Theorem climcncf 23664

Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcncf.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climcncf.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climcncf.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))
climcncf.5	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶𝐴)
climcncf.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐷)
climcncf.7	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
climcncf	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ⇝ (𝐹‘𝐷))

Proof of Theorem climcncf

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcncf.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climcncf.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climcncf.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
4		climcncf.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))
5		cncff 23657	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
7	6	ffvelrnda 6873	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐵)
8		cncfrss2 23656	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
9	4, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
10	9	sselda 3887	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
11	7, 10	syldan 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
12		climcncf.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐷)
13		climcncf.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶𝐴)
14	1	fvexi 6700	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
15		fex 7011	. . . 4 ⊢ ((𝐺:𝑍⟶𝐴 ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝐺 ∈ V)
16	13, 14, 15	sylancl 589	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
17		coexg 7672	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V)
18	4, 16, 17	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V)
19		cncfi 23658	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐷))) < 𝑥))
20	19	3expia 1122	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐷))) < 𝑥)))
21	4, 3, 20	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐷))) < 𝑥)))
22	21	imp 410	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐷))) < 𝑥))
23	13	ffvelrnda 6873	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ 𝐴)
24		fvco3 6779	. . 3 ⊢ ((𝐺:𝑍⟶𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺‘𝑘)))
25	13, 24	sylan 583	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺‘𝑘)))
26	1, 2, 3, 11, 12, 18, 22, 23, 25	climcn1 15051	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ⇝ (𝐹‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3054  ∃wrex 3055  Vcvv 3400   ⊆ wss 3853   class class class wbr 5040   ∘ ccom 5539  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7182  ℂcc 10625   < clt 10765   − cmin 10960  ℤcz 12074  ℤ_≥cuz 12336  ℝ⁺crp 12484  abscabs 14695   ⇝ cli 14943  –cn→ccncf 23640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-po 5452  df-so 5453  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-er 8332  df-map 8451  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-2 11791  df-z 12075  df-uz 12337  df-cj 14560  df-re 14561  df-im 14562  df-abs 14697  df-clim 14947  df-cncf 23642

This theorem is referenced by:  leibpi  25692  lgamcvg2  25804  gamcvg  25805  iprodefisum  33292  climexp  42728  fprodsubrecnncnvlem  43030  fprodaddrecnncnvlem  43032  stirlinglem14  43210