MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  remim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem remim 15009
Description: Value of the conjugate of a complex number. The value is the real part minus i times the imaginary part. Definition 10-3.2 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
remim (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))

Proof of Theorem remim
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cjval 14994 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)))
2 replim 15008 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
32oveq1d 7377 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
4 recl 15002 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
54recnd 11190 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
6 ax-icn 11117 . . . . . . 7 i โˆˆ โ„‚
7 imcl 15003 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
87recnd 11190 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
9 mulcl 11142 . . . . . . 7 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
106, 8, 9sylancr 588 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
115, 10, 5ppncand 11559 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((โ„œโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ด)))
123, 11eqtrd 2777 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((โ„œโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ด)))
134, 4readdcld 11191 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
1412, 13eqeltrd 2838 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„)
155, 10, 10pnncand 11558 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
162oveq1d 7377 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
176a1i 11 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ i โˆˆ โ„‚)
1817, 8, 8adddid 11186 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด))) = ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
1915, 16, 183eqtr4d 2787 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด))))
2019oveq2d 7378 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = (i ยท (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด)))))
217, 7readdcld 11191 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
2221recnd 11190 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
23 mulass 11146 . . . . . 6 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โˆˆ โ„‚ โˆง ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด))) = (i ยท (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด)))))
246, 6, 22, 23mp3an12i 1466 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด))) = (i ยท (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด)))))
2520, 24eqtr4d 2780 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด))))
26 ixi 11791 . . . . . 6 (i ยท i) = -1
27 neg1rr 12275 . . . . . 6 -1 โˆˆ โ„
2826, 27eqeltri 2834 . . . . 5 (i ยท i) โˆˆ โ„
29 remulcl 11143 . . . . 5 (((i ยท i) โˆˆ โ„ โˆง ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
3028, 21, 29sylancr 588 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
3125, 30eqeltrd 2838 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„)
325, 10subcld 11519 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
33 cju 12156 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„))
34 oveq2 7370 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โ†’ (๐ด + ๐‘ฅ) = (๐ด + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
3534eleq1d 2823 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โ†’ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โ†” (๐ด + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„))
36 oveq2 7370 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ) = (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
3736oveq2d 7378 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โ†’ (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) = (i ยท (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
3837eleq1d 2823 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โ†’ ((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†” (i ยท (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„))
3935, 38anbi12d 632 . . . . 5 (๐‘ฅ = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โ†’ (((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†” ((๐ด + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„)))
4039riota2 7344 . . . 4 ((((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚ โˆง โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐ด + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„) โ†” (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)) = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
4132, 33, 40syl2anc 585 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐ด + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„) โ†” (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)) = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
4214, 31, 41mpbi2and 711 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)) = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
431, 42eqtrd 2777 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒ!wreu 3354  โ€˜cfv 6501  โ„ฉcrio 7317  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  1c1 11059  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393  โˆ—ccj 14988  โ„œcre 14989  โ„‘cim 14990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-2 12223  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993
This theorem is referenced by:  cjreb  15015  recj  15016  remullem  15020  imcj  15024  cjadd  15033  cjneg  15039  imval2  15043  cji  15051  remimd  15090
  Copyright terms: Public domain W3C validator