Theorem cncfmptssg 46218

Description: A continuous complex function restricted to a subset is continuous, using maps-to notation. This theorem generalizes cncfmptss 45936 because it allows to establish a subset for the codomain also. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfmptssg.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐸)
cncfmptssg.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))
cncfmptssg.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
cncfmptssg.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐵)
cncfmptssg.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐸 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cncfmptssg	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸) ∈ (𝐶–cn→𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cncfmptssg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfmptssg.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐸 ∈ 𝐷)
2	1	fmpttd 7069	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸):𝐶⟶𝐷)
3		cncfmptssg.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐵)
4		cncfmptssg.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))
5		cncfrss2 24853	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
7	3, 6	sstrd 3946	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
8		cncfmptssg.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
9	8	sselda 3935	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
10		cncfmptssg.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐸)
11	10	fvmpt2 6961	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐸 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) = 𝐸)
12	9, 1, 11	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑥) = 𝐸)
13	12	mpteq2dva 5193	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸))
14		nfmpt1 5199	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐸)
15	10, 14	nfcxfr 2897	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
16	15, 4, 8	cncfmptss 45936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐶–cn→𝐵))
17	13, 16	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸) ∈ (𝐶–cn→𝐵))
18		cncfcdm 24859	. . 3 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸) ∈ (𝐶–cn→𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸) ∈ (𝐶–cn→𝐷) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸):𝐶⟶𝐷))
19	7, 17, 18	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸) ∈ (𝐶–cn→𝐷) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸):𝐶⟶𝐷))
20	2, 19	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸) ∈ (𝐶–cn→𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  –cn→ccncf 24837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-abs 15171  df-cncf 24839

This theorem is referenced by:  negcncfg  46228  itgsinexplem1  46301  itgiccshift  46327  itgperiod  46328  itgsbtaddcnst  46329  dirkeritg  46449  dirkercncflem2  46451  dirkercncflem4  46453  fourierdlem18  46472  fourierdlem23  46477  fourierdlem39  46493  fourierdlem40  46494  fourierdlem62  46515  fourierdlem73  46526  fourierdlem78  46531  fourierdlem83  46536  fourierdlem84  46537  fourierdlem93  46546  fourierdlem95  46548  fourierdlem101  46554  fourierdlem111  46564  etransclem46  46627