MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climcncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climcncf 24764
Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
climcncf.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climcncf.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climcncf.4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
climcncf.5 (𝜑𝐺:𝑍𝐴)
climcncf.6 (𝜑𝐺𝐷)
climcncf.7 (𝜑𝐷𝐴)
Assertion
Ref Expression
climcncf (𝜑 → (𝐹𝐺) ⇝ (𝐹𝐷))

Proof of Theorem climcncf
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcncf.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climcncf.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climcncf.7 . 2 (𝜑𝐷𝐴)
4 climcncf.4 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
5 cncff 24757 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
76ffvelcdmda 7077 . . 3 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐵)
8 cncfrss2 24756 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
94, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
109sselda 3975 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝐵) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
117, 10syldan 590 . 2 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
12 climcncf.6 . 2 (𝜑𝐺𝐷)
13 climcncf.5 . . . 4 (𝜑𝐺:𝑍𝐴)
141fvexi 6896 . . . 4 𝑍 ∈ V
15 fex 7220 . . . 4 ((𝐺:𝑍𝐴𝑍 ∈ V) → 𝐺 ∈ V)
1613, 14, 15sylancl 585 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ V)
17 coexg 7914 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹𝐺) ∈ V)
184, 16, 17syl2anc 583 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐺) ∈ V)
19 cncfi 24758 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝐷𝐴𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐷))) < 𝑥))
20193expia 1118 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝐷𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐷))) < 𝑥)))
214, 3, 20syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐷))) < 𝑥)))
2221imp 406 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐷))) < 𝑥))
2313ffvelcdmda 7077 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ 𝐴)
24 fvco3 6981 . . 3 ((𝐺:𝑍𝐴𝑘𝑍) → ((𝐹𝐺)‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
2513, 24sylan 579 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝐺)‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
261, 2, 3, 11, 12, 18, 22, 23, 25climcn1 15538 1 (𝜑 → (𝐹𝐺) ⇝ (𝐹𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3053  wrex 3062  Vcvv 3466  wss 3941   class class class wbr 5139  ccom 5671  wf 6530  cfv 6534  (class class class)co 7402  cc 11105   < clt 11247  cmin 11443  cz 12557  cuz 12821  +crp 12975  abscabs 15183  cli 15430  cnccncf 24740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274  df-z 12558  df-uz 12822  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-abs 15185  df-clim 15434  df-cncf 24742
This theorem is referenced by:  leibpi  26814  lgamcvg2  26927  gamcvg  26928  iprodefisum  35233  climexp  44866  fprodsubrecnncnvlem  45168  fprodaddrecnncnvlem  45170  stirlinglem14  45348
  Copyright terms: Public domain W3C validator