MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfi 24934
Description: Defining property of a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncfi ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝐶𝐴𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑤,𝐴   𝑤,𝐶,𝑧   𝑤,𝐹,𝑧   𝑤,𝑅,𝑧   𝑤,𝐵,𝑧

Proof of Theorem cncfi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfrss 24931 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2 cncfrss2 24932 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
3 elcncf2 24930 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))))
41, 2, 3syl2anc 584 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))))
54ibi 267 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦)))
65simprd 495 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))
7 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐶 → (𝑤𝑥) = (𝑤𝐶))
87fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐶 → (abs‘(𝑤𝑥)) = (abs‘(𝑤𝐶)))
98breq1d 5158 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧))
10 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐶 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐶))
1110oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶)))
1211fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐶 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) = (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))))
1312breq1d 5158 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑦))
149, 13imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → (((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑦)))
1514rexralbidv 3221 . . . 4 (𝑥 = 𝐶 → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑦)))
16 breq2 5152 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑅 → ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑅))
1716imbi2d 340 . . . . 5 (𝑦 = 𝑅 → (((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑅)))
1817rexralbidv 3221 . . . 4 (𝑦 = 𝑅 → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑅)))
1915, 18rspc2v 3633 . . 3 ((𝐶𝐴𝑅 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑅)))
206, 19mpan9 506 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ (𝐶𝐴𝑅 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑅))
21203impb 1114 1 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝐶𝐴𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  wss 3963   class class class wbr 5148  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151   < clt 11293  cmin 11490  +crp 13032  abscabs 15270  cnccncf 24916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-2 12327  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-abs 15272  df-cncf 24918
This theorem is referenced by:  cncfcdm  24938  climcncf  24940  cncfco  24947  ivthlem2  25501  ivthlem3  25502  ulmcn  26457  pntlem3  27668  sinccvglem  35657  itg2gt0cn  37662
  Copyright terms: Public domain W3C validator