MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  remim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem remim 15096
Description: Value of the conjugate of a complex number. The value is the real part minus i times the imaginary part. Definition 10-3.2 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
remim (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))

Proof of Theorem remim
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cjval 15081 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)))
2 replim 15095 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
32oveq1d 7435 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
4 recl 15089 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
54recnd 11272 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
6 ax-icn 11197 . . . . . . 7 i โˆˆ โ„‚
7 imcl 15090 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
87recnd 11272 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
9 mulcl 11222 . . . . . . 7 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
106, 8, 9sylancr 586 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
115, 10, 5ppncand 11641 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((โ„œโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ด)))
123, 11eqtrd 2768 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((โ„œโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ด)))
134, 4readdcld 11273 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
1412, 13eqeltrd 2829 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„)
155, 10, 10pnncand 11640 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
162oveq1d 7435 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
176a1i 11 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ i โˆˆ โ„‚)
1817, 8, 8adddid 11268 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด))) = ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
1915, 16, 183eqtr4d 2778 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด))))
2019oveq2d 7436 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = (i ยท (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด)))))
217, 7readdcld 11273 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
2221recnd 11272 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
23 mulass 11226 . . . . . 6 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โˆˆ โ„‚ โˆง ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด))) = (i ยท (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด)))))
246, 6, 22, 23mp3an12i 1462 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด))) = (i ยท (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด)))))
2520, 24eqtr4d 2771 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด))))
26 ixi 11873 . . . . . 6 (i ยท i) = -1
27 neg1rr 12357 . . . . . 6 -1 โˆˆ โ„
2826, 27eqeltri 2825 . . . . 5 (i ยท i) โˆˆ โ„
29 remulcl 11223 . . . . 5 (((i ยท i) โˆˆ โ„ โˆง ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
3028, 21, 29sylancr 586 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
3125, 30eqeltrd 2829 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„)
325, 10subcld 11601 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
33 cju 12238 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„))
34 oveq2 7428 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โ†’ (๐ด + ๐‘ฅ) = (๐ด + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
3534eleq1d 2814 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โ†’ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โ†” (๐ด + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„))
36 oveq2 7428 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ) = (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
3736oveq2d 7436 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โ†’ (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) = (i ยท (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
3837eleq1d 2814 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โ†’ ((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†” (i ยท (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„))
3935, 38anbi12d 631 . . . . 5 (๐‘ฅ = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โ†’ (((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†” ((๐ด + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„)))
4039riota2 7402 . . . 4 ((((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚ โˆง โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐ด + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„) โ†” (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)) = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
4132, 33, 40syl2anc 583 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐ด + ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„) โ†” (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)) = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
4214, 31, 41mpbi2and 711 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)) = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
431, 42eqtrd 2768 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆƒ!wreu 3371  โ€˜cfv 6548  โ„ฉcrio 7375  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  1c1 11139  ici 11140   + caddc 11141   ยท cmul 11143   โˆ’ cmin 11474  -cneg 11475  โˆ—ccj 15075  โ„œcre 15076  โ„‘cim 15077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-2 12305  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080
This theorem is referenced by:  cjreb  15102  recj  15103  remullem  15107  imcj  15111  cjadd  15120  cjneg  15126  imval2  15130  cji  15138  remimd  15177
  Copyright terms: Public domain W3C validator