Theorem cmetcusp 25407

Description: The uniform space generated by a complete metric is a complete uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cmetcusp	⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ CUnifSp)

Proof of Theorem cmetcusp

Dummy variables 𝑥 𝑐 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmetmet 25339	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2		metxmet 24365	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		xmetpsmet 24379	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
5	4	anim2i 616	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)))
6		metuust 24594	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋))
7		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) = (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))
8	7	tususp 24302	. . 3 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ UnifSp)
9	5, 6, 8	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ UnifSp)
10		simpll 766	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)))
11	10	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
12	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
13	12	ad3antlr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
14	7	tusbas 24298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))
15	14	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (Fil‘𝑋) = (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))))
16	15	eleq2d 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (𝑐 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))))
17	5, 6, 16	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))))
18	17	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋))
19	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋))
20	7	tususs 24300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (metUnif‘𝐷) = (UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))
21	20	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) = (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))))
22	5, 6, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) = (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))))
23	22	eleq2d 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))))
24	23	biimpar 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)))
25	24	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)))
26		cfilucfil2 24595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ (𝑐 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
27	5, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ (𝑐 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
28	27	simplbda 499	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))
29	10, 25, 28	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))
30		iscfil 25318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝑐 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
31	30	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑐 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))) → 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷))
32	13, 19, 29, 31	syl12anc 836	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷))
33		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
34	33	cmetcvg 25338	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅)
35	11, 32, 34	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅)
36		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (unifTop‘(metUnif‘𝐷))
37	7, 36	tustopn 24301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))
38	5, 6, 37	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))
39	12	anim2i 616	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)))
40		xmetutop 24602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (MetOpen‘𝐷))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (MetOpen‘𝐷))
42	38, 41	eqtr3d 2782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) = (MetOpen‘𝐷))
43	42	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) = ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐))
44	43	neeq1d 3006	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅ ↔ ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅))
45	44	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅)
46	10, 35, 45	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅)
47	46	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅))
48	47	ralrimiva 3152	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → ∀𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))(𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅))
49		iscusp 24329	. 2 ⊢ ((toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ CUnifSp ↔ ((toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ UnifSp ∧ ∀𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))(𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅)))
50	9, 48, 49	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ CUnifSp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352   × cxp 5698   “ cima 5703  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  ℝ⁺crp 13057  [,)cico 13409  Basecbs 17258  TopOpenctopn 17481  PsMetcpsmet 21371  ∞Metcxmet 21372  Metcmet 21373  fBascfbas 21375  MetOpencmopn 21377  metUnifcmetu 21378  Filcfil 23874   fLim cflim 23963  UnifOncust 24229  unifTopcutop 24260  UnifStcuss 24283  UnifSpcusp 24284  toUnifSpctus 24285  CauFil_uccfilu 24316  CUnifSpccusp 24327  CauFilccfil 25305  CMetccmet 25307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ico 13413  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-tset 17330  df-unif 17334  df-rest 17482  df-topn 17483  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-metu 21386  df-fil 23875  df-ust 24230  df-utop 24261  df-uss 24286  df-usp 24287  df-tus 24288  df-cfilu 24317  df-cusp 24328  df-cfil 25308  df-cmet 25310

This theorem is referenced by: (None)