Theorem metsscmetcld 25249

Description: A complete subspace of a metric space is closed in the parent space. Formerly part of proof for cmetss 25250. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 9-Oct-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
metsscmetcld.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
metsscmetcld	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem metsscmetcld

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metxmet 24256	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		metsscmetcld.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4	3	mopntopon 24361	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6		resss 5961	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ⊆ 𝐷
7		dmss 5856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ⊆ 𝐷 → dom (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ⊆ dom 𝐷)
8		dmss 5856	. . . . . . 7 ⊢ (dom (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ⊆ dom 𝐷 → dom dom (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ⊆ dom dom 𝐷)
9	6, 7, 8	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ dom dom (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ⊆ dom dom 𝐷
10		cmetmet 25220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
11		metdmdm 24258	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌) → 𝑌 = dom dom (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) → 𝑌 = dom dom (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
13		metdmdm 24258	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑋 = dom dom 𝐷)
14		sseq12 3971	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 = dom dom (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∧ 𝑋 = dom dom 𝐷) → (𝑌 ⊆ 𝑋 ↔ dom dom (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ⊆ dom dom 𝐷))
15	12, 13, 14	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → (𝑌 ⊆ 𝑋 ↔ dom dom (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ⊆ dom dom 𝐷))
16	9, 15	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
17		flimcls 23906	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑌) ↔ ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))))
18	5, 16, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑌) ↔ ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))))
19		simprrr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
20	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
21	3	methaus 24442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
22		hausflimi 23901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
23	20, 21, 22	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
24	20, 4	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
25		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
26		simprrl 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → 𝑌 ∈ 𝑓)
27		flimrest 23904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑓) → ((𝐽 ↾t 𝑌) fLim (𝑓 ↾t 𝑌)) = ((𝐽 fLim 𝑓) ∩ 𝑌))
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → ((𝐽 ↾t 𝑌) fLim (𝑓 ↾t 𝑌)) = ((𝐽 fLim 𝑓) ∩ 𝑌))
29	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
30		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
31		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
32	30, 3, 31	metrest 24446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
33	20, 29, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → (𝐽 ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
34	33	oveq1d 7384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → ((𝐽 ↾t 𝑌) fLim (𝑓 ↾t 𝑌)) = ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑓 ↾t 𝑌)))
35	28, 34	eqtr3d 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → ((𝐽 fLim 𝑓) ∩ 𝑌) = ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑓 ↾t 𝑌)))
36		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
37	3	flimcfil 25248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷))
38	20, 19, 37	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → 𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷))
39		cfilres 25230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑓) → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝑓 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
40	20, 25, 26, 39	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝑓 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
41	38, 40	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → (𝑓 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
42	31	cmetcvg 25219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ∧ (𝑓 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑓 ↾t 𝑌)) ≠ ∅)
43	36, 41, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑓 ↾t 𝑌)) ≠ ∅)
44	35, 43	eqnetrd 2992	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → ((𝐽 fLim 𝑓) ∩ 𝑌) ≠ ∅)
45		ndisj 4329	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 fLim 𝑓) ∩ 𝑌) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌))
46	44, 45	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌))
47		mopick 2618	. . . . . . 7 ⊢ ((∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ∧ ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌)) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) → 𝑥 ∈ 𝑌))
48	23, 46, 47	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) → 𝑥 ∈ 𝑌))
49	19, 48	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → 𝑥 ∈ 𝑌)
50	49	rexlimdvaa 3135	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → (∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝑥 ∈ 𝑌))
51	18, 50	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑌))
52	51	ssrdv 3949	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → ((cls‘𝐽)‘𝑌) ⊆ 𝑌)
53	3	mopntop 24362	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
54	2, 53	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝐽 ∈ Top)
55	3	mopnuni 24363	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
56	2, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
57	16, 56	sseqtrd 3980	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽)
58		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
59	58	iscld4 22986	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽) → (𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((cls‘𝐽)‘𝑌) ⊆ 𝑌))
60	54, 57, 59	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → (𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((cls‘𝐽)‘𝑌) ⊆ 𝑌))
61	52, 60	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∃*wmo 2531   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  ∪ cuni 4867   × cxp 5629  dom cdm 5631   ↾ cres 5633  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ↾_t crest 17360  ∞Metcxmet 21282  Metcmet 21283  MetOpencmopn 21287  Topctop 22814  TopOnctopon 22831  Clsdccld 22937  clsccl 22939  Hauscha 23229  Filcfil 23766   fLim cflim 23855  CauFilccfil 25186  CMetccmet 25188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123  ax-pre-sup 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-nn 12165  df-2 12227  df-n0 12421  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12886  df-rp 12930  df-xneg 13050  df-xadd 13051  df-xmul 13052  df-ico 13290  df-icc 13291  df-rest 17362  df-topgen 17383  df-psmet 21289  df-xmet 21290  df-met 21291  df-bl 21292  df-mopn 21293  df-fbas 21294  df-fg 21295  df-top 22815  df-topon 22832  df-bases 22867  df-cld 22940  df-ntr 22941  df-cls 22942  df-nei 23019  df-haus 23236  df-fil 23767  df-flim 23860  df-cfil 25189  df-cmet 25191

This theorem is referenced by:  cmetss  25250  cmssmscld  25284