Theorem cncfi 23791

Description: Defining property of a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncfi	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑤,𝐴   𝑤,𝐶,𝑧   𝑤,𝐹,𝑧   𝑤,𝑅,𝑧   𝑤,𝐵,𝑧

Proof of Theorem cncfi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfrss 23788	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2		cncfrss2 23789	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
3		elcncf2 23787	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦))))
4	1, 2, 3	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦))))
5	4	ibi 270	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦)))
6	5	simprd 499	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦))
7		oveq2 7221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑤 − 𝑥) = (𝑤 − 𝐶))
8	7	fveq2d 6721	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (abs‘(𝑤 − 𝑥)) = (abs‘(𝑤 − 𝐶)))
9	8	breq1d 5063	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧))
10		fveq2 6717	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐶))
11	10	oveq2d 7229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶)))
12	11	fveq2d 6721	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) = (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))))
13	12	breq1d 5063	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑦))
14	9, 13	imbi12d 348	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑦)))
15	14	rexralbidv 3220	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑦)))
16		breq2 5057	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑅 → ((abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑅))
17	16	imbi2d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑅 → (((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑅)))
18	17	rexralbidv 3220	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑅 → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑅)))
19	15, 18	rspc2v 3547	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑅)))
20	6, 19	mpan9 510	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑅))
21	20	3impb 1117	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3866   class class class wbr 5053  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727   < clt 10867   − cmin 11062  ℝ⁺crp 12586  abscabs 14797  –cn→ccncf 23773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-2 11893  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-abs 14799  df-cncf 23775

This theorem is referenced by:  cncffvrn  23795  climcncf  23797  cncfco  23804  ivthlem2  24349  ivthlem3  24350  ulmcn  25291  pntlem3  26490  sinccvglem  33343  itg2gt0cn  35569