MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rescncf 24937
Description: A continuous complex function restricted to a subset is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
rescncf (𝐶𝐴 → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → (𝐹𝐶) ∈ (𝐶cn𝐵)))

Proof of Theorem rescncf
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
2 cncfrss 24931 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
32adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
4 cncfrss2 24932 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
54adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
6 elcncf 24929 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))))
73, 5, 6syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))))
81, 7mpbid 232 . . . . 5 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)))
98simpld 494 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝐹:𝐴𝐵)
10 simpl 482 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝐶𝐴)
119, 10fssresd 6776 . . 3 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝐹𝐶):𝐶𝐵)
128simprd 495 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
13 ssralv 4064 . . . . 5 (𝐶𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦) → ∀𝑥𝐶𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)))
14 ssralv 4064 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐴 → (∀𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦) → ∀𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)))
15 fvres 6926 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
16 fvres 6926 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝑤) = (𝐹𝑤))
1715, 16oveqan12d 7450 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝐶𝑤𝐶) → (((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤)) = ((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤)))
1817fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐶𝑤𝐶) → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) = (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))))
1918breq1d 5158 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐶𝑤𝐶) → ((abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
2019imbi2d 340 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐶𝑤𝐶) → (((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)))
2120biimprd 248 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐶𝑤𝐶) → (((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦) → ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦)))
2221ralimdva 3165 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐶 → (∀𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦) → ∀𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦)))
2314, 22sylan9 507 . . . . . . . 8 ((𝐶𝐴𝑥𝐶) → (∀𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦) → ∀𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦)))
2423reximdv 3168 . . . . . . 7 ((𝐶𝐴𝑥𝐶) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦)))
2524ralimdv 3167 . . . . . 6 ((𝐶𝐴𝑥𝐶) → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦)))
2625ralimdva 3165 . . . . 5 (𝐶𝐴 → (∀𝑥𝐶𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦) → ∀𝑥𝐶𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦)))
2713, 26syld 47 . . . 4 (𝐶𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦) → ∀𝑥𝐶𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦)))
2810, 12, 27sylc 65 . . 3 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → ∀𝑥𝐶𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦))
2910, 3sstrd 4006 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝐶 ⊆ ℂ)
30 elcncf 24929 . . . 4 ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝐹𝐶) ∈ (𝐶cn𝐵) ↔ ((𝐹𝐶):𝐶𝐵 ∧ ∀𝑥𝐶𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦))))
3129, 5, 30syl2anc 584 . . 3 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → ((𝐹𝐶) ∈ (𝐶cn𝐵) ↔ ((𝐹𝐶):𝐶𝐵 ∧ ∀𝑥𝐶𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐶 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐶)‘𝑥) − ((𝐹𝐶)‘𝑤))) < 𝑦))))
3211, 28, 31mpbir2and 713 . 2 ((𝐶𝐴𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝐹𝐶) ∈ (𝐶cn𝐵))
3332ex 412 1 (𝐶𝐴 → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → (𝐹𝐶) ∈ (𝐶cn𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  wss 3963   class class class wbr 5148  cres 5691  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151   < clt 11293  cmin 11490  +crp 13032  abscabs 15270  cnccncf 24916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-cncf 24918
This theorem is referenced by:  cpnres  25988  dvlip  26047  dvlip2  26049  c1liplem1  26050  c1lip2  26052  dvgt0lem1  26056  dvivthlem1  26062  dvne0  26065  lhop1lem  26067  dvcnvrelem1  26071  dvcnvrelem2  26072  dvcvx  26074  dvfsumle  26075  dvfsumleOLD  26076  dvfsumabs  26078  dvfsumlem2  26082  dvfsumlem2OLD  26083  ftc2ditglem  26101  itgparts  26103  itgsubstlem  26104  itgpowd  26106  psercn2  26481  psercn2OLD  26482  abelth  26500  abelth2  26501  efcvx  26508  pige3ALT  26577  dvrelog  26694  logcn  26704  logccv  26720  loglesqrt  26819  rpsqrtcn  34587  cxpcncf1  34589  ftc2re  34592  fdvposlt  34593  fdvposle  34595  itgexpif  34600  ftc1cnnclem  37678  ftc2nc  37689  areacirc  37700  cncfres  37752  resopunitintvd  42008  resclunitintvd  42009  lcmineqlem2  42012  aks4d1p1p5  42057  areaquad  43205  lhe4.4ex1a  44325  cncfmptss  45543  resincncf  45831  dvbdfbdioolem1  45884  itgsbtaddcnst  45938  fourierdlem38  46101  fourierdlem46  46108  fourierdlem72  46134  fourierdlem90  46152  fourierdlem111  46173  fouriercn  46188
  Copyright terms: Public domain W3C validator