Theorem cmetss 25512

Description: A subspace of a complete metric space is complete iff it is closed in the parent space. Theorem 1.4-7 of [Kreyszig] p. 30. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Oct-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
metsscmetcld.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cmetss	⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Proof of Theorem cmetss

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmetmet 25482	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2		metsscmetcld.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
3	2	metsscmetcld 25511	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽))
4	1, 3	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)) → 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽))
5	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
6		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
7	6	cldss 23223	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽)
8	7	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽)
9		metxmet 24528	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
10	2	mopnuni 24635	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
11	5, 9, 10	3syl 19	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
12	8, 11	sseqtrrd 3977	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
13		metres2 24557	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
14	5, 12, 13	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
15	1, 9	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
16	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17	12	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
18		eqid 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
19		eqid 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
20	18, 2, 19	metrest 24718	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
21	16, 17, 20	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝐽 ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
22	21	eqcomd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (𝐽 ↾t 𝑌))
23		metxmet 24528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
24	14, 23	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
25		cfilfil 25463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌))
26	24, 25	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑌))
27		elfvdm 6922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom CMet)
28	27	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑋 ∈ dom CMet)
29		trfg 24085	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ dom CMet) → ((𝑋filGen𝑓) ↾t 𝑌) = 𝑓)
30	26, 17, 28, 29	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((𝑋filGen𝑓) ↾t 𝑌) = 𝑓)
31	30	eqcomd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 = ((𝑋filGen𝑓) ↾t 𝑌))
32	22, 31	oveq12d 7441	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim 𝑓) = ((𝐽 ↾t 𝑌) fLim ((𝑋filGen𝑓) ↾t 𝑌)))
33	2	mopntopon 24633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
34	16, 33	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
35		filfbas 24042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑌))
36	26, 35	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑌))
37		filsspw 24045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑌)
38	26, 37	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑌)
39	17	sspwd 4580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
40	38, 39	sstrd 3950	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑋)
41		fbasweak 24059	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑓 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ dom CMet) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
42	36, 40, 28, 41	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
43		fgcl 24072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝑓) ∈ (Fil‘𝑋))
44	42, 43	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen𝑓) ∈ (Fil‘𝑋))
45		ssfg 24066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝑓 ⊆ (𝑋filGen𝑓))
46	42, 45	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑓 ⊆ (𝑋filGen𝑓))
47		filtop 24049	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑓)
48	26, 47	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑌 ∈ 𝑓)
49	46, 48	sseldd 3941	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝑌 ∈ (𝑋filGen𝑓))
50		flimrest 24177	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋filGen𝑓)) → ((𝐽 ↾t 𝑌) fLim ((𝑋filGen𝑓) ↾t 𝑌)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ∩ 𝑌))
51	34, 44, 49, 50	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((𝐽 ↾t 𝑌) fLim ((𝑋filGen𝑓) ↾t 𝑌)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ∩ 𝑌))
52		flimclsi 24172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑋filGen𝑓) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑌))
53	49, 52	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑌))
54		cldcls 23236	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑌) = 𝑌)
55	54	ad2antlr 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((cls‘𝐽)‘𝑌) = 𝑌)
56	53, 55	sseqtrd 3976	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ⊆ 𝑌)
57		dfss2 3926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ⊆ 𝑌 ↔ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ∩ 𝑌) = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)))
58	56, 57	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ∩ 𝑌) = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)))
59	32, 51, 58	3eqtrd 2805	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim 𝑓) = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)))
60		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
61	5, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
62		cfilresi 25491	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen𝑓) ∈ (CauFil‘𝐷))
63	61, 62	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen𝑓) ∈ (CauFil‘𝐷))
64	2	cmetcvg 25481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝑓) ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ≠ ∅)
65	60, 63, 64	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ≠ ∅)
66	59, 65	eqnetrd 3028	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim 𝑓) ≠ ∅)
67	66	ralrimiva 3160	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∀𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim 𝑓) ≠ ∅)
68	19	iscmet 25480	. . 3 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌) ∧ ∀𝑓 ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim 𝑓) ≠ ∅))
69	14, 67, 68	sylanbrc 595	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
70	4, 69	impbida 813	1 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  𝒫 cpw 4567  ∪ cuni 4877   × cxp 5664  dom cdm 5666   ↾ cres 5668  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ↾_t crest 17498  ∞Metcxmet 21544  Metcmet 21545  fBascfbas 21547  filGencfg 21548  MetOpencmopn 21549  TopOnctopon 23104  Clsdccld 23210  clsccl 23212  Filcfil 24039   fLim cflim 24128  CauFilccfil 25448  CMetccmet 25450

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ico 13396  df-icc 13397  df-rest 17500  df-topgen 17521  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-fbas 21556  df-fg 21557  df-top 23088  df-topon 23105  df-bases 23140  df-cld 23213  df-ntr 23214  df-cls 23215  df-nei 23292  df-haus 23509  df-fil 24040  df-flim 24133  df-cfil 25451  df-cmet 25453

This theorem is used by:  recmet  25519  cmsss  25547  cmscsscms  25569  bnsscmcl  31257  rrnheibor  38529