Theorem coss0 38435

Description: Cosets by the empty set are the empty set. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
coss0	⊢ ≀ ∅ = ∅

Proof of Theorem coss0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcoss2 38369	. 2 ⊢ ≀ ∅ = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅)}
2		ec0 38325	. . . . . . 7 ⊢ [𝑥]∅ = ∅
3	2	eleq2i 2836	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ [𝑥]∅ ↔ 𝑦 ∈ ∅)
4	2	eleq2i 2836	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ [𝑥]∅ ↔ 𝑧 ∈ ∅)
5	3, 4	anbi12i 627	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅) ↔ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
6	5	exbii 1846	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅) ↔ ∃𝑥(𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
7		19.9v 1983	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅) ↔ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
8	6, 7	bitri 275	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅) ↔ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
9	8	opabbii 5233	. 2 ⊢ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅)} = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅)}
10		prnzg 4803	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ V → {𝑦, 𝑧} ≠ ∅)
11	10	elv 3493	. . . . 5 ⊢ {𝑦, 𝑧} ≠ ∅
12		ss0b 4424	. . . . 5 ⊢ ({𝑦, 𝑧} ⊆ ∅ ↔ {𝑦, 𝑧} = ∅)
13	11, 12	nemtbir 3044	. . . 4 ⊢ ¬ {𝑦, 𝑧} ⊆ ∅
14		prssg 4844	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → ((𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅) ↔ {𝑦, 𝑧} ⊆ ∅))
15	14	el2v 3495	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅) ↔ {𝑦, 𝑧} ⊆ ∅)
16	13, 15	mtbir 323	. . 3 ⊢ ¬ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅)
17	16	opabf 38324	. 2 ⊢ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅)} = ∅
18	1, 9, 17	3eqtri 2772	1 ⊢ ≀ ∅ = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  {cpr 4650  {copab 5228  [cec 8761   ≀ ccoss 38135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-cnv 5708  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ec 8765  df-coss 38367

This theorem is referenced by:  eqvrel0  38742