Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfcompt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfcompt 44214
Description: Composition of continuous functions. A generalization of cncfmpt1f 24300 to arbitrary domains. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfcompt.bcn (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (𝐴cn𝐶))
cncfcompt.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶cn𝐷))
Assertion
Ref Expression
cncfcompt (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ (𝐴cn𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem cncfcompt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfcompt.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶cn𝐷))
2 cncff 24279 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐶cn𝐷) → 𝐹:𝐶𝐷)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐶𝐷)
43adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹:𝐶𝐷)
5 cncfcompt.bcn . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (𝐴cn𝐶))
6 cncff 24279 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ (𝐴cn𝐶) → (𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐶)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐶)
87fvmptelcdm 7065 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
94, 8ffvelcdmd 7040 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ 𝐷)
109fmpttd 7067 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴𝐷)
11 cncfrss2 24278 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐶cn𝐷) → 𝐷 ⊆ ℂ)
121, 11syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
13 eqidd 2734 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
143feqmptd 6914 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑦𝐶 ↦ (𝐹𝑦)))
15 fveq2 6846 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
168, 13, 14, 15fmptco 7079 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑥𝐴𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)))
17 ssid 3970 . . . . . . 7 ℂ ⊆ ℂ
18 cncfss 24285 . . . . . . 7 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐶cn𝐷) ⊆ (𝐶cn→ℂ))
1912, 17, 18sylancl 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶cn𝐷) ⊆ (𝐶cn→ℂ))
2019, 1sseldd 3949 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶cn→ℂ))
215, 20cncfco 24293 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
2216, 21eqeltrrd 2835 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
23 cncfcdm 24284 . . 3 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ (𝐴cn→ℂ)) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ (𝐴cn𝐷) ↔ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴𝐷))
2412, 22, 23syl2anc 585 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ (𝐴cn𝐷) ↔ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴𝐷))
2510, 24mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ (𝐴cn𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107  wss 3914  cmpt 5192  ccom 5641  wf 6496  cfv 6500  (class class class)co 7361  cc 11057  cnccncf 24262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-2 12224  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-abs 15130  df-cncf 24264
This theorem is referenced by:  itgsbtaddcnst  44313  fourierdlem23  44461  fourierdlem83  44520  fourierdlem101  44538
  Copyright terms: Public domain W3C validator