Theorem cncff 24919

Description: A continuous complex function's domain and codomain. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncff	⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem cncff

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfrss 24917	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2		cncfrss2 24918	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
3		elcncf 24915	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))))
5	4	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦)))
6	5	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   < clt 11295   − cmin 11492  ℝ⁺crp 13034  abscabs 15273  –cn→ccncf 24902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-cncf 24904

This theorem is referenced by:  cncfss  24925  climcncf  24926  cncfco  24933  cncfcompt2  24934  cncfmpt1f  24940  cncfmpt2ss  24942  negfcncf  24950  divcncf  25482  ivth2  25490  ivthicc  25493  evthicc2  25495  cniccbdd  25496  volivth  25642  cncombf  25693  cnmbf  25694  cniccibl  25876  cnicciblnc  25878  cnmptlimc  25925  cpnord  25971  cpnres  25973  dvrec  25993  rollelem  26027  rolle  26028  cmvth  26029  cmvthOLD  26030  mvth  26031  dvlip  26032  c1liplem1  26035  c1lip1  26036  c1lip2  26037  dveq0  26039  dvgt0lem1  26041  dvgt0lem2  26042  dvgt0  26043  dvlt0  26044  dvge0  26045  dvle  26046  dvivthlem1  26047  dvivth  26049  dvne0  26050  dvne0f1  26051  dvcnvrelem1  26056  dvcnvrelem2  26057  dvcnvre  26058  dvcvx  26059  dvfsumle  26060  dvfsumleOLD  26061  dvfsumge  26062  dvfsumabs  26063  ftc1cn  26084  ftc2  26085  ftc2ditglem  26086  ftc2ditg  26087  itgparts  26088  itgsubstlem  26089  itgsubst  26090  ulmcn  26442  psercn  26470  pserdvlem2  26472  pserdv  26473  sincn  26488  coscn  26489  logtayl  26702  dvcncxp1  26785  leibpi  26985  lgamgulmlem2  27073  ftc2re  34613  fdvposlt  34614  fdvneggt  34615  fdvposle  34616  fdvnegge  34617  ivthALT  36336  knoppcld  36506  knoppndv  36535  ftc1cnnclem  37698  ftc1cnnc  37699  ftc2nc  37709  3factsumint  42026  intlewftc  42062  dvle2  42073  cnioobibld  43226  evthiccabs  45509  cncfmptss  45602  mulc1cncfg  45604  expcnfg  45606  mulcncff  45885  cncfshift  45889  subcncff  45895  cncfcompt  45898  addcncff  45899  cncficcgt0  45903  divcncff  45906  cncfiooicclem1  45908  cncfiooiccre  45910  cncfioobd  45912  dvsubcncf  45939  dvmulcncf  45940  dvdivcncf  45942  ioodvbdlimc1lem1  45946  cnbdibl  45977  itgsubsticclem  45990  itgsubsticc  45991  itgioocnicc  45992  iblcncfioo  45993  itgiccshift  45995  itgsbtaddcnst  45997  fourierdlem18  46140  fourierdlem32  46154  fourierdlem33  46155  fourierdlem39  46161  fourierdlem48  46169  fourierdlem49  46170  fourierdlem58  46179  fourierdlem59  46180  fourierdlem71  46192  fourierdlem73  46194  fourierdlem81  46202  fourierdlem84  46205  fourierdlem85  46206  fourierdlem88  46209  fourierdlem94  46215  fourierdlem97  46218  fourierdlem101  46222  fourierdlem103  46224  fourierdlem104  46225  fourierdlem111  46232  fourierdlem112  46233  fourierdlem113  46234  fouriercn  46247