MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfcnvcn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cncfcnvcn 24864
Description: Rewrite cmphaushmeo 23722 for functions on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfcnvcn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
cncfcnvcn.k 𝐾 = (𝐽 β†Ύt 𝑋)
Assertion
Ref Expression
cncfcnvcn ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ↔ ◑𝐹 ∈ (π‘Œβ€“cn→𝑋)))
Proof of Theorem cncfcnvcn
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ))
2 cncfrss 24829 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
32adantl 480 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
4 cncfrss2 24830 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ) β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
54adantl 480 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
6 cncfcnvcn.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
7 cncfcnvcn.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐽 β†Ύt 𝑋)
8 eqid 2725 . . . . . 6 (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
96, 7, 8cncfcn 24848 . . . . 5 ((𝑋 βŠ† β„‚ ∧ π‘Œ βŠ† β„‚) β†’ (𝑋–cnβ†’π‘Œ) = (𝐾 Cn (𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
103, 5, 9syl2anc 582 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (𝑋–cnβ†’π‘Œ) = (𝐾 Cn (𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
111, 10eleqtrd 2827 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
12 ishmeo 23681 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 β†Ύt π‘Œ)) ↔ (𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 β†Ύt π‘Œ)) ∧ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐾)))
1312baib 534 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 β†Ύt π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 β†Ύt π‘Œ)) ↔ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐾)))
1411, 13syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 β†Ύt π‘Œ)) ↔ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐾)))
156cnfldtop 24718 . . . . . 6 𝐽 ∈ Top
166cnfldtopon 24717 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
1716toponunii 22836 . . . . . . 7 β„‚ = βˆͺ 𝐽
1817restuni 23084 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 βŠ† β„‚) β†’ 𝑋 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑋))
1915, 3, 18sylancr 585 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ 𝑋 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑋))
207unieqi 4915 . . . . 5 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑋)
2119, 20eqtr4di 2783 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐾)
2221f1oeq2d 6830 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ↔ 𝐹:βˆͺ 𝐾–1-1-ontoβ†’βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
2317restuni 23084 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† β„‚) β†’ π‘Œ = βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
2415, 5, 23sylancr 585 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ π‘Œ = βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
2524f1oeq3d 6831 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ↔ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
26 simpl 481 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Comp)
276cnfldhaus 24719 . . . . 5 𝐽 ∈ Haus
28 cnex 11219 . . . . . . 7 β„‚ ∈ V
2928ssex 5316 . . . . . 6 (π‘Œ βŠ† β„‚ β†’ π‘Œ ∈ V)
305, 29syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ V)
31 resthaus 23290 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Haus ∧ π‘Œ ∈ V) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ Haus)
3227, 30, 31sylancr 585 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ Haus)
33 eqid 2725 . . . . 5 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
34 eqid 2725 . . . . 5 βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
3533, 34cmphaushmeo 23722 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 β†Ύt π‘Œ))) β†’ (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 β†Ύt π‘Œ)) ↔ 𝐹:βˆͺ 𝐾–1-1-ontoβ†’βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
3626, 32, 11, 35syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 β†Ύt π‘Œ)) ↔ 𝐹:βˆͺ 𝐾–1-1-ontoβ†’βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
3722, 25, 363bitr4d 310 . 2 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ↔ 𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽 β†Ύt π‘Œ))))
386, 8, 7cncfcn 24848 . . . 4 ((π‘Œ βŠ† β„‚ ∧ 𝑋 βŠ† β„‚) β†’ (π‘Œβ€“cn→𝑋) = ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐾))
395, 3, 38syl2anc 582 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (π‘Œβ€“cn→𝑋) = ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐾))
4039eleq2d 2811 . 2 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (◑𝐹 ∈ (π‘Œβ€“cn→𝑋) ↔ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐾)))
4114, 37, 403bitr4d 310 1 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’π‘Œ)) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ↔ ◑𝐹 ∈ (π‘Œβ€“cn→𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   βŠ† wss 3939  βˆͺ cuni 4903  β—‘ccnv 5671  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136   β†Ύt crest 17401  TopOpenctopn 17402  β„‚fldccnfld 21283  Topctop 22813   Cn ccn 23146  Hauscha 23230  Compccmp 23308  Homeochmeo 23675  β€“cnβ†’ccncf 24814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-icc 13363  df-fz 13517  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-rest 17403  df-topn 17404  df-topgen 17424  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-cls 22943  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-cmp 23309  df-hmeo 23677  df-xms 24244  df-ms 24245  df-cncf 24816
This theorem is referenced by:  dvcnvrelem2  25969
  Copyright terms: Public domain W3C validator