MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmetss Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cmetss 25195
Description: A subspace of a complete metric space is complete iff it is closed in the parent space. Theorem 1.4-7 of [Kreyszig] p. 30. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Oct-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
metsscmetcld.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
cmetss (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ) ↔ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)))
Proof of Theorem cmetss
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetmet 25165 . . 3 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
2 metsscmetcld.j . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
32metsscmetcld 25194 . . 3 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½))
41, 3sylan 579 . 2 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½))
51adantr 480 . . . 4 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
6 eqid 2726 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
76cldss 22884 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ π‘Œ βŠ† βˆͺ 𝐽)
87adantl 481 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘Œ βŠ† βˆͺ 𝐽)
9 metxmet 24191 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
102mopnuni 24298 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
115, 9, 103syl 18 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
128, 11sseqtrrd 4018 . . . 4 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
13 metres2 24220 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Metβ€˜π‘Œ))
145, 12, 13syl2anc 583 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Metβ€˜π‘Œ))
151, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
1615ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
1712adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
18 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
19 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
2018, 2, 19metrest 24384 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
2116, 17, 20syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
2221eqcomd 2732 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
23 metxmet 24191 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Metβ€˜π‘Œ) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
2414, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
25 cfilfil 25146 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
2624, 25sylan 579 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
27 elfvdm 6921 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom CMet)
2827ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑋 ∈ dom CMet)
29 trfg 23746 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ dom CMet) β†’ ((𝑋filGen𝑓) β†Ύt π‘Œ) = 𝑓)
3026, 17, 28, 29syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ ((𝑋filGen𝑓) β†Ύt π‘Œ) = 𝑓)
3130eqcomd 2732 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑓 = ((𝑋filGen𝑓) β†Ύt π‘Œ))
3222, 31oveq12d 7422 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ ((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim 𝑓) = ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) fLim ((𝑋filGen𝑓) β†Ύt π‘Œ)))
332mopntopon 24296 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3416, 33syl 17 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
35 filfbas 23703 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) β†’ 𝑓 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
3626, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑓 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
37 filsspw 23706 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) β†’ 𝑓 βŠ† 𝒫 π‘Œ)
3826, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑓 βŠ† 𝒫 π‘Œ)
3917sspwd 4610 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝒫 π‘Œ βŠ† 𝒫 𝑋)
4038, 39sstrd 3987 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑓 βŠ† 𝒫 𝑋)
41 fbasweak 23720 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑓 βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ dom CMet) β†’ 𝑓 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
4236, 40, 28, 41syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑓 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
43 fgcl 23733 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋filGen𝑓) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
4442, 43syl 17 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝑋filGen𝑓) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
45 ssfg 23727 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ 𝑓 βŠ† (𝑋filGen𝑓))
4642, 45syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑓 βŠ† (𝑋filGen𝑓))
47 filtop 23710 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝑓)
4826, 47syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑓)
4946, 48sseldd 3978 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋filGen𝑓))
50 flimrest 23838 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋filGen𝑓) ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (𝑋filGen𝑓)) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) fLim ((𝑋filGen𝑓) β†Ύt π‘Œ)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ∩ π‘Œ))
5134, 44, 49, 50syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) fLim ((𝑋filGen𝑓) β†Ύt π‘Œ)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ∩ π‘Œ))
52 flimclsi 23833 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ (𝑋filGen𝑓) β†’ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘Œ))
5349, 52syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘Œ))
54 cldcls 22897 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘Œ) = π‘Œ)
5554ad2antlr 724 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘Œ) = π‘Œ)
5653, 55sseqtrd 4017 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) βŠ† π‘Œ)
57 df-ss 3960 . . . . . . 7 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) βŠ† π‘Œ ↔ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ∩ π‘Œ) = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)))
5856, 57sylib 217 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ∩ π‘Œ) = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)))
5932, 51, 583eqtrd 2770 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ ((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim 𝑓) = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)))
60 simpll 764 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
615, 9syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
62 cfilresi 25174 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝑋filGen𝑓) ∈ (CauFilβ€˜π·))
6361, 62sylan 579 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝑋filGen𝑓) ∈ (CauFilβ€˜π·))
642cmetcvg 25164 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋filGen𝑓) ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) β‰  βˆ…)
6560, 63, 64syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) β‰  βˆ…)
6659, 65eqnetrd 3002 . . . 4 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ ((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim 𝑓) β‰  βˆ…)
6766ralrimiva 3140 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim 𝑓) β‰  βˆ…)
6819iscmet 25163 . . 3 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Metβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim 𝑓) β‰  βˆ…))
6914, 67, 68sylanbrc 582 . 2 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ))
704, 69impbida 798 1 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ) ↔ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  π’« cpw 4597  βˆͺ cuni 4902   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669   β†Ύ cres 5671  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   β†Ύt crest 17373  βˆžMetcxmet 21221  Metcmet 21222  fBascfbas 21224  filGencfg 21225  MetOpencmopn 21226  TopOnctopon 22763  Clsdccld 22871  clsccl 22873  Filcfil 23700   fLim cflim 23789  CauFilccfil 25131  CMetccmet 25133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ico 13333  df-icc 13334  df-rest 17375  df-topgen 17396  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-fbas 21233  df-fg 21234  df-top 22747  df-topon 22764  df-bases 22800  df-cld 22874  df-ntr 22875  df-cls 22876  df-nei 22953  df-haus 23170  df-fil 23701  df-flim 23794  df-cfil 25134  df-cmet 25136
This theorem is referenced by:  recmet  25202  cmsss  25230  cmscsscms  25252  bnsscmcl  30626  rrnheibor  37216
  Copyright terms: Public domain W3C validator