Theorem cncfrss 25031

Description: Reverse closure of the continuous function predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncfrss	⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)

Proof of Theorem cncfrss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cncf 25018	. . 3 ⊢ –cn→ = (𝑎 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑏 ∈ 𝒫 ℂ ↦ {𝑓 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑎 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)})
2	1	elmpocl1 7654	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℂ)
3	2	elpwid 4572	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3416   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4563   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8825  ℂcc 11099   < clt 11244   − cmin 11442  ℝ⁺crp 13017  abscabs 15287  –cn→ccncf 25016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-xp 5669  df-dm 5673  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-cncf 25018

This theorem is referenced by:  cncff  25033  cncfi  25034  rescncf  25037  cncfcdm  25038  cncfco  25047  cncfcompt2  25048  cncfmpt2f  25055  cncfcnvcn  25065  mulcncf  25586  cncombf  25798  cnlimci  26029  ulmcn  26543  efmul2picn  34964  mulcncff  46567  subcncff  46577  negcncfg  46578  addcncff  46581  ioccncflimc  46582  icocncflimc  46586  divcncff  46588