Theorem cmetcusp 25586

Description: The uniform space generated by a complete metric is a complete uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cmetcusp	⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ CUnifSp)

Proof of Theorem cmetcusp

Dummy variables 𝑥 𝑐 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmetmet 25518	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2		metxmet 24564	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		xmetpsmet 24578	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
4	1, 2, 3	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
5	4	anim2i 629	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)))
6		metuust 24790	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋))
7		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) = (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))
8	7	tususp 24501	. . 3 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ UnifSp)
9	5, 6, 8	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ UnifSp)
10		simpll 779	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)))
11	10	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
12	1, 2	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
13	12	ad3antlr 744	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
14	7	tusbas 24497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))
15	14	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (Fil‘𝑋) = (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))))
16	15	eleq2d 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (𝑐 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))))
17	5, 6, 16	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))))
18	17	biimpar 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋))
19	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋))
20	7	tususs 24499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (metUnif‘𝐷) = (UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))
21	20	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) = (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))))
22	5, 6, 21	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) = (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))))
23	22	eleq2d 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))))
24	23	biimpar 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)))
25	24	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)))
26		cfilucfil2 24791	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ (𝑐 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
27	5, 26	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ (𝑐 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
28	27	simplbda 505	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))
29	10, 25, 28	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))
30		iscfil 25497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝑐 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
31	30	biimpar 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑐 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))) → 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷))
32	13, 19, 29, 31	syl12anc 850	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷))
33		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
34	33	cmetcvg 25517	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅)
35	11, 32, 34	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅)
36		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (unifTop‘(metUnif‘𝐷))
37	7, 36	tustopn 24500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))
38	5, 6, 37	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))
39	12	anim2i 629	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)))
40		xmetutop 24798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (MetOpen‘𝐷))
41	39, 40	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (MetOpen‘𝐷))
42	38, 41	eqtr3d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) = (MetOpen‘𝐷))
43	42	oveq1d 7431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) = ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐))
44	43	neeq1d 3016	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅ ↔ ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅))
45	44	biimpar 483	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅)
46	10, 35, 45	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅)
47	46	ex 418	. . 3 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅))
48	47	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → ∀𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))(𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅))
49		iscusp 24528	. 2 ⊢ ((toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ CUnifSp ↔ ((toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ UnifSp ∧ ∀𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))(𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅)))
50	9, 48, 49	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ CUnifSp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282   × cxp 5657   “ cima 5662  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  0cc0 11127  ℝ⁺crp 13044  [,)cico 13402  Basecbs 17305  TopOpenctopn 17510  PsMetcpsmet 21573  ∞Metcxmet 21574  Metcmet 21575  fBascfbas 21577  MetOpencmopn 21579  metUnifcmetu 21580  Filcfil 24075   fLim cflim 24164  UnifOncust 24430  unifTopcutop 24460  UnifStcuss 24483  UnifSpcusp 24484  toUnifSpctus 24485  CauFil_uccfilu 24515  CUnifSpccusp 24526  CauFilccfil 25484  CMetccmet 25486

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ico 13406  df-fz 13564  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-tset 17365  df-unif 17369  df-rest 17511  df-topn 17512  df-topgen 17532  df-psmet 21581  df-xmet 21582  df-met 21583  df-bl 21584  df-mopn 21585  df-fbas 21586  df-fg 21587  df-metu 21588  df-fil 24076  df-ust 24431  df-utop 24461  df-uss 24486  df-usp 24487  df-tus 24488  df-cfilu 24516  df-cusp 24527  df-cfil 25487  df-cmet 25489

This theorem is used by: (None)