Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metsscmetcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metsscmetcld 23960
 Description: A complete subspace of a metric space is closed in the parent space. Formerly part of proof for cmetss 23961. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 9-Oct-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
metsscmetcld.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
metsscmetcld ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem metsscmetcld
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metxmet 22982 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
21adantr 484 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3 metsscmetcld.j . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
43mopntopon 23087 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
52, 4syl 17 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6 resss 5847 . . . . . . 7 (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ⊆ 𝐷
7 dmss 5741 . . . . . . 7 ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ⊆ 𝐷 → dom (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ⊆ dom 𝐷)
8 dmss 5741 . . . . . . 7 (dom (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ⊆ dom 𝐷 → dom dom (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ⊆ dom dom 𝐷)
96, 7, 8mp2b 10 . . . . . 6 dom dom (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ⊆ dom dom 𝐷
10 cmetmet 23931 . . . . . . . 8 ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
11 metdmdm 22984 . . . . . . . 8 ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌) → 𝑌 = dom dom (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) → 𝑌 = dom dom (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
13 metdmdm 22984 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑋 = dom dom 𝐷)
14 sseq12 3944 . . . . . . 7 ((𝑌 = dom dom (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∧ 𝑋 = dom dom 𝐷) → (𝑌𝑋 ↔ dom dom (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ⊆ dom dom 𝐷))
1512, 13, 14syl2anr 599 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → (𝑌𝑋 ↔ dom dom (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ⊆ dom dom 𝐷))
169, 15mpbiri 261 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝑌𝑋)
17 flimcls 22631 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑌) ↔ ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑌𝑓𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))))
185, 16, 17syl2anc 587 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑌) ↔ ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑌𝑓𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))))
19 simprrr 781 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌𝑓𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
202adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌𝑓𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
213methaus 23168 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
22 hausflimi 22626 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Haus → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
2320, 21, 223syl 18 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌𝑓𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
2420, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌𝑓𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
25 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌𝑓𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
26 simprrl 780 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌𝑓𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → 𝑌𝑓)
27 flimrest 22629 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝑓) → ((𝐽t 𝑌) fLim (𝑓t 𝑌)) = ((𝐽 fLim 𝑓) ∩ 𝑌))
2824, 25, 26, 27syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌𝑓𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → ((𝐽t 𝑌) fLim (𝑓t 𝑌)) = ((𝐽 fLim 𝑓) ∩ 𝑌))
2916adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌𝑓𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → 𝑌𝑋)
30 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
31 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . 13 (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
3230, 3, 31metrest 23172 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝐽t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
3320, 29, 32syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌𝑓𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → (𝐽t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
3433oveq1d 7160 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌𝑓𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → ((𝐽t 𝑌) fLim (𝑓t 𝑌)) = ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑓t 𝑌)))
3528, 34eqtr3d 2835 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌𝑓𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → ((𝐽 fLim 𝑓) ∩ 𝑌) = ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑓t 𝑌)))
36 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌𝑓𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
373flimcfil 23959 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷))
3820, 19, 37syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌𝑓𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → 𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷))
39 cfilres 23941 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝑓) → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝑓t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
4020, 25, 26, 39syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌𝑓𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝑓t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
4138, 40mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌𝑓𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → (𝑓t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
4231cmetcvg 23930 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ∧ (𝑓t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑓t 𝑌)) ≠ ∅)
4336, 41, 42syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌𝑓𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑓t 𝑌)) ≠ ∅)
4435, 43eqnetrd 3054 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌𝑓𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → ((𝐽 fLim 𝑓) ∩ 𝑌) ≠ ∅)
45 ndisj 4284 . . . . . . . 8 (((𝐽 fLim 𝑓) ∩ 𝑌) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ∧ 𝑥𝑌))
4644, 45sylib 221 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌𝑓𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ∧ 𝑥𝑌))
47 mopick 2687 . . . . . . 7 ((∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ∧ ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ∧ 𝑥𝑌)) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) → 𝑥𝑌))
4823, 46, 47syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌𝑓𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) → 𝑥𝑌))
4919, 48mpd 15 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑌𝑓𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))) → 𝑥𝑌)
5049rexlimdvaa 3245 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → (∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑌𝑓𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝑥𝑌))
5118, 50sylbid 243 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑌) → 𝑥𝑌))
5251ssrdv 3923 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → ((cls‘𝐽)‘𝑌) ⊆ 𝑌)
533mopntop 23088 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
542, 53syl 17 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝐽 ∈ Top)
553mopnuni 23089 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
562, 55syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝑋 = 𝐽)
5716, 56sseqtrd 3957 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝑌 𝐽)
58 eqid 2798 . . . 4 𝐽 = 𝐽
5958iscld4 21711 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 𝐽) → (𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((cls‘𝐽)‘𝑌) ⊆ 𝑌))
6054, 57, 59syl2anc 587 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → (𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((cls‘𝐽)‘𝑌) ⊆ 𝑌))
6152, 60mpbird 260 1 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  ∃*wmo 2596   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4246  ∪ cuni 4804   × cxp 5521  dom cdm 5523   ↾ cres 5525  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145   ↾t crest 16706  ∞Metcxmet 20097  Metcmet 20098  MetOpencmopn 20102  Topctop 21539  TopOnctopon 21556  Clsdccld 21662  clsccl 21664  Hauscha 21954  Filcfil 22491   fLim cflim 22580  CauFilccfil 23897  CMetccmet 23899 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-iin 4888  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-q 12357  df-rp 12398  df-xneg 12515  df-xadd 12516  df-xmul 12517  df-ico 12752  df-icc 12753  df-rest 16708  df-topgen 16729  df-psmet 20104  df-xmet 20105  df-met 20106  df-bl 20107  df-mopn 20108  df-fbas 20109  df-fg 20110  df-top 21540  df-topon 21557  df-bases 21592  df-cld 21665  df-ntr 21666  df-cls 21667  df-nei 21744  df-haus 21961  df-fil 22492  df-flim 22585  df-cfil 23900  df-cmet 23902 This theorem is referenced by:  cmetss  23961  cmssmscld  23995
 Copyright terms: Public domain W3C validator