Theorem cncff 24409

Description: A continuous complex function's domain and codomain. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncff	⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem cncff

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfrss 24407	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2		cncfrss2 24408	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
3		elcncf 24405	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))))
5	4	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦)))
6	5	simpld 496	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℂcc 11108   < clt 11248   − cmin 11444  ℝ⁺crp 12974  abscabs 15181  –cn→ccncf 24392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-cncf 24394

This theorem is referenced by:  cncfss  24415  climcncf  24416  cncfco  24423  cncfcompt2  24424  cncfmpt1f  24430  cncfmpt2ss  24432  negfcncf  24439  divcncf  24964  ivth2  24972  ivthicc  24975  evthicc2  24977  cniccbdd  24978  volivth  25124  cncombf  25175  cnmbf  25176  cniccibl  25358  cnicciblnc  25360  cnmptlimc  25407  cpnord  25452  cpnres  25454  dvrec  25472  rollelem  25506  rolle  25507  cmvth  25508  mvth  25509  dvlip  25510  c1liplem1  25513  c1lip1  25514  c1lip2  25515  dveq0  25517  dvgt0lem1  25519  dvgt0lem2  25520  dvgt0  25521  dvlt0  25522  dvge0  25523  dvle  25524  dvivthlem1  25525  dvivth  25527  dvne0  25528  dvne0f1  25529  dvcnvrelem1  25534  dvcnvrelem2  25535  dvcnvre  25536  dvcvx  25537  dvfsumle  25538  dvfsumge  25539  dvfsumabs  25540  ftc1cn  25560  ftc2  25561  ftc2ditglem  25562  ftc2ditg  25563  itgparts  25564  itgsubstlem  25565  itgsubst  25566  ulmcn  25911  psercn  25938  pserdvlem2  25940  pserdv  25941  sincn  25956  coscn  25957  logtayl  26168  dvcncxp1  26251  leibpi  26447  lgamgulmlem2  26534  ftc2re  33610  fdvposlt  33611  fdvneggt  33612  fdvposle  33613  fdvnegge  33614  gg-cmvth  35181  gg-dvfsumle  35182  ivthALT  35220  knoppcld  35381  knoppndv  35410  ftc1cnnclem  36559  ftc1cnnc  36560  ftc2nc  36570  3factsumint  40890  intlewftc  40926  dvle2  40937  cnioobibld  41963  evthiccabs  44209  cncfmptss  44303  mulc1cncfg  44305  expcnfg  44307  mulcncff  44586  cncfshift  44590  subcncff  44596  cncfcompt  44599  addcncff  44600  cncficcgt0  44604  divcncff  44607  cncfiooicclem1  44609  cncfiooiccre  44611  cncfioobd  44613  dvsubcncf  44640  dvmulcncf  44641  dvdivcncf  44643  ioodvbdlimc1lem1  44647  cnbdibl  44678  itgsubsticclem  44691  itgsubsticc  44692  itgioocnicc  44693  iblcncfioo  44694  itgiccshift  44696  itgsbtaddcnst  44698  fourierdlem18  44841  fourierdlem32  44855  fourierdlem33  44856  fourierdlem39  44862  fourierdlem48  44870  fourierdlem49  44871  fourierdlem58  44880  fourierdlem59  44881  fourierdlem71  44893  fourierdlem73  44895  fourierdlem81  44903  fourierdlem84  44906  fourierdlem85  44907  fourierdlem88  44910  fourierdlem94  44916  fourierdlem97  44919  fourierdlem101  44923  fourierdlem103  44925  fourierdlem104  44926  fourierdlem111  44933  fourierdlem112  44934  fourierdlem113  44935  fouriercn  44948