Theorem cmetcvg 25618

Description: The convergence of a Cauchy filter in a complete metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscmet.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cmetcvg	⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐽 fLim 𝐹) ≠ ∅)

Proof of Theorem cmetcvg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscmet.1	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	iscmet 25617	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)(𝐽 fLim 𝑓) ≠ ∅))
3	2	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → ∀𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)(𝐽 fLim 𝑓) ≠ ∅)
4		oveq2 7435	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝐽 fLim 𝑓) = (𝐽 fLim 𝐹))
5	4	neeq1d 3017	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝐽 fLim 𝑓) ≠ ∅ ↔ (𝐽 fLim 𝐹) ≠ ∅))
6	5	rspccva 3578	. 2 ⊢ ((∀𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)(𝐽 fLim 𝑓) ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐽 fLim 𝐹) ≠ ∅)
7	3, 6	sylan 592	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐽 fLim 𝐹) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∅c0 4280  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Metcmet 21676  MetOpencmopn 21680   fLim cflim 24265  CauFilccfil 25585  CMetccmet 25587

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pr 5394

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fv 6554  df-ov 7430  df-cmet 25590

This theorem is used by:  cmetcaulem  25621  metsscmetcld  25648  cmetss  25649  cmetcusp  25687  minveclem4a  25763  fmcncfil  34616