Theorem cmetcusp 25492

Description: The uniform space generated by a complete metric is a complete uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cmetcusp	⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ CUnifSp)

Proof of Theorem cmetcusp

Dummy variables 𝑥 𝑐 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmetmet 25424	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2		metxmet 24470	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		xmetpsmet 24484	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
4	1, 2, 3	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
5	4	anim2i 628	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)))
6		metuust 24696	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋))
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) = (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))
8	7	tususp 24407	. . 3 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ UnifSp)
9	5, 6, 8	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ UnifSp)
10		simpll 778	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)))
11	10	simprd 500	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
12	1, 2	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
13	12	ad3antlr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
14	7	tusbas 24403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))
15	14	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (Fil‘𝑋) = (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))))
16	15	eleq2d 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (𝑐 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))))
17	5, 6, 16	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))))
18	17	biimpar 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋))
19	18	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋))
20	7	tususs 24405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (metUnif‘𝐷) = (UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))
21	20	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) = (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))))
22	5, 6, 21	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) = (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))))
23	22	eleq2d 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))))
24	23	biimpar 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)))
25	24	adantlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)))
26		cfilucfil2 24697	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ (𝑐 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
27	5, 26	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ (𝑐 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
28	27	simplbda 504	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))
29	10, 25, 28	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))
30		iscfil 25403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝑐 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
31	30	biimpar 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑐 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))) → 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷))
32	13, 19, 29, 31	syl12anc 849	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷))
33		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
34	33	cmetcvg 25423	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅)
35	11, 32, 34	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅)
36		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (unifTop‘(metUnif‘𝐷))
37	7, 36	tustopn 24406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))
38	5, 6, 37	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))
39	12	anim2i 628	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)))
40		xmetutop 24704	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (MetOpen‘𝐷))
41	39, 40	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (MetOpen‘𝐷))
42	38, 41	eqtr3d 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) = (MetOpen‘𝐷))
43	42	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) = ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐))
44	43	neeq1d 3015	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅ ↔ ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅))
45	44	biimpar 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅)
46	10, 35, 45	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅)
47	46	ex 417	. . 3 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅))
48	47	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → ∀𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))(𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅))
49		iscusp 24434	. 2 ⊢ ((toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ CUnifSp ↔ ((toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ UnifSp ∧ ∀𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))(𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅)))
50	9, 48, 49	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ CUnifSp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285   × cxp 5659   “ cima 5664  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11099  ℝ⁺crp 13015  [,)cico 13373  Basecbs 17268  TopOpenctopn 17473  PsMetcpsmet 21485  ∞Metcxmet 21486  Metcmet 21487  fBascfbas 21489  MetOpencmopn 21491  metUnifcmetu 21492  Filcfil 23981   fLim cflim 24070  UnifOncust 24336  unifTopcutop 24366  UnifStcuss 24389  UnifSpcusp 24390  toUnifSpctus 24391  CauFil_uccfilu 24421  CUnifSpccusp 24432  CauFilccfil 25390  CMetccmet 25392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ico 13377  df-fz 13535  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-tset 17328  df-unif 17332  df-rest 17474  df-topn 17475  df-topgen 17495  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-met 21495  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-fbas 21498  df-fg 21499  df-metu 21500  df-fil 23982  df-ust 24337  df-utop 24367  df-uss 24392  df-usp 24393  df-tus 24394  df-cfilu 24422  df-cusp 24433  df-cfil 25393  df-cmet 25395

This theorem is referenced by: (None)