Theorem cncfrss2 25219

Description: Reverse closure of the continuous function predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncfrss2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)

Proof of Theorem cncfrss2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cncf 25205	. . 3 ⊢ –cn→ = (𝑎 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑏 ∈ 𝒫 ℂ ↦ {𝑓 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑎 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)})
2	1	elmpocl2 7665	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐵 ∈ 𝒫 ℂ)
3	2	elpwid 4565	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3895  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ↑_m cmap 8851  ℂcc 11202   < clt 11347   − cmin 11545  ℝ⁺crp 13124  abscabs 15407  –cn→ccncf 25203

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-cncf 25205

This theorem is used by:  cncff  25220  cncfi  25221  rescncf  25224  climcncf  25227  cncfco  25234  cncfcnvcn  25252  cnlimci  26215  cncfmptssg  46975  cncfcompt  46987