Theorem cmetcvg 25606

Description: The convergence of a Cauchy filter in a complete metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscmet.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cmetcvg	⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐽 fLim 𝐹) ≠ ∅)

Proof of Theorem cmetcvg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscmet.1	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	iscmet 25605	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)(𝐽 fLim 𝑓) ≠ ∅))
3	2	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → ∀𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)(𝐽 fLim 𝑓) ≠ ∅)
4		oveq2 7428	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝐽 fLim 𝑓) = (𝐽 fLim 𝐹))
5	4	neeq1d 3015	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝐽 fLim 𝑓) ≠ ∅ ↔ (𝐽 fLim 𝐹) ≠ ∅))
6	5	rspccva 3576	. 2 ⊢ ((∀𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)(𝐽 fLim 𝑓) ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐽 fLim 𝐹) ≠ ∅)
7	3, 6	sylan 592	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐽 fLim 𝐹) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∅c0 4279  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Metcmet 21664  MetOpencmopn 21668   fLim cflim 24253  CauFilccfil 25573  CMetccmet 25575

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7423  df-cmet 25578

This theorem is used by:  cmetcaulem  25609  metsscmetcld  25636  cmetss  25637  cmetcusp  25675  minveclem4a  25751  fmcncfil  34563