Theorem fmcncfil 34067

Description: The image of a Cauchy filter by a continuous filter map is a Cauchy filter. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmcncfil.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
fmcncfil.2	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
fmcncfil	⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐸))

Proof of Theorem fmcncfil

Dummy variables 𝑒 𝑏 𝑥 𝑦 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1194	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌))
2		simpl1 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
3		fmcncfil.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4	3	cmetcvg 25243	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐽 fLim 𝐵) ≠ ∅)
5		n0 4304	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 fLim 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵))
6	4, 5	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵))
7	2, 6	sylancom 589	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵))
8		cmetmet 25244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
9		metxmet 24280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
10	2, 8, 9	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11		cfilfil 25225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐵 ∈ (Fil‘𝑋))
12	10, 11	sylancom 589	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐵 ∈ (Fil‘𝑋))
13	3	mopntopon 24385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
14	10, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
15		fmcncfil.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐸)
16	15	mopntopon 24385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
17	1, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
18		simpl3 1195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
19		cnflf 23948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑏 ∈ (Fil‘𝑋)∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹))))
20	19	simplbda 499	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ∀𝑏 ∈ (Fil‘𝑋)∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹))
21	14, 17, 18, 20	syl21anc 838	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑏 ∈ (Fil‘𝑋)∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹))
22		oveq2 7366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐽 fLim 𝑏) = (𝐽 fLim 𝐵))
23		oveq2 7366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐾 fLimf 𝑏) = (𝐾 fLimf 𝐵))
24	23	fveq1d 6835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹) = ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
25	24	eleq2d 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹)))
26	22, 25	raleqbidv 3315	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹)))
27	26	rspcv 3571	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (Fil‘𝑋) → (∀𝑏 ∈ (Fil‘𝑋)∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹) → ∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹)))
28	12, 21, 27	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
29		df-ral 3051	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹)))
30	28, 29	sylib 218	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹)))
31		19.29r 1876	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))))
32		pm3.35 803	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
33	32	eximi 1837	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))) → ∃𝑥(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
34	31, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ ((∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))) → ∃𝑥(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
35	7, 30, 34	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∃𝑥(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
36	3, 15	metcn 24489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐹‘𝑦)) < 𝑒))))
37	36	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐹‘𝑦)) < 𝑒)))
38	10, 1, 18, 37	syl21anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐹‘𝑦)) < 𝑒)))
39	38	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
40		flfval 23936	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐵 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹) = (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵)))
41	17, 12, 39, 40	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹) = (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵)))
42	41	eleq2d 2821	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵))))
43	42	exbidv 1923	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (∃𝑥(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹) ↔ ∃𝑥(𝐹‘𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵))))
44	35, 43	mpbid 232	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∃𝑥(𝐹‘𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵)))
45	15	flimcfil 25272	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵))) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐸))
46	45	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵)) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐸)))
47	46	exlimdv 1935	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) → (∃𝑥(𝐹‘𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵)) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐸)))
48	1, 44, 47	sylc 65	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∀wal 1540   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  ∅c0 4284   class class class wbr 5097  ⟶wf 6487  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358   < clt 11168  ℝ⁺crp 12907  ∞Metcxmet 21296  Metcmet 21297  MetOpencmopn 21301  TopOnctopon 22856   Cn ccn 23170  Filcfil 23791   FilMap cfm 23879   fLim cflim 23880   fLimf cflf 23881  CauFilccfil 25210  CMetccmet 25212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-sup 9347  df-inf 9348  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-ico 13269  df-topgen 17365  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-fbas 21308  df-fg 21309  df-top 22840  df-topon 22857  df-bases 22892  df-ntr 22966  df-nei 23044  df-cn 23173  df-cnp 23174  df-fil 23792  df-fm 23884  df-flim 23885  df-flf 23886  df-cfil 25213  df-cmet 25215

This theorem is referenced by: (None)