MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  remim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem remim 15153
Description: Value of the conjugate of a complex number. The value is the real part minus i times the imaginary part. Definition 10-3.2 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
remim (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))

Proof of Theorem remim
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cjval 15138 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)))
2 replim 15152 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
32oveq1d 7446 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
4 recl 15146 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
54recnd 11287 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
6 ax-icn 11212 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
7 imcl 15147 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
87recnd 11287 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
9 mulcl 11237 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
106, 8, 9sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
115, 10, 5ppncand 11658 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
123, 11eqtrd 2775 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
134, 4readdcld 11288 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
1412, 13eqeltrd 2839 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ)
155, 10, 10pnncand 11657 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
162oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
176a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
1817, 8, 8adddid 11283 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
1915, 16, 183eqtr4d 2785 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))))
2019oveq2d 7447 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) = (i · (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)))))
217, 7readdcld 11288 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
2221recnd 11287 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
23 mulass 11241 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))) = (i · (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)))))
246, 6, 22, 23mp3an12i 1464 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))) = (i · (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)))))
2520, 24eqtr4d 2778 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) = ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))))
26 ixi 11890 . . . . . 6 (i · i) = -1
27 neg1rr 12379 . . . . . 6 -1 ∈ ℝ
2826, 27eqeltri 2835 . . . . 5 (i · i) ∈ ℝ
29 remulcl 11238 . . . . 5 (((i · i) ∈ ℝ ∧ ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ) → ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
3028, 21, 29sylancr 587 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
3125, 30eqeltrd 2839 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℝ)
325, 10subcld 11618 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
33 cju 12260 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ))
34 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
3534eleq1d 2824 . . . . . 6 (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ))
36 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → (𝐴𝑥) = (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
3736oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → (i · (𝐴𝑥)) = (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))))
3837eleq1d 2824 . . . . . 6 (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → ((i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℝ))
3935, 38anbi12d 632 . . . . 5 (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℝ)))
4039riota2 7413 . . . 4 ((((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)) → (((𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℝ) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
4132, 33, 40syl2anc 584 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℝ) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
4214, 31, 41mpbi2and 712 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
431, 42eqtrd 2775 1 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  ∃!wreu 3376  cfv 6563  crio 7387  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  1c1 11154  ici 11155   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  -cneg 11491  ccj 15132  cre 15133  cim 15134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-2 12327  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137
This theorem is referenced by:  cjreb  15159  recj  15160  remullem  15164  imcj  15168  cjadd  15177  cjneg  15183  imval2  15187  cji  15195  remimd  15234
  Copyright terms: Public domain W3C validator