Theorem cmetcusp 25676

Description: The uniform space generated by a complete metric is a complete uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cmetcusp	⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ CUnifSp)

Proof of Theorem cmetcusp

Dummy variables 𝑥 𝑐 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmetmet 25608	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2		metxmet 24654	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		xmetpsmet 24668	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
4	1, 2, 3	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
5	4	anim2i 629	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)))
6		metuust 24880	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋))
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) = (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))
8	7	tususp 24591	. . 3 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ UnifSp)
9	5, 6, 8	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ UnifSp)
10		simpll 779	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)))
11	10	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
12	1, 2	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
13	12	ad3antlr 744	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
14	7	tusbas 24587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))
15	14	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (Fil‘𝑋) = (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))))
16	15	eleq2d 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (𝑐 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))))
17	5, 6, 16	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))))
18	17	biimpar 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋))
19	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋))
20	7	tususs 24589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (metUnif‘𝐷) = (UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))
21	20	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) = (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))))
22	5, 6, 21	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) = (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))))
23	22	eleq2d 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))))
24	23	biimpar 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)))
25	24	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)))
26		cfilucfil2 24881	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ (𝑐 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
27	5, 26	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ (𝑐 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
28	27	simplbda 505	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))
29	10, 25, 28	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))
30		iscfil 25587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝑐 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
31	30	biimpar 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑐 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑐 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))) → 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷))
32	13, 19, 29, 31	syl12anc 850	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷))
33		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
34	33	cmetcvg 25607	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅)
35	11, 32, 34	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅)
36		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (unifTop‘(metUnif‘𝐷))
37	7, 36	tustopn 24590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))
38	5, 6, 37	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))
39	12	anim2i 629	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)))
40		xmetutop 24888	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (MetOpen‘𝐷))
41	39, 40	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (MetOpen‘𝐷))
42	38, 41	eqtr3d 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) = (MetOpen‘𝐷))
43	42	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) = ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐))
44	43	neeq1d 3014	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅ ↔ ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅))
45	44	biimpar 483	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅)
46	10, 35, 45	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) ∧ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅)
47	46	ex 418	. . 3 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅))
48	47	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → ∀𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))(𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅))
49		iscusp 24618	. 2 ⊢ ((toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ CUnifSp ↔ ((toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ UnifSp ∧ ∀𝑐 ∈ (Fil‘(Base‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))))(𝑐 ∈ (CauFilu‘(UnifSt‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)))) → ((TopOpen‘(toUnifSp‘(metUnif‘𝐷))) fLim 𝑐) ≠ ∅)))
50	9, 48, 49	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)) → (toUnifSp‘(metUnif‘𝐷)) ∈ CUnifSp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278   × cxp 5648   “ cima 5653  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11201  ℝ⁺crp 13121  [,)cico 13479  Basecbs 17388  TopOpenctopn 17593  PsMetcpsmet 21663  ∞Metcxmet 21664  Metcmet 21665  fBascfbas 21667  MetOpencmopn 21669  metUnifcmetu 21670  Filcfil 24165   fLim cflim 24254  UnifOncust 24520  unifTopcutop 24550  UnifStcuss 24573  UnifSpcusp 24574  toUnifSpctus 24575  CauFil_uccfilu 24605  CUnifSpccusp 24616  CauFilccfil 25574  CMetccmet 25576

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-map 8850  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-inf 9436  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-q 13077  df-rp 13122  df-xneg 13242  df-xadd 13243  df-xmul 13244  df-ico 13483  df-fz 13641  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-tset 17448  df-unif 17452  df-rest 17594  df-topn 17595  df-topgen 17615  df-psmet 21671  df-xmet 21672  df-met 21673  df-bl 21674  df-mopn 21675  df-fbas 21676  df-fg 21677  df-metu 21678  df-fil 24166  df-ust 24521  df-utop 24551  df-uss 24576  df-usp 24577  df-tus 24578  df-cfilu 24606  df-cusp 24617  df-cfil 25577  df-cmet 25579

This theorem is used by: (None)