MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  remim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem remim 15066
Description: Value of the conjugate of a complex number. The value is the real part minus i times the imaginary part. Definition 10-3.2 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
remim (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))

Proof of Theorem remim
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cjval 15051 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)))
2 replim 15065 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
32oveq1d 7417 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
4 recl 15059 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
54recnd 11241 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
6 ax-icn 11166 . . . . . . 7 i โˆˆ โ„‚
7 imcl 15060 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
87recnd 11241 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
9 mulcl 11191 . . . . . . 7 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
106, 8, 9sylancr 586 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
115, 10, 5ppncand 11610 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((โ„œโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ด)))
123, 11eqtrd 2764 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((โ„œโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ด)))
134, 4readdcld 11242 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
1412, 13eqeltrd 2825 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„)
155, 10, 10pnncand 11609 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
162oveq1d 7417 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
176a1i 11 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ i โˆˆ โ„‚)
1817, 8, 8adddid 11237 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด))) = ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
1915, 16, 183eqtr4d 2774 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด))))
2019oveq2d 7418 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = (i ยท (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด)))))
217, 7readdcld 11242 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
2221recnd 11241 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
23 mulass 11195 . . . . . 6 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โˆˆ โ„‚ โˆง ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด))) = (i ยท (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด)))))
246, 6, 22, 23mp3an12i 1461 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด))) = (i ยท (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด)))))
2520, 24eqtr4d 2767 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด))))
26 ixi 11842 . . . . . 6 (i ยท i) = -1
27 neg1rr 12326 . . . . . 6 -1 โˆˆ โ„
2826, 27eqeltri 2821 . . . . 5 (i ยท i) โˆˆ โ„
29 remulcl 11192 . . . . 5 (((i ยท i) โˆˆ โ„ โˆง ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
3028, 21, 29sylancr 586 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
3125, 30eqeltrd 2825 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„)
325, 10subcld 11570 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
33 cju 12207 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„))
34 oveq2 7410 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โ†’ (๐ด + ๐‘ฅ) = (๐ด + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
3534eleq1d 2810 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โ†’ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โ†” (๐ด + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„))
36 oveq2 7410 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ) = (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
3736oveq2d 7418 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โ†’ (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) = (i ยท (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
3837eleq1d 2810 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โ†’ ((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†” (i ยท (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„))
3935, 38anbi12d 630 . . . . 5 (๐‘ฅ = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โ†’ (((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†” ((๐ด + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„)))
4039riota2 7384 . . . 4 ((((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚ โˆง โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐ด + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„) โ†” (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)) = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
4132, 33, 40syl2anc 583 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐ด + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„) โ†” (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)) = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
4214, 31, 41mpbi2and 709 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)) = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
431, 42eqtrd 2764 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒ!wreu 3366  โ€˜cfv 6534  โ„ฉcrio 7357  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  โ„cr 11106  1c1 11108  ici 11109   + caddc 11110   ยท cmul 11112   โˆ’ cmin 11443  -cneg 11444  โˆ—ccj 15045  โ„œcre 15046  โ„‘cim 15047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050
This theorem is referenced by:  cjreb  15072  recj  15073  remullem  15077  imcj  15081  cjadd  15090  cjneg  15096  imval2  15100  cji  15108  remimd  15147
  Copyright terms: Public domain W3C validator