Theorem cncfcnvcn 24846

Description: Rewrite cmphaushmeo 23715 for functions on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfcnvcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cncfcnvcn.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
cncfcnvcn	⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑌–cn→𝑋)))

Proof of Theorem cncfcnvcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌))
2		cncfrss 24811	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌) → 𝑋 ⊆ ℂ)
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑋 ⊆ ℂ)
4		cncfrss2 24812	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌) → 𝑌 ⊆ ℂ)
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑌 ⊆ ℂ)
6		cncfcnvcn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
7		cncfcnvcn.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑋)
8		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑌) = (𝐽 ↾t 𝑌)
9	6, 7, 8	cncfcn 24830	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝑋–cn→𝑌) = (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌)))
10	3, 5, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝑋–cn→𝑌) = (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌)))
11	1, 10	eleqtrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌)))
12		ishmeo 23674	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌)) ↔ (𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌)) ∧ ◡𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾)))
13	12	baib 535	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌)) ↔ ◡𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾)))
14	11, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌)) ↔ ◡𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾)))
15	6	cnfldtop 24698	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ∈ Top
16	6	cnfldtopon 24697	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
17	16	toponunii 22831	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = ∪ 𝐽
18	17	restuni 23077	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → 𝑋 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑋))
19	15, 3, 18	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑋 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑋))
20	7	unieqi 4868	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑋)
21	19, 20	eqtr4di 2784	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑋 = ∪ 𝐾)
22	21	f1oeq2d 6759	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→∪ (𝐽 ↾t 𝑌) ↔ 𝐹:∪ 𝐾–1-1-onto→∪ (𝐽 ↾t 𝑌)))
23	17	restuni 23077	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → 𝑌 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌))
24	15, 5, 23	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑌 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌))
25	24	f1oeq3d 6760	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ↔ 𝐹:𝑋–1-1-onto→∪ (𝐽 ↾t 𝑌)))
26		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝐾 ∈ Comp)
27	6	cnfldhaus 24699	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ Haus
28		cnex 11087	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
29	28	ssex 5257	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ⊆ ℂ → 𝑌 ∈ V)
30	5, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑌 ∈ V)
31		resthaus 23283	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝐽 ↾t 𝑌) ∈ Haus)
32	27, 30, 31	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐽 ↾t 𝑌) ∈ Haus)
33		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
34		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t 𝑌) = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌)
35	33, 34	cmphaushmeo 23715	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ (𝐽 ↾t 𝑌) ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌))) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌)) ↔ 𝐹:∪ 𝐾–1-1-onto→∪ (𝐽 ↾t 𝑌)))
36	26, 32, 11, 35	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌)) ↔ 𝐹:∪ 𝐾–1-1-onto→∪ (𝐽 ↾t 𝑌)))
37	22, 25, 36	3bitr4d 311	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ↔ 𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌))))
38	6, 8, 7	cncfcn 24830	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝑌–cn→𝑋) = ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾))
39	5, 3, 38	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝑌–cn→𝑋) = ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾))
40	39	eleq2d 2817	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (◡𝐹 ∈ (𝑌–cn→𝑋) ↔ ◡𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾)))
41	14, 37, 40	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑌–cn→𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  ∪ cuni 4856  ^◡ccnv 5613  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004   ↾_t crest 17324  TopOpenctopn 17325  ℂ_fldccnfld 21291  Topctop 22808   Cn ccn 23139  Hauscha 23223  Compccmp 23301  Homeochmeo 23668  –cn→ccncf 24796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-icc 13252  df-fz 13408  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-rest 17326  df-topn 17327  df-topgen 17347  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-cnfld 21292  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-cld 22934  df-cls 22936  df-cn 23142  df-cnp 23143  df-haus 23230  df-cmp 23302  df-hmeo 23670  df-xms 24235  df-ms 24236  df-cncf 24798

This theorem is referenced by:  dvcnvrelem2  25950