Theorem cncfco 25047

Description: The composition of two continuous maps on complex numbers is also continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfco.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))
cncfco.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐵–cn→𝐶))

Assertion

Ref	Expression
cncfco	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→𝐶))

Proof of Theorem cncfco

Dummy variables 𝑤 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfco.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐵–cn→𝐶))
2		cncff 25033	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐵–cn→𝐶) → 𝐺:𝐵⟶𝐶)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐶)
4		cncfco.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))
5		cncff 25033	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
7		fco 6732	. . 3 ⊢ ((𝐺:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶𝐶)
8	3, 6, 7	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶𝐶)
9	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝐺 ∈ (𝐵–cn→𝐶))
10	6	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
11		simprl 782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
12	10, 11	ffvelcdmd 7082	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
13		simprr 784	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
14		cncfi 25034	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝐵–cn→𝐶) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦))
15	9, 12, 13, 14	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦))
16	4	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))
17		simplrl 788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ 𝐴)
18		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → 𝑢 ∈ ℝ+)
19		cncfi 25034	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢))
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢))
21	6	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
22		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → 𝑤 ∈ 𝐴)
23	21, 22	ffvelcdmd 7082	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵)
24		fvoveq1 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘𝑤) → (abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) = (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))))
25	24	breq1d 5120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘𝑤) → ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢))
26	25	imbrov2fvoveq 7437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘𝑤) → (((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦) ↔ ((abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘(𝐹‘𝑤)) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦)))
27	26	rspcv 3578	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵 → (∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘(𝐹‘𝑤)) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦)))
28	23, 27	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘(𝐹‘𝑤)) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦)))
29		fvco3 6983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) = (𝐺‘(𝐹‘𝑤)))
30	21, 22, 29	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) = (𝐺‘(𝐹‘𝑤)))
31	17	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
32		fvco3 6983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥) = (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))
33	21, 31, 32	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥) = (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))
34	30, 33	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥)) = ((𝐺‘(𝐹‘𝑤)) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥))))
35	34	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) = (abs‘((𝐺‘(𝐹‘𝑤)) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))))
36	35	breq1d 5120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐺‘(𝐹‘𝑤)) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦))
37	36	imbi2d 343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (((abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦) ↔ ((abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘(𝐹‘𝑤)) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦)))
38	28, 37	sylibrd 262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
39	38	imp 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦)) → ((abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))
40	39	an32s 664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))
41	40	imim2d 58	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢) → ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
42	41	anassrs 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢) → ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
43	42	ralimdva 3177	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
44	43	reximdva 3178	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦)) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
45	44	ex 417	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → (∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))))
46	20, 45	mpid 45	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → (∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
47	46	rexlimdva 3166	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
48	15, 47	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))
49	48	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))
50		cncfrss 25031	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
51	4, 50	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
52		cncfrss2 25032	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐵–cn→𝐶) → 𝐶 ⊆ ℂ)
53	1, 52	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℂ)
54		elcncf2 25030	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) → ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→𝐶) ↔ ((𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))))
55	51, 53, 54	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→𝐶) ↔ ((𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))))
56	8, 49, 55	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5110   ∘ ccom 5667  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099   < clt 11244   − cmin 11442  ℝ⁺crp 13017  abscabs 15287  –cn→ccncf 25016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-abs 15289  df-cncf 25018

This theorem is referenced by:  cncfcompt2  25048  cncfmpt1f  25054  negfcncf  25063  divcncf  25587  cniccbdd  25601  cncombf  25798  cnmbf  25799  dvlip  26133  dvlipcn  26134  itgsubstlem  26188  sincn  26588  coscn  26589  logcn  26793  lgamgulmlem2  27175  ftalem3  27220  evthiccabs  46195  mulc1cncfg  46288  expcnfg  46290  cncfcompt  46580  cncficcgt0  46585  dirkercncflem2  46801  dirkercncflem4  46803  fourierdlem18  46822  fourierdlem93  46896  fourierdlem101  46904  fourierdlem111  46914