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Theorem pm2mp 22327
Description: The transformation of a sum of matrices having scaled monomials with the same power as entries into a sum of scaled monomials as a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 12-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
monmat2matmon.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
monmat2matmon.c 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
monmat2matmon.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
monmat2matmon.m1 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
monmat2matmon.e1 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘„))
monmat2matmon.x 𝑋 = (var1β€˜π΄)
monmat2matmon.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
monmat2matmon.k 𝐾 = (Baseβ€˜π΄)
monmat2matmon.q 𝑄 = (Poly1β€˜π΄)
monmat2matmon.i 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
monmat2matmon.e2 𝐸 = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
monmat2matmon.y π‘Œ = (var1β€˜π‘…)
monmat2matmon.m2 Β· = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
monmat2matmon.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
pm2mp (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ (πΌβ€˜(𝐢 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)))))) = (𝑄 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π‘€β€˜π‘›) βˆ— (𝑛 ↑ 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐡,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐼   𝑛,𝐾   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑇,𝑛   𝑛,π‘Œ   Β· ,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝑄(𝑛)   ↑ (𝑛)   βˆ— (𝑛)   𝑋(𝑛)

Proof of Theorem pm2mp
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monmat2matmon.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
2 eqid 2733 . . 3 (0gβ€˜πΆ) = (0gβ€˜πΆ)
3 crngring 20068 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
43anim2i 618 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
5 monmat2matmon.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
6 monmat2matmon.c . . . . . 6 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
75, 6pmatring 22194 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐢 ∈ Ring)
8 ringcmn 20099 . . . . 5 (𝐢 ∈ Ring β†’ 𝐢 ∈ CMnd)
94, 7, 83syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝐢 ∈ CMnd)
109adantr 482 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ 𝐢 ∈ CMnd)
11 monmat2matmon.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
1211matring 21945 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
133, 12sylan2 594 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
14 monmat2matmon.q . . . . . 6 𝑄 = (Poly1β€˜π΄)
1514ply1ring 21770 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ring β†’ 𝑄 ∈ Ring)
16 ringmnd 20066 . . . . 5 (𝑄 ∈ Ring β†’ 𝑄 ∈ Mnd)
1713, 15, 163syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑄 ∈ Mnd)
1817adantr 482 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ 𝑄 ∈ Mnd)
19 nn0ex 12478 . . . 4 β„•0 ∈ V
2019a1i 11 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ β„•0 ∈ V)
21 monmat2matmon.m1 . . . . . . 7 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
22 monmat2matmon.e1 . . . . . . 7 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘„))
23 monmat2matmon.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1β€˜π΄)
24 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘„) = (Baseβ€˜π‘„)
25 monmat2matmon.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
265, 6, 1, 21, 22, 23, 11, 14, 24, 25pm2mpghm 22318 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐼 ∈ (𝐢 GrpHom 𝑄))
273, 26sylan2 594 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝐼 ∈ (𝐢 GrpHom 𝑄))
2827adantr 482 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ 𝐼 ∈ (𝐢 GrpHom 𝑄))
29 ghmmhm 19102 . . . 4 (𝐼 ∈ (𝐢 GrpHom 𝑄) β†’ 𝐼 ∈ (𝐢 MndHom 𝑄))
3028, 29syl 17 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ 𝐼 ∈ (𝐢 MndHom 𝑄))
314adantr 482 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3231adantr 482 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
33 elmapi 8843 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) β†’ 𝑀:β„•0⟢𝐾)
3433adantr 482 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄)) β†’ 𝑀:β„•0⟢𝐾)
3534adantl 483 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ 𝑀:β„•0⟢𝐾)
3635ffvelcdmda 7087 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘€β€˜π‘›) ∈ 𝐾)
37 simpr 486 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
38 monmat2matmon.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π΄)
39 monmat2matmon.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
40 monmat2matmon.m2 . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
41 monmat2matmon.e2 . . . . 5 𝐸 = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
42 monmat2matmon.y . . . . 5 π‘Œ = (var1β€˜π‘…)
4311, 38, 39, 5, 6, 1, 40, 41, 42mat2pmatscmxcl 22242 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((π‘€β€˜π‘›) ∈ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) ∈ 𝐡)
4432, 36, 37, 43syl12anc 836 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) ∈ 𝐡)
45 fvexd 6907 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ (0gβ€˜πΆ) ∈ V)
46 ovexd 7444 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) ∈ V)
47 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) β†’ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0))
48 fvex 6905 . . . . . . 7 (0gβ€˜π΄) ∈ V
49 fsuppmapnn0ub 13960 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ (0gβ€˜π΄) ∈ V) β†’ (𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄))))
5047, 48, 49sylancl 587 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) β†’ (𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄))))
51 csbov12g 7453 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = (⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘›πΈπ‘Œ) Β· ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))))
52 csbov1g 7454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘›πΈπ‘Œ) = (⦋π‘₯ / π‘›β¦Œπ‘›πΈπ‘Œ))
53 csbvarg 4432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œπ‘› = π‘₯)
5453oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ (⦋π‘₯ / π‘›β¦Œπ‘›πΈπ‘Œ) = (π‘₯πΈπ‘Œ))
5552, 54eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘›πΈπ‘Œ) = (π‘₯πΈπ‘Œ))
56 csbfv2g 6941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)) = (π‘‡β€˜β¦‹π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘€β€˜π‘›)))
57 csbfv2g 6941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘€β€˜π‘›) = (π‘€β€˜β¦‹π‘₯ / π‘›β¦Œπ‘›))
5853fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ (π‘€β€˜β¦‹π‘₯ / π‘›β¦Œπ‘›) = (π‘€β€˜π‘₯))
5957, 58eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘€β€˜π‘›) = (π‘€β€˜π‘₯))
6059fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ (π‘‡β€˜β¦‹π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘€β€˜π‘›)) = (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘₯)))
6156, 60eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)) = (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘₯)))
6255, 61oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ (⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘›πΈπ‘Œ) Β· ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘₯))))
6351, 62eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘₯))))
6463adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘₯))))
6564adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄)) β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘₯))))
66 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄) β†’ (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘₯)) = (π‘‡β€˜(0gβ€˜π΄)))
6766oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄) β†’ ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘₯))) = ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(0gβ€˜π΄))))
6839, 11, 38, 5, 6, 1mat2pmatghm 22232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐢))
693, 68sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐢))
7069ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐢))
71 ghmmhm 19102 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐢) β†’ 𝑇 ∈ (𝐴 MndHom 𝐢))
72 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0gβ€˜π΄) = (0gβ€˜π΄)
7372, 2mhm0 18680 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ (𝐴 MndHom 𝐢) β†’ (π‘‡β€˜(0gβ€˜π΄)) = (0gβ€˜πΆ))
7470, 71, 733syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (π‘‡β€˜(0gβ€˜π΄)) = (0gβ€˜πΆ))
7574oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(0gβ€˜π΄))) = ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (0gβ€˜πΆ)))
765ply1ring 21770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
773, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ Ring)
786matlmod 21931 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) β†’ 𝐢 ∈ LMod)
7977, 78sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝐢 ∈ LMod)
8079ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ LMod)
81 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (mulGrpβ€˜π‘ƒ) = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
82 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
8381, 82mgpbas 19993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
8477adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
8581ringmgp 20062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
8786ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
88 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ π‘₯ ∈ β„•0)
893adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
9042, 5, 82vr1cl 21741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
9291ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
9383, 41, 87, 88, 92mulgnn0cld 18975 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (π‘₯πΈπ‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
945ply1crng 21722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ CRing)
956matsca2 21922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing) β†’ 𝑃 = (Scalarβ€˜πΆ))
9694, 95sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑃 = (Scalarβ€˜πΆ))
9796eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (Scalarβ€˜πΆ) = 𝑃)
9897ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (Scalarβ€˜πΆ) = 𝑃)
9998fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (Baseβ€˜π‘ƒ))
10093, 99eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (π‘₯πΈπ‘Œ) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))
101 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Scalarβ€˜πΆ) = (Scalarβ€˜πΆ)
102 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))
103101, 40, 102, 2lmodvs0 20506 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐢 ∈ LMod ∧ (π‘₯πΈπ‘Œ) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))) β†’ ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (0gβ€˜πΆ)) = (0gβ€˜πΆ))
10480, 100, 103syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (0gβ€˜πΆ)) = (0gβ€˜πΆ))
10575, 104eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(0gβ€˜π΄))) = (0gβ€˜πΆ))
10667, 105sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄)) β†’ ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘₯))) = (0gβ€˜πΆ))
10765, 106eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄)) β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = (0gβ€˜πΆ))
108107ex 414 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄) β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = (0gβ€˜πΆ)))
109108imim2d 57 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 < π‘₯ β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄)) β†’ (𝑦 < π‘₯ β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = (0gβ€˜πΆ))))
110109ralimdva 3168 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = (0gβ€˜πΆ))))
111110reximdva 3169 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = (0gβ€˜πΆ))))
11250, 111syld 47 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) β†’ (𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = (0gβ€˜πΆ))))
113112impr 456 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = (0gβ€˜πΆ)))
11445, 46, 113mptnn0fsupp 13962 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)))) finSupp (0gβ€˜πΆ))
1151, 2, 10, 18, 20, 30, 44, 114gsummptmhm 19808 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ (𝑄 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (πΌβ€˜((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)))))) = (πΌβ€˜(𝐢 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)))))))
116 simpll 766 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
1175, 6, 1, 21, 22, 23, 11, 38, 14, 25, 41, 42, 40, 39monmat2matmon 22326 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ ((π‘€β€˜π‘›) ∈ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ (πΌβ€˜((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)))) = ((π‘€β€˜π‘›) βˆ— (𝑛 ↑ 𝑋)))
118116, 36, 37, 117syl12anc 836 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΌβ€˜((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)))) = ((π‘€β€˜π‘›) βˆ— (𝑛 ↑ 𝑋)))
119118mpteq2dva 5249 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (πΌβ€˜((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π‘€β€˜π‘›) βˆ— (𝑛 ↑ 𝑋))))
120119oveq2d 7425 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ (𝑄 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (πΌβ€˜((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)))))) = (𝑄 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π‘€β€˜π‘›) βˆ— (𝑛 ↑ 𝑋)))))
121115, 120eqtr3d 2775 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ (πΌβ€˜(𝐢 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)))))) = (𝑄 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π‘€β€˜π‘›) βˆ— (𝑛 ↑ 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475  β¦‹csb 3894   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9361   < clt 11248  β„•0cn0 12472  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  0gc0g 17385   Ξ£g cgsu 17386  Mndcmnd 18625   MndHom cmhm 18669  .gcmg 18950   GrpHom cghm 19089  CMndccmn 19648  mulGrpcmgp 19987  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057  LModclmod 20471  var1cv1 21700  Poly1cpl1 21701   Mat cmat 21907   matToPolyMat cmat2pmat 22206   pMatToMatPoly cpm2mp 22294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-dsmm 21287  df-frlm 21302  df-assa 21408  df-ascl 21410  df-psr 21462  df-mvr 21463  df-mpl 21464  df-opsr 21466  df-psr1 21704  df-vr1 21705  df-ply1 21706  df-coe1 21707  df-mamu 21886  df-mat 21908  df-mat2pmat 22209  df-decpmat 22265  df-pm2mp 22295
This theorem is referenced by:  cpmidpmat  22375  cpmadumatpoly  22385
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