MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfcnvcn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cncfcnvcn 24801
Description: Rewrite cmphaushmeo 23659 for functions on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfcnvcn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
cncfcnvcn.k 𝐾 = (𝐽 β†Ύt 𝑋)
Assertion
Ref Expression
cncfcnvcn ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ↔ ◑𝐹 ∈ (π‘Œβ€“cn→𝑋)))
Proof of Theorem cncfcnvcn
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ))
2 cncfrss 24766 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
32adantl 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
4 cncfrss2 24767 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ) β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
54adantl 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
6 cncfcnvcn.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
7 cncfcnvcn.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐽 β†Ύt 𝑋)
8 eqid 2726 . . . . . 6 (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
96, 7, 8cncfcn 24785 . . . . 5 ((𝑋 βŠ† β„‚ ∧ π‘Œ βŠ† β„‚) β†’ (𝑋–cnβ†’π‘Œ) = (𝐾 Cn (𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
103, 5, 9syl2anc 583 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (𝑋–cnβ†’π‘Œ) = (𝐾 Cn (𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
111, 10eleqtrd 2829 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
12 ishmeo 23618 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 β†Ύt π‘Œ)) ↔ (𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 β†Ύt π‘Œ)) ∧ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐾)))
1312baib 535 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 β†Ύt π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 β†Ύt π‘Œ)) ↔ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐾)))
1411, 13syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 β†Ύt π‘Œ)) ↔ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐾)))
156cnfldtop 24655 . . . . . 6 𝐽 ∈ Top
166cnfldtopon 24654 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
1716toponunii 22773 . . . . . . 7 β„‚ = βˆͺ 𝐽
1817restuni 23021 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 βŠ† β„‚) β†’ 𝑋 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑋))
1915, 3, 18sylancr 586 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ 𝑋 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑋))
207unieqi 4914 . . . . 5 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑋)
2119, 20eqtr4di 2784 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐾)
2221f1oeq2d 6823 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ↔ 𝐹:βˆͺ 𝐾–1-1-ontoβ†’βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
2317restuni 23021 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† β„‚) β†’ π‘Œ = βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
2415, 5, 23sylancr 586 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ π‘Œ = βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
2524f1oeq3d 6824 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ↔ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
26 simpl 482 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Comp)
276cnfldhaus 24656 . . . . 5 𝐽 ∈ Haus
28 cnex 11193 . . . . . . 7 β„‚ ∈ V
2928ssex 5314 . . . . . 6 (π‘Œ βŠ† β„‚ β†’ π‘Œ ∈ V)
305, 29syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ V)
31 resthaus 23227 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Haus ∧ π‘Œ ∈ V) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ Haus)
3227, 30, 31sylancr 586 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ Haus)
33 eqid 2726 . . . . 5 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
34 eqid 2726 . . . . 5 βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
3533, 34cmphaushmeo 23659 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 β†Ύt π‘Œ))) β†’ (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 β†Ύt π‘Œ)) ↔ 𝐹:βˆͺ 𝐾–1-1-ontoβ†’βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
3626, 32, 11, 35syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 β†Ύt π‘Œ)) ↔ 𝐹:βˆͺ 𝐾–1-1-ontoβ†’βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
3722, 25, 363bitr4d 311 . 2 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ↔ 𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 β†Ύt π‘Œ))))
386, 8, 7cncfcn 24785 . . . 4 ((π‘Œ βŠ† β„‚ ∧ 𝑋 βŠ† β„‚) β†’ (π‘Œβ€“cn→𝑋) = ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐾))
395, 3, 38syl2anc 583 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (π‘Œβ€“cn→𝑋) = ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐾))
4039eleq2d 2813 . 2 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (◑𝐹 ∈ (π‘Œβ€“cn→𝑋) ↔ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐾)))
4114, 37, 403bitr4d 311 1 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ↔ ◑𝐹 ∈ (π‘Œβ€“cn→𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  βˆͺ cuni 4902  β—‘ccnv 5668  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6536  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110   β†Ύt crest 17375  TopOpenctopn 17376  β„‚fldccnfld 21240  Topctop 22750   Cn ccn 23083  Hauscha 23167  Compccmp 23245  Homeochmeo 23612  β€“cnβ†’ccncf 24751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-icc 13337  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-rest 17377  df-topn 17378  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-cls 22880  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-hmeo 23614  df-xms 24181  df-ms 24182  df-cncf 24753
This theorem is referenced by:  dvcnvrelem2  25906
  Copyright terms: Public domain W3C validator