Theorem cncfcnvcn 24844

Description: Rewrite cmphaushmeo 23713 for functions on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfcnvcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cncfcnvcn.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
cncfcnvcn	⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑌–cn→𝑋)))

Proof of Theorem cncfcnvcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌))
2		cncfrss 24809	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌) → 𝑋 ⊆ ℂ)
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑋 ⊆ ℂ)
4		cncfrss2 24810	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌) → 𝑌 ⊆ ℂ)
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑌 ⊆ ℂ)
6		cncfcnvcn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
7		cncfcnvcn.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑋)
8		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑌) = (𝐽 ↾t 𝑌)
9	6, 7, 8	cncfcn 24828	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝑋–cn→𝑌) = (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌)))
10	3, 5, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝑋–cn→𝑌) = (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌)))
11	1, 10	eleqtrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌)))
12		ishmeo 23672	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌)) ↔ (𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌)) ∧ ◡𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾)))
13	12	baib 535	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌)) ↔ ◡𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾)))
14	11, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌)) ↔ ◡𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾)))
15	6	cnfldtop 24696	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ∈ Top
16	6	cnfldtopon 24695	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
17	16	toponunii 22829	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = ∪ 𝐽
18	17	restuni 23075	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → 𝑋 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑋))
19	15, 3, 18	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑋 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑋))
20	7	unieqi 4871	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑋)
21	19, 20	eqtr4di 2784	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑋 = ∪ 𝐾)
22	21	f1oeq2d 6759	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→∪ (𝐽 ↾t 𝑌) ↔ 𝐹:∪ 𝐾–1-1-onto→∪ (𝐽 ↾t 𝑌)))
23	17	restuni 23075	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → 𝑌 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌))
24	15, 5, 23	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑌 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌))
25	24	f1oeq3d 6760	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ↔ 𝐹:𝑋–1-1-onto→∪ (𝐽 ↾t 𝑌)))
26		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝐾 ∈ Comp)
27	6	cnfldhaus 24697	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ Haus
28		cnex 11084	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
29	28	ssex 5259	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ⊆ ℂ → 𝑌 ∈ V)
30	5, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑌 ∈ V)
31		resthaus 23281	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝐽 ↾t 𝑌) ∈ Haus)
32	27, 30, 31	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐽 ↾t 𝑌) ∈ Haus)
33		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
34		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t 𝑌) = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌)
35	33, 34	cmphaushmeo 23713	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ (𝐽 ↾t 𝑌) ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌))) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌)) ↔ 𝐹:∪ 𝐾–1-1-onto→∪ (𝐽 ↾t 𝑌)))
36	26, 32, 11, 35	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌)) ↔ 𝐹:∪ 𝐾–1-1-onto→∪ (𝐽 ↾t 𝑌)))
37	22, 25, 36	3bitr4d 311	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ↔ 𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌))))
38	6, 8, 7	cncfcn 24828	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝑌–cn→𝑋) = ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾))
39	5, 3, 38	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝑌–cn→𝑋) = ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾))
40	39	eleq2d 2817	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (◡𝐹 ∈ (𝑌–cn→𝑋) ↔ ◡𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾)))
41	14, 37, 40	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑌–cn→𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3902  ∪ cuni 4859  ^◡ccnv 5615  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11001   ↾_t crest 17321  TopOpenctopn 17322  ℂ_fldccnfld 21289  Topctop 22806   Cn ccn 23137  Hauscha 23221  Compccmp 23299  Homeochmeo 23666  –cn→ccncf 24794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-icc 13249  df-fz 13405  df-seq 13906  df-exp 13966  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-struct 17055  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-rest 17323  df-topn 17324  df-topgen 17344  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-cnfld 21290  df-top 22807  df-topon 22824  df-topsp 22846  df-bases 22859  df-cld 22932  df-cls 22934  df-cn 23140  df-cnp 23141  df-haus 23228  df-cmp 23300  df-hmeo 23668  df-xms 24233  df-ms 24234  df-cncf 24796

This theorem is referenced by:  dvcnvrelem2  25948