Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmcncfil Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fmcncfil 32899
Description: The image of a Cauchy filter by a continuous filter map is a Cauchy filter. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmcncfil.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
fmcncfil.2 𝐾 = (MetOpenβ€˜πΈ)
Assertion
Ref Expression
fmcncfil (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅) ∈ (CauFilβ€˜πΈ))
Proof of Theorem fmcncfil
Dummy variables 𝑒 𝑏 π‘₯ 𝑦 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1192 . 2 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
2 simpl1 1191 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
3 fmcncfil.1 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
43cmetcvg 24793 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (𝐽 fLim 𝐡) β‰  βˆ…)
5 n0 4345 . . . . . 6 ((𝐽 fLim 𝐡) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡))
64, 5sylib 217 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡))
72, 6sylancom 588 . . . 4 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡))
8 cmetmet 24794 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
9 metxmet 23831 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
102, 8, 93syl 18 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
11 cfilfil 24775 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐡 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
1210, 11sylancom 588 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐡 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
133mopntopon 23936 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
1410, 13syl 17 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
15 fmcncfil.2 . . . . . . . . 9 𝐾 = (MetOpenβ€˜πΈ)
1615mopntopon 23936 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
171, 16syl 17 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
18 simpl3 1193 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
19 cnflf 23497 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘ ∈ (Filβ€˜π‘‹)βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)β€˜πΉ))))
2019simplbda 500 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ βˆ€π‘ ∈ (Filβ€˜π‘‹)βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)β€˜πΉ))
2114, 17, 18, 20syl21anc 836 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆ€π‘ ∈ (Filβ€˜π‘‹)βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)β€˜πΉ))
22 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝐽 fLim 𝑏) = (𝐽 fLim 𝐡))
23 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝐾 fLimf 𝑏) = (𝐾 fLimf 𝐡))
2423fveq1d 6890 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐡 β†’ ((𝐾 fLimf 𝑏)β€˜πΉ) = ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))
2524eleq2d 2819 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐡 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)β€˜πΉ) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ)))
2622, 25raleqbidv 3342 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐡 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)β€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ)))
2726rspcv 3608 . . . . . 6 (𝐡 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (Filβ€˜π‘‹)βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)β€˜πΉ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ)))
2812, 21, 27sylc 65 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))
29 df-ral 3062 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ)))
3028, 29sylib 217 . . . 4 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ)))
31 19.29r 1877 . . . . 5 ((βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))))
32 pm3.35 801 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))
3332eximi 1837 . . . . 5 (βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))) β†’ βˆƒπ‘₯(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))
3431, 33syl 17 . . . 4 ((βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))) β†’ βˆƒπ‘₯(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))
357, 30, 34syl2anc 584 . . 3 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆƒπ‘₯(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ))
363, 15metcn 24043 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑒))))
3736biimpa 477 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑒)))
3810, 1, 18, 37syl21anc 836 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑒)))
3938simpld 495 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
40 flfval 23485 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ) = (𝐾 fLim ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅)))
4117, 12, 39, 40syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ) = (𝐾 fLim ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅)))
4241eleq2d 2819 . . . 4 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐾 fLim ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅))))
4342exbidv 1924 . . 3 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (βˆƒπ‘₯(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐡)β€˜πΉ) ↔ βˆƒπ‘₯(πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐾 fLim ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅))))
4435, 43mpbid 231 . 2 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆƒπ‘₯(πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐾 fLim ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅)))
4515flimcfil 24822 . . . 4 ((𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐾 fLim ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅))) β†’ ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅) ∈ (CauFilβ€˜πΈ))
4645ex 413 . . 3 (𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐾 fLim ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅)) β†’ ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅) ∈ (CauFilβ€˜πΈ)))
4746exlimdv 1936 . 2 (𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘₯(πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐾 fLim ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅)) β†’ ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅) ∈ (CauFilβ€˜πΈ)))
481, 44, 47sylc 65 1 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐡 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜π΅) ∈ (CauFilβ€˜πΈ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087  βˆ€wal 1539   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   < clt 11244  β„+crp 12970  βˆžMetcxmet 20921  Metcmet 20922  MetOpencmopn 20926  TopOnctopon 22403   Cn ccn 22719  Filcfil 23340   FilMap cfm 23428   fLim cflim 23429   fLimf cflf 23430  CauFilccfil 24760  CMetccmet 24762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ico 13326  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-ntr 22515  df-nei 22593  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-cfil 24763  df-cmet 24765
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator