MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climcncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climcncf 23664
Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
climcncf.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climcncf.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climcncf.4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
climcncf.5 (𝜑𝐺:𝑍𝐴)
climcncf.6 (𝜑𝐺𝐷)
climcncf.7 (𝜑𝐷𝐴)
Assertion
Ref Expression
climcncf (𝜑 → (𝐹𝐺) ⇝ (𝐹𝐷))

Proof of Theorem climcncf
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcncf.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climcncf.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climcncf.7 . 2 (𝜑𝐷𝐴)
4 climcncf.4 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
5 cncff 23657 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
76ffvelrnda 6873 . . 3 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐵)
8 cncfrss2 23656 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
94, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
109sselda 3887 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝐵) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
117, 10syldan 594 . 2 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
12 climcncf.6 . 2 (𝜑𝐺𝐷)
13 climcncf.5 . . . 4 (𝜑𝐺:𝑍𝐴)
141fvexi 6700 . . . 4 𝑍 ∈ V
15 fex 7011 . . . 4 ((𝐺:𝑍𝐴𝑍 ∈ V) → 𝐺 ∈ V)
1613, 14, 15sylancl 589 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ V)
17 coexg 7672 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹𝐺) ∈ V)
184, 16, 17syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐺) ∈ V)
19 cncfi 23658 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝐷𝐴𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐷))) < 𝑥))
20193expia 1122 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝐷𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐷))) < 𝑥)))
214, 3, 20syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐷))) < 𝑥)))
2221imp 410 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐷))) < 𝑥))
2313ffvelrnda 6873 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ 𝐴)
24 fvco3 6779 . . 3 ((𝐺:𝑍𝐴𝑘𝑍) → ((𝐹𝐺)‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
2513, 24sylan 583 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝐺)‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
261, 2, 3, 11, 12, 18, 22, 23, 25climcn1 15051 1 (𝜑 → (𝐹𝐺) ⇝ (𝐹𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3054  wrex 3055  Vcvv 3400  wss 3853   class class class wbr 5040  ccom 5539  wf 6345  cfv 6349  (class class class)co 7182  cc 10625   < clt 10765  cmin 10960  cz 12074  cuz 12336  +crp 12484  abscabs 14695  cli 14943  cnccncf 23640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-po 5452  df-so 5453  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-er 8332  df-map 8451  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-2 11791  df-z 12075  df-uz 12337  df-cj 14560  df-re 14561  df-im 14562  df-abs 14697  df-clim 14947  df-cncf 23642
This theorem is referenced by:  leibpi  25692  lgamcvg2  25804  gamcvg  25805  iprodefisum  33292  climexp  42728  fprodsubrecnncnvlem  43030  fprodaddrecnncnvlem  43032  stirlinglem14  43210
  Copyright terms: Public domain W3C validator