Theorem cncfrss 25218

Description: Reverse closure of the continuous function predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncfrss	⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)

Proof of Theorem cncfrss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cncf 25205	. . 3 ⊢ –cn→ = (𝑎 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑏 ∈ 𝒫 ℂ ↦ {𝑓 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑎 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)})
2	1	elmpocl1 7664	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℂ)
3	2	elpwid 4565	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3895  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ↑_m cmap 8851  ℂcc 11202   < clt 11347   − cmin 11545  ℝ⁺crp 13124  abscabs 15407  –cn→ccncf 25203

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-cncf 25205

This theorem is used by:  cncff  25220  cncfi  25221  rescncf  25224  cncfcdm  25225  cncfco  25234  cncfcompt2  25235  cncfmpt2f  25242  cncfcnvcn  25252  mulcncf  25773  cncombf  25985  cnlimci  26215  ulmcn  26732  efmul2picn  35272  mulcncff  46974  subcncff  46984  negcncfg  46985  addcncff  46988  ioccncflimc  46989  icocncflimc  46993  divcncff  46995