Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfcnvcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfcnvcn 23539
 Description: Rewrite cmphaushmeo 22414 for functions on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfcnvcn.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cncfcnvcn.k 𝐾 = (𝐽t 𝑋)
Assertion
Ref Expression
cncfcnvcn ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 ∈ (𝑌cn𝑋)))

Proof of Theorem cncfcnvcn
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌))
2 cncfrss 23505 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌) → 𝑋 ⊆ ℂ)
32adantl 485 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → 𝑋 ⊆ ℂ)
4 cncfrss2 23506 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌) → 𝑌 ⊆ ℂ)
54adantl 485 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → 𝑌 ⊆ ℂ)
6 cncfcnvcn.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
7 cncfcnvcn.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐽t 𝑋)
8 eqid 2824 . . . . . 6 (𝐽t 𝑌) = (𝐽t 𝑌)
96, 7, 8cncfcn 23524 . . . . 5 ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝑋cn𝑌) = (𝐾 Cn (𝐽t 𝑌)))
103, 5, 9syl2anc 587 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝑋cn𝑌) = (𝐾 Cn (𝐽t 𝑌)))
111, 10eleqtrd 2918 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽t 𝑌)))
12 ishmeo 22373 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽t 𝑌)) ↔ (𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽t 𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐾)))
1312baib 539 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽t 𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽t 𝑌)) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐾)))
1411, 13syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽t 𝑌)) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐾)))
156cnfldtop 23398 . . . . . 6 𝐽 ∈ Top
166cnfldtopon 23397 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
1716toponunii 21530 . . . . . . 7 ℂ = 𝐽
1817restuni 21776 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → 𝑋 = (𝐽t 𝑋))
1915, 3, 18sylancr 590 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → 𝑋 = (𝐽t 𝑋))
207unieqi 4837 . . . . 5 𝐾 = (𝐽t 𝑋)
2119, 20eqtr4di 2877 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → 𝑋 = 𝐾)
2221f1oeq2d 6604 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝐹:𝑋1-1-onto (𝐽t 𝑌) ↔ 𝐹: 𝐾1-1-onto (𝐽t 𝑌)))
2317restuni 21776 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → 𝑌 = (𝐽t 𝑌))
2415, 5, 23sylancr 590 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → 𝑌 = (𝐽t 𝑌))
2524f1oeq3d 6605 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋1-1-onto (𝐽t 𝑌)))
26 simpl 486 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → 𝐾 ∈ Comp)
276cnfldhaus 23399 . . . . 5 𝐽 ∈ Haus
28 cnex 10618 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
2928ssex 5212 . . . . . 6 (𝑌 ⊆ ℂ → 𝑌 ∈ V)
305, 29syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → 𝑌 ∈ V)
31 resthaus 21982 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝐽t 𝑌) ∈ Haus)
3227, 30, 31sylancr 590 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝐽t 𝑌) ∈ Haus)
33 eqid 2824 . . . . 5 𝐾 = 𝐾
34 eqid 2824 . . . . 5 (𝐽t 𝑌) = (𝐽t 𝑌)
3533, 34cmphaushmeo 22414 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ (𝐽t 𝑌) ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽t 𝑌))) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽t 𝑌)) ↔ 𝐹: 𝐾1-1-onto (𝐽t 𝑌)))
3626, 32, 11, 35syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽t 𝑌)) ↔ 𝐹: 𝐾1-1-onto (𝐽t 𝑌)))
3722, 25, 363bitr4d 314 . 2 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽t 𝑌))))
386, 8, 7cncfcn 23524 . . . 4 ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝑌cn𝑋) = ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐾))
395, 3, 38syl2anc 587 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝑌cn𝑋) = ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐾))
4039eleq2d 2901 . 2 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑌cn𝑋) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐾)))
4114, 37, 403bitr4d 314 1 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 ∈ (𝑌cn𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480   ⊆ wss 3919  ∪ cuni 4824  ◡ccnv 5542  –1-1-onto→wf1o 6344  ‘cfv 6345  (class class class)co 7151  ℂcc 10535   ↾t crest 16696  TopOpenctopn 16697  ℂfldccnfld 20100  Topctop 21507   Cn ccn 21838  Hauscha 21922  Compccmp 22000  Homeochmeo 22367  –cn→ccncf 23490 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-icc 12744  df-fz 12897  df-seq 13376  df-exp 13437  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-rest 16698  df-topn 16699  df-topgen 16719  df-psmet 20092  df-xmet 20093  df-met 20094  df-bl 20095  df-mopn 20096  df-cnfld 20101  df-top 21508  df-topon 21525  df-topsp 21547  df-bases 21560  df-cld 21633  df-cls 21635  df-cn 21841  df-cnp 21842  df-haus 21929  df-cmp 22001  df-hmeo 22369  df-xms 22936  df-ms 22937  df-cncf 23492 This theorem is referenced by:  dvcnvrelem2  24630
 Copyright terms: Public domain W3C validator