Theorem cncff 25215

Description: A continuous complex function's domain and codomain. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncff	⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem cncff

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfrss 25213	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2		cncfrss2 25214	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
3		elcncf 25211	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))))
5	4	ibi 270	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦)))
6	5	simpld 500	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11199   < clt 11344   − cmin 11542  ℝ⁺crp 13121  abscabs 15402  –cn→ccncf 25198

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8850  df-cncf 25200

This theorem is used by:  cncfss  25221  climcncf  25222  cncfco  25229  cncfcompt2  25230  cncfmpt1f  25236  cncfmpt2ss  25238  negfcncf  25245  divcncf  25769  ivth2  25777  ivthicc  25780  evthicc2  25782  cniccbdd  25783  volivth  25929  cncombf  25980  cnmbf  25981  cniccibl  26162  cnicciblnc  26164  cnmptlimc  26211  cpnord  26256  cpnres  26258  dvrec  26276  rollelem  26310  rolle  26311  cmvth  26312  mvth  26313  dvlip  26314  c1liplem1  26317  c1lip1  26318  c1lip2  26319  dveq0  26321  dvgt0lem1  26323  dvgt0lem2  26324  dvgt0  26325  dvlt0  26326  dvge0  26327  dvle  26328  dvivthlem1  26329  dvivth  26331  dvne0  26332  dvne0f1  26333  dvcnvrelem1  26338  dvcnvrelem2  26339  dvcnvre  26340  dvcvx  26341  dvfsumle  26342  dvfsumge  26343  dvfsumabs  26344  ftc1cn  26364  ftc2  26365  ftc2ditglem  26366  ftc2ditg  26367  itgparts  26368  itgsubstlem  26369  itgsubst  26370  ulmcn  26727  psercn  26754  pserdvlem2  26756  pserdv  26757  sincn  26772  coscn  26773  logtayl  26989  dvcncxp1  27072  leibpi  27271  lgamgulmlem2  27358  ftc2re  35270  fdvposlt  35271  fdvneggt  35272  fdvposle  35273  fdvnegge  35274  ivthALT  37198  knoppcld  37446  knoppndv  37475  ftc1cnnclem  38685  ftc1cnnc  38686  ftc2nc  38696  3factsumint  43151  intlewftc  43187  dvle2  43198  cnioobibld  44292  evthiccabs  46584  cncfmptss  46675  mulc1cncfg  46677  expcnfg  46679  mulcncff  46956  cncfshift  46960  subcncff  46966  cncfcompt  46969  addcncff  46970  cncficcgt0  46974  divcncff  46977  cncfiooicclem1  46979  cncfiooiccre  46981  cncfioobd  46983  dvsubcncf  47010  dvmulcncf  47011  dvdivcncf  47013  ioodvbdlimc1lem1  47017  cnbdibl  47048  itgsubsticclem  47061  itgsubsticc  47062  itgioocnicc  47063  iblcncfioo  47064  itgiccshift  47066  itgsbtaddcnst  47068  fourierdlem18  47211  fourierdlem32  47225  fourierdlem33  47226  fourierdlem39  47232  fourierdlem48  47240  fourierdlem49  47241  fourierdlem58  47250  fourierdlem59  47251  fourierdlem71  47263  fourierdlem73  47265  fourierdlem81  47273  fourierdlem84  47276  fourierdlem85  47277  fourierdlem88  47280  fourierdlem94  47286  fourierdlem97  47289  fourierdlem101  47293  fourierdlem103  47295  fourierdlem104  47296  fourierdlem111  47303  fourierdlem112  47304  fourierdlem113  47305  fouriercn  47318