Theorem cncff 23790

Description: A continuous complex function's domain and codomain. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncff	⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem cncff

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfrss 23788	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2		cncfrss2 23789	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
3		elcncf 23786	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))))
4	1, 2, 3	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))))
5	4	ibi 270	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦)))
6	5	simpld 498	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3866   class class class wbr 5053  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727   < clt 10867   − cmin 11062  ℝ⁺crp 12586  abscabs 14797  –cn→ccncf 23773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-map 8510  df-cncf 23775

This theorem is referenced by:  cncfss  23796  climcncf  23797  cncfco  23804  cncfcompt2  23805  cncfmpt1f  23811  cncfmpt2ss  23813  negfcncf  23820  divcncf  24344  ivth2  24352  ivthicc  24355  evthicc2  24357  cniccbdd  24358  volivth  24504  cncombf  24555  cnmbf  24556  cniccibl  24738  cnicciblnc  24740  cnmptlimc  24787  cpnord  24832  cpnres  24834  dvrec  24852  rollelem  24886  rolle  24887  cmvth  24888  mvth  24889  dvlip  24890  c1liplem1  24893  c1lip1  24894  c1lip2  24895  dveq0  24897  dvgt0lem1  24899  dvgt0lem2  24900  dvgt0  24901  dvlt0  24902  dvge0  24903  dvle  24904  dvivthlem1  24905  dvivth  24907  dvne0  24908  dvne0f1  24909  dvcnvrelem1  24914  dvcnvrelem2  24915  dvcnvre  24916  dvcvx  24917  dvfsumle  24918  dvfsumge  24919  dvfsumabs  24920  ftc1cn  24940  ftc2  24941  ftc2ditglem  24942  ftc2ditg  24943  itgparts  24944  itgsubstlem  24945  itgsubst  24946  ulmcn  25291  psercn  25318  pserdvlem2  25320  pserdv  25321  sincn  25336  coscn  25337  logtayl  25548  dvcncxp1  25629  leibpi  25825  lgamgulmlem2  25912  ftc2re  32290  fdvposlt  32291  fdvneggt  32292  fdvposle  32293  fdvnegge  32294  ivthALT  34261  knoppcld  34422  knoppndv  34451  ftc1cnnclem  35585  ftc1cnnc  35586  ftc2nc  35596  3factsumint  39767  intlewftc  39803  dvle2  39813  cnioobibld  40748  evthiccabs  42709  cncfmptss  42803  mulc1cncfg  42805  expcnfg  42807  mulcncff  43086  cncfshift  43090  subcncff  43096  cncfcompt  43099  addcncff  43100  cncficcgt0  43104  divcncff  43107  cncfiooicclem1  43109  cncfiooiccre  43111  cncfioobd  43113  dvsubcncf  43140  dvmulcncf  43141  dvdivcncf  43143  ioodvbdlimc1lem1  43147  cnbdibl  43178  itgsubsticclem  43191  itgsubsticc  43192  itgioocnicc  43193  iblcncfioo  43194  itgiccshift  43196  itgsbtaddcnst  43198  fourierdlem18  43341  fourierdlem32  43355  fourierdlem33  43356  fourierdlem39  43362  fourierdlem48  43370  fourierdlem49  43371  fourierdlem58  43380  fourierdlem59  43381  fourierdlem71  43393  fourierdlem73  43395  fourierdlem81  43403  fourierdlem84  43406  fourierdlem85  43407  fourierdlem88  43410  fourierdlem94  43416  fourierdlem97  43419  fourierdlem101  43423  fourierdlem103  43425  fourierdlem104  43426  fourierdlem111  43433  fourierdlem112  43434  fourierdlem113  43435  fouriercn  43448