Theorem cmetss 25216

Description: A subspace of a complete metric space is complete iff it is closed in the parent space. Theorem 1.4-7 of [Kreyszig] p. 30. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Oct-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
metsscmetcld.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cmetss	⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Proof of Theorem cmetss

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmetmet 25186	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2		metsscmetcld.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
3	2	metsscmetcld 25215	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽))
4	1, 3	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽))
5	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
6		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
7	6	cldss 22916	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽)
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽)
9		metxmet 24222	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
10	2	mopnuni 24329	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
11	5, 9, 10	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
12	8, 11	sseqtrrd 3984	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
13		metres2 24251	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
14	5, 12, 13	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
15	1, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17	12	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
18		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
19		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
20	18, 2, 19	metrest 24412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
21	16, 17, 20	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝐽 ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
22	21	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (𝐽 ↾t 𝑌))
23		metxmet 24222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
24	14, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
25		cfilfil 25167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌))
26	24, 25	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌))
27		elfvdm 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom CMet)
28	27	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑋 ∈ dom CMet)
29		trfg 23778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ dom CMet) → ((𝑋filGen𝑓) ↾t 𝑌) = 𝑓)
30	26, 17, 28, 29	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((𝑋filGen𝑓) ↾t 𝑌) = 𝑓)
31	30	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 = ((𝑋filGen𝑓) ↾t 𝑌))
32	22, 31	oveq12d 7405	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim 𝑓) = ((𝐽 ↾t 𝑌) fLim ((𝑋filGen𝑓) ↾t 𝑌)))
33	2	mopntopon 24327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
34	16, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
35		filfbas 23735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑌))
36	26, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑌))
37		filsspw 23738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑌)
38	26, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑌)
39	17	sspwd 4576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
40	38, 39	sstrd 3957	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑋)
41		fbasweak 23752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ dom CMet) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
42	36, 40, 28, 41	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
43		fgcl 23765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝑓) ∈ (Fil‘𝑋))
44	42, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen𝑓) ∈ (Fil‘𝑋))
45		ssfg 23759	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝑓 ⊆ (𝑋filGen𝑓))
46	42, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 ⊆ (𝑋filGen𝑓))
47		filtop 23742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑓)
48	26, 47	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑌 ∈ 𝑓)
49	46, 48	sseldd 3947	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑌 ∈ (𝑋filGen𝑓))
50		flimrest 23870	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋filGen𝑓)) → ((𝐽 ↾t 𝑌) fLim ((𝑋filGen𝑓) ↾t 𝑌)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ∩ 𝑌))
51	34, 44, 49, 50	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((𝐽 ↾t 𝑌) fLim ((𝑋filGen𝑓) ↾t 𝑌)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ∩ 𝑌))
52		flimclsi 23865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑋filGen𝑓) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑌))
53	49, 52	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑌))
54		cldcls 22929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑌) = 𝑌)
55	54	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((cls‘𝐽)‘𝑌) = 𝑌)
56	53, 55	sseqtrd 3983	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ⊆ 𝑌)
57		dfss2 3932	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ⊆ 𝑌 ↔ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ∩ 𝑌) = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)))
58	56, 57	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ∩ 𝑌) = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)))
59	32, 51, 58	3eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim 𝑓) = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)))
60		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
61	5, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
62		cfilresi 25195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen𝑓) ∈ (CauFil‘𝐷))
63	61, 62	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen𝑓) ∈ (CauFil‘𝐷))
64	2	cmetcvg 25185	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ≠ ∅)
65	60, 63, 64	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ≠ ∅)
66	59, 65	eqnetrd 2992	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim 𝑓) ≠ ∅)
67	66	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∀𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim 𝑓) ≠ ∅)
68	19	iscmet 25184	. . 3 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌) ∧ ∀𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim 𝑓) ≠ ∅))
69	14, 67, 68	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
70	4, 69	impbida 800	1 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563  ∪ cuni 4871   × cxp 5636  dom cdm 5638   ↾ cres 5640  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↾_t crest 17383  ∞Metcxmet 21249  Metcmet 21250  fBascfbas 21252  filGencfg 21253  MetOpencmopn 21254  TopOnctopon 22797  Clsdccld 22903  clsccl 22905  Filcfil 23732   fLim cflim 23821  CauFilccfil 25152  CMetccmet 25154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ico 13312  df-icc 13313  df-rest 17385  df-topgen 17406  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-top 22781  df-topon 22798  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-haus 23202  df-fil 23733  df-flim 23826  df-cfil 25155  df-cmet 25157

This theorem is referenced by:  recmet  25223  cmsss  25251  cmscsscms  25273  bnsscmcl  30797  rrnheibor  37831