Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfcompt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfcompt 45838
Description: Composition of continuous functions. A generalization of cncfmpt1f 24953 to arbitrary domains. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfcompt.bcn (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (𝐴cn𝐶))
cncfcompt.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶cn𝐷))
Assertion
Ref Expression
cncfcompt (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ (𝐴cn𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem cncfcompt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfcompt.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶cn𝐷))
2 cncff 24932 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐶cn𝐷) → 𝐹:𝐶𝐷)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐶𝐷)
43adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹:𝐶𝐷)
5 cncfcompt.bcn . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (𝐴cn𝐶))
6 cncff 24932 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ (𝐴cn𝐶) → (𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐶)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐶)
87fvmptelcdm 7132 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
94, 8ffvelcdmd 7104 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ 𝐷)
109fmpttd 7134 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴𝐷)
11 cncfrss2 24931 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐶cn𝐷) → 𝐷 ⊆ ℂ)
121, 11syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
13 eqidd 2735 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
143feqmptd 6976 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑦𝐶 ↦ (𝐹𝑦)))
15 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
168, 13, 14, 15fmptco 7148 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑥𝐴𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)))
17 ssid 4017 . . . . . . 7 ℂ ⊆ ℂ
18 cncfss 24938 . . . . . . 7 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐶cn𝐷) ⊆ (𝐶cn→ℂ))
1912, 17, 18sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶cn𝐷) ⊆ (𝐶cn→ℂ))
2019, 1sseldd 3995 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶cn→ℂ))
215, 20cncfco 24946 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
2216, 21eqeltrrd 2839 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
23 cncfcdm 24937 . . 3 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ (𝐴cn→ℂ)) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ (𝐴cn𝐷) ↔ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴𝐷))
2412, 22, 23syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ (𝐴cn𝐷) ↔ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴𝐷))
2510, 24mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ (𝐴cn𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2105  wss 3962  cmpt 5230  ccom 5692  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cnccncf 24915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-2 12326  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-abs 15271  df-cncf 24917
This theorem is referenced by:  itgsbtaddcnst  45937  fourierdlem23  46085  fourierdlem83  46144  fourierdlem101  46162
  Copyright terms: Public domain W3C validator