Theorem climcncf 24844

Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcncf.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climcncf.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climcncf.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))
climcncf.5	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶𝐴)
climcncf.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐷)
climcncf.7	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
climcncf	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ⇝ (𝐹‘𝐷))

Proof of Theorem climcncf

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcncf.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climcncf.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climcncf.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
4		climcncf.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))
5		cncff 24837	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
7	6	ffvelcdmda 7074	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐵)
8		cncfrss2 24836	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
9	4, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
10	9	sselda 3958	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
11	7, 10	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
12		climcncf.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐷)
13		climcncf.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶𝐴)
14	1	fvexi 6890	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
15		fex 7218	. . . 4 ⊢ ((𝐺:𝑍⟶𝐴 ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝐺 ∈ V)
16	13, 14, 15	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
17		coexg 7925	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V)
18	4, 16, 17	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V)
19		cncfi 24838	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐷))) < 𝑥))
20	19	3expia 1121	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐷))) < 𝑥)))
21	4, 3, 20	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐷))) < 𝑥)))
22	21	imp 406	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐷))) < 𝑥))
23	13	ffvelcdmda 7074	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ 𝐴)
24		fvco3 6978	. . 3 ⊢ ((𝐺:𝑍⟶𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺‘𝑘)))
25	13, 24	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺‘𝑘)))
26	1, 2, 3, 11, 12, 18, 22, 23, 25	climcn1 15608	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ⇝ (𝐹‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119   ∘ ccom 5658  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127   < clt 11269   − cmin 11466  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ℝ⁺crp 13008  abscabs 15253   ⇝ cli 15500  –cn→ccncf 24820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-z 12589  df-uz 12853  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-abs 15255  df-clim 15504  df-cncf 24822

This theorem is referenced by:  leibpi  26904  lgamcvg2  27017  gamcvg  27018  iprodefisum  35758  climexp  45634  fprodsubrecnncnvlem  45936  fprodaddrecnncnvlem  45938  stirlinglem14  46116