Theorem cncfcnvcn 24971

Description: Rewrite cmphaushmeo 23829 for functions on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfcnvcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cncfcnvcn.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
cncfcnvcn	⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑌–cn→𝑋)))

Proof of Theorem cncfcnvcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌))
2		cncfrss 24936	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌) → 𝑋 ⊆ ℂ)
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑋 ⊆ ℂ)
4		cncfrss2 24937	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌) → 𝑌 ⊆ ℂ)
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑌 ⊆ ℂ)
6		cncfcnvcn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
7		cncfcnvcn.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑋)
8		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑌) = (𝐽 ↾t 𝑌)
9	6, 7, 8	cncfcn 24955	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝑋–cn→𝑌) = (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌)))
10	3, 5, 9	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝑋–cn→𝑌) = (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌)))
11	1, 10	eleqtrd 2846	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌)))
12		ishmeo 23788	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌)) ↔ (𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌)) ∧ ◡𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾)))
13	12	baib 535	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌)) ↔ ◡𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾)))
14	11, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌)) ↔ ◡𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾)))
15	6	cnfldtop 24825	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ∈ Top
16	6	cnfldtopon 24824	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
17	16	toponunii 22943	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = ∪ 𝐽
18	17	restuni 23191	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → 𝑋 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑋))
19	15, 3, 18	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑋 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑋))
20	7	unieqi 4943	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑋)
21	19, 20	eqtr4di 2798	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑋 = ∪ 𝐾)
22	21	f1oeq2d 6858	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→∪ (𝐽 ↾t 𝑌) ↔ 𝐹:∪ 𝐾–1-1-onto→∪ (𝐽 ↾t 𝑌)))
23	17	restuni 23191	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → 𝑌 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌))
24	15, 5, 23	sylancr 586	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑌 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌))
25	24	f1oeq3d 6859	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ↔ 𝐹:𝑋–1-1-onto→∪ (𝐽 ↾t 𝑌)))
26		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝐾 ∈ Comp)
27	6	cnfldhaus 24826	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ Haus
28		cnex 11265	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
29	28	ssex 5339	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ⊆ ℂ → 𝑌 ∈ V)
30	5, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑌 ∈ V)
31		resthaus 23397	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝐽 ↾t 𝑌) ∈ Haus)
32	27, 30, 31	sylancr 586	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐽 ↾t 𝑌) ∈ Haus)
33		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
34		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t 𝑌) = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌)
35	33, 34	cmphaushmeo 23829	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ (𝐽 ↾t 𝑌) ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌))) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌)) ↔ 𝐹:∪ 𝐾–1-1-onto→∪ (𝐽 ↾t 𝑌)))
36	26, 32, 11, 35	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌)) ↔ 𝐹:∪ 𝐾–1-1-onto→∪ (𝐽 ↾t 𝑌)))
37	22, 25, 36	3bitr4d 311	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ↔ 𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌))))
38	6, 8, 7	cncfcn 24955	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝑌–cn→𝑋) = ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾))
39	5, 3, 38	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝑌–cn→𝑋) = ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾))
40	39	eleq2d 2830	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (◡𝐹 ∈ (𝑌–cn→𝑋) ↔ ◡𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾)))
41	14, 37, 40	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑌–cn→𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ∪ cuni 4931  ^◡ccnv 5699  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182   ↾_t crest 17480  TopOpenctopn 17481  ℂ_fldccnfld 21387  Topctop 22920   Cn ccn 23253  Hauscha 23337  Compccmp 23415  Homeochmeo 23782  –cn→ccncf 24921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-icc 13414  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-rest 17482  df-topn 17483  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-cls 23050  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-cmp 23416  df-hmeo 23784  df-xms 24351  df-ms 24352  df-cncf 24923

This theorem is referenced by:  dvcnvrelem2  26077