Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coss0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coss0 37951
Description: Cosets by the empty set are the empty set. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
coss0 ≀ ∅ = ∅

Proof of Theorem coss0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcoss2 37885 . 2 ≀ ∅ = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅)}
2 ec0 37841 . . . . . . 7 [𝑥]∅ = ∅
32eleq2i 2821 . . . . . 6 (𝑦 ∈ [𝑥]∅ ↔ 𝑦 ∈ ∅)
42eleq2i 2821 . . . . . 6 (𝑧 ∈ [𝑥]∅ ↔ 𝑧 ∈ ∅)
53, 4anbi12i 627 . . . . 5 ((𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅) ↔ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
65exbii 1843 . . . 4 (∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅) ↔ ∃𝑥(𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
7 19.9v 1980 . . . 4 (∃𝑥(𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅) ↔ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
86, 7bitri 275 . . 3 (∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅) ↔ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
98opabbii 5215 . 2 {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅)} = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅)}
10 prnzg 4783 . . . . . 6 (𝑦 ∈ V → {𝑦, 𝑧} ≠ ∅)
1110elv 3477 . . . . 5 {𝑦, 𝑧} ≠ ∅
12 ss0b 4398 . . . . 5 ({𝑦, 𝑧} ⊆ ∅ ↔ {𝑦, 𝑧} = ∅)
1311, 12nemtbir 3035 . . . 4 ¬ {𝑦, 𝑧} ⊆ ∅
14 prssg 4823 . . . . 5 ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → ((𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅) ↔ {𝑦, 𝑧} ⊆ ∅))
1514el2v 3479 . . . 4 ((𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅) ↔ {𝑦, 𝑧} ⊆ ∅)
1613, 15mtbir 323 . . 3 ¬ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅)
1716opabf 37840 . 2 {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅)} = ∅
181, 9, 173eqtri 2760 1 ≀ ∅ = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wne 2937  Vcvv 3471  wss 3947  c0 4323  {cpr 4631  {copab 5210  [cec 8722  ccoss 37648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5684  df-cnv 5686  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ec 8726  df-coss 37883
This theorem is referenced by:  eqvrel0  38258
  Copyright terms: Public domain W3C validator