Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfmptssg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfmptssg 44202
Description: A continuous complex function restricted to a subset is continuous, using maps-to notation. This theorem generalizes cncfmptss 43918 because it allows to establish a subset for the codomain also. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmptssg.2 𝐹 = (𝑥𝐴𝐸)
cncfmptssg.3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
cncfmptssg.4 (𝜑𝐶𝐴)
cncfmptssg.5 (𝜑𝐷𝐵)
cncfmptssg.6 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐸𝐷)
Assertion
Ref Expression
cncfmptssg (𝜑 → (𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cncfmptssg
StepHypRef Expression
1 cncfmptssg.6 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐸𝐷)
21fmpttd 7067 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐸):𝐶𝐷)
3 cncfmptssg.5 . . . 4 (𝜑𝐷𝐵)
4 cncfmptssg.3 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
5 cncfrss2 24278 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
73, 6sstrd 3958 . . 3 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
8 cncfmptssg.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐴)
98sselda 3948 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐴)
10 cncfmptssg.2 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥𝐴𝐸)
1110fvmpt2 6963 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐸𝐷) → (𝐹𝑥) = 𝐸)
129, 1, 11syl2anc 585 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝐹𝑥) = 𝐸)
1312mpteq2dva 5209 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐶𝐸))
14 nfmpt1 5217 . . . . . 6 𝑥(𝑥𝐴𝐸)
1510, 14nfcxfr 2902 . . . . 5 𝑥𝐹
1615, 4, 8cncfmptss 43918 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (𝐶cn𝐵))
1713, 16eqeltrrd 2835 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐵))
18 cncfcdm 24284 . . 3 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐵)) → ((𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐷) ↔ (𝑥𝐶𝐸):𝐶𝐷))
197, 17, 18syl2anc 585 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐷) ↔ (𝑥𝐶𝐸):𝐶𝐷))
202, 19mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3914  cmpt 5192  wf 6496  cfv 6500  (class class class)co 7361  cc 11057  cnccncf 24262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-2 12224  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-abs 15130  df-cncf 24264
This theorem is referenced by:  negcncfg  44212  itgsinexplem1  44285  itgiccshift  44311  itgperiod  44312  itgsbtaddcnst  44313  dirkeritg  44433  dirkercncflem2  44435  dirkercncflem4  44437  fourierdlem18  44456  fourierdlem23  44461  fourierdlem39  44477  fourierdlem40  44478  fourierdlem62  44499  fourierdlem73  44510  fourierdlem78  44515  fourierdlem83  44520  fourierdlem84  44521  fourierdlem93  44530  fourierdlem95  44532  fourierdlem101  44538  fourierdlem111  44548  etransclem46  44611
  Copyright terms: Public domain W3C validator