Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfcompt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfcompt 45898
Description: Composition of continuous functions. A generalization of cncfmpt1f 24940 to arbitrary domains. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfcompt.bcn (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (𝐴cn𝐶))
cncfcompt.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶cn𝐷))
Assertion
Ref Expression
cncfcompt (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ (𝐴cn𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem cncfcompt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfcompt.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶cn𝐷))
2 cncff 24919 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐶cn𝐷) → 𝐹:𝐶𝐷)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐶𝐷)
43adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹:𝐶𝐷)
5 cncfcompt.bcn . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (𝐴cn𝐶))
6 cncff 24919 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ (𝐴cn𝐶) → (𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐶)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐶)
87fvmptelcdm 7133 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
94, 8ffvelcdmd 7105 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ 𝐷)
109fmpttd 7135 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴𝐷)
11 cncfrss2 24918 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐶cn𝐷) → 𝐷 ⊆ ℂ)
121, 11syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
13 eqidd 2738 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
143feqmptd 6977 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑦𝐶 ↦ (𝐹𝑦)))
15 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
168, 13, 14, 15fmptco 7149 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑥𝐴𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)))
17 ssid 4006 . . . . . . 7 ℂ ⊆ ℂ
18 cncfss 24925 . . . . . . 7 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐶cn𝐷) ⊆ (𝐶cn→ℂ))
1912, 17, 18sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶cn𝐷) ⊆ (𝐶cn→ℂ))
2019, 1sseldd 3984 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶cn→ℂ))
215, 20cncfco 24933 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
2216, 21eqeltrrd 2842 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
23 cncfcdm 24924 . . 3 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ (𝐴cn→ℂ)) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ (𝐴cn𝐷) ↔ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴𝐷))
2412, 22, 23syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ (𝐴cn𝐷) ↔ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴𝐷))
2510, 24mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ (𝐴cn𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2108  wss 3951  cmpt 5225  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cnccncf 24902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-abs 15275  df-cncf 24904
This theorem is referenced by:  itgsbtaddcnst  45997  fourierdlem23  46145  fourierdlem83  46204  fourierdlem101  46222
  Copyright terms: Public domain W3C validator