MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climcncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climcncf 24926
Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
climcncf.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climcncf.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climcncf.4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
climcncf.5 (𝜑𝐺:𝑍𝐴)
climcncf.6 (𝜑𝐺𝐷)
climcncf.7 (𝜑𝐷𝐴)
Assertion
Ref Expression
climcncf (𝜑 → (𝐹𝐺) ⇝ (𝐹𝐷))

Proof of Theorem climcncf
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcncf.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climcncf.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climcncf.7 . 2 (𝜑𝐷𝐴)
4 climcncf.4 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
5 cncff 24919 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
76ffvelcdmda 7104 . . 3 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐵)
8 cncfrss2 24918 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
94, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
109sselda 3983 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝐵) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
117, 10syldan 591 . 2 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
12 climcncf.6 . 2 (𝜑𝐺𝐷)
13 climcncf.5 . . . 4 (𝜑𝐺:𝑍𝐴)
141fvexi 6920 . . . 4 𝑍 ∈ V
15 fex 7246 . . . 4 ((𝐺:𝑍𝐴𝑍 ∈ V) → 𝐺 ∈ V)
1613, 14, 15sylancl 586 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ V)
17 coexg 7951 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹𝐺) ∈ V)
184, 16, 17syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐺) ∈ V)
19 cncfi 24920 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝐷𝐴𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐷))) < 𝑥))
20193expia 1122 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝐷𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐷))) < 𝑥)))
214, 3, 20syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐷))) < 𝑥)))
2221imp 406 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐷))) < 𝑥))
2313ffvelcdmda 7104 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ 𝐴)
24 fvco3 7008 . . 3 ((𝐺:𝑍𝐴𝑘𝑍) → ((𝐹𝐺)‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
2513, 24sylan 580 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝐺)‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
261, 2, 3, 11, 12, 18, 22, 23, 25climcn1 15628 1 (𝜑 → (𝐹𝐺) ⇝ (𝐹𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951   class class class wbr 5143  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153   < clt 11295  cmin 11492  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  abscabs 15273  cli 15520  cnccncf 24902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-z 12614  df-uz 12879  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-abs 15275  df-clim 15524  df-cncf 24904
This theorem is referenced by:  leibpi  26985  lgamcvg2  27098  gamcvg  27099  iprodefisum  35741  climexp  45620  fprodsubrecnncnvlem  45922  fprodaddrecnncnvlem  45924  stirlinglem14  46102
  Copyright terms: Public domain W3C validator