MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  remim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem remim 15156
Description: Value of the conjugate of a complex number. The value is the real part minus i times the imaginary part. Definition 10-3.2 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
remim (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))

Proof of Theorem remim
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cjval 15141 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)))
2 replim 15155 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
32oveq1d 7446 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
4 recl 15149 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
54recnd 11289 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
6 ax-icn 11214 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
7 imcl 15150 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
87recnd 11289 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
9 mulcl 11239 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
106, 8, 9sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
115, 10, 5ppncand 11660 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
123, 11eqtrd 2777 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
134, 4readdcld 11290 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
1412, 13eqeltrd 2841 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ)
155, 10, 10pnncand 11659 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
162oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
176a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
1817, 8, 8adddid 11285 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
1915, 16, 183eqtr4d 2787 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))))
2019oveq2d 7447 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) = (i · (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)))))
217, 7readdcld 11290 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
2221recnd 11289 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
23 mulass 11243 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))) = (i · (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)))))
246, 6, 22, 23mp3an12i 1467 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))) = (i · (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)))))
2520, 24eqtr4d 2780 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) = ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))))
26 ixi 11892 . . . . . 6 (i · i) = -1
27 neg1rr 12381 . . . . . 6 -1 ∈ ℝ
2826, 27eqeltri 2837 . . . . 5 (i · i) ∈ ℝ
29 remulcl 11240 . . . . 5 (((i · i) ∈ ℝ ∧ ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ) → ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
3028, 21, 29sylancr 587 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
3125, 30eqeltrd 2841 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℝ)
325, 10subcld 11620 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
33 cju 12262 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ))
34 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
3534eleq1d 2826 . . . . . 6 (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ))
36 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → (𝐴𝑥) = (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
3736oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → (i · (𝐴𝑥)) = (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))))
3837eleq1d 2826 . . . . . 6 (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → ((i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℝ))
3935, 38anbi12d 632 . . . . 5 (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℝ)))
4039riota2 7413 . . . 4 ((((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)) → (((𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℝ) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
4132, 33, 40syl2anc 584 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℝ) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
4214, 31, 41mpbi2and 712 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
431, 42eqtrd 2777 1 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  ∃!wreu 3378  cfv 6561  crio 7387  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  -cneg 11493  ccj 15135  cre 15136  cim 15137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140
This theorem is referenced by:  cjreb  15162  recj  15163  remullem  15167  imcj  15171  cjadd  15180  cjneg  15186  imval2  15190  cji  15198  remimd  15237
  Copyright terms: Public domain W3C validator