Theorem cmetcusp 24718

Description: The uniform space generated by a complete metric is a complete uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cmetcusp	⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ CUnifSp)

Proof of Theorem cmetcusp

Dummy variables 𝑥 𝑐 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmetmet 24650	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2		metxmet 23687	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		xmetpsmet 23701	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
5	4	anim2i 617	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)))
6		metuust 23916	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋))
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) = (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))
8	7	tususp 23624	. . 3 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ UnifSp)
9	5, 6, 8	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ UnifSp)
10		simpll 765	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)))
11	10	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
12	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
13	12	ad3antlr 729	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
14	7	tusbas 23620	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))
15	14	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (Fil‘𝑋) = (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))))
16	15	eleq2d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (𝑐 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))))
17	5, 6, 16	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))))
18	17	biimpar 478	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋))
19	18	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋))
20	7	tususs 23622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (metUnif‘𝐷) = (UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))
21	20	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) = (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))))
22	5, 6, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) = (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))))
23	22	eleq2d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))))
24	23	biimpar 478	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)))
25	24	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)))
26		cfilucfil2 23917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ (𝑐 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
27	5, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ (𝑐 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
28	27	simplbda 500	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))
29	10, 25, 28	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))
30		iscfil 24629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝑐 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
31	30	biimpar 478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑐 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))) → 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷))
32	13, 19, 29, 31	syl12anc 835	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷))
33		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
34	33	cmetcvg 24649	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅)
35	11, 32, 34	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅)
36		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (unifTop‘(metUnif‘𝐷))
37	7, 36	tustopn 23623	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))
38	5, 6, 37	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))
39	12	anim2i 617	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)))
40		xmetutop 23924	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (MetOpen‘𝐷))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (MetOpen‘𝐷))
42	38, 41	eqtr3d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) = (MetOpen‘𝐷))
43	42	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) = ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐))
44	43	neeq1d 3003	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅ ↔ ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅))
45	44	biimpar 478	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅)
46	10, 35, 45	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅)
47	46	ex 413	. . 3 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅))
48	47	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → ∀𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))(𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅))
49		iscusp 23651	. 2 ⊢ ((toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ CUnifSp ↔ ((toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ UnifSp ∧ ∀𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))(𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅)))
50	9, 48, 49	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ CUnifSp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282   × cxp 5631   “ cima 5636  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  ℝ⁺crp 12915  [,)cico 13266  Basecbs 17083  TopOpenctopn 17303  PsMetcpsmet 20780  ∞Metcxmet 20781  Metcmet 20782  fBascfbas 20784  MetOpencmopn 20786  metUnifcmetu 20787  Filcfil 23196   fLim cflim 23285  UnifOncust 23551  unifTopcutop 23582  UnifStcuss 23605  UnifSpcusp 23606  toUnifSpctus 23607  CauFil_uccfilu 23638  CUnifSpccusp 23649  CauFilccfil 24616  CMetccmet 24618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-tset 17152  df-unif 17156  df-rest 17304  df-topn 17305  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-metu 20795  df-fil 23197  df-ust 23552  df-utop 23583  df-uss 23608  df-usp 23609  df-tus 23610  df-cfilu 23639  df-cusp 23650  df-cfil 24619  df-cmet 24621

This theorem is referenced by: (None)