Theorem coss0 38461

Description: Cosets by the empty set are the empty set. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
coss0	⊢ ≀ ∅ = ∅

Proof of Theorem coss0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcoss2 38395	. 2 ⊢ ≀ ∅ = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅)}
2		ec0 38351	. . . . . . 7 ⊢ [𝑥]∅ = ∅
3	2	eleq2i 2831	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ [𝑥]∅ ↔ 𝑦 ∈ ∅)
4	2	eleq2i 2831	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ [𝑥]∅ ↔ 𝑧 ∈ ∅)
5	3, 4	anbi12i 628	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅) ↔ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
6	5	exbii 1845	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅) ↔ ∃𝑥(𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
7		19.9v 1981	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅) ↔ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
8	6, 7	bitri 275	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅) ↔ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
9	8	opabbii 5215	. 2 ⊢ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅)} = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅)}
10		prnzg 4783	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ V → {𝑦, 𝑧} ≠ ∅)
11	10	elv 3483	. . . . 5 ⊢ {𝑦, 𝑧} ≠ ∅
12		ss0b 4407	. . . . 5 ⊢ ({𝑦, 𝑧} ⊆ ∅ ↔ {𝑦, 𝑧} = ∅)
13	11, 12	nemtbir 3036	. . . 4 ⊢ ¬ {𝑦, 𝑧} ⊆ ∅
14		prssg 4824	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → ((𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅) ↔ {𝑦, 𝑧} ⊆ ∅))
15	14	el2v 3485	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅) ↔ {𝑦, 𝑧} ⊆ ∅)
16	13, 15	mtbir 323	. . 3 ⊢ ¬ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅)
17	16	opabf 38350	. 2 ⊢ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅)} = ∅
18	1, 9, 17	3eqtri 2767	1 ⊢ ≀ ∅ = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  {cpr 4633  {copab 5210  [cec 8742   ≀ ccoss 38162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5695  df-cnv 5697  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ec 8746  df-coss 38393

This theorem is referenced by:  eqvrel0  38768