Theorem cnlimci 25939

Description: If 𝐹 is a continuous function, then the limit of the function at any point equals its value. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlimci.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐷))
cnlimci.c	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cnlimci	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Proof of Theorem cnlimci

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6907	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
2		oveq2 7439	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹 limℂ 𝑥) = (𝐹 limℂ 𝐵))
3	1, 2	eleq12d 2833	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥) ↔ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
4		cnlimci.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐷))
5		cncfrss 24931	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐷) → 𝐴 ⊆ ℂ)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
7		cncfrss2 24932	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐷) → 𝐷 ⊆ ℂ)
8	4, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
9		ssid 4018	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
10		cncfss 24939	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐷) ⊆ (𝐴–cn→ℂ))
11	8, 9, 10	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴–cn→𝐷) ⊆ (𝐴–cn→ℂ))
12	11, 4	sseldd 3996	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))
13		cnlimc 25938	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥))))
14	13	simplbda 499	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥))
15	6, 12, 14	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥))
16		cnlimci.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
17	3, 15, 16	rspcdva 3623	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   ⊆ wss 3963  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  –cn→ccncf 24916   lim_ℂ climc 25912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17469  df-topn 17470  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-xms 24346  df-ms 24347  df-cncf 24918  df-limc 25916

This theorem is referenced by:  cnmptlimc  25940  dvcnvlem  26029  ioccncflimc  45841  icocncflimc  45845  dirkercncflem2  46060  fourierdlem84  46146  fourierdlem85  46147  fourierdlem88  46150  fourierdlem111  46173  fouriercn  46188