Theorem cncff 25063

Description: A continuous complex function's domain and codomain. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncff	⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem cncff

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfrss 25061	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2		cncfrss2 25062	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
3		elcncf 25059	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))))
5	4	ibi 270	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦)))
6	5	simpld 499	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5108  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104   < clt 11249   − cmin 11447  ℝ⁺crp 13022  abscabs 15292  –cn→ccncf 25046

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8824  df-cncf 25048

This theorem is used by:  cncfss  25069  climcncf  25070  cncfco  25077  cncfcompt2  25078  cncfmpt1f  25084  cncfmpt2ss  25086  negfcncf  25093  divcncf  25617  ivth2  25625  ivthicc  25628  evthicc2  25630  cniccbdd  25631  volivth  25777  cncombf  25828  cnmbf  25829  cniccibl  26011  cnicciblnc  26013  cnmptlimc  26060  cpnord  26105  cpnres  26107  dvrec  26125  rollelem  26159  rolle  26160  cmvth  26161  mvth  26162  dvlip  26163  c1liplem1  26166  c1lip1  26167  c1lip2  26168  dveq0  26170  dvgt0lem1  26172  dvgt0lem2  26173  dvgt0  26174  dvlt0  26175  dvge0  26176  dvle  26177  dvivthlem1  26178  dvivth  26180  dvne0  26181  dvne0f1  26182  dvcnvrelem1  26187  dvcnvrelem2  26188  dvcnvre  26189  dvcvx  26190  dvfsumle  26191  dvfsumge  26192  dvfsumabs  26193  ftc1cn  26213  ftc2  26214  ftc2ditglem  26215  ftc2ditg  26216  itgparts  26217  itgsubstlem  26218  itgsubst  26219  ulmcn  26573  psercn  26600  pserdvlem2  26602  pserdv  26603  sincn  26618  coscn  26619  logtayl  26836  dvcncxp1  26919  leibpi  27118  lgamgulmlem2  27205  ftc2re  34994  fdvposlt  34995  fdvneggt  34996  fdvposle  34997  fdvnegge  34998  ivthALT  36874  knoppcld  37122  knoppndv  37151  ftc1cnnclem  38370  ftc1cnnc  38371  ftc2nc  38381  3factsumint  42820  intlewftc  42856  dvle2  42867  cnioobibld  43969  evthiccabs  46240  cncfmptss  46331  mulc1cncfg  46333  expcnfg  46335  mulcncff  46612  cncfshift  46616  subcncff  46622  cncfcompt  46625  addcncff  46626  cncficcgt0  46630  divcncff  46633  cncfiooicclem1  46635  cncfiooiccre  46637  cncfioobd  46639  dvsubcncf  46666  dvmulcncf  46667  dvdivcncf  46669  ioodvbdlimc1lem1  46673  cnbdibl  46704  itgsubsticclem  46717  itgsubsticc  46718  itgioocnicc  46719  iblcncfioo  46720  itgiccshift  46722  itgsbtaddcnst  46724  fourierdlem18  46867  fourierdlem32  46881  fourierdlem33  46882  fourierdlem39  46888  fourierdlem48  46896  fourierdlem49  46897  fourierdlem58  46906  fourierdlem59  46907  fourierdlem71  46919  fourierdlem73  46921  fourierdlem81  46929  fourierdlem84  46932  fourierdlem85  46933  fourierdlem88  46936  fourierdlem94  46942  fourierdlem97  46945  fourierdlem101  46949  fourierdlem103  46951  fourierdlem104  46952  fourierdlem111  46959  fourierdlem112  46960  fourierdlem113  46961  fouriercn  46974