Theorem cmetss 25232

Description: A subspace of a complete metric space is complete iff it is closed in the parent space. Theorem 1.4-7 of [Kreyszig] p. 30. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Oct-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
metsscmetcld.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cmetss	⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Proof of Theorem cmetss

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmetmet 25202	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2		metsscmetcld.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
3	2	metsscmetcld 25231	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽))
4	1, 3	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽))
5	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
6		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
7	6	cldss 22932	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽)
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽)
9		metxmet 24238	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
10	2	mopnuni 24345	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
11	5, 9, 10	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
12	8, 11	sseqtrrd 3975	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
13		metres2 24267	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
14	5, 12, 13	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
15	1, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17	12	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
18		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
19		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
20	18, 2, 19	metrest 24428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
21	16, 17, 20	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝐽 ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
22	21	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (𝐽 ↾t 𝑌))
23		metxmet 24238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
24	14, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
25		cfilfil 25183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌))
26	24, 25	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌))
27		elfvdm 6861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom CMet)
28	27	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑋 ∈ dom CMet)
29		trfg 23794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ dom CMet) → ((𝑋filGen𝑓) ↾t 𝑌) = 𝑓)
30	26, 17, 28, 29	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((𝑋filGen𝑓) ↾t 𝑌) = 𝑓)
31	30	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 = ((𝑋filGen𝑓) ↾t 𝑌))
32	22, 31	oveq12d 7371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim 𝑓) = ((𝐽 ↾t 𝑌) fLim ((𝑋filGen𝑓) ↾t 𝑌)))
33	2	mopntopon 24343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
34	16, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
35		filfbas 23751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑌))
36	26, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑌))
37		filsspw 23754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑌)
38	26, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑌)
39	17	sspwd 4566	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
40	38, 39	sstrd 3948	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑋)
41		fbasweak 23768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ dom CMet) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
42	36, 40, 28, 41	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
43		fgcl 23781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝑓) ∈ (Fil‘𝑋))
44	42, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen𝑓) ∈ (Fil‘𝑋))
45		ssfg 23775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝑓 ⊆ (𝑋filGen𝑓))
46	42, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 ⊆ (𝑋filGen𝑓))
47		filtop 23758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑓)
48	26, 47	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑌 ∈ 𝑓)
49	46, 48	sseldd 3938	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑌 ∈ (𝑋filGen𝑓))
50		flimrest 23886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋filGen𝑓)) → ((𝐽 ↾t 𝑌) fLim ((𝑋filGen𝑓) ↾t 𝑌)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ∩ 𝑌))
51	34, 44, 49, 50	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((𝐽 ↾t 𝑌) fLim ((𝑋filGen𝑓) ↾t 𝑌)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ∩ 𝑌))
52		flimclsi 23881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑋filGen𝑓) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑌))
53	49, 52	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑌))
54		cldcls 22945	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑌) = 𝑌)
55	54	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((cls‘𝐽)‘𝑌) = 𝑌)
56	53, 55	sseqtrd 3974	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ⊆ 𝑌)
57		dfss2 3923	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ⊆ 𝑌 ↔ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ∩ 𝑌) = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)))
58	56, 57	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ∩ 𝑌) = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)))
59	32, 51, 58	3eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim 𝑓) = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)))
60		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
61	5, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
62		cfilresi 25211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen𝑓) ∈ (CauFil‘𝐷))
63	61, 62	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen𝑓) ∈ (CauFil‘𝐷))
64	2	cmetcvg 25201	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ≠ ∅)
65	60, 63, 64	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ≠ ∅)
66	59, 65	eqnetrd 2992	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim 𝑓) ≠ ∅)
67	66	ralrimiva 3121	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∀𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim 𝑓) ≠ ∅)
68	19	iscmet 25200	. . 3 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌) ∧ ∀𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim 𝑓) ≠ ∅))
69	14, 67, 68	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
70	4, 69	impbida 800	1 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4553  ∪ cuni 4861   × cxp 5621  dom cdm 5623   ↾ cres 5625  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ↾_t crest 17342  ∞Metcxmet 21264  Metcmet 21265  fBascfbas 21267  filGencfg 21268  MetOpencmopn 21269  TopOnctopon 22813  Clsdccld 22919  clsccl 22921  Filcfil 23748   fLim cflim 23837  CauFilccfil 25168  CMetccmet 25170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ico 13272  df-icc 13273  df-rest 17344  df-topgen 17365  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-top 22797  df-topon 22814  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-haus 23218  df-fil 23749  df-flim 23842  df-cfil 25171  df-cmet 25173

This theorem is referenced by:  recmet  25239  cmsss  25267  cmscsscms  25289  bnsscmcl  30830  rrnheibor  37816