MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfco 24934
Description: The composition of two continuous maps on complex numbers is also continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfco.4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
cncfco.5 (𝜑𝐺 ∈ (𝐵cn𝐶))
Assertion
Ref Expression
cncfco (𝜑 → (𝐺𝐹) ∈ (𝐴cn𝐶))

Proof of Theorem cncfco
Dummy variables 𝑤 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfco.5 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (𝐵cn𝐶))
2 cncff 24920 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝐵cn𝐶) → 𝐺:𝐵𝐶)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐺:𝐵𝐶)
4 cncfco.4 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
5 cncff 24920 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
7 fco 6759 . . 3 ((𝐺:𝐵𝐶𝐹:𝐴𝐵) → (𝐺𝐹):𝐴𝐶)
83, 6, 7syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐹):𝐴𝐶)
91adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝐺 ∈ (𝐵cn𝐶))
106adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝐹:𝐴𝐵)
11 simprl 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥𝐴)
1210, 11ffvelcdmd 7104 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
13 simprr 772 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
14 cncfi 24921 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (𝐵cn𝐶) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦))
159, 12, 13, 14syl3anc 1372 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦))
164ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
17 simplrl 776 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → 𝑥𝐴)
18 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → 𝑢 ∈ ℝ+)
19 cncfi 24921 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝑥𝐴𝑢 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢))
2016, 17, 18, 19syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢))
216ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → 𝐹:𝐴𝐵)
22 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → 𝑤𝐴)
2321, 22ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → (𝐹𝑤) ∈ 𝐵)
24 fvoveq1 7455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = (𝐹𝑤) → (abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) = (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))))
2524breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (𝐹𝑤) → ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 ↔ (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢))
2625imbrov2fvoveq 7457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = (𝐹𝑤) → (((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦) ↔ ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘(𝐹𝑤)) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)))
2726rspcv 3617 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑤) ∈ 𝐵 → (∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘(𝐹𝑤)) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)))
2823, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → (∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘(𝐹𝑤)) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)))
29 fvco3 7007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:𝐴𝐵𝑤𝐴) → ((𝐺𝐹)‘𝑤) = (𝐺‘(𝐹𝑤)))
3021, 22, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → ((𝐺𝐹)‘𝑤) = (𝐺‘(𝐹𝑤)))
3117adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → 𝑥𝐴)
32 fvco3 7007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → ((𝐺𝐹)‘𝑥) = (𝐺‘(𝐹𝑥)))
3321, 31, 32syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → ((𝐺𝐹)‘𝑥) = (𝐺‘(𝐹𝑥)))
3430, 33oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → (((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥)) = ((𝐺‘(𝐹𝑤)) − (𝐺‘(𝐹𝑥))))
3534fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) = (abs‘((𝐺‘(𝐹𝑤)) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))))
3635breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → ((abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐺‘(𝐹𝑤)) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦))
3736imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → (((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦) ↔ ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘(𝐹𝑤)) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)))
3828, 37sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → (∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
3938imp 406 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) ∧ ∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)) → ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))
4039an32s 652 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))
4140imim2d 57 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → (((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢) → ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
4241anassrs 467 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤𝐴) → (((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢) → ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
4342ralimdva 3166 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∀𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢) → ∀𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
4443reximdva 3167 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
4544ex 412 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → (∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))))
4620, 45mpid 44 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → (∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
4746rexlimdva 3154 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → (∃𝑢 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
4815, 47mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))
4948ralrimivva 3201 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))
50 cncfrss 24918 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
514, 50syl 17 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
52 cncfrss2 24919 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝐵cn𝐶) → 𝐶 ⊆ ℂ)
531, 52syl 17 . . 3 (𝜑𝐶 ⊆ ℂ)
54 elcncf2 24917 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) → ((𝐺𝐹) ∈ (𝐴cn𝐶) ↔ ((𝐺𝐹):𝐴𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))))
5551, 53, 54syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝐹) ∈ (𝐴cn𝐶) ↔ ((𝐺𝐹):𝐴𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))))
568, 49, 55mpbir2and 713 1 (𝜑 → (𝐺𝐹) ∈ (𝐴cn𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  wrex 3069  wss 3950   class class class wbr 5142  ccom 5688  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154   < clt 11296  cmin 11493  +crp 13035  abscabs 15274  cnccncf 24903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-abs 15276  df-cncf 24905
This theorem is referenced by:  cncfcompt2  24935  cncfmpt1f  24941  negfcncf  24951  divcncf  25483  cniccbdd  25497  cncombf  25694  cnmbf  25695  dvlip  26033  dvlipcn  26034  itgsubstlem  26090  sincn  26489  coscn  26490  logcn  26690  lgamgulmlem2  27074  ftalem3  27119  evthiccabs  45514  mulc1cncfg  45609  expcnfg  45611  cncfcompt  45903  cncficcgt0  45908  dirkercncflem2  46124  dirkercncflem4  46126  fourierdlem18  46145  fourierdlem93  46219  fourierdlem101  46227  fourierdlem111  46237
  Copyright terms: Public domain W3C validator