Theorem cncfrss 25245

Description: Reverse closure of the continuous function predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncfrss	⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)

Proof of Theorem cncfrss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cncf 25232	. . 3 ⊢ –cn→ = (𝑎 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑏 ∈ 𝒫 ℂ ↦ {𝑓 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑎 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)})
2	1	elmpocl1 7690	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℂ)
3	2	elpwid 4569	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  {crab 3416   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   ↑_m cmap 8878  ℂcc 11228   < clt 11373   − cmin 11571  ℝ⁺crp 13150  abscabs 15433  –cn→ccncf 25230

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-xp 5662  df-dm 5666  df-iota 6515  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-cncf 25232

This theorem is used by:  cncff  25247  cncfi  25248  rescncf  25251  cncfcdm  25252  cncfco  25261  cncfcompt2  25262  cncfmpt2f  25269  cncfcnvcn  25279  mulcncf  25800  cncombf  26012  cnlimci  26242  ulmcn  26759  efmul2picn  35308  mulcncff  47095  subcncff  47105  negcncfg  47106  addcncff  47109  ioccncflimc  47110  icocncflimc  47114  divcncff  47116