleq1d 2819 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ ((i ยท (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†” (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„))
62, 5anbi12d 632 . . 3 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (((๐‘ฆ + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†” ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)))
76riotabidv 7364 . 2 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฆ + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)))
8 df-cj 15043 . 2 โˆ— = (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฆ + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)))
9 riotaex 7366 . 2 (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)) โˆˆ V
107, 8, 9fvmpt 6996 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6541  โ„ฉcrio 7361  (class class class)co 7406  โ„‚cc 11105  โ„cr 11106  ici 11109   + caddc 11110   ยท cmul 11112   โˆ’ cmin 11441  โˆ—ccj 15040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-cj 15043
This theorem is referenced by:  cjth  15047  remim  15061
  Copyright terms: Public domain W3C validator