Theorem cncfmptssg 45792

Description: A continuous complex function restricted to a subset is continuous, using maps-to notation. This theorem generalizes cncfmptss 45508 because it allows to establish a subset for the codomain also. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfmptssg.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐸)
cncfmptssg.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))
cncfmptssg.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
cncfmptssg.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐵)
cncfmptssg.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐸 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cncfmptssg	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸) ∈ (𝐶–cn→𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cncfmptssg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfmptssg.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐸 ∈ 𝐷)
2	1	fmpttd 7149	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸):𝐶⟶𝐷)
3		cncfmptssg.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐵)
4		cncfmptssg.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))
5		cncfrss2 24937	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
7	3, 6	sstrd 4019	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
8		cncfmptssg.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
9	8	sselda 4008	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
10		cncfmptssg.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐸)
11	10	fvmpt2 7040	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐸 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) = 𝐸)
12	9, 1, 11	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑥) = 𝐸)
13	12	mpteq2dva 5266	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸))
14		nfmpt1 5274	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐸)
15	10, 14	nfcxfr 2906	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
16	15, 4, 8	cncfmptss 45508	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐶–cn→𝐵))
17	13, 16	eqeltrrd 2845	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸) ∈ (𝐶–cn→𝐵))
18		cncfcdm 24943	. . 3 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸) ∈ (𝐶–cn→𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸) ∈ (𝐶–cn→𝐷) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸):𝐶⟶𝐷))
19	7, 17, 18	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸) ∈ (𝐶–cn→𝐷) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸):𝐶⟶𝐷))
20	2, 19	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐸) ∈ (𝐶–cn→𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   ↦ cmpt 5249  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  –cn→ccncf 24921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-2 12356  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-abs 15285  df-cncf 24923

This theorem is referenced by:  negcncfg  45802  itgsinexplem1  45875  itgiccshift  45901  itgperiod  45902  itgsbtaddcnst  45903  dirkeritg  46023  dirkercncflem2  46025  dirkercncflem4  46027  fourierdlem18  46046  fourierdlem23  46051  fourierdlem39  46067  fourierdlem40  46068  fourierdlem62  46089  fourierdlem73  46100  fourierdlem78  46105  fourierdlem83  46110  fourierdlem84  46111  fourierdlem93  46120  fourierdlem95  46122  fourierdlem101  46128  fourierdlem111  46138  etransclem46  46201