Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rescncf 23498
 Description: A continuous complex function restricted to a subset is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
rescncf (𝐶𝐴 → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → (𝐹𝐶) ∈ (𝐶cn𝐵)))

Proof of Theorem rescncf
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . . . 6 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
2 cncfrss 23492 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
32adantl 485 . . . . . . 7 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
4 cncfrss2 23493 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
54adantl 485 . . . . . . 7 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
6 elcncf 23490 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))))
73, 5, 6syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))))
81, 7mpbid 235 . . . . 5 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)))
98simpld 498 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝐹:𝐴𝐵)
10 simpl 486 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝐶𝐴)
119, 10fssresd 6533 . . 3 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝐹𝐶):𝐶𝐵)
128simprd 499 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
13 ssralv 4018 . . . . 5 (𝐶𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦) → ∀𝑥𝐶𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)))
14 ssralv 4018 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐴 → (∀𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦) → ∀𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)))
15 fvres 6677 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
16 fvres 6677 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝑤) = (𝐹𝑤))
1715, 16oveqan12d 7164 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝐶𝑤𝐶) → (((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤)) = ((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤)))
1817fveq2d 6662 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐶𝑤𝐶) → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) = (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))))
1918breq1d 5062 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐶𝑤𝐶) → ((abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
2019imbi2d 344 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐶𝑤𝐶) → (((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)))
2120biimprd 251 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐶𝑤𝐶) → (((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦) → ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦)))
2221ralimdva 3172 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐶 → (∀𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦) → ∀𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦)))
2314, 22sylan9 511 . . . . . . . 8 ((𝐶𝐴𝑥𝐶) → (∀𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦) → ∀𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦)))
2423reximdv 3266 . . . . . . 7 ((𝐶𝐴𝑥𝐶) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦)))
2524ralimdv 3173 . . . . . 6 ((𝐶𝐴𝑥𝐶) → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦)))
2625ralimdva 3172 . . . . 5 (𝐶𝐴 → (∀𝑥𝐶𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦) → ∀𝑥𝐶𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦)))
2713, 26syld 47 . . . 4 (𝐶𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦) → ∀𝑥𝐶𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦)))
2810, 12, 27sylc 65 . . 3 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → ∀𝑥𝐶𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦))
2910, 3sstrd 3962 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝐶 ⊆ ℂ)
30 elcncf 23490 . . . 4 ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝐹𝐶) ∈ (𝐶cn𝐵) ↔ ((𝐹𝐶):𝐶𝐵 ∧ ∀𝑥𝐶𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦))))
3129, 5, 30syl2anc 587 . . 3 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → ((𝐹𝐶) ∈ (𝐶cn𝐵) ↔ ((𝐹𝐶):𝐶𝐵 ∧ ∀𝑥𝐶𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦))))
3211, 28, 31mpbir2and 712 . 2 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝐹𝐶) ∈ (𝐶cn𝐵))
3332ex 416 1 (𝐶𝐴 → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → (𝐹𝐶) ∈ (𝐶cn𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  ∃wrex 3134   ⊆ wss 3919   class class class wbr 5052   ↾ cres 5544  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7145  ℂcc 10527   < clt 10667   − cmin 10862  ℝ+crp 12382  abscabs 14589  –cn→ccncf 23477 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-op 4556  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-fv 6351  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8398  df-cncf 23479 This theorem is referenced by:  cpnres  24536  dvlip  24592  dvlip2  24594  c1liplem1  24595  c1lip2  24597  dvgt0lem1  24601  dvivthlem1  24607  dvne0  24610  lhop1lem  24612  dvcnvrelem1  24616  dvcnvrelem2  24617  dvcvx  24619  dvfsumle  24620  dvfsumabs  24622  dvfsumlem2  24626  ftc2ditglem  24644  itgparts  24646  itgsubstlem  24647  itgpowd  24649  psercn2  25014  abelth  25032  abelth2  25033  efcvx  25040  pige3ALT  25108  dvrelog  25224  logcn  25234  logccv  25250  loglesqrt  25343  rpsqrtcn  31889  cxpcncf1  31891  ftc2re  31894  fdvposlt  31895  fdvposle  31897  itgexpif  31902  ftc1cnnclem  35038  ftc2nc  35049  areacirc  35060  cncfres  35113  resopunitintvd  39220  resclunitintvd  39221  lcmineqlem2  39224  areaquad  40019  lhe4.4ex1a  40890  cncfmptss  42092  resincncf  42380  dvbdfbdioolem1  42433  itgsbtaddcnst  42487  fourierdlem38  42650  fourierdlem46  42657  fourierdlem72  42683  fourierdlem90  42701  fourierdlem111  42722  fouriercn  42737
 Copyright terms: Public domain W3C validator