Theorem coss0 39028

Description: Cosets by the empty set are the empty set. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
coss0	⊢ ≀ ∅ = ∅

Proof of Theorem coss0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcoss2 38962	. 2 ⊢ ≀ ∅ = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅)}
2		ec0 38836	. . . . . . 7 ⊢ [𝑥]∅ = ∅
3	2	eleq2i 2853	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ [𝑥]∅ ↔ 𝑦 ∈ ∅)
4	2	eleq2i 2853	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ [𝑥]∅ ↔ 𝑧 ∈ ∅)
5	3, 4	anbi12i 637	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅) ↔ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
6	5	exbii 1867	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅) ↔ ∃𝑥(𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
7		19.9v 2003	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅) ↔ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
8	6, 7	bitri 277	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅) ↔ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
9	8	opabbii 5164	. 2 ⊢ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅)} = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅)}
10		prnzg 4734	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ V → {𝑦, 𝑧} ≠ ∅)
11	10	elv 3458	. . . . 5 ⊢ {𝑦, 𝑧} ≠ ∅
12		ss0b 4352	. . . . 5 ⊢ ({𝑦, 𝑧} ⊆ ∅ ↔ {𝑦, 𝑧} = ∅)
13	11, 12	nemtbir 3052	. . . 4 ⊢ ¬ {𝑦, 𝑧} ⊆ ∅
14		prssg 4774	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → ((𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅) ↔ {𝑦, 𝑧} ⊆ ∅))
15	14	el2v 3460	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅) ↔ {𝑦, 𝑧} ⊆ ∅)
16	13, 15	mtbir 325	. . 3 ⊢ ¬ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅)
17	16	opabf 38835	. 2 ⊢ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅)} = ∅
18	1, 9, 17	3eqtri 2788	1 ⊢ ≀ ∅ = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  {cpr 4581  {copab 5159  [cec 8669   ≀ ccoss 38642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-11 2190  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-br 5098  df-opab 5160  df-xp 5649  df-cnv 5651  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-ec 8673  df-coss 38960

This theorem is referenced by:  eqvrel0  39348