MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climcncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climcncf 24819
Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
climcncf.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climcncf.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climcncf.4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
climcncf.5 (𝜑𝐺:𝑍𝐴)
climcncf.6 (𝜑𝐺𝐷)
climcncf.7 (𝜑𝐷𝐴)
Assertion
Ref Expression
climcncf (𝜑 → (𝐹𝐺) ⇝ (𝐹𝐷))

Proof of Theorem climcncf
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcncf.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climcncf.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climcncf.7 . 2 (𝜑𝐷𝐴)
4 climcncf.4 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
5 cncff 24812 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
76ffvelcdmda 7094 . . 3 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐵)
8 cncfrss2 24811 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
94, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
109sselda 3980 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝐵) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
117, 10syldan 590 . 2 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
12 climcncf.6 . 2 (𝜑𝐺𝐷)
13 climcncf.5 . . . 4 (𝜑𝐺:𝑍𝐴)
141fvexi 6911 . . . 4 𝑍 ∈ V
15 fex 7238 . . . 4 ((𝐺:𝑍𝐴𝑍 ∈ V) → 𝐺 ∈ V)
1613, 14, 15sylancl 585 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ V)
17 coexg 7937 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹𝐺) ∈ V)
184, 16, 17syl2anc 583 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐺) ∈ V)
19 cncfi 24813 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝐷𝐴𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐷))) < 𝑥))
20193expia 1119 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝐷𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐷))) < 𝑥)))
214, 3, 20syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐷))) < 𝑥)))
2221imp 406 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐷))) < 𝑥))
2313ffvelcdmda 7094 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ 𝐴)
24 fvco3 6997 . . 3 ((𝐺:𝑍𝐴𝑘𝑍) → ((𝐹𝐺)‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
2513, 24sylan 579 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝐺)‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
261, 2, 3, 11, 12, 18, 22, 23, 25climcn1 15568 1 (𝜑 → (𝐹𝐺) ⇝ (𝐹𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3471  wss 3947   class class class wbr 5148  ccom 5682  wf 6544  cfv 6548  (class class class)co 7420  cc 11136   < clt 11278  cmin 11474  cz 12588  cuz 12852  +crp 13006  abscabs 15213  cli 15460  cnccncf 24795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-2 12305  df-z 12589  df-uz 12853  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-abs 15215  df-clim 15464  df-cncf 24797
This theorem is referenced by:  leibpi  26873  lgamcvg2  26986  gamcvg  26987  iprodefisum  35335  climexp  44993  fprodsubrecnncnvlem  45295  fprodaddrecnncnvlem  45297  stirlinglem14  45475
  Copyright terms: Public domain W3C validator