Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmcncfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmcncfil 31987
Description: The image of a Cauchy filter by a continuous filter map is a Cauchy filter. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmcncfil.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
fmcncfil.2 𝐾 = (MetOpen‘𝐸)
Assertion
Ref Expression
fmcncfil (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐸))

Proof of Theorem fmcncfil
Dummy variables 𝑒 𝑏 𝑥 𝑦 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1191 . 2 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌))
2 simpl1 1190 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
3 fmcncfil.1 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
43cmetcvg 24520 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐽 fLim 𝐵) ≠ ∅)
5 n0 4290 . . . . . 6 ((𝐽 fLim 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵))
64, 5sylib 217 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵))
72, 6sylancom 588 . . . 4 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵))
8 cmetmet 24521 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
9 metxmet 23558 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
102, 8, 93syl 18 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11 cfilfil 24502 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐵 ∈ (Fil‘𝑋))
1210, 11sylancom 588 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐵 ∈ (Fil‘𝑋))
133mopntopon 23663 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
1410, 13syl 17 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
15 fmcncfil.2 . . . . . . . . 9 𝐾 = (MetOpen‘𝐸)
1615mopntopon 23663 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
171, 16syl 17 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
18 simpl3 1192 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
19 cnflf 23224 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑏 ∈ (Fil‘𝑋)∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹))))
2019simplbda 500 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ∀𝑏 ∈ (Fil‘𝑋)∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹))
2114, 17, 18, 20syl21anc 835 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑏 ∈ (Fil‘𝑋)∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹))
22 oveq2 7321 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → (𝐽 fLim 𝑏) = (𝐽 fLim 𝐵))
23 oveq2 7321 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐵 → (𝐾 fLimf 𝑏) = (𝐾 fLimf 𝐵))
2423fveq1d 6811 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹) = ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
2524eleq2d 2823 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹) ↔ (𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹)))
2622, 25raleqbidv 3316 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹)))
2726rspcv 3566 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (Fil‘𝑋) → (∀𝑏 ∈ (Fil‘𝑋)∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹) → ∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹)))
2812, 21, 27sylc 65 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
29 df-ral 3063 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹)))
3028, 29sylib 217 . . . 4 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹)))
31 19.29r 1876 . . . . 5 ((∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))))
32 pm3.35 800 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))) → (𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
3332eximi 1836 . . . . 5 (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))) → ∃𝑥(𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
3431, 33syl 17 . . . 4 ((∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))) → ∃𝑥(𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
357, 30, 34syl2anc 584 . . 3 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∃𝑥(𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
363, 15metcn 23770 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑 → ((𝐹𝑥)𝐸(𝐹𝑦)) < 𝑒))))
3736biimpa 477 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑 → ((𝐹𝑥)𝐸(𝐹𝑦)) < 𝑒)))
3810, 1, 18, 37syl21anc 835 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑 → ((𝐹𝑥)𝐸(𝐹𝑦)) < 𝑒)))
3938simpld 495 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐹:𝑋𝑌)
40 flfval 23212 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐵 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹) = (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵)))
4117, 12, 39, 40syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹) = (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵)))
4241eleq2d 2823 . . . 4 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵))))
4342exbidv 1923 . . 3 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (∃𝑥(𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹) ↔ ∃𝑥(𝐹𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵))))
4435, 43mpbid 231 . 2 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∃𝑥(𝐹𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵)))
4515flimcfil 24549 . . . 4 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵))) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐸))
4645ex 413 . . 3 (𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) → ((𝐹𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵)) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐸)))
4746exlimdv 1935 . 2 (𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) → (∃𝑥(𝐹𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵)) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐸)))
481, 44, 47sylc 65 1 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086  wal 1538   = wceq 1540  wex 1780  wcel 2105  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  c0 4266   class class class wbr 5085  wf 6459  cfv 6463  (class class class)co 7313   < clt 11079  +crp 12800  ∞Metcxmet 20653  Metcmet 20654  MetOpencmopn 20658  TopOnctopon 22130   Cn ccn 22446  Filcfil 23067   FilMap cfm 23155   fLim cflim 23156   fLimf cflf 23157  CauFilccfil 24487  CMetccmet 24489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018  ax-pre-sup 11019
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-er 8544  df-map 8663  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-sup 9269  df-inf 9270  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-div 11703  df-nn 12044  df-2 12106  df-n0 12304  df-z 12390  df-uz 12653  df-q 12759  df-rp 12801  df-xneg 12918  df-xadd 12919  df-xmul 12920  df-ico 13155  df-topgen 17221  df-psmet 20660  df-xmet 20661  df-met 20662  df-bl 20663  df-mopn 20664  df-fbas 20665  df-fg 20666  df-top 22114  df-topon 22131  df-bases 22167  df-ntr 22242  df-nei 22320  df-cn 22449  df-cnp 22450  df-fil 23068  df-fm 23160  df-flim 23161  df-flf 23162  df-cfil 24490  df-cmet 24492
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator