Theorem climcncf 25090

Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcncf.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climcncf.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climcncf.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))
climcncf.5	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶𝐴)
climcncf.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐷)
climcncf.7	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
climcncf	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ⇝ (𝐹‘𝐷))

Proof of Theorem climcncf

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcncf.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climcncf.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climcncf.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
4		climcncf.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))
5		cncff 25083	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6	4, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
7	6	ffvelcdmda 7083	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐵)
8		cncfrss2 25082	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
9	4, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
10	9	sselda 3938	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
11	7, 10	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
12		climcncf.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐷)
13		climcncf.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶𝐴)
14	1	fvexi 6899	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
15		fex 7228	. . . 4 ⊢ ((𝐺:𝑍⟶𝐴 ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝐺 ∈ V)
16	13, 14, 15	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
17		coexg 7928	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V)
18	4, 16, 17	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V)
19		cncfi 25084	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐷))) < 𝑥))
20	19	3expia 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐷))) < 𝑥)))
21	4, 3, 20	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐷))) < 𝑥)))
22	21	imp 412	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐷))) < 𝑥))
23	13	ffvelcdmda 7083	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ 𝐴)
24		fvco3 6985	. . 3 ⊢ ((𝐺:𝑍⟶𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺‘𝑘)))
25	13, 24	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺‘𝑘)))
26	1, 2, 3, 11, 12, 18, 22, 23, 25	climcn1 15663	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ⇝ (𝐹‘𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111   ∘ ccom 5667  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109   < clt 11254   − cmin 11452  ℤcz 12602  ℤ_≥cuz 12874  ℝ⁺crp 13028  abscabs 15305   ⇝ cli 15555  –cn→ccncf 25066

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-z 12603  df-uz 12875  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-abs 15307  df-clim 15559  df-cncf 25068

This theorem is used by:  leibpi  27138  lgamcvg2  27250  gamcvg  27251  iprodefisum  36246  climexp  46354  fprodsubrecnncnvlem  46654  fprodaddrecnncnvlem  46656  stirlinglem14  46834