Theorem climcncf 24810

Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcncf.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climcncf.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climcncf.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))
climcncf.5	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶𝐴)
climcncf.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐷)
climcncf.7	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
climcncf	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ⇝ (𝐹‘𝐷))

Proof of Theorem climcncf

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcncf.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climcncf.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climcncf.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
4		climcncf.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))
5		cncff 24803	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
7	6	ffvelcdmda 7022	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐵)
8		cncfrss2 24802	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
9	4, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
10	9	sselda 3937	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
11	7, 10	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
12		climcncf.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐷)
13		climcncf.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶𝐴)
14	1	fvexi 6840	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
15		fex 7166	. . . 4 ⊢ ((𝐺:𝑍⟶𝐴 ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝐺 ∈ V)
16	13, 14, 15	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
17		coexg 7869	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V)
18	4, 16, 17	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V)
19		cncfi 24804	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐷))) < 𝑥))
20	19	3expia 1121	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐷))) < 𝑥)))
21	4, 3, 20	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐷))) < 𝑥)))
22	21	imp 406	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐷))) < 𝑥))
23	13	ffvelcdmda 7022	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ 𝐴)
24		fvco3 6926	. . 3 ⊢ ((𝐺:𝑍⟶𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺‘𝑘)))
25	13, 24	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺‘𝑘)))
26	1, 2, 3, 11, 12, 18, 22, 23, 25	climcn1 15518	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ⇝ (𝐹‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095   ∘ ccom 5627  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026   < clt 11168   − cmin 11366  ℤcz 12490  ℤ_≥cuz 12754  ℝ⁺crp 12912  abscabs 15160   ⇝ cli 15410  –cn→ccncf 24786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-z 12491  df-uz 12755  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-abs 15162  df-clim 15414  df-cncf 24788

This theorem is referenced by:  leibpi  26869  lgamcvg2  26982  gamcvg  26983  iprodefisum  35733  climexp  45606  fprodsubrecnncnvlem  45908  fprodaddrecnncnvlem  45910  stirlinglem14  46088