Theorem cncfcnvcn 25239

Description: Rewrite cmphaushmeo 24112 for functions on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfcnvcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cncfcnvcn.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
cncfcnvcn	⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑌–cn→𝑋)))

Proof of Theorem cncfcnvcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌))
2		cncfrss 25205	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌) → 𝑋 ⊆ ℂ)
3	2	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑋 ⊆ ℂ)
4		cncfrss2 25206	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌) → 𝑌 ⊆ ℂ)
5	4	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑌 ⊆ ℂ)
6		cncfcnvcn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
7		cncfcnvcn.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑋)
8		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑌) = (𝐽 ↾t 𝑌)
9	6, 7, 8	cncfcn 25224	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝑋–cn→𝑌) = (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌)))
10	3, 5, 9	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝑋–cn→𝑌) = (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌)))
11	1, 10	eleqtrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌)))
12		ishmeo 24071	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌)) ↔ (𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌)) ∧ ◡𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾)))
13	12	baib 545	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌)) ↔ ◡𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾)))
14	11, 13	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌)) ↔ ◡𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾)))
15	6	cnfldtop 25095	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ∈ Top
16	6	cnfldtopon 25094	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
17	16	toponunii 23227	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = ∪ 𝐽
18	17	restuni 23473	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → 𝑋 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑋))
19	15, 3, 18	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑋 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑋))
20	7	unieqi 4879	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑋)
21	19, 20	eqtr4di 2814	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑋 = ∪ 𝐾)
22	21	f1oeq2d 6818	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→∪ (𝐽 ↾t 𝑌) ↔ 𝐹:∪ 𝐾–1-1-onto→∪ (𝐽 ↾t 𝑌)))
23	17	restuni 23473	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → 𝑌 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌))
24	15, 5, 23	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑌 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌))
25	24	f1oeq3d 6819	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ↔ 𝐹:𝑋–1-1-onto→∪ (𝐽 ↾t 𝑌)))
26		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝐾 ∈ Comp)
27	6	cnfldhaus 25096	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ Haus
28		cnex 11274	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
29	28	ssex 5282	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ⊆ ℂ → 𝑌 ∈ V)
30	5, 29	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑌 ∈ V)
31		resthaus 23679	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝐽 ↾t 𝑌) ∈ Haus)
32	27, 30, 31	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐽 ↾t 𝑌) ∈ Haus)
33		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
34		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t 𝑌) = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌)
35	33, 34	cmphaushmeo 24112	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ (𝐽 ↾t 𝑌) ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌))) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌)) ↔ 𝐹:∪ 𝐾–1-1-onto→∪ (𝐽 ↾t 𝑌)))
36	26, 32, 11, 35	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌)) ↔ 𝐹:∪ 𝐾–1-1-onto→∪ (𝐽 ↾t 𝑌)))
37	22, 25, 36	3bitr4d 314	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ↔ 𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌))))
38	6, 8, 7	cncfcn 25224	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝑌–cn→𝑋) = ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾))
39	5, 3, 38	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝑌–cn→𝑋) = ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾))
40	39	eleq2d 2847	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (◡𝐹 ∈ (𝑌–cn→𝑋) ↔ ◡𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾)))
41	14, 37, 40	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑌–cn→𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4867  ^◡ccnv 5650  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191   ↾_t crest 17584  TopOpenctopn 17585  ℂ_fldccnfld 21671  Topctop 23204   Cn ccn 23535  Hauscha 23619  Compccmp 23697  Homeochmeo 24065  –cn→ccncf 25190

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fi 9396  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-icc 13476  df-fz 13633  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-struct 17318  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-rest 17586  df-topn 17587  df-topgen 17607  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-cnfld 21672  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-cld 23330  df-cls 23332  df-cn 23538  df-cnp 23539  df-haus 23626  df-cmp 23698  df-hmeo 24067  df-xms 24632  df-ms 24633  df-cncf 25192

This theorem is used by:  dvcnvrelem2  26331