MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfco 24293
Description: The composition of two continuous maps on complex numbers is also continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfco.4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
cncfco.5 (𝜑𝐺 ∈ (𝐵cn𝐶))
Assertion
Ref Expression
cncfco (𝜑 → (𝐺𝐹) ∈ (𝐴cn𝐶))

Proof of Theorem cncfco
Dummy variables 𝑤 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfco.5 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (𝐵cn𝐶))
2 cncff 24279 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝐵cn𝐶) → 𝐺:𝐵𝐶)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐺:𝐵𝐶)
4 cncfco.4 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
5 cncff 24279 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
7 fco 6696 . . 3 ((𝐺:𝐵𝐶𝐹:𝐴𝐵) → (𝐺𝐹):𝐴𝐶)
83, 6, 7syl2anc 585 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐹):𝐴𝐶)
91adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝐺 ∈ (𝐵cn𝐶))
106adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝐹:𝐴𝐵)
11 simprl 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥𝐴)
1210, 11ffvelcdmd 7040 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
13 simprr 772 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
14 cncfi 24280 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (𝐵cn𝐶) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦))
159, 12, 13, 14syl3anc 1372 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦))
164ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
17 simplrl 776 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → 𝑥𝐴)
18 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → 𝑢 ∈ ℝ+)
19 cncfi 24280 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝑥𝐴𝑢 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢))
2016, 17, 18, 19syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢))
216ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → 𝐹:𝐴𝐵)
22 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → 𝑤𝐴)
2321, 22ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → (𝐹𝑤) ∈ 𝐵)
24 fvoveq1 7384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = (𝐹𝑤) → (abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) = (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))))
2524breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (𝐹𝑤) → ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 ↔ (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢))
2625imbrov2fvoveq 7386 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = (𝐹𝑤) → (((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦) ↔ ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘(𝐹𝑤)) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)))
2726rspcv 3579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑤) ∈ 𝐵 → (∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘(𝐹𝑤)) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)))
2823, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → (∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘(𝐹𝑤)) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)))
29 fvco3 6944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:𝐴𝐵𝑤𝐴) → ((𝐺𝐹)‘𝑤) = (𝐺‘(𝐹𝑤)))
3021, 22, 29syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → ((𝐺𝐹)‘𝑤) = (𝐺‘(𝐹𝑤)))
3117adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → 𝑥𝐴)
32 fvco3 6944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → ((𝐺𝐹)‘𝑥) = (𝐺‘(𝐹𝑥)))
3321, 31, 32syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → ((𝐺𝐹)‘𝑥) = (𝐺‘(𝐹𝑥)))
3430, 33oveq12d 7379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → (((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥)) = ((𝐺‘(𝐹𝑤)) − (𝐺‘(𝐹𝑥))))
3534fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) = (abs‘((𝐺‘(𝐹𝑤)) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))))
3635breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → ((abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐺‘(𝐹𝑤)) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦))
3736imbi2d 341 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → (((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦) ↔ ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘(𝐹𝑤)) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)))
3828, 37sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → (∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
3938imp 408 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) ∧ ∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)) → ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))
4039an32s 651 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))
4140imim2d 57 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → (((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢) → ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
4241anassrs 469 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤𝐴) → (((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢) → ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
4342ralimdva 3161 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∀𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢) → ∀𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
4443reximdva 3162 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
4544ex 414 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → (∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))))
4620, 45mpid 44 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → (∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
4746rexlimdva 3149 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → (∃𝑢 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
4815, 47mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))
4948ralrimivva 3194 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))
50 cncfrss 24277 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
514, 50syl 17 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
52 cncfrss2 24278 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝐵cn𝐶) → 𝐶 ⊆ ℂ)
531, 52syl 17 . . 3 (𝜑𝐶 ⊆ ℂ)
54 elcncf2 24276 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) → ((𝐺𝐹) ∈ (𝐴cn𝐶) ↔ ((𝐺𝐹):𝐴𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))))
5551, 53, 54syl2anc 585 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝐹) ∈ (𝐴cn𝐶) ↔ ((𝐺𝐹):𝐴𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))))
568, 49, 55mpbir2and 712 1 (𝜑 → (𝐺𝐹) ∈ (𝐴cn𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  wrex 3070  wss 3914   class class class wbr 5109  ccom 5641  wf 6496  cfv 6500  (class class class)co 7361  cc 11057   < clt 11197  cmin 11393  +crp 12923  abscabs 15128  cnccncf 24262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-2 12224  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-abs 15130  df-cncf 24264
This theorem is referenced by:  cncfcompt2  24294  cncfmpt1f  24300  negfcncf  24309  divcncf  24834  cniccbdd  24848  cncombf  25045  cnmbf  25046  dvlip  25380  dvlipcn  25381  itgsubstlem  25435  sincn  25826  coscn  25827  logcn  26025  lgamgulmlem2  26402  ftalem3  26447  evthiccabs  43824  mulc1cncfg  43920  expcnfg  43922  cncfcompt  44214  cncficcgt0  44219  dirkercncflem2  44435  dirkercncflem4  44437  fourierdlem18  44456  fourierdlem93  44530  fourierdlem101  44538  fourierdlem111  44548
  Copyright terms: Public domain W3C validator