Theorem cncff 24802

Description: A continuous complex function's domain and codomain. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncff	⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem cncff

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfrss 24800	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2		cncfrss2 24801	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
3		elcncf 24798	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))))
5	4	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦)))
6	5	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026   < clt 11168   − cmin 11365  ℝ⁺crp 12911  abscabs 15159  –cn→ccncf 24785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-map 8762  df-cncf 24787

This theorem is referenced by:  cncfss  24808  climcncf  24809  cncfco  24816  cncfcompt2  24817  cncfmpt1f  24823  cncfmpt2ss  24825  negfcncf  24833  divcncf  25364  ivth2  25372  ivthicc  25375  evthicc2  25377  cniccbdd  25378  volivth  25524  cncombf  25575  cnmbf  25576  cniccibl  25758  cnicciblnc  25760  cnmptlimc  25807  cpnord  25853  cpnres  25855  dvrec  25875  rollelem  25909  rolle  25910  cmvth  25911  cmvthOLD  25912  mvth  25913  dvlip  25914  c1liplem1  25917  c1lip1  25918  c1lip2  25919  dveq0  25921  dvgt0lem1  25923  dvgt0lem2  25924  dvgt0  25925  dvlt0  25926  dvge0  25927  dvle  25928  dvivthlem1  25929  dvivth  25931  dvne0  25932  dvne0f1  25933  dvcnvrelem1  25938  dvcnvrelem2  25939  dvcnvre  25940  dvcvx  25941  dvfsumle  25942  dvfsumleOLD  25943  dvfsumge  25944  dvfsumabs  25945  ftc1cn  25966  ftc2  25967  ftc2ditglem  25968  ftc2ditg  25969  itgparts  25970  itgsubstlem  25971  itgsubst  25972  ulmcn  26324  psercn  26352  pserdvlem2  26354  pserdv  26355  sincn  26370  coscn  26371  logtayl  26585  dvcncxp1  26668  leibpi  26868  lgamgulmlem2  26956  ftc2re  34565  fdvposlt  34566  fdvneggt  34567  fdvposle  34568  fdvnegge  34569  ivthALT  36308  knoppcld  36478  knoppndv  36507  ftc1cnnclem  37670  ftc1cnnc  37671  ftc2nc  37681  3factsumint  41998  intlewftc  42034  dvle2  42045  cnioobibld  43187  evthiccabs  45478  cncfmptss  45569  mulc1cncfg  45571  expcnfg  45573  mulcncff  45852  cncfshift  45856  subcncff  45862  cncfcompt  45865  addcncff  45866  cncficcgt0  45870  divcncff  45873  cncfiooicclem1  45875  cncfiooiccre  45877  cncfioobd  45879  dvsubcncf  45906  dvmulcncf  45907  dvdivcncf  45909  ioodvbdlimc1lem1  45913  cnbdibl  45944  itgsubsticclem  45957  itgsubsticc  45958  itgioocnicc  45959  iblcncfioo  45960  itgiccshift  45962  itgsbtaddcnst  45964  fourierdlem18  46107  fourierdlem32  46121  fourierdlem33  46122  fourierdlem39  46128  fourierdlem48  46136  fourierdlem49  46137  fourierdlem58  46146  fourierdlem59  46147  fourierdlem71  46159  fourierdlem73  46161  fourierdlem81  46169  fourierdlem84  46172  fourierdlem85  46173  fourierdlem88  46176  fourierdlem94  46182  fourierdlem97  46185  fourierdlem101  46189  fourierdlem103  46191  fourierdlem104  46192  fourierdlem111  46199  fourierdlem112  46200  fourierdlem113  46201  fouriercn  46214