Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coss0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coss0 38480
Description: Cosets by the empty set are the empty set. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
coss0 ≀ ∅ = ∅

Proof of Theorem coss0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcoss2 38414 . 2 ≀ ∅ = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅)}
2 ec0 38370 . . . . . . 7 [𝑥]∅ = ∅
32eleq2i 2833 . . . . . 6 (𝑦 ∈ [𝑥]∅ ↔ 𝑦 ∈ ∅)
42eleq2i 2833 . . . . . 6 (𝑧 ∈ [𝑥]∅ ↔ 𝑧 ∈ ∅)
53, 4anbi12i 628 . . . . 5 ((𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅) ↔ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
65exbii 1848 . . . 4 (∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅) ↔ ∃𝑥(𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
7 19.9v 1983 . . . 4 (∃𝑥(𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅) ↔ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
86, 7bitri 275 . . 3 (∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅) ↔ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
98opabbii 5210 . 2 {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅)} = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅)}
10 prnzg 4778 . . . . . 6 (𝑦 ∈ V → {𝑦, 𝑧} ≠ ∅)
1110elv 3485 . . . . 5 {𝑦, 𝑧} ≠ ∅
12 ss0b 4401 . . . . 5 ({𝑦, 𝑧} ⊆ ∅ ↔ {𝑦, 𝑧} = ∅)
1311, 12nemtbir 3038 . . . 4 ¬ {𝑦, 𝑧} ⊆ ∅
14 prssg 4819 . . . . 5 ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → ((𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅) ↔ {𝑦, 𝑧} ⊆ ∅))
1514el2v 3487 . . . 4 ((𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅) ↔ {𝑦, 𝑧} ⊆ ∅)
1613, 15mtbir 323 . . 3 ¬ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅)
1716opabf 38369 . 2 {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅)} = ∅
181, 9, 173eqtri 2769 1 ≀ ∅ = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333  {cpr 4628  {copab 5205  [cec 8743  ccoss 38182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5691  df-cnv 5693  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ec 8747  df-coss 38412
This theorem is referenced by:  eqvrel0  38787
  Copyright terms: Public domain W3C validator