Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmcncfil Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fmcncfil 32980
Description: The image of a Cauchy filter by a continuous filter map is a Cauchy filter. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmcncfil.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
fmcncfil.2 𝐾 = (MetOpenβ€˜πΈ)
Assertion
Ref Expression
fmcncfil (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅) ∈ (CauFilβ€˜πΈ))
Proof of Theorem fmcncfil
Dummy variables 𝑒 𝑏 π‘₯ 𝑦 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1192 . 2 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
2 simpl1 1191 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
3 fmcncfil.1 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
43cmetcvg 24809 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (𝐽 fLim 𝐡) β‰  βˆ…)
5 n0 4346 . . . . . 6 ((𝐽 fLim 𝐡) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡))
64, 5sylib 217 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡))
72, 6sylancom 588 . . . 4 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡))
8 cmetmet 24810 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
9 metxmet 23847 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
102, 8, 93syl 18 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
11 cfilfil 24791 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐡 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
1210, 11sylancom 588 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐡 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
133mopntopon 23952 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
1410, 13syl 17 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
15 fmcncfil.2 . . . . . . . . 9 𝐾 = (MetOpenβ€˜πΈ)
1615mopntopon 23952 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
171, 16syl 17 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
18 simpl3 1193 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
19 cnflf 23513 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘ ∈ (Filβ€˜π‘‹)βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)β€˜πΉ))))
2019simplbda 500 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ βˆ€π‘ ∈ (Filβ€˜π‘‹)βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)β€˜πΉ))
2114, 17, 18, 20syl21anc 836 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆ€π‘ ∈ (Filβ€˜π‘‹)βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)β€˜πΉ))
22 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝐽 fLim 𝑏) = (𝐽 fLim 𝐡))
23 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝐾 fLimf 𝑏) = (𝐾 fLimf 𝐡))
2423fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐡 β†’ ((𝐾 fLimf 𝑏)β€˜πΉ) = ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))
2524eleq2d 2819 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐡 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)β€˜πΉ) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ)))
2622, 25raleqbidv 3342 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐡 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)β€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ)))
2726rspcv 3608 . . . . . 6 (𝐡 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (Filβ€˜π‘‹)βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)β€˜πΉ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ)))
2812, 21, 27sylc 65 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))
29 df-ral 3062 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ)))
3028, 29sylib 217 . . . 4 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ)))
31 19.29r 1877 . . . . 5 ((βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))))
32 pm3.35 801 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))
3332eximi 1837 . . . . 5 (βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))) β†’ βˆƒπ‘₯(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))
3431, 33syl 17 . . . 4 ((βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))) β†’ βˆƒπ‘₯(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))
357, 30, 34syl2anc 584 . . 3 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆƒπ‘₯(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))
363, 15metcn 24059 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑒))))
3736biimpa 477 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑒)))
3810, 1, 18, 37syl21anc 836 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑒)))
3938simpld 495 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
40 flfval 23501 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ) = (𝐾 fLim ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅)))
4117, 12, 39, 40syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ) = (𝐾 fLim ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅)))
4241eleq2d 2819 . . . 4 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐾 fLim ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅))))
4342exbidv 1924 . . 3 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (βˆƒπ‘₯(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ) ↔ βˆƒπ‘₯(πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐾 fLim ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅))))
4435, 43mpbid 231 . 2 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆƒπ‘₯(πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐾 fLim ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅)))
4515flimcfil 24838 . . . 4 ((𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐾 fLim ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅))) β†’ ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅) ∈ (CauFilβ€˜πΈ))
4645ex 413 . . 3 (𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐾 fLim ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅)) β†’ ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅) ∈ (CauFilβ€˜πΈ)))
4746exlimdv 1936 . 2 (𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘₯(πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐾 fLim ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅)) β†’ ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅) ∈ (CauFilβ€˜πΈ)))
481, 44, 47sylc 65 1 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅) ∈ (CauFilβ€˜πΈ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087  βˆ€wal 1539   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   < clt 11250  β„+crp 12976  βˆžMetcxmet 20935  Metcmet 20936  MetOpencmopn 20940  TopOnctopon 22419   Cn ccn 22735  Filcfil 23356   FilMap cfm 23444   fLim cflim 23445   fLimf cflf 23446  CauFilccfil 24776  CMetccmet 24778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ico 13332  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456  df-ntr 22531  df-nei 22609  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-cfil 24779  df-cmet 24781
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator