Theorem cncfcnvcn 23994

Description: Rewrite cmphaushmeo 22859 for functions on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfcnvcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cncfcnvcn.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
cncfcnvcn	⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑌–cn→𝑋)))

Proof of Theorem cncfcnvcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌))
2		cncfrss 23960	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌) → 𝑋 ⊆ ℂ)
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑋 ⊆ ℂ)
4		cncfrss2 23961	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌) → 𝑌 ⊆ ℂ)
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑌 ⊆ ℂ)
6		cncfcnvcn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
7		cncfcnvcn.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑋)
8		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑌) = (𝐽 ↾t 𝑌)
9	6, 7, 8	cncfcn 23979	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝑋–cn→𝑌) = (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌)))
10	3, 5, 9	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝑋–cn→𝑌) = (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌)))
11	1, 10	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌)))
12		ishmeo 22818	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌)) ↔ (𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌)) ∧ ◡𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾)))
13	12	baib 535	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌)) ↔ ◡𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾)))
14	11, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌)) ↔ ◡𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾)))
15	6	cnfldtop 23853	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ∈ Top
16	6	cnfldtopon 23852	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
17	16	toponunii 21973	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = ∪ 𝐽
18	17	restuni 22221	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → 𝑋 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑋))
19	15, 3, 18	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑋 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑋))
20	7	unieqi 4849	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑋)
21	19, 20	eqtr4di 2797	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑋 = ∪ 𝐾)
22	21	f1oeq2d 6696	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→∪ (𝐽 ↾t 𝑌) ↔ 𝐹:∪ 𝐾–1-1-onto→∪ (𝐽 ↾t 𝑌)))
23	17	restuni 22221	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → 𝑌 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌))
24	15, 5, 23	sylancr 586	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑌 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌))
25	24	f1oeq3d 6697	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ↔ 𝐹:𝑋–1-1-onto→∪ (𝐽 ↾t 𝑌)))
26		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝐾 ∈ Comp)
27	6	cnfldhaus 23854	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ Haus
28		cnex 10883	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
29	28	ssex 5240	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ⊆ ℂ → 𝑌 ∈ V)
30	5, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → 𝑌 ∈ V)
31		resthaus 22427	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝐽 ↾t 𝑌) ∈ Haus)
32	27, 30, 31	sylancr 586	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐽 ↾t 𝑌) ∈ Haus)
33		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
34		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t 𝑌) = ∪ (𝐽 ↾t 𝑌)
35	33, 34	cmphaushmeo 22859	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ (𝐽 ↾t 𝑌) ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ↾t 𝑌))) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌)) ↔ 𝐹:∪ 𝐾–1-1-onto→∪ (𝐽 ↾t 𝑌)))
36	26, 32, 11, 35	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌)) ↔ 𝐹:∪ 𝐾–1-1-onto→∪ (𝐽 ↾t 𝑌)))
37	22, 25, 36	3bitr4d 310	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ↔ 𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 ↾t 𝑌))))
38	6, 8, 7	cncfcn 23979	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝑌–cn→𝑋) = ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾))
39	5, 3, 38	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝑌–cn→𝑋) = ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾))
40	39	eleq2d 2824	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (◡𝐹 ∈ (𝑌–cn→𝑋) ↔ ◡𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐾)))
41	14, 37, 40	3bitr4d 310	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→𝑌)) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑌–cn→𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ∪ cuni 4836  ^◡ccnv 5579  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800   ↾_t crest 17048  TopOpenctopn 17049  ℂ_fldccnfld 20510  Topctop 21950   Cn ccn 22283  Hauscha 22367  Compccmp 22445  Homeochmeo 22812  –cn→ccncf 23945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-icc 13015  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-rest 17050  df-topn 17051  df-topgen 17071  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-cls 22080  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-cmp 22446  df-hmeo 22814  df-xms 23381  df-ms 23382  df-cncf 23947

This theorem is referenced by:  dvcnvrelem2  25087