MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmetss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmetss 23634
Description: A subspace of a complete metric space is complete iff it is closed in the parent space. Theorem 1.4-7 of [Kreyszig] p. 30. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Oct-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
metsscmetcld.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
cmetss (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Proof of Theorem cmetss
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetmet 23604 . . 3 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2 metsscmetcld.j . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
32metsscmetcld 23633 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽))
41, 3sylan 572 . 2 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽))
51adantr 473 . . . 4 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
6 eqid 2772 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
76cldss 21353 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑌 𝐽)
87adantl 474 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑌 𝐽)
9 metxmet 22659 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
102mopnuni 22766 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
115, 9, 103syl 18 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑋 = 𝐽)
128, 11sseqtr4d 3892 . . . 4 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑌𝑋)
13 metres2 22688 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
145, 12, 13syl2anc 576 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
151, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1615ad2antrr 713 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1712adantr 473 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑌𝑋)
18 eqid 2772 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
19 eqid 2772 . . . . . . . . . 10 (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
2018, 2, 19metrest 22849 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝐽t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
2116, 17, 20syl2anc 576 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝐽t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
2221eqcomd 2778 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (𝐽t 𝑌))
23 metxmet 22659 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
2414, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
25 cfilfil 23585 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌))
2624, 25sylan 572 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌))
27 elfvdm 6528 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom CMet)
2827ad2antrr 713 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑋 ∈ dom CMet)
29 trfg 22215 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋𝑋 ∈ dom CMet) → ((𝑋filGen𝑓) ↾t 𝑌) = 𝑓)
3026, 17, 28, 29syl3anc 1351 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((𝑋filGen𝑓) ↾t 𝑌) = 𝑓)
3130eqcomd 2778 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 = ((𝑋filGen𝑓) ↾t 𝑌))
3222, 31oveq12d 6992 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim 𝑓) = ((𝐽t 𝑌) fLim ((𝑋filGen𝑓) ↾t 𝑌)))
332mopntopon 22764 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3416, 33syl 17 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
35 filfbas 22172 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑌))
3626, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑌))
37 filsspw 22175 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑌)
3826, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑌)
39 sspwb 5194 . . . . . . . . . . 11 (𝑌𝑋 ↔ 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
4017, 39sylib 210 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
4138, 40sstrd 3862 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑋)
42 fbasweak 22189 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋 ∈ dom CMet) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
4336, 41, 28, 42syl3anc 1351 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
44 fgcl 22202 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝑓) ∈ (Fil‘𝑋))
4543, 44syl 17 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen𝑓) ∈ (Fil‘𝑋))
46 ssfg 22196 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝑓 ⊆ (𝑋filGen𝑓))
4743, 46syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 ⊆ (𝑋filGen𝑓))
48 filtop 22179 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑌𝑓)
4926, 48syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑌𝑓)
5047, 49sseldd 3853 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑌 ∈ (𝑋filGen𝑓))
51 flimrest 22307 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋filGen𝑓)) → ((𝐽t 𝑌) fLim ((𝑋filGen𝑓) ↾t 𝑌)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ∩ 𝑌))
5234, 45, 50, 51syl3anc 1351 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((𝐽t 𝑌) fLim ((𝑋filGen𝑓) ↾t 𝑌)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ∩ 𝑌))
53 flimclsi 22302 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ (𝑋filGen𝑓) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑌))
5450, 53syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑌))
55 cldcls 21366 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑌) = 𝑌)
5655ad2antlr 714 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((cls‘𝐽)‘𝑌) = 𝑌)
5754, 56sseqtrd 3891 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ⊆ 𝑌)
58 df-ss 3837 . . . . . . 7 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ⊆ 𝑌 ↔ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ∩ 𝑌) = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)))
5957, 58sylib 210 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ∩ 𝑌) = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)))
6032, 52, 593eqtrd 2812 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim 𝑓) = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)))
61 simpll 754 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
625, 9syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
63 cfilresi 23613 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen𝑓) ∈ (CauFil‘𝐷))
6462, 63sylan 572 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen𝑓) ∈ (CauFil‘𝐷))
652cmetcvg 23603 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ≠ ∅)
6661, 64, 65syl2anc 576 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ≠ ∅)
6760, 66eqnetrd 3028 . . . 4 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim 𝑓) ≠ ∅)
6867ralrimiva 3126 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∀𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim 𝑓) ≠ ∅)
6919iscmet 23602 . . 3 ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌) ∧ ∀𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim 𝑓) ≠ ∅))
7014, 68, 69sylanbrc 575 . 2 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
714, 70impbida 788 1 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2961  wral 3082  cin 3822  wss 3823  c0 4172  𝒫 cpw 4416   cuni 4708   × cxp 5401  dom cdm 5403  cres 5405  cfv 6185  (class class class)co 6974  t crest 16548  ∞Metcxmet 20244  Metcmet 20245  fBascfbas 20247  filGencfg 20248  MetOpencmopn 20249  TopOnctopon 21234  Clsdccld 21340  clsccl 21342  Filcfil 22169   fLim cflim 22258  CauFilccfil 23570  CMetccmet 23572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-fi 8668  df-sup 8699  df-inf 8700  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-q 12161  df-rp 12203  df-xneg 12322  df-xadd 12323  df-xmul 12324  df-ico 12558  df-icc 12559  df-rest 16550  df-topgen 16571  df-psmet 20251  df-xmet 20252  df-met 20253  df-bl 20254  df-mopn 20255  df-fbas 20256  df-fg 20257  df-top 21218  df-topon 21235  df-bases 21270  df-cld 21343  df-ntr 21344  df-cls 21345  df-nei 21422  df-haus 21639  df-fil 22170  df-flim 22263  df-cfil 23573  df-cmet 23575
This theorem is referenced by:  recmet  23641  cmsss  23669  cmscsscms  23691  bnsscmcl  28435  rrnheibor  34586
  Copyright terms: Public domain W3C validator