Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmcncfil Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fmcncfil 32911
Description: The image of a Cauchy filter by a continuous filter map is a Cauchy filter. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmcncfil.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
fmcncfil.2 𝐾 = (MetOpenβ€˜πΈ)
Assertion
Ref Expression
fmcncfil (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅) ∈ (CauFilβ€˜πΈ))
Proof of Theorem fmcncfil
Dummy variables 𝑒 𝑏 π‘₯ 𝑦 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1193 . 2 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
2 simpl1 1192 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
3 fmcncfil.1 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
43cmetcvg 24802 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (𝐽 fLim 𝐡) β‰  βˆ…)
5 n0 4347 . . . . . 6 ((𝐽 fLim 𝐡) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡))
64, 5sylib 217 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡))
72, 6sylancom 589 . . . 4 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡))
8 cmetmet 24803 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
9 metxmet 23840 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
102, 8, 93syl 18 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
11 cfilfil 24784 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐡 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
1210, 11sylancom 589 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐡 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
133mopntopon 23945 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
1410, 13syl 17 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
15 fmcncfil.2 . . . . . . . . 9 𝐾 = (MetOpenβ€˜πΈ)
1615mopntopon 23945 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
171, 16syl 17 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
18 simpl3 1194 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
19 cnflf 23506 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘ ∈ (Filβ€˜π‘‹)βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)β€˜πΉ))))
2019simplbda 501 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ βˆ€π‘ ∈ (Filβ€˜π‘‹)βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)β€˜πΉ))
2114, 17, 18, 20syl21anc 837 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆ€π‘ ∈ (Filβ€˜π‘‹)βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)β€˜πΉ))
22 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝐽 fLim 𝑏) = (𝐽 fLim 𝐡))
23 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝐾 fLimf 𝑏) = (𝐾 fLimf 𝐡))
2423fveq1d 6894 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐡 β†’ ((𝐾 fLimf 𝑏)β€˜πΉ) = ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))
2524eleq2d 2820 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐡 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)β€˜πΉ) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ)))
2622, 25raleqbidv 3343 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐡 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)β€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ)))
2726rspcv 3609 . . . . . 6 (𝐡 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (Filβ€˜π‘‹)βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)β€˜πΉ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ)))
2812, 21, 27sylc 65 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))
29 df-ral 3063 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ)))
3028, 29sylib 217 . . . 4 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ)))
31 19.29r 1878 . . . . 5 ((βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))))
32 pm3.35 802 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))
3332eximi 1838 . . . . 5 (βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))) β†’ βˆƒπ‘₯(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))
3431, 33syl 17 . . . 4 ((βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))) β†’ βˆƒπ‘₯(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))
357, 30, 34syl2anc 585 . . 3 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆƒπ‘₯(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))
363, 15metcn 24052 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑒))))
3736biimpa 478 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑒)))
3810, 1, 18, 37syl21anc 837 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑒)))
3938simpld 496 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
40 flfval 23494 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ) = (𝐾 fLim ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅)))
4117, 12, 39, 40syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ) = (𝐾 fLim ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅)))
4241eleq2d 2820 . . . 4 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐾 fLim ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅))))
4342exbidv 1925 . . 3 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (βˆƒπ‘₯(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ) ↔ βˆƒπ‘₯(πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐾 fLim ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅))))
4435, 43mpbid 231 . 2 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆƒπ‘₯(πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐾 fLim ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅)))
4515flimcfil 24831 . . . 4 ((𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐾 fLim ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅))) β†’ ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅) ∈ (CauFilβ€˜πΈ))
4645ex 414 . . 3 (𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐾 fLim ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅)) β†’ ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅) ∈ (CauFilβ€˜πΈ)))
4746exlimdv 1937 . 2 (𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘₯(πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐾 fLim ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅)) β†’ ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅) ∈ (CauFilβ€˜πΈ)))
481, 44, 47sylc 65 1 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅) ∈ (CauFilβ€˜πΈ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆ€wal 1540   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   < clt 11248  β„+crp 12974  βˆžMetcxmet 20929  Metcmet 20930  MetOpencmopn 20934  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728  Filcfil 23349   FilMap cfm 23437   fLim cflim 23438   fLimf cflf 23439  CauFilccfil 24769  CMetccmet 24771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-ntr 22524  df-nei 22602  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-cfil 24772  df-cmet 24774
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator