Theorem cncfmptssg 45886

Description: A continuous complex function restricted to a subset is continuous, using maps-to notation. This theorem generalizes cncfmptss 45602 because it allows to establish a subset for the codomain also. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfmptssg.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐸)
cncfmptssg.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))
cncfmptssg.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
cncfmptssg.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐵)
cncfmptssg.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐸 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cncfmptssg	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸) ∈ (𝐶–cn→𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cncfmptssg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfmptssg.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐸 ∈ 𝐷)
2	1	fmpttd 7135	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸):𝐶⟶𝐷)
3		cncfmptssg.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐵)
4		cncfmptssg.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))
5		cncfrss2 24918	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
7	3, 6	sstrd 3994	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
8		cncfmptssg.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
9	8	sselda 3983	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
10		cncfmptssg.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐸)
11	10	fvmpt2 7027	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐸 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) = 𝐸)
12	9, 1, 11	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑥) = 𝐸)
13	12	mpteq2dva 5242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸))
14		nfmpt1 5250	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐸)
15	10, 14	nfcxfr 2903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
16	15, 4, 8	cncfmptss 45602	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐶–cn→𝐵))
17	13, 16	eqeltrrd 2842	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸) ∈ (𝐶–cn→𝐵))
18		cncfcdm 24924	. . 3 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸) ∈ (𝐶–cn→𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸) ∈ (𝐶–cn→𝐷) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸):𝐶⟶𝐷))
19	7, 17, 18	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸) ∈ (𝐶–cn→𝐷) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸):𝐶⟶𝐷))
20	2, 19	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸) ∈ (𝐶–cn→𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  –cn→ccncf 24902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-abs 15275  df-cncf 24904

This theorem is referenced by:  negcncfg  45896  itgsinexplem1  45969  itgiccshift  45995  itgperiod  45996  itgsbtaddcnst  45997  dirkeritg  46117  dirkercncflem2  46119  dirkercncflem4  46121  fourierdlem18  46140  fourierdlem23  46145  fourierdlem39  46161  fourierdlem40  46162  fourierdlem62  46183  fourierdlem73  46194  fourierdlem78  46199  fourierdlem83  46204  fourierdlem84  46205  fourierdlem93  46214  fourierdlem95  46216  fourierdlem101  46222  fourierdlem111  46232  etransclem46  46295