MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cjth 15076
Description: The defining property of the complex conjugate. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
cjth (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด + (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„))

Proof of Theorem cjth
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cju 12232 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„))
2 riotasbc 7389 . . . 4 (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†’ [(โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)) / ๐‘ฅ]((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„))
31, 2syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ [(โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)) / ๐‘ฅ]((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„))
4 cjval 15075 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)))
54sbceq1d 3780 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ([(โˆ—โ€˜๐ด) / ๐‘ฅ]((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†” [(โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)) / ๐‘ฅ]((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)))
63, 5mpbird 257 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ [(โˆ—โ€˜๐ด) / ๐‘ฅ]((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„))
7 fvex 6904 . . 3 (โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ V
8 oveq2 7422 . . . . 5 (๐‘ฅ = (โˆ—โ€˜๐ด) โ†’ (๐ด + ๐‘ฅ) = (๐ด + (โˆ—โ€˜๐ด)))
98eleq1d 2814 . . . 4 (๐‘ฅ = (โˆ—โ€˜๐ด) โ†’ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โ†” (๐ด + (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„))
10 oveq2 7422 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (โˆ—โ€˜๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ) = (๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)))
1110oveq2d 7430 . . . . 5 (๐‘ฅ = (โˆ—โ€˜๐ด) โ†’ (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) = (i ยท (๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด))))
1211eleq1d 2814 . . . 4 (๐‘ฅ = (โˆ—โ€˜๐ด) โ†’ ((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†” (i ยท (๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„))
139, 12anbi12d 631 . . 3 (๐‘ฅ = (โˆ—โ€˜๐ด) โ†’ (((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†” ((๐ด + (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)))
147, 13sbcie 3818 . 2 ([(โˆ—โ€˜๐ด) / ๐‘ฅ]((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†” ((๐ด + (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„))
156, 14sylib 217 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด + (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆƒ!wreu 3370  [wsbc 3775  โ€˜cfv 6542  โ„ฉcrio 7369  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11130  โ„cr 11131  ici 11134   + caddc 11135   ยท cmul 11137   โˆ’ cmin 11468  โˆ—ccj 15069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-cj 15072
This theorem is referenced by:  recl  15083  crre  15087
  Copyright terms: Public domain W3C validator