Theorem cncff 25013

Description: A continuous complex function's domain and codomain. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncff	⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem cncff

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfrss 25011	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2		cncfrss2 25012	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
3		elcncf 25009	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))))
5	4	ibi 270	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦)))
6	5	simpld 499	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086   < clt 11231   − cmin 11429  ℝ⁺crp 13007  abscabs 15275  –cn→ccncf 24996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-map 8814  df-cncf 24998

This theorem is referenced by:  cncfss  25019  climcncf  25020  cncfco  25027  cncfcompt2  25028  cncfmpt1f  25034  cncfmpt2ss  25036  negfcncf  25043  divcncf  25567  ivth2  25575  ivthicc  25578  evthicc2  25580  cniccbdd  25581  volivth  25727  cncombf  25778  cnmbf  25779  cniccibl  25961  cnicciblnc  25963  cnmptlimc  26010  cpnord  26055  cpnres  26057  dvrec  26075  rollelem  26109  rolle  26110  cmvth  26111  mvth  26112  dvlip  26113  c1liplem1  26116  c1lip1  26117  c1lip2  26118  dveq0  26120  dvgt0lem1  26122  dvgt0lem2  26123  dvgt0  26124  dvlt0  26125  dvge0  26126  dvle  26127  dvivthlem1  26128  dvivth  26130  dvne0  26131  dvne0f1  26132  dvcnvrelem1  26137  dvcnvrelem2  26138  dvcnvre  26139  dvcvx  26140  dvfsumle  26141  dvfsumge  26142  dvfsumabs  26143  ftc1cn  26163  ftc2  26164  ftc2ditglem  26165  ftc2ditg  26166  itgparts  26167  itgsubstlem  26168  itgsubst  26169  ulmcn  26520  psercn  26547  pserdvlem2  26549  pserdv  26550  sincn  26565  coscn  26566  logtayl  26783  dvcncxp1  26866  leibpi  27065  lgamgulmlem2  27152  ftc2re  34902  fdvposlt  34903  fdvneggt  34904  fdvposle  34905  fdvnegge  34906  ivthALT  36708  knoppcld  36956  knoppndv  36985  ftc1cnnclem  38202  ftc1cnnc  38203  ftc2nc  38213  3factsumint  42654  intlewftc  42690  dvle2  42701  cnioobibld  43803  evthiccabs  46070  cncfmptss  46161  mulc1cncfg  46163  expcnfg  46165  mulcncff  46442  cncfshift  46446  subcncff  46452  cncfcompt  46455  addcncff  46456  cncficcgt0  46460  divcncff  46463  cncfiooicclem1  46465  cncfiooiccre  46467  cncfioobd  46469  dvsubcncf  46496  dvmulcncf  46497  dvdivcncf  46499  ioodvbdlimc1lem1  46503  cnbdibl  46534  itgsubsticclem  46547  itgsubsticc  46548  itgioocnicc  46549  iblcncfioo  46550  itgiccshift  46552  itgsbtaddcnst  46554  fourierdlem18  46697  fourierdlem32  46711  fourierdlem33  46712  fourierdlem39  46718  fourierdlem48  46726  fourierdlem49  46727  fourierdlem58  46736  fourierdlem59  46737  fourierdlem71  46749  fourierdlem73  46751  fourierdlem81  46759  fourierdlem84  46762  fourierdlem85  46763  fourierdlem88  46766  fourierdlem94  46772  fourierdlem97  46775  fourierdlem101  46779  fourierdlem103  46781  fourierdlem104  46782  fourierdlem111  46789  fourierdlem112  46790  fourierdlem113  46791  fouriercn  46804