MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metsscmetcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metsscmetcld 24682
Description: A complete subspace of a metric space is closed in the parent space. Formerly part of proof for cmetss 24683. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 9-Oct-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
metsscmetcld.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
metsscmetcld ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½))

Proof of Theorem metsscmetcld
Dummy variables π‘₯ 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metxmet 23690 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
21adantr 482 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 metsscmetcld.j . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
43mopntopon 23795 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
52, 4syl 17 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
6 resss 5963 . . . . . . 7 (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) βŠ† 𝐷
7 dmss 5859 . . . . . . 7 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) βŠ† 𝐷 β†’ dom (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) βŠ† dom 𝐷)
8 dmss 5859 . . . . . . 7 (dom (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) βŠ† dom 𝐷 β†’ dom dom (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) βŠ† dom dom 𝐷)
96, 7, 8mp2b 10 . . . . . 6 dom dom (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) βŠ† dom dom 𝐷
10 cmetmet 24653 . . . . . . . 8 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Metβ€˜π‘Œ))
11 metdmdm 23692 . . . . . . . 8 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Metβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ = dom dom (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ = dom dom (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
13 metdmdm 23692 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = dom dom 𝐷)
14 sseq12 3972 . . . . . . 7 ((π‘Œ = dom dom (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∧ 𝑋 = dom dom 𝐷) β†’ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ↔ dom dom (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) βŠ† dom dom 𝐷))
1512, 13, 14syl2anr 598 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ↔ dom dom (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) βŠ† dom dom 𝐷))
169, 15mpbiri 258 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
17 flimcls 23339 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (Filβ€˜π‘‹)(π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓))))
185, 16, 17syl2anc 585 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (Filβ€˜π‘‹)(π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓))))
19 simprrr 781 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
202adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
213methaus 23879 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Haus)
22 hausflimi 23334 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Haus β†’ βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
2320, 21, 223syl 18 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
2420, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
25 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
26 simprrl 780 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑓)
27 flimrest 23337 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑓) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) fLim (𝑓 β†Ύt π‘Œ)) = ((𝐽 fLim 𝑓) ∩ π‘Œ))
2824, 25, 26, 27syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) fLim (𝑓 β†Ύt π‘Œ)) = ((𝐽 fLim 𝑓) ∩ π‘Œ))
2916adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
30 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
31 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
3230, 3, 31metrest 23883 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
3320, 29, 32syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
3433oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) fLim (𝑓 β†Ύt π‘Œ)) = ((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim (𝑓 β†Ύt π‘Œ)))
3528, 34eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ ((𝐽 fLim 𝑓) ∩ π‘Œ) = ((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim (𝑓 β†Ύt π‘Œ)))
36 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ))
373flimcfil 24681 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) β†’ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜π·))
3820, 19, 37syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜π·))
39 cfilres 24663 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑓) β†’ (𝑓 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝑓 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))))
4020, 25, 26, 39syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ (𝑓 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝑓 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))))
4138, 40mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ (𝑓 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
4231cmetcvg 24652 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ) ∧ (𝑓 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ ((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim (𝑓 β†Ύt π‘Œ)) β‰  βˆ…)
4336, 41, 42syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ ((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim (𝑓 β†Ύt π‘Œ)) β‰  βˆ…)
4435, 43eqnetrd 3012 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ ((𝐽 fLim 𝑓) ∩ π‘Œ) β‰  βˆ…)
45 ndisj 4328 . . . . . . . 8 (((𝐽 fLim 𝑓) ∩ π‘Œ) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ))
4644, 45sylib 217 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ))
47 mopick 2626 . . . . . . 7 ((βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ∧ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ))
4823, 46, 47syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ))
4919, 48mpd 15 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ)
5049rexlimdvaa 3154 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (Filβ€˜π‘‹)(π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ))
5118, 50sylbid 239 . . 3 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ))
5251ssrdv 3951 . 2 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘Œ) βŠ† π‘Œ)
533mopntop 23796 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
542, 53syl 17 . . 3 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
553mopnuni 23797 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
562, 55syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
5716, 56sseqtrd 3985 . . 3 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘Œ βŠ† βˆͺ 𝐽)
58 eqid 2737 . . . 4 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
5958iscld4 22419 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘Œ) βŠ† π‘Œ))
6054, 57, 59syl2anc 585 . 2 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘Œ) βŠ† π‘Œ))
6152, 60mpbird 257 1 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆƒ*wmo 2537   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  βˆͺ cuni 4866   Γ— cxp 5632  dom cdm 5634   β†Ύ cres 5636  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   β†Ύt crest 17303  βˆžMetcxmet 20784  Metcmet 20785  MetOpencmopn 20789  Topctop 22245  TopOnctopon 22262  Clsdccld 22370  clsccl 22372  Hauscha 22662  Filcfil 23199   fLim cflim 23288  CauFilccfil 24619  CMetccmet 24621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fi 9348  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-ico 13271  df-icc 13272  df-rest 17305  df-topgen 17326  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-fbas 20796  df-fg 20797  df-top 22246  df-topon 22263  df-bases 22299  df-cld 22373  df-ntr 22374  df-cls 22375  df-nei 22452  df-haus 22669  df-fil 23200  df-flim 23293  df-cfil 24622  df-cmet 24624
This theorem is referenced by:  cmetss  24683  cmssmscld  24717
  Copyright terms: Public domain W3C validator