MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfi 24920
Description: Defining property of a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncfi ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝐶𝐴𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑤,𝐴   𝑤,𝐶,𝑧   𝑤,𝐹,𝑧   𝑤,𝑅,𝑧   𝑤,𝐵,𝑧

Proof of Theorem cncfi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfrss 24917 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2 cncfrss2 24918 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
3 elcncf2 24916 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))))
41, 2, 3syl2anc 584 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))))
54ibi 267 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦)))
65simprd 495 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))
7 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐶 → (𝑤𝑥) = (𝑤𝐶))
87fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐶 → (abs‘(𝑤𝑥)) = (abs‘(𝑤𝐶)))
98breq1d 5153 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧))
10 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐶 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐶))
1110oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶)))
1211fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐶 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) = (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))))
1312breq1d 5153 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑦))
149, 13imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → (((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑦)))
1514rexralbidv 3223 . . . 4 (𝑥 = 𝐶 → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑦)))
16 breq2 5147 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑅 → ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑅))
1716imbi2d 340 . . . . 5 (𝑦 = 𝑅 → (((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑅)))
1817rexralbidv 3223 . . . 4 (𝑦 = 𝑅 → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑅)))
1915, 18rspc2v 3633 . . 3 ((𝐶𝐴𝑅 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑅)))
206, 19mpan9 506 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ (𝐶𝐴𝑅 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑅))
21203impb 1115 1 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝐶𝐴𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  wss 3951   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153   < clt 11295  cmin 11492  +crp 13034  abscabs 15273  cnccncf 24902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-abs 15275  df-cncf 24904
This theorem is referenced by:  cncfcdm  24924  climcncf  24926  cncfco  24933  ivthlem2  25487  ivthlem3  25488  ulmcn  26442  pntlem3  27653  sinccvglem  35677  itg2gt0cn  37682
  Copyright terms: Public domain W3C validator