Theorem fmcncfil 33914

Description: The image of a Cauchy filter by a continuous filter map is a Cauchy filter. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmcncfil.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
fmcncfil.2	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
fmcncfil	⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐸))

Proof of Theorem fmcncfil

Dummy variables 𝑒 𝑏 𝑥 𝑦 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1193	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌))
2		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
3		fmcncfil.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4	3	cmetcvg 25218	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐽 fLim 𝐵) ≠ ∅)
5		n0 4312	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 fLim 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵))
6	4, 5	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵))
7	2, 6	sylancom 588	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵))
8		cmetmet 25219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
9		metxmet 24255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
10	2, 8, 9	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11		cfilfil 25200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐵 ∈ (Fil‘𝑋))
12	10, 11	sylancom 588	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐵 ∈ (Fil‘𝑋))
13	3	mopntopon 24360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
14	10, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
15		fmcncfil.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐸)
16	15	mopntopon 24360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
17	1, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
18		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
19		cnflf 23922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑏 ∈ (Fil‘𝑋)∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹))))
20	19	simplbda 499	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ∀𝑏 ∈ (Fil‘𝑋)∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹))
21	14, 17, 18, 20	syl21anc 837	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑏 ∈ (Fil‘𝑋)∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹))
22		oveq2 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐽 fLim 𝑏) = (𝐽 fLim 𝐵))
23		oveq2 7377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐾 fLimf 𝑏) = (𝐾 fLimf 𝐵))
24	23	fveq1d 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹) = ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
25	24	eleq2d 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹)))
26	22, 25	raleqbidv 3316	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹)))
27	26	rspcv 3581	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (Fil‘𝑋) → (∀𝑏 ∈ (Fil‘𝑋)∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹) → ∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹)))
28	12, 21, 27	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
29		df-ral 3045	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹)))
30	28, 29	sylib 218	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹)))
31		19.29r 1874	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))))
32		pm3.35 802	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
33	32	eximi 1835	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))) → ∃𝑥(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
34	31, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ ((∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))) → ∃𝑥(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
35	7, 30, 34	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∃𝑥(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
36	3, 15	metcn 24464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐹‘𝑦)) < 𝑒))))
37	36	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐹‘𝑦)) < 𝑒)))
38	10, 1, 18, 37	syl21anc 837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑 → ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐹‘𝑦)) < 𝑒)))
39	38	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
40		flfval 23910	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐵 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹) = (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵)))
41	17, 12, 39, 40	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹) = (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵)))
42	41	eleq2d 2814	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵))))
43	42	exbidv 1921	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (∃𝑥(𝐹‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹) ↔ ∃𝑥(𝐹‘𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵))))
44	35, 43	mpbid 232	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∃𝑥(𝐹‘𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵)))
45	15	flimcfil 25247	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵))) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐸))
46	45	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵)) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐸)))
47	46	exlimdv 1933	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) → (∃𝑥(𝐹‘𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵)) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐸)))
48	1, 44, 47	sylc 65	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  ∅c0 4292   class class class wbr 5102  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   < clt 11184  ℝ⁺crp 12927  ∞Metcxmet 21281  Metcmet 21282  MetOpencmopn 21286  TopOnctopon 22830   Cn ccn 23144  Filcfil 23765   FilMap cfm 23853   fLim cflim 23854   fLimf cflf 23855  CauFilccfil 25185  CMetccmet 25187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ico 13288  df-topgen 17382  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22866  df-ntr 22940  df-nei 23018  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-cfil 25188  df-cmet 25190

This theorem is referenced by: (None)