Theorem cncfrss 25087

Description: Reverse closure of the continuous function predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncfrss	⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)

Proof of Theorem cncfrss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cncf 25074	. . 3 ⊢ –cn→ = (𝑎 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑏 ∈ 𝒫 ℂ ↦ {𝑓 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑎 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)})
2	1	elmpocl1 7665	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℂ)
3	2	elpwid 4576	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  ∃wrex 3092  {crab 3419   ⊆ wss 3908  𝒫 cpw 4567   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ↑_m cmap 8833  ℂcc 11116   < clt 11261   − cmin 11459  ℝ⁺crp 13034  abscabs 15311  –cn→ccncf 25072

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-xp 5672  df-dm 5676  df-iota 6499  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-cncf 25074

This theorem is used by:  cncff  25089  cncfi  25090  rescncf  25093  cncfcdm  25094  cncfco  25103  cncfcompt2  25104  cncfmpt2f  25111  cncfcnvcn  25121  mulcncf  25642  cncombf  25854  cnlimci  26085  ulmcn  26599  efmul2picn  35015  mulcncff  46625  subcncff  46635  negcncfg  46636  addcncff  46639  ioccncflimc  46640  icocncflimc  46644  divcncff  46646