MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rescncf 24866
Description: A continuous complex function restricted to a subset is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
rescncf (𝐶𝐴 → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → (𝐹𝐶) ∈ (𝐶cn𝐵)))

Proof of Theorem rescncf
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . . . 6 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
2 cncfrss 24860 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
32adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
4 cncfrss2 24861 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
54adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
6 elcncf 24858 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))))
73, 5, 6syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))))
81, 7mpbid 231 . . . . 5 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)))
98simpld 493 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝐹:𝐴𝐵)
10 simpl 481 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝐶𝐴)
119, 10fssresd 6764 . . 3 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝐹𝐶):𝐶𝐵)
128simprd 494 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
13 ssralv 4045 . . . . 5 (𝐶𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦) → ∀𝑥𝐶𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)))
14 ssralv 4045 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐴 → (∀𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦) → ∀𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)))
15 fvres 6915 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
16 fvres 6915 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝑤) = (𝐹𝑤))
1715, 16oveqan12d 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝐶𝑤𝐶) → (((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤)) = ((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤)))
1817fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐶𝑤𝐶) → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) = (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))))
1918breq1d 5159 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐶𝑤𝐶) → ((abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
2019imbi2d 339 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐶𝑤𝐶) → (((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)))
2120biimprd 247 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐶𝑤𝐶) → (((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦) → ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦)))
2221ralimdva 3156 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐶 → (∀𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦) → ∀𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦)))
2314, 22sylan9 506 . . . . . . . 8 ((𝐶𝐴𝑥𝐶) → (∀𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦) → ∀𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦)))
2423reximdv 3159 . . . . . . 7 ((𝐶𝐴𝑥𝐶) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦)))
2524ralimdv 3158 . . . . . 6 ((𝐶𝐴𝑥𝐶) → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦)))
2625ralimdva 3156 . . . . 5 (𝐶𝐴 → (∀𝑥𝐶𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦) → ∀𝑥𝐶𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦)))
2713, 26syld 47 . . . 4 (𝐶𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦) → ∀𝑥𝐶𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦)))
2810, 12, 27sylc 65 . . 3 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → ∀𝑥𝐶𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦))
2910, 3sstrd 3987 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝐶 ⊆ ℂ)
30 elcncf 24858 . . . 4 ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝐹𝐶) ∈ (𝐶cn𝐵) ↔ ((𝐹𝐶):𝐶𝐵 ∧ ∀𝑥𝐶𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦))))
3129, 5, 30syl2anc 582 . . 3 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → ((𝐹𝐶) ∈ (𝐶cn𝐵) ↔ ((𝐹𝐶):𝐶𝐵 ∧ ∀𝑥𝐶𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦))))
3211, 28, 31mpbir2and 711 . 2 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝐹𝐶) ∈ (𝐶cn𝐵))
3332ex 411 1 (𝐶𝐴 → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → (𝐹𝐶) ∈ (𝐶cn𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wcel 2098  wral 3050  wrex 3059  wss 3944   class class class wbr 5149  cres 5680  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11143   < clt 11285  cmin 11481  +crp 13014  abscabs 15222  cnccncf 24845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-map 8847  df-cncf 24847
This theorem is referenced by:  cpnres  25916  dvlip  25975  dvlip2  25977  c1liplem1  25978  c1lip2  25980  dvgt0lem1  25984  dvivthlem1  25990  dvne0  25993  lhop1lem  25995  dvcnvrelem1  25999  dvcnvrelem2  26000  dvcvx  26002  dvfsumle  26003  dvfsumleOLD  26004  dvfsumabs  26006  dvfsumlem2  26010  dvfsumlem2OLD  26011  ftc2ditglem  26029  itgparts  26031  itgsubstlem  26032  itgpowd  26034  psercn2  26409  psercn2OLD  26410  abelth  26428  abelth2  26429  efcvx  26436  pige3ALT  26504  dvrelog  26621  logcn  26631  logccv  26647  loglesqrt  26743  rpsqrtcn  34358  cxpcncf1  34360  ftc2re  34363  fdvposlt  34364  fdvposle  34366  itgexpif  34371  ftc1cnnclem  37297  ftc2nc  37308  areacirc  37319  cncfres  37371  resopunitintvd  41631  resclunitintvd  41632  lcmineqlem2  41635  aks4d1p1p5  41680  areaquad  42788  lhe4.4ex1a  43910  cncfmptss  45115  resincncf  45403  dvbdfbdioolem1  45456  itgsbtaddcnst  45510  fourierdlem38  45673  fourierdlem46  45680  fourierdlem72  45706  fourierdlem90  45724  fourierdlem111  45745  fouriercn  45760
  Copyright terms: Public domain W3C validator