MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metsscmetcld Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem metsscmetcld 24839
Description: A complete subspace of a metric space is closed in the parent space. Formerly part of proof for cmetss 24840. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 9-Oct-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
metsscmetcld.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
metsscmetcld ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½))
Proof of Theorem metsscmetcld
Dummy variables π‘₯ 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metxmet 23847 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
21adantr 481 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 metsscmetcld.j . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
43mopntopon 23952 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
52, 4syl 17 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
6 resss 6006 . . . . . . 7 (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) βŠ† 𝐷
7 dmss 5902 . . . . . . 7 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) βŠ† 𝐷 β†’ dom (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) βŠ† dom 𝐷)
8 dmss 5902 . . . . . . 7 (dom (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) βŠ† dom 𝐷 β†’ dom dom (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) βŠ† dom dom 𝐷)
96, 7, 8mp2b 10 . . . . . 6 dom dom (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) βŠ† dom dom 𝐷
10 cmetmet 24810 . . . . . . . 8 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Metβ€˜π‘Œ))
11 metdmdm 23849 . . . . . . . 8 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Metβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ = dom dom (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ = dom dom (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
13 metdmdm 23849 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = dom dom 𝐷)
14 sseq12 4009 . . . . . . 7 ((π‘Œ = dom dom (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∧ 𝑋 = dom dom 𝐷) β†’ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ↔ dom dom (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) βŠ† dom dom 𝐷))
1512, 13, 14syl2anr 597 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ↔ dom dom (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) βŠ† dom dom 𝐷))
169, 15mpbiri 257 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
17 flimcls 23496 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (Filβ€˜π‘‹)(π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓))))
185, 16, 17syl2anc 584 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (Filβ€˜π‘‹)(π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓))))
19 simprrr 780 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
202adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
213methaus 24036 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Haus)
22 hausflimi 23491 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Haus β†’ βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
2320, 21, 223syl 18 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
2420, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
25 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
26 simprrl 779 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑓)
27 flimrest 23494 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑓) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) fLim (𝑓 β†Ύt π‘Œ)) = ((𝐽 fLim 𝑓) ∩ π‘Œ))
2824, 25, 26, 27syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) fLim (𝑓 β†Ύt π‘Œ)) = ((𝐽 fLim 𝑓) ∩ π‘Œ))
2916adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
30 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
31 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
3230, 3, 31metrest 24040 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
3320, 29, 32syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
3433oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) fLim (𝑓 β†Ύt π‘Œ)) = ((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim (𝑓 β†Ύt π‘Œ)))
3528, 34eqtr3d 2774 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ ((𝐽 fLim 𝑓) ∩ π‘Œ) = ((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim (𝑓 β†Ύt π‘Œ)))
36 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ))
373flimcfil 24838 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) β†’ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜π·))
3820, 19, 37syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜π·))
39 cfilres 24820 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑓) β†’ (𝑓 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝑓 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))))
4020, 25, 26, 39syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ (𝑓 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝑓 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))))
4138, 40mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ (𝑓 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
4231cmetcvg 24809 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ) ∧ (𝑓 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ ((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim (𝑓 β†Ύt π‘Œ)) β‰  βˆ…)
4336, 41, 42syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ ((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim (𝑓 β†Ύt π‘Œ)) β‰  βˆ…)
4435, 43eqnetrd 3008 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ ((𝐽 fLim 𝑓) ∩ π‘Œ) β‰  βˆ…)
45 ndisj 4367 . . . . . . . 8 (((𝐽 fLim 𝑓) ∩ π‘Œ) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ))
4644, 45sylib 217 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ))
47 mopick 2621 . . . . . . 7 ((βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ∧ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ))
4823, 46, 47syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ))
4919, 48mpd 15 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ)
5049rexlimdvaa 3156 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (Filβ€˜π‘‹)(π‘Œ ∈ 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ))
5118, 50sylbid 239 . . 3 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ))
5251ssrdv 3988 . 2 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘Œ) βŠ† π‘Œ)
533mopntop 23953 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
542, 53syl 17 . . 3 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
553mopnuni 23954 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
562, 55syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
5716, 56sseqtrd 4022 . . 3 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘Œ βŠ† βˆͺ 𝐽)
58 eqid 2732 . . . 4 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
5958iscld4 22576 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘Œ) βŠ† π‘Œ))
6054, 57, 59syl2anc 584 . 2 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘Œ) βŠ† π‘Œ))
6152, 60mpbird 256 1 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆƒ*wmo 2532   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  βˆͺ cuni 4908   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   β†Ύt crest 17368  βˆžMetcxmet 20935  Metcmet 20936  MetOpencmopn 20940  Topctop 22402  TopOnctopon 22419  Clsdccld 22527  clsccl 22529  Hauscha 22819  Filcfil 23356   fLim cflim 23445  CauFilccfil 24776  CMetccmet 24778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ico 13332  df-icc 13333  df-rest 17370  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-haus 22826  df-fil 23357  df-flim 23450  df-cfil 24779  df-cmet 24781
This theorem is referenced by:  cmetss  24840  cmssmscld  24874
  Copyright terms: Public domain W3C validator