Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfmptssg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfmptssg 42029
Description: A continuous complex function restricted to a subset is continuous, using maps-to notation. This theorem generalizes cncfmptss 41744 because it allows to establish a subset for the codomain also. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmptssg.2 𝐹 = (𝑥𝐴𝐸)
cncfmptssg.3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
cncfmptssg.4 (𝜑𝐶𝐴)
cncfmptssg.5 (𝜑𝐷𝐵)
cncfmptssg.6 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐸𝐷)
Assertion
Ref Expression
cncfmptssg (𝜑 → (𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cncfmptssg
StepHypRef Expression
1 cncfmptssg.6 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐸𝐷)
21fmpttd 6871 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐸):𝐶𝐷)
3 cncfmptssg.5 . . . 4 (𝜑𝐷𝐵)
4 cncfmptssg.3 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
5 cncfrss2 23427 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
73, 6sstrd 3974 . . 3 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
8 cncfmptssg.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐴)
98sselda 3964 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐴)
10 cncfmptssg.2 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥𝐴𝐸)
1110fvmpt2 6771 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐸𝐷) → (𝐹𝑥) = 𝐸)
129, 1, 11syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝐹𝑥) = 𝐸)
1312mpteq2dva 5152 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐶𝐸))
14 nfmpt1 5155 . . . . . 6 𝑥(𝑥𝐴𝐸)
1510, 14nfcxfr 2972 . . . . 5 𝑥𝐹
1615, 4, 8cncfmptss 41744 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (𝐶cn𝐵))
1713, 16eqeltrrd 2911 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐵))
18 cncffvrn 23433 . . 3 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐵)) → ((𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐷) ↔ (𝑥𝐶𝐸):𝐶𝐷))
197, 17, 18syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐷) ↔ (𝑥𝐶𝐸):𝐶𝐷))
202, 19mpbird 258 1 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3933  cmpt 5137  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cnccncf 23411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-2 11688  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-abs 14583  df-cncf 23413
This theorem is referenced by:  negcncfg  42040  itgsinexplem1  42115  itgiccshift  42141  itgperiod  42142  itgsbtaddcnst  42143  dirkeritg  42264  dirkercncflem2  42266  dirkercncflem4  42268  fourierdlem18  42287  fourierdlem23  42292  fourierdlem39  42308  fourierdlem40  42309  fourierdlem62  42330  fourierdlem73  42341  fourierdlem78  42346  fourierdlem83  42351  fourierdlem84  42352  fourierdlem93  42361  fourierdlem95  42363  fourierdlem101  42369  fourierdlem111  42379  etransclem46  42442
  Copyright terms: Public domain W3C validator