Theorem cjth 15046

Description: The defining property of the complex conjugate. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cjth	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ))

Proof of Theorem cjth

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cju 12204	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
2		riotasbc 7380	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) → [(℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → [(℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
4		cjval 15045	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)))
5	4	sbceq1d 3781	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ([(∗‘𝐴) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ [(℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)))
6	3, 5	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → [(∗‘𝐴) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
7		fvex 6901	. . 3 ⊢ (∗‘𝐴) ∈ V
8		oveq2 7413	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝐴) → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + (∗‘𝐴)))
9	8	eleq1d 2818	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝐴) → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ))
10		oveq2 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝐴) → (𝐴 − 𝑥) = (𝐴 − (∗‘𝐴)))
11	10	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝐴) → (i · (𝐴 − 𝑥)) = (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))))
12	11	eleq1d 2818	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝐴) → ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ))
13	9, 12	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝐴) → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ)))
14	7, 13	sbcie 3819	. 2 ⊢ ([(∗‘𝐴) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ))
15	6, 14	sylib 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃!wreu 3374  [wsbc 3776  ‘cfv 6540  ℩crio 7360  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  ℝcr 11105  ici 11108   + caddc 11109   · cmul 11111   − cmin 11440  ∗ccj 15039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-cj 15042

This theorem is referenced by:  recl  15053  crre  15057