Theorem cncff 25031

Description: A continuous complex function's domain and codomain. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncff	⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem cncff

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfrss 25029	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2		cncfrss2 25030	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
3		elcncf 25027	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))))
5	4	ibi 270	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦)))
6	5	simpld 499	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5108  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11097   < clt 11242   − cmin 11440  ℝ⁺crp 13015  abscabs 15285  –cn→ccncf 25014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-map 8825  df-cncf 25016

This theorem is referenced by:  cncfss  25037  climcncf  25038  cncfco  25045  cncfcompt2  25046  cncfmpt1f  25052  cncfmpt2ss  25054  negfcncf  25061  divcncf  25585  ivth2  25593  ivthicc  25596  evthicc2  25598  cniccbdd  25599  volivth  25745  cncombf  25796  cnmbf  25797  cniccibl  25979  cnicciblnc  25981  cnmptlimc  26028  cpnord  26073  cpnres  26075  dvrec  26093  rollelem  26127  rolle  26128  cmvth  26129  mvth  26130  dvlip  26131  c1liplem1  26134  c1lip1  26135  c1lip2  26136  dveq0  26138  dvgt0lem1  26140  dvgt0lem2  26141  dvgt0  26142  dvlt0  26143  dvge0  26144  dvle  26145  dvivthlem1  26146  dvivth  26148  dvne0  26149  dvne0f1  26150  dvcnvrelem1  26155  dvcnvrelem2  26156  dvcnvre  26157  dvcvx  26158  dvfsumle  26159  dvfsumge  26160  dvfsumabs  26161  ftc1cn  26181  ftc2  26182  ftc2ditglem  26183  ftc2ditg  26184  itgparts  26185  itgsubstlem  26186  itgsubst  26187  ulmcn  26538  psercn  26565  pserdvlem2  26567  pserdv  26568  sincn  26583  coscn  26584  logtayl  26801  dvcncxp1  26884  leibpi  27083  lgamgulmlem2  27170  ftc2re  34951  fdvposlt  34952  fdvneggt  34953  fdvposle  34954  fdvnegge  34955  ivthALT  36812  knoppcld  37060  knoppndv  37089  ftc1cnnclem  38308  ftc1cnnc  38309  ftc2nc  38319  3factsumint  42760  intlewftc  42796  dvle2  42807  cnioobibld  43911  evthiccabs  46182  cncfmptss  46273  mulc1cncfg  46275  expcnfg  46277  mulcncff  46554  cncfshift  46558  subcncff  46564  cncfcompt  46567  addcncff  46568  cncficcgt0  46572  divcncff  46575  cncfiooicclem1  46577  cncfiooiccre  46579  cncfioobd  46581  dvsubcncf  46608  dvmulcncf  46609  dvdivcncf  46611  ioodvbdlimc1lem1  46615  cnbdibl  46646  itgsubsticclem  46659  itgsubsticc  46660  itgioocnicc  46661  iblcncfioo  46662  itgiccshift  46664  itgsbtaddcnst  46666  fourierdlem18  46809  fourierdlem32  46823  fourierdlem33  46824  fourierdlem39  46830  fourierdlem48  46838  fourierdlem49  46839  fourierdlem58  46848  fourierdlem59  46849  fourierdlem71  46861  fourierdlem73  46863  fourierdlem81  46871  fourierdlem84  46874  fourierdlem85  46875  fourierdlem88  46878  fourierdlem94  46884  fourierdlem97  46887  fourierdlem101  46891  fourierdlem103  46893  fourierdlem104  46894  fourierdlem111  46901  fourierdlem112  46902  fourierdlem113  46903  fouriercn  46916