Theorem cncfi 23504

Description: Defining property of a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncfi	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑤,𝐴   𝑤,𝐶,𝑧   𝑤,𝐹,𝑧   𝑤,𝑅,𝑧   𝑤,𝐵,𝑧

Proof of Theorem cncfi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfrss 23501	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2		cncfrss2 23502	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
3		elcncf2 23500	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦))))
4	1, 2, 3	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦))))
5	4	ibi 269	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦)))
6	5	simprd 498	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦))
7		oveq2 7166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑤 − 𝑥) = (𝑤 − 𝐶))
8	7	fveq2d 6676	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (abs‘(𝑤 − 𝑥)) = (abs‘(𝑤 − 𝐶)))
9	8	breq1d 5078	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧))
10		fveq2 6672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐶))
11	10	oveq2d 7174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶)))
12	11	fveq2d 6676	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) = (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))))
13	12	breq1d 5078	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑦))
14	9, 13	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑦)))
15	14	rexralbidv 3303	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑦)))
16		breq2 5072	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑅 → ((abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑅))
17	16	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑅 → (((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑅)))
18	17	rexralbidv 3303	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑅 → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑅)))
19	15, 18	rspc2v 3635	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑅)))
20	6, 19	mpan9 509	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑅))
21	20	3impb 1111	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  ∃wrex 3141   ⊆ wss 3938   class class class wbr 5068  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537   < clt 10677   − cmin 10872  ℝ⁺crp 12392  abscabs 14595  –cn→ccncf 23486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-2 11703  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-abs 14597  df-cncf 23488

This theorem is referenced by:  cncffvrn  23508  climcncf  23510  cncfco  23517  ivthlem2  24055  ivthlem3  24056  ulmcn  24989  pntlem3  26187  sinccvglem  32917  itg2gt0cn  34949