Theorem cmetcvg 25495

Description: The convergence of a Cauchy filter in a complete metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscmet.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cmetcvg	⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐽 fLim 𝐹) ≠ ∅)

Proof of Theorem cmetcvg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscmet.1	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	iscmet 25494	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)(𝐽 fLim 𝑓) ≠ ∅))
3	2	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → ∀𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)(𝐽 fLim 𝑓) ≠ ∅)
4		oveq2 7427	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝐽 fLim 𝑓) = (𝐽 fLim 𝐹))
5	4	neeq1d 3019	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝐽 fLim 𝑓) ≠ ∅ ↔ (𝐽 fLim 𝐹) ≠ ∅))
6	5	rspccva 3582	. 2 ⊢ ((∀𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)(𝐽 fLim 𝑓) ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐽 fLim 𝐹) ≠ ∅)
7	3, 6	sylan 592	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐽 fLim 𝐹) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∅c0 4286  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Metcmet 21558  MetOpencmopn 21562   fLim cflim 24142  CauFilccfil 25462  CMetccmet 25464

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ov 7422  df-cmet 25467

This theorem is used by:  cmetcaulem  25498  metsscmetcld  25525  cmetss  25526  cmetcusp  25564  minveclem4a  25640  fmcncfil  34385