MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmetss Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cmetss 25264
Description: A subspace of a complete metric space is complete iff it is closed in the parent space. Theorem 1.4-7 of [Kreyszig] p. 30. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Oct-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
metsscmetcld.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
cmetss (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ) ↔ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)))
Proof of Theorem cmetss
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetmet 25234 . . 3 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
2 metsscmetcld.j . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
32metsscmetcld 25263 . . 3 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½))
41, 3sylan 578 . 2 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½))
51adantr 479 . . . 4 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
6 eqid 2728 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
76cldss 22953 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ π‘Œ βŠ† βˆͺ 𝐽)
87adantl 480 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘Œ βŠ† βˆͺ 𝐽)
9 metxmet 24260 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
102mopnuni 24367 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
115, 9, 103syl 18 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
128, 11sseqtrrd 4023 . . . 4 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
13 metres2 24289 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Metβ€˜π‘Œ))
145, 12, 13syl2anc 582 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Metβ€˜π‘Œ))
151, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
1615ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
1712adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
18 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
19 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
2018, 2, 19metrest 24453 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
2116, 17, 20syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
2221eqcomd 2734 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
23 metxmet 24260 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Metβ€˜π‘Œ) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
2414, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
25 cfilfil 25215 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
2624, 25sylan 578 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
27 elfvdm 6939 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom CMet)
2827ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑋 ∈ dom CMet)
29 trfg 23815 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ dom CMet) β†’ ((𝑋filGen𝑓) β†Ύt π‘Œ) = 𝑓)
3026, 17, 28, 29syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ ((𝑋filGen𝑓) β†Ύt π‘Œ) = 𝑓)
3130eqcomd 2734 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑓 = ((𝑋filGen𝑓) β†Ύt π‘Œ))
3222, 31oveq12d 7444 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ ((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim 𝑓) = ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) fLim ((𝑋filGen𝑓) β†Ύt π‘Œ)))
332mopntopon 24365 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3416, 33syl 17 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
35 filfbas 23772 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) β†’ 𝑓 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
3626, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑓 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
37 filsspw 23775 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) β†’ 𝑓 βŠ† 𝒫 π‘Œ)
3826, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑓 βŠ† 𝒫 π‘Œ)
3917sspwd 4619 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝒫 π‘Œ βŠ† 𝒫 𝑋)
4038, 39sstrd 3992 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑓 βŠ† 𝒫 𝑋)
41 fbasweak 23789 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑓 βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ dom CMet) β†’ 𝑓 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
4236, 40, 28, 41syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑓 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
43 fgcl 23802 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋filGen𝑓) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
4442, 43syl 17 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝑋filGen𝑓) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
45 ssfg 23796 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ 𝑓 βŠ† (𝑋filGen𝑓))
4642, 45syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑓 βŠ† (𝑋filGen𝑓))
47 filtop 23779 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝑓)
4826, 47syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑓)
4946, 48sseldd 3983 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋filGen𝑓))
50 flimrest 23907 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋filGen𝑓) ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (𝑋filGen𝑓)) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) fLim ((𝑋filGen𝑓) β†Ύt π‘Œ)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ∩ π‘Œ))
5134, 44, 49, 50syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) fLim ((𝑋filGen𝑓) β†Ύt π‘Œ)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ∩ π‘Œ))
52 flimclsi 23902 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ (𝑋filGen𝑓) β†’ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘Œ))
5349, 52syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘Œ))
54 cldcls 22966 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘Œ) = π‘Œ)
5554ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘Œ) = π‘Œ)
5653, 55sseqtrd 4022 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) βŠ† π‘Œ)
57 df-ss 3966 . . . . . . 7 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) βŠ† π‘Œ ↔ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ∩ π‘Œ) = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)))
5856, 57sylib 217 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ∩ π‘Œ) = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)))
5932, 51, 583eqtrd 2772 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ ((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim 𝑓) = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)))
60 simpll 765 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
615, 9syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
62 cfilresi 25243 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝑋filGen𝑓) ∈ (CauFilβ€˜π·))
6361, 62sylan 578 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝑋filGen𝑓) ∈ (CauFilβ€˜π·))
642cmetcvg 25233 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋filGen𝑓) ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) β‰  βˆ…)
6560, 63, 64syl2anc 582 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) β‰  βˆ…)
6659, 65eqnetrd 3005 . . . 4 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ ((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim 𝑓) β‰  βˆ…)
6766ralrimiva 3143 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim 𝑓) β‰  βˆ…)
6819iscmet 25232 . . 3 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Metβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim 𝑓) β‰  βˆ…))
6914, 67, 68sylanbrc 581 . 2 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ))
704, 69impbida 799 1 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ) ↔ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326  π’« cpw 4606  βˆͺ cuni 4912   Γ— cxp 5680  dom cdm 5682   β†Ύ cres 5684  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   β†Ύt crest 17409  βˆžMetcxmet 21271  Metcmet 21272  fBascfbas 21274  filGencfg 21275  MetOpencmopn 21276  TopOnctopon 22832  Clsdccld 22940  clsccl 22942  Filcfil 23769   fLim cflim 23858  CauFilccfil 25200  CMetccmet 25202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ico 13370  df-icc 13371  df-rest 17411  df-topgen 17432  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-top 22816  df-topon 22833  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-haus 23239  df-fil 23770  df-flim 23863  df-cfil 25203  df-cmet 25205
This theorem is referenced by:  recmet  25271  cmsss  25299  cmscsscms  25321  bnsscmcl  30698  rrnheibor  37343
  Copyright terms: Public domain W3C validator