![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cjth | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The defining property of the complex conjugate. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
cjth | โข (๐ด โ โ โ ((๐ด + (โโ๐ด)) โ โ โง (i ยท (๐ด โ (โโ๐ด))) โ โ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | cju 12206 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ โ!๐ฅ โ โ ((๐ด + ๐ฅ) โ โ โง (i ยท (๐ด โ ๐ฅ)) โ โ)) | |
2 | riotasbc 7377 | . . . 4 โข (โ!๐ฅ โ โ ((๐ด + ๐ฅ) โ โ โง (i ยท (๐ด โ ๐ฅ)) โ โ) โ [(โฉ๐ฅ โ โ ((๐ด + ๐ฅ) โ โ โง (i ยท (๐ด โ ๐ฅ)) โ โ)) / ๐ฅ]((๐ด + ๐ฅ) โ โ โง (i ยท (๐ด โ ๐ฅ)) โ โ)) | |
3 | 1, 2 | syl 17 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ [(โฉ๐ฅ โ โ ((๐ด + ๐ฅ) โ โ โง (i ยท (๐ด โ ๐ฅ)) โ โ)) / ๐ฅ]((๐ด + ๐ฅ) โ โ โง (i ยท (๐ด โ ๐ฅ)) โ โ)) |
4 | cjval 15047 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) = (โฉ๐ฅ โ โ ((๐ด + ๐ฅ) โ โ โง (i ยท (๐ด โ ๐ฅ)) โ โ))) | |
5 | 4 | sbceq1d 3775 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ ([(โโ๐ด) / ๐ฅ]((๐ด + ๐ฅ) โ โ โง (i ยท (๐ด โ ๐ฅ)) โ โ) โ [(โฉ๐ฅ โ โ ((๐ด + ๐ฅ) โ โ โง (i ยท (๐ด โ ๐ฅ)) โ โ)) / ๐ฅ]((๐ด + ๐ฅ) โ โ โง (i ยท (๐ด โ ๐ฅ)) โ โ))) |
6 | 3, 5 | mpbird 257 | . 2 โข (๐ด โ โ โ [(โโ๐ด) / ๐ฅ]((๐ด + ๐ฅ) โ โ โง (i ยท (๐ด โ ๐ฅ)) โ โ)) |
7 | fvex 6895 | . . 3 โข (โโ๐ด) โ V | |
8 | oveq2 7410 | . . . . 5 โข (๐ฅ = (โโ๐ด) โ (๐ด + ๐ฅ) = (๐ด + (โโ๐ด))) | |
9 | 8 | eleq1d 2810 | . . . 4 โข (๐ฅ = (โโ๐ด) โ ((๐ด + ๐ฅ) โ โ โ (๐ด + (โโ๐ด)) โ โ)) |
10 | oveq2 7410 | . . . . . 6 โข (๐ฅ = (โโ๐ด) โ (๐ด โ ๐ฅ) = (๐ด โ (โโ๐ด))) | |
11 | 10 | oveq2d 7418 | . . . . 5 โข (๐ฅ = (โโ๐ด) โ (i ยท (๐ด โ ๐ฅ)) = (i ยท (๐ด โ (โโ๐ด)))) |
12 | 11 | eleq1d 2810 | . . . 4 โข (๐ฅ = (โโ๐ด) โ ((i ยท (๐ด โ ๐ฅ)) โ โ โ (i ยท (๐ด โ (โโ๐ด))) โ โ)) |
13 | 9, 12 | anbi12d 630 | . . 3 โข (๐ฅ = (โโ๐ด) โ (((๐ด + ๐ฅ) โ โ โง (i ยท (๐ด โ ๐ฅ)) โ โ) โ ((๐ด + (โโ๐ด)) โ โ โง (i ยท (๐ด โ (โโ๐ด))) โ โ))) |
14 | 7, 13 | sbcie 3813 | . 2 โข ([(โโ๐ด) / ๐ฅ]((๐ด + ๐ฅ) โ โ โง (i ยท (๐ด โ ๐ฅ)) โ โ) โ ((๐ด + (โโ๐ด)) โ โ โง (i ยท (๐ด โ (โโ๐ด))) โ โ)) |
15 | 6, 14 | sylib 217 | 1 โข (๐ด โ โ โ ((๐ด + (โโ๐ด)) โ โ โง (i ยท (๐ด โ (โโ๐ด))) โ โ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ!wreu 3366 [wsbc 3770 โcfv 6534 โฉcrio 7357 (class class class)co 7402 โcc 11105 โcr 11106 ici 11109 + caddc 11110 ยท cmul 11112 โ cmin 11442 โccj 15041 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-id 5565 df-po 5579 df-so 5580 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-riota 7358 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-er 8700 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-pnf 11248 df-mnf 11249 df-xr 11250 df-ltxr 11251 df-le 11252 df-sub 11444 df-neg 11445 df-div 11870 df-cj 15044 |
This theorem is referenced by: recl 15055 crre 15059 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |