Theorem coss0 38904

Description: Cosets by the empty set are the empty set. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
coss0	⊢ ≀ ∅ = ∅

Proof of Theorem coss0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcoss2 38838	. 2 ⊢ ≀ ∅ = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅)}
2		ec0 38712	. . . . . . 7 ⊢ [𝑥]∅ = ∅
3	2	eleq2i 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ [𝑥]∅ ↔ 𝑦 ∈ ∅)
4	2	eleq2i 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ [𝑥]∅ ↔ 𝑧 ∈ ∅)
5	3, 4	anbi12i 629	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅) ↔ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
6	5	exbii 1850	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅) ↔ ∃𝑥(𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
7		19.9v 1986	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅) ↔ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
8	6, 7	bitri 275	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅) ↔ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
9	8	opabbii 5153	. 2 ⊢ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅)} = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅)}
10		prnzg 4723	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ V → {𝑦, 𝑧} ≠ ∅)
11	10	elv 3435	. . . . 5 ⊢ {𝑦, 𝑧} ≠ ∅
12		ss0b 4342	. . . . 5 ⊢ ({𝑦, 𝑧} ⊆ ∅ ↔ {𝑦, 𝑧} = ∅)
13	11, 12	nemtbir 3029	. . . 4 ⊢ ¬ {𝑦, 𝑧} ⊆ ∅
14		prssg 4763	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → ((𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅) ↔ {𝑦, 𝑧} ⊆ ∅))
15	14	el2v 3437	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅) ↔ {𝑦, 𝑧} ⊆ ∅)
16	13, 15	mtbir 323	. . 3 ⊢ ¬ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅)
17	16	opabf 38711	. 2 ⊢ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅)} = ∅
18	1, 9, 17	3eqtri 2764	1 ⊢ ≀ ∅ = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {cpr 4570  {copab 5148  [cec 8634   ≀ ccoss 38518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-11 2163  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5630  df-cnv 5632  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ec 8638  df-coss 38836

This theorem is referenced by:  eqvrel0  39224