Theorem fmcncfil 34095

Description: The image of a Cauchy filter by a continuous filter map is a Cauchy filter. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmcncfil.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
fmcncfil.2	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
fmcncfil	⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐸))

Proof of Theorem fmcncfil

Dummy variables 𝑒 𝑏 𝑥 𝑦 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1194	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌))
2		simpl1 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
3		fmcncfil.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4	3	cmetcvg 25266	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐽 fLim 𝐵) ≠ ∅)
5		n0 4294	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 fLim 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵))
6	4, 5	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵))
7	2, 6	sylancom 589	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵))
8		cmetmet 25267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
9		metxmet 24313	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
10	2, 8, 9	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11		cfilfil 25248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐵 ∈ (Fil‘𝑋))
12	10, 11	sylancom 589	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐵 ∈ (Fil‘𝑋))
13	3	mopntopon 24418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
14	10, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
15		fmcncfil.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐸)
16	15	mopntopon 24418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
17	1, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
18		simpl3 1195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
19		cnflf 23981	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑏 ∈ (Fil‘𝑋)∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹))))
20	19	simplbda 499	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ∀𝑏 ∈ (Fil‘𝑋)∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹))
21	14, 17, 18, 20	syl21anc 838	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑏 ∈ (Fil‘𝑋)∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹))
22		oveq2 7370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐽 fLim 𝑏) = (𝐽 fLim 𝐵))
23		oveq2 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐾 fLimf 𝑏) = (𝐾 fLimf 𝐵))
24	23	fveq1d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹) = ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
25	24	eleq2d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹)))
26	22, 25	raleqbidv 3312	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹)))
27	26	rspcv 3561	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (Fil‘𝑋) → (∀𝑏 ∈ (Fil‘𝑋)∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹) → ∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹)))
28	12, 21, 27	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
29		df-ral 3053	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹)))
30	28, 29	sylib 218	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹)))
31		19.29r 1876	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))))
32		pm3.35 803	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
33	32	eximi 1837	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))) → ∃𝑥(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
34	31, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ ((∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))) → ∃𝑥(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
35	7, 30, 34	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∃𝑥(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
36	3, 15	metcn 24522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐹‘𝑦)) < 𝑒))))
37	36	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐹‘𝑦)) < 𝑒)))
38	10, 1, 18, 37	syl21anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐹‘𝑦)) < 𝑒)))
39	38	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
40		flfval 23969	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐵 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹) = (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵)))
41	17, 12, 39, 40	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹) = (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵)))
42	41	eleq2d 2823	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵))))
43	42	exbidv 1923	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (∃𝑥(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹) ↔ ∃𝑥(𝐹‘𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵))))
44	35, 43	mpbid 232	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∃𝑥(𝐹‘𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵)))
45	15	flimcfil 25295	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵))) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐸))
46	45	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵)) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐸)))
47	46	exlimdv 1935	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) → (∃𝑥(𝐹‘𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵)) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐸)))
48	1, 44, 47	sylc 65	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∀wal 1540   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   < clt 11174  ℝ⁺crp 12937  ∞Metcxmet 21333  Metcmet 21334  MetOpencmopn 21338  TopOnctopon 22889   Cn ccn 23203  Filcfil 23824   FilMap cfm 23912   fLim cflim 23913   fLimf cflf 23914  CauFilccfil 25233  CMetccmet 25235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ico 13299  df-topgen 17401  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-fbas 21345  df-fg 21346  df-top 22873  df-topon 22890  df-bases 22925  df-ntr 22999  df-nei 23077  df-cn 23206  df-cnp 23207  df-fil 23825  df-fm 23917  df-flim 23918  df-flf 23919  df-cfil 25236  df-cmet 25238

This theorem is referenced by: (None)