Theorem cmetcvg 25232

Description: The convergence of a Cauchy filter in a complete metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscmet.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cmetcvg	⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐽 fLim 𝐹) ≠ ∅)

Proof of Theorem cmetcvg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscmet.1	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	iscmet 25231	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)(𝐽 fLim 𝑓) ≠ ∅))
3	2	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → ∀𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)(𝐽 fLim 𝑓) ≠ ∅)
4		oveq2 7363	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝐽 fLim 𝑓) = (𝐽 fLim 𝐹))
5	4	neeq1d 2988	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝐽 fLim 𝑓) ≠ ∅ ↔ (𝐽 fLim 𝐹) ≠ ∅))
6	5	rspccva 3572	. 2 ⊢ ((∀𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)(𝐽 fLim 𝑓) ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐽 fLim 𝐹) ≠ ∅)
7	3, 6	sylan 580	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐽 fLim 𝐹) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  ∅c0 4282  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Metcmet 21286  MetOpencmopn 21290   fLim cflim 23869  CauFilccfil 25199  CMetccmet 25201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fv 6497  df-ov 7358  df-cmet 25204

This theorem is referenced by:  cmetcaulem  25235  metsscmetcld  25262  cmetss  25263  cmetcusp  25301  minveclem4a  25377  fmcncfil  34016