Theorem cncfrss 25125

Description: Reverse closure of the continuous function predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncfrss	⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)

Proof of Theorem cncfrss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cncf 25112	. . 3 ⊢ –cn→ = (𝑎 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑏 ∈ 𝒫 ℂ ↦ {𝑓 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑎 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)})
2	1	elmpocl1 7660	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℂ)
3	2	elpwid 4569	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3414   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ↑_m cmap 8830  ℂcc 11126   < clt 11271   − cmin 11469  ℝ⁺crp 13046  abscabs 15325  –cn→ccncf 25110

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-cncf 25112

This theorem is used by:  cncff  25127  cncfi  25128  rescncf  25131  cncfcdm  25132  cncfco  25141  cncfcompt2  25142  cncfmpt2f  25149  cncfcnvcn  25159  mulcncf  25680  cncombf  25892  cnlimci  26123  ulmcn  26642  efmul2picn  35112  mulcncff  46706  subcncff  46716  negcncfg  46717  addcncff  46720  ioccncflimc  46721  icocncflimc  46725  divcncff  46727