Theorem metsscmetcld 25485

Description: A complete subspace of a metric space is closed in the parent space. Formerly part of proof for cmetss 25486. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 9-Oct-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
metsscmetcld.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
metsscmetcld	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem metsscmetcld

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metxmet 24502	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2	1	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		metsscmetcld.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4	3	mopntopon 24607	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5	2, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6		resss 5999	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ⊆ 𝐷
7		dmss 5891	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ⊆ 𝐷 → dom (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ⊆ dom 𝐷)
8		dmss 5891	. . . . . . 7 ⊢ (dom (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ⊆ dom 𝐷 → dom dom (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ⊆ dom dom 𝐷)
9	6, 7, 8	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ dom dom (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ⊆ dom dom 𝐷
10		cmetmet 25456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
11		metdmdm 24504	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌) → 𝑌 = dom dom (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
12	10, 11	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) → 𝑌 = dom dom (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
13		metdmdm 24504	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑋 = dom dom 𝐷)
14		sseq12 3963	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 = dom dom (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∧ 𝑋 = dom dom 𝐷) → (𝑌 ⊆ 𝑋 ↔ dom dom (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ⊆ dom dom 𝐷))
15	12, 13, 14	syl2anr 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → (𝑌 ⊆ 𝑋 ↔ dom dom (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ⊆ dom dom 𝐷))
16	9, 15	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
17		flimcls 24153	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑌) ↔ ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))))
18	5, 16, 17	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑌) ↔ ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))))
19		simprrr 793	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
20	2	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
21	3	methaus 24688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
22		hausflimi 24148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
23	20, 21, 22	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
24	20, 4	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
25		simprl 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
26		simprrl 792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → 𝑌 ∈ 𝑓)
27		flimrest 24151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑓) → ((𝐽 ↾t 𝑌) fLim (𝑓 ↾t 𝑌)) = ((𝐽 fLim 𝑓) ∩ 𝑌))
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → ((𝐽 ↾t 𝑌) fLim (𝑓 ↾t 𝑌)) = ((𝐽 fLim 𝑓) ∩ 𝑌))
29	16	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
30		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
31		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
32	30, 3, 31	metrest 24692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
33	20, 29, 32	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → (𝐽 ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
34	33	oveq1d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → ((𝐽 ↾t 𝑌) fLim (𝑓 ↾t 𝑌)) = ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑓 ↾t 𝑌)))
35	28, 34	eqtr3d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → ((𝐽 fLim 𝑓) ∩ 𝑌) = ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑓 ↾t 𝑌)))
36		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
37	3	flimcfil 25484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷))
38	20, 19, 37	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → 𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷))
39		cfilres 25466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑓) → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝑓 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
40	20, 25, 26, 39	syl3anc 1397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝑓 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
41	38, 40	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → (𝑓 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
42	31	cmetcvg 25455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ∧ (𝑓 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑓 ↾t 𝑌)) ≠ ∅)
43	36, 41, 42	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑓 ↾t 𝑌)) ≠ ∅)
44	35, 43	eqnetrd 3024	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → ((𝐽 fLim 𝑓) ∩ 𝑌) ≠ ∅)
45		ndisj 4324	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 fLim 𝑓) ∩ 𝑌) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌))
46	44, 45	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌))
47		mopick 2652	. . . . . . 7 ⊢ ((∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ∧ ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌)) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) → 𝑥 ∈ 𝑌))
48	23, 46, 47	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) → 𝑥 ∈ 𝑌))
49	19, 48	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → 𝑥 ∈ 𝑌)
50	49	rexlimdvaa 3166	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → (∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑌 ∈ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝑥 ∈ 𝑌))
51	18, 50	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑌))
52	51	ssrdv 3942	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → ((cls‘𝐽)‘𝑌) ⊆ 𝑌)
53	3	mopntop 24608	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
54	2, 53	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝐽 ∈ Top)
55	3	mopnuni 24609	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
56	2, 55	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
57	16, 56	sseqtrd 3972	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽)
58		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
59	58	iscld4 23233	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽) → (𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((cls‘𝐽)‘𝑌) ⊆ 𝑌))
60	54, 57, 59	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → (𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((cls‘𝐽)‘𝑌) ⊆ 𝑌))
61	52, 60	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569  ∃wex 1808   ∈ wcel 2142  ∃*wmo 2564   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ∪ cuni 4871   × cxp 5658  dom cdm 5660   ↾ cres 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ↾_t crest 17479  ∞Metcxmet 21518  Metcmet 21519  MetOpencmopn 21523  Topctop 23061  TopOnctopon 23078  Clsdccld 23184  clsccl 23186  Hauscha 23476  Filcfil 24013   fLim cflim 24102  CauFilccfil 25422  CMetccmet 25424

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-ico 13384  df-icc 13385  df-rest 17481  df-topgen 17502  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-fbas 21530  df-fg 21531  df-top 23062  df-topon 23079  df-bases 23114  df-cld 23187  df-ntr 23188  df-cls 23189  df-nei 23266  df-haus 23483  df-fil 24014  df-flim 24107  df-cfil 25425  df-cmet 25427

This theorem is used by:  cmetss  25486  cmssmscld  25520