Theorem coss0 38601

Description: Cosets by the empty set are the empty set. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
coss0	⊢ ≀ ∅ = ∅

Proof of Theorem coss0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcoss2 38535	. 2 ⊢ ≀ ∅ = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅)}
2		ec0 38421	. . . . . . 7 ⊢ [𝑥]∅ = ∅
3	2	eleq2i 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ [𝑥]∅ ↔ 𝑦 ∈ ∅)
4	2	eleq2i 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ [𝑥]∅ ↔ 𝑧 ∈ ∅)
5	3, 4	anbi12i 628	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅) ↔ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
6	5	exbii 1849	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅) ↔ ∃𝑥(𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
7		19.9v 1985	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅) ↔ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
8	6, 7	bitri 275	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅) ↔ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
9	8	opabbii 5160	. 2 ⊢ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅)} = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅)}
10		prnzg 4730	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ V → {𝑦, 𝑧} ≠ ∅)
11	10	elv 3442	. . . . 5 ⊢ {𝑦, 𝑧} ≠ ∅
12		ss0b 4350	. . . . 5 ⊢ ({𝑦, 𝑧} ⊆ ∅ ↔ {𝑦, 𝑧} = ∅)
13	11, 12	nemtbir 3025	. . . 4 ⊢ ¬ {𝑦, 𝑧} ⊆ ∅
14		prssg 4770	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → ((𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅) ↔ {𝑦, 𝑧} ⊆ ∅))
15	14	el2v 3444	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅) ↔ {𝑦, 𝑧} ⊆ ∅)
16	13, 15	mtbir 323	. . 3 ⊢ ¬ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅)
17	16	opabf 38420	. 2 ⊢ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅)} = ∅
18	1, 9, 17	3eqtri 2760	1 ⊢ ≀ ∅ = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  {cpr 4577  {copab 5155  [cec 8626   ≀ ccoss 38242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-11 2162  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-br 5094  df-opab 5156  df-xp 5625  df-cnv 5627  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ec 8630  df-coss 38533

This theorem is referenced by:  eqvrel0  38904