MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfcnvcn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cncfcnvcn 24432
Description: Rewrite cmphaushmeo 23295 for functions on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfcnvcn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
cncfcnvcn.k 𝐾 = (𝐽 β†Ύt 𝑋)
Assertion
Ref Expression
cncfcnvcn ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ↔ ◑𝐹 ∈ (π‘Œβ€“cn→𝑋)))
Proof of Theorem cncfcnvcn
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ))
2 cncfrss 24398 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
32adantl 482 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
4 cncfrss2 24399 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ) β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
54adantl 482 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
6 cncfcnvcn.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
7 cncfcnvcn.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐽 β†Ύt 𝑋)
8 eqid 2732 . . . . . 6 (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
96, 7, 8cncfcn 24417 . . . . 5 ((𝑋 βŠ† β„‚ ∧ π‘Œ βŠ† β„‚) β†’ (𝑋–cnβ†’π‘Œ) = (𝐾 Cn (𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
103, 5, 9syl2anc 584 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (𝑋–cnβ†’π‘Œ) = (𝐾 Cn (𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
111, 10eleqtrd 2835 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
12 ishmeo 23254 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 β†Ύt π‘Œ)) ↔ (𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 β†Ύt π‘Œ)) ∧ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐾)))
1312baib 536 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 β†Ύt π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 β†Ύt π‘Œ)) ↔ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐾)))
1411, 13syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 β†Ύt π‘Œ)) ↔ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐾)))
156cnfldtop 24291 . . . . . 6 𝐽 ∈ Top
166cnfldtopon 24290 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
1716toponunii 22409 . . . . . . 7 β„‚ = βˆͺ 𝐽
1817restuni 22657 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 βŠ† β„‚) β†’ 𝑋 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑋))
1915, 3, 18sylancr 587 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ 𝑋 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑋))
207unieqi 4920 . . . . 5 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑋)
2119, 20eqtr4di 2790 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐾)
2221f1oeq2d 6826 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ↔ 𝐹:βˆͺ 𝐾–1-1-ontoβ†’βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
2317restuni 22657 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† β„‚) β†’ π‘Œ = βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
2415, 5, 23sylancr 587 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ π‘Œ = βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
2524f1oeq3d 6827 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ↔ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
26 simpl 483 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Comp)
276cnfldhaus 24292 . . . . 5 𝐽 ∈ Haus
28 cnex 11187 . . . . . . 7 β„‚ ∈ V
2928ssex 5320 . . . . . 6 (π‘Œ βŠ† β„‚ β†’ π‘Œ ∈ V)
305, 29syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ V)
31 resthaus 22863 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Haus ∧ π‘Œ ∈ V) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ Haus)
3227, 30, 31sylancr 587 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ Haus)
33 eqid 2732 . . . . 5 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
34 eqid 2732 . . . . 5 βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
3533, 34cmphaushmeo 23295 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 β†Ύt π‘Œ))) β†’ (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 β†Ύt π‘Œ)) ↔ 𝐹:βˆͺ 𝐾–1-1-ontoβ†’βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
3626, 32, 11, 35syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 β†Ύt π‘Œ)) ↔ 𝐹:βˆͺ 𝐾–1-1-ontoβ†’βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
3722, 25, 363bitr4d 310 . 2 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ↔ 𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 β†Ύt π‘Œ))))
386, 8, 7cncfcn 24417 . . . 4 ((π‘Œ βŠ† β„‚ ∧ 𝑋 βŠ† β„‚) β†’ (π‘Œβ€“cn→𝑋) = ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐾))
395, 3, 38syl2anc 584 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (π‘Œβ€“cn→𝑋) = ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐾))
4039eleq2d 2819 . 2 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (◑𝐹 ∈ (π‘Œβ€“cn→𝑋) ↔ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐾)))
4114, 37, 403bitr4d 310 1 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ↔ ◑𝐹 ∈ (π‘Œβ€“cn→𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4907  β—‘ccnv 5674  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104   β†Ύt crest 17362  TopOpenctopn 17363  β„‚fldccnfld 20936  Topctop 22386   Cn ccn 22719  Hauscha 22803  Compccmp 22881  Homeochmeo 23248  β€“cnβ†’ccncf 24383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-icc 13327  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-rest 17364  df-topn 17365  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-cls 22516  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-cmp 22882  df-hmeo 23250  df-xms 23817  df-ms 23818  df-cncf 24385
This theorem is referenced by:  dvcnvrelem2  25526
  Copyright terms: Public domain W3C validator