MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmetss Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cmetss 24824
Description: A subspace of a complete metric space is complete iff it is closed in the parent space. Theorem 1.4-7 of [Kreyszig] p. 30. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Oct-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
metsscmetcld.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
cmetss (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ) ↔ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)))
Proof of Theorem cmetss
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetmet 24794 . . 3 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
2 metsscmetcld.j . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
32metsscmetcld 24823 . . 3 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½))
41, 3sylan 580 . 2 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½))
51adantr 481 . . . 4 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
6 eqid 2732 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
76cldss 22524 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ π‘Œ βŠ† βˆͺ 𝐽)
87adantl 482 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘Œ βŠ† βˆͺ 𝐽)
9 metxmet 23831 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
102mopnuni 23938 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
115, 9, 103syl 18 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
128, 11sseqtrrd 4022 . . . 4 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
13 metres2 23860 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Metβ€˜π‘Œ))
145, 12, 13syl2anc 584 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Metβ€˜π‘Œ))
151, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
1615ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
1712adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
18 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
19 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
2018, 2, 19metrest 24024 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
2116, 17, 20syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
2221eqcomd 2738 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
23 metxmet 23831 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Metβ€˜π‘Œ) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
2414, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
25 cfilfil 24775 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
2624, 25sylan 580 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
27 elfvdm 6925 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom CMet)
2827ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑋 ∈ dom CMet)
29 trfg 23386 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ dom CMet) β†’ ((𝑋filGen𝑓) β†Ύt π‘Œ) = 𝑓)
3026, 17, 28, 29syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ ((𝑋filGen𝑓) β†Ύt π‘Œ) = 𝑓)
3130eqcomd 2738 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑓 = ((𝑋filGen𝑓) β†Ύt π‘Œ))
3222, 31oveq12d 7423 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ ((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim 𝑓) = ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) fLim ((𝑋filGen𝑓) β†Ύt π‘Œ)))
332mopntopon 23936 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3416, 33syl 17 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
35 filfbas 23343 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) β†’ 𝑓 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
3626, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑓 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
37 filsspw 23346 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) β†’ 𝑓 βŠ† 𝒫 π‘Œ)
3826, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑓 βŠ† 𝒫 π‘Œ)
3917sspwd 4614 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝒫 π‘Œ βŠ† 𝒫 𝑋)
4038, 39sstrd 3991 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑓 βŠ† 𝒫 𝑋)
41 fbasweak 23360 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑓 βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ dom CMet) β†’ 𝑓 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
4236, 40, 28, 41syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑓 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
43 fgcl 23373 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋filGen𝑓) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
4442, 43syl 17 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝑋filGen𝑓) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
45 ssfg 23367 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ 𝑓 βŠ† (𝑋filGen𝑓))
4642, 45syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑓 βŠ† (𝑋filGen𝑓))
47 filtop 23350 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝑓)
4826, 47syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑓)
4946, 48sseldd 3982 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋filGen𝑓))
50 flimrest 23478 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋filGen𝑓) ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (𝑋filGen𝑓)) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) fLim ((𝑋filGen𝑓) β†Ύt π‘Œ)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ∩ π‘Œ))
5134, 44, 49, 50syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) fLim ((𝑋filGen𝑓) β†Ύt π‘Œ)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ∩ π‘Œ))
52 flimclsi 23473 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ (𝑋filGen𝑓) β†’ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘Œ))
5349, 52syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘Œ))
54 cldcls 22537 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘Œ) = π‘Œ)
5554ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘Œ) = π‘Œ)
5653, 55sseqtrd 4021 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) βŠ† π‘Œ)
57 df-ss 3964 . . . . . . 7 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) βŠ† π‘Œ ↔ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ∩ π‘Œ) = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)))
5856, 57sylib 217 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) ∩ π‘Œ) = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)))
5932, 51, 583eqtrd 2776 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ ((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim 𝑓) = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)))
60 simpll 765 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
615, 9syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
62 cfilresi 24803 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝑋filGen𝑓) ∈ (CauFilβ€˜π·))
6361, 62sylan 580 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝑋filGen𝑓) ∈ (CauFilβ€˜π·))
642cmetcvg 24793 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋filGen𝑓) ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) β‰  βˆ…)
6560, 63, 64syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝑓)) β‰  βˆ…)
6659, 65eqnetrd 3008 . . . 4 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) ∧ 𝑓 ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ ((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim 𝑓) β‰  βˆ…)
6766ralrimiva 3146 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim 𝑓) β‰  βˆ…)
6819iscmet 24792 . . 3 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Metβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim 𝑓) β‰  βˆ…))
6914, 67, 68sylanbrc 583 . 2 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ))
704, 69impbida 799 1 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ) ↔ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675   β†Ύ cres 5677  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   β†Ύt crest 17362  βˆžMetcxmet 20921  Metcmet 20922  fBascfbas 20924  filGencfg 20925  MetOpencmopn 20926  TopOnctopon 22403  Clsdccld 22511  clsccl 22513  Filcfil 23340   fLim cflim 23429  CauFilccfil 24760  CMetccmet 24762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ico 13326  df-icc 13327  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-haus 22810  df-fil 23341  df-flim 23434  df-cfil 24763  df-cmet 24765
This theorem is referenced by:  recmet  24831  cmsss  24859  cmscsscms  24881  bnsscmcl  30108  rrnheibor  36693
  Copyright terms: Public domain W3C validator