Theorem csbfv2g 6491

Description: Move class substitution in and out of a function value. (Contributed by NM, 10-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
csbfv2g	⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐹‘𝐵) = (𝐹‘⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵))

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem csbfv2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbfv12 6490	. 2 ⊢ ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐹‘𝐵) = (⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹‘⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)
2		csbconstg 3764	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹 = 𝐹)
3	2	fveq1d 6448	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹‘⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵) = (𝐹‘⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵))
4	1, 3	syl5eq 2826	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐹‘𝐵) = (𝐹‘⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ⦋csb 3751  ‘cfv 6135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-nul 5025  ax-pow 5077

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-dm 5365  df-iota 6099  df-fv 6143

This theorem is referenced by:  csbfv  6492  ixpsnval  8197  swrdspsleq  13769  sumeq2ii  14831  fsumabs  14937  prodeq2ii  15046  fprodabs  15107  ixpsnbasval  19606  coe1fzgsumdlem  20067  evl1gsumdlem  20116  pm2mp  21037  cayhamlem4  21100  iuninc  29941  cdlemk39s  37093