Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coss0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coss0 36987
Description: Cosets by the empty set are the empty set. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
coss0 ≀ ∅ = ∅

Proof of Theorem coss0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcoss2 36921 . 2 ≀ ∅ = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅)}
2 ec0 36876 . . . . . . 7 [𝑥]∅ = ∅
32eleq2i 2826 . . . . . 6 (𝑦 ∈ [𝑥]∅ ↔ 𝑦 ∈ ∅)
42eleq2i 2826 . . . . . 6 (𝑧 ∈ [𝑥]∅ ↔ 𝑧 ∈ ∅)
53, 4anbi12i 628 . . . . 5 ((𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅) ↔ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
65exbii 1851 . . . 4 (∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅) ↔ ∃𝑥(𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
7 19.9v 1988 . . . 4 (∃𝑥(𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅) ↔ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
86, 7bitri 275 . . 3 (∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅) ↔ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅))
98opabbii 5173 . 2 {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ∃𝑥(𝑦 ∈ [𝑥]∅ ∧ 𝑧 ∈ [𝑥]∅)} = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅)}
10 prnzg 4740 . . . . . 6 (𝑦 ∈ V → {𝑦, 𝑧} ≠ ∅)
1110elv 3450 . . . . 5 {𝑦, 𝑧} ≠ ∅
12 ss0b 4358 . . . . 5 ({𝑦, 𝑧} ⊆ ∅ ↔ {𝑦, 𝑧} = ∅)
1311, 12nemtbir 3037 . . . 4 ¬ {𝑦, 𝑧} ⊆ ∅
14 prssg 4780 . . . . 5 ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → ((𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅) ↔ {𝑦, 𝑧} ⊆ ∅))
1514el2v 3452 . . . 4 ((𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅) ↔ {𝑦, 𝑧} ⊆ ∅)
1613, 15mtbir 323 . . 3 ¬ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅)
1716opabf 36875 . 2 {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅)} = ∅
181, 9, 173eqtri 2765 1 ≀ ∅ = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2940  Vcvv 3444  wss 3911  c0 4283  {cpr 4589  {copab 5168  [cec 8649  ccoss 36680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5107  df-opab 5169  df-xp 5640  df-cnv 5642  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ec 8653  df-coss 36919
This theorem is referenced by:  eqvrel0  37294
  Copyright terms: Public domain W3C validator