MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cjth 14995
Description: The defining property of the complex conjugate. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
cjth (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด + (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„))

Proof of Theorem cjth
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cju 12156 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„))
2 riotasbc 7337 . . . 4 (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†’ [(โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)) / ๐‘ฅ]((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„))
31, 2syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ [(โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)) / ๐‘ฅ]((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„))
4 cjval 14994 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)))
54sbceq1d 3749 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ([(โˆ—โ€˜๐ด) / ๐‘ฅ]((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†” [(โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)) / ๐‘ฅ]((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)))
63, 5mpbird 257 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ [(โˆ—โ€˜๐ด) / ๐‘ฅ]((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„))
7 fvex 6860 . . 3 (โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ V
8 oveq2 7370 . . . . 5 (๐‘ฅ = (โˆ—โ€˜๐ด) โ†’ (๐ด + ๐‘ฅ) = (๐ด + (โˆ—โ€˜๐ด)))
98eleq1d 2823 . . . 4 (๐‘ฅ = (โˆ—โ€˜๐ด) โ†’ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โ†” (๐ด + (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„))
10 oveq2 7370 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (โˆ—โ€˜๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ) = (๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)))
1110oveq2d 7378 . . . . 5 (๐‘ฅ = (โˆ—โ€˜๐ด) โ†’ (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) = (i ยท (๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด))))
1211eleq1d 2823 . . . 4 (๐‘ฅ = (โˆ—โ€˜๐ด) โ†’ ((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†” (i ยท (๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„))
139, 12anbi12d 632 . . 3 (๐‘ฅ = (โˆ—โ€˜๐ด) โ†’ (((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†” ((๐ด + (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)))
147, 13sbcie 3787 . 2 ([(โˆ—โ€˜๐ด) / ๐‘ฅ]((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†” ((๐ด + (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„))
156, 14sylib 217 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด + (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒ!wreu 3354  [wsbc 3744  โ€˜cfv 6501  โ„ฉcrio 7317  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  โˆ—ccj 14988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-cj 14991
This theorem is referenced by:  recl  15002  crre  15006
  Copyright terms: Public domain W3C validator