Theorem remim 15071

Description: Value of the conjugate of a complex number. The value is the real part minus i times the imaginary part. Definition 10-3.2 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
remim	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))

Proof of Theorem remim

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjval 15056	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)))
2		replim 15070	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
3	2	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
4		recl 15064	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11249	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
6		ax-icn 11175	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
7		imcl 15065	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11249	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
9		mulcl 11200	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
10	6, 8, 9	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
11	5, 10, 5	ppncand 11618	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
12	3, 11	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
13	4, 4	readdcld 11250	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
14	12, 13	eqeltrd 2832	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ)
15	5, 10, 10	pnncand 11617	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
16	2	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
17	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
18	17, 8, 8	adddid 11245	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
19	15, 16, 18	3eqtr4d 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))))
20	19	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) = (i · (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)))))
21	7, 7	readdcld 11250	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11249	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
23		mulass 11204	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))) = (i · (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)))))
24	6, 6, 22, 23	mp3an12i 1464	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))) = (i · (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)))))
25	20, 24	eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) = ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))))
26		ixi 11850	. . . . . 6 ⊢ (i · i) = -1
27		neg1rr 12334	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℝ
28	26, 27	eqeltri 2828	. . . . 5 ⊢ (i · i) ∈ ℝ
29		remulcl 11201	. . . . 5 ⊢ (((i · i) ∈ ℝ ∧ ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ) → ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
30	28, 21, 29	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
31	25, 30	eqeltrd 2832	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℝ)
32	5, 10	subcld 11578	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
33		cju 12215	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
34		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
35	34	eleq1d 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ))
36		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → (𝐴 − 𝑥) = (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
37	36	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → (i · (𝐴 − 𝑥)) = (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))))
38	37	eleq1d 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℝ))
39	35, 38	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℝ)))
40	39	riota2 7394	. . . 4 ⊢ ((((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) → (((𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℝ) ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
41	32, 33, 40	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℝ) ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
42	14, 31, 41	mpbi2and 709	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
43	1, 42	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃!wreu 3373  ‘cfv 6543  ℩crio 7367  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  ℝcr 11115  1c1 11117  ici 11118   + caddc 11119   · cmul 11121   − cmin 11451  -cneg 11452  ∗ccj 15050  ℜcre 15051  ℑcim 15052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-2 12282  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055

This theorem is referenced by:  cjreb  15077  recj  15078  remullem  15082  imcj  15086  cjadd  15095  cjneg  15101  imval2  15105  cji  15113  remimd  15152