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Theorem pm2mp 22549
Description: The transformation of a sum of matrices having scaled monomials with the same power as entries into a sum of scaled monomials as a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 12-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
monmat2matmon.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
monmat2matmon.c 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
monmat2matmon.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
monmat2matmon.m1 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
monmat2matmon.e1 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘„))
monmat2matmon.x 𝑋 = (var1β€˜π΄)
monmat2matmon.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
monmat2matmon.k 𝐾 = (Baseβ€˜π΄)
monmat2matmon.q 𝑄 = (Poly1β€˜π΄)
monmat2matmon.i 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
monmat2matmon.e2 𝐸 = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
monmat2matmon.y π‘Œ = (var1β€˜π‘…)
monmat2matmon.m2 Β· = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
monmat2matmon.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
pm2mp (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ (πΌβ€˜(𝐢 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)))))) = (𝑄 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π‘€β€˜π‘›) βˆ— (𝑛 ↑ 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐡,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐼   𝑛,𝐾   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑇,𝑛   𝑛,π‘Œ   Β· ,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝑄(𝑛)   ↑ (𝑛)   βˆ— (𝑛)   𝑋(𝑛)

Proof of Theorem pm2mp
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monmat2matmon.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
2 eqid 2730 . . 3 (0gβ€˜πΆ) = (0gβ€˜πΆ)
3 crngring 20141 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
43anim2i 615 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
5 monmat2matmon.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
6 monmat2matmon.c . . . . . 6 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
75, 6pmatring 22416 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐢 ∈ Ring)
8 ringcmn 20172 . . . . 5 (𝐢 ∈ Ring β†’ 𝐢 ∈ CMnd)
94, 7, 83syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝐢 ∈ CMnd)
109adantr 479 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ 𝐢 ∈ CMnd)
11 monmat2matmon.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
1211matring 22167 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
133, 12sylan2 591 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
14 monmat2matmon.q . . . . . 6 𝑄 = (Poly1β€˜π΄)
1514ply1ring 21992 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ring β†’ 𝑄 ∈ Ring)
16 ringmnd 20139 . . . . 5 (𝑄 ∈ Ring β†’ 𝑄 ∈ Mnd)
1713, 15, 163syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑄 ∈ Mnd)
1817adantr 479 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ 𝑄 ∈ Mnd)
19 nn0ex 12484 . . . 4 β„•0 ∈ V
2019a1i 11 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ β„•0 ∈ V)
21 monmat2matmon.m1 . . . . . . 7 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
22 monmat2matmon.e1 . . . . . . 7 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘„))
23 monmat2matmon.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1β€˜π΄)
24 eqid 2730 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘„) = (Baseβ€˜π‘„)
25 monmat2matmon.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
265, 6, 1, 21, 22, 23, 11, 14, 24, 25pm2mpghm 22540 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐼 ∈ (𝐢 GrpHom 𝑄))
273, 26sylan2 591 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝐼 ∈ (𝐢 GrpHom 𝑄))
2827adantr 479 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ 𝐼 ∈ (𝐢 GrpHom 𝑄))
29 ghmmhm 19142 . . . 4 (𝐼 ∈ (𝐢 GrpHom 𝑄) β†’ 𝐼 ∈ (𝐢 MndHom 𝑄))
3028, 29syl 17 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ 𝐼 ∈ (𝐢 MndHom 𝑄))
314adantr 479 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3231adantr 479 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
33 elmapi 8847 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) β†’ 𝑀:β„•0⟢𝐾)
3433adantr 479 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄)) β†’ 𝑀:β„•0⟢𝐾)
3534adantl 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ 𝑀:β„•0⟢𝐾)
3635ffvelcdmda 7087 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘€β€˜π‘›) ∈ 𝐾)
37 simpr 483 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
38 monmat2matmon.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π΄)
39 monmat2matmon.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
40 monmat2matmon.m2 . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
41 monmat2matmon.e2 . . . . 5 𝐸 = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
42 monmat2matmon.y . . . . 5 π‘Œ = (var1β€˜π‘…)
4311, 38, 39, 5, 6, 1, 40, 41, 42mat2pmatscmxcl 22464 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((π‘€β€˜π‘›) ∈ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) ∈ 𝐡)
4432, 36, 37, 43syl12anc 833 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) ∈ 𝐡)
45 fvexd 6907 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ (0gβ€˜πΆ) ∈ V)
46 ovexd 7448 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) ∈ V)
47 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) β†’ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0))
48 fvex 6905 . . . . . . 7 (0gβ€˜π΄) ∈ V
49 fsuppmapnn0ub 13966 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ (0gβ€˜π΄) ∈ V) β†’ (𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄))))
5047, 48, 49sylancl 584 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) β†’ (𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄))))
51 csbov12g 7457 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = (⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘›πΈπ‘Œ) Β· ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))))
52 csbov1g 7458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘›πΈπ‘Œ) = (⦋π‘₯ / π‘›β¦Œπ‘›πΈπ‘Œ))
53 csbvarg 4432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œπ‘› = π‘₯)
5453oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ (⦋π‘₯ / π‘›β¦Œπ‘›πΈπ‘Œ) = (π‘₯πΈπ‘Œ))
5552, 54eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘›πΈπ‘Œ) = (π‘₯πΈπ‘Œ))
56 csbfv2g 6941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)) = (π‘‡β€˜β¦‹π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘€β€˜π‘›)))
57 csbfv2g 6941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘€β€˜π‘›) = (π‘€β€˜β¦‹π‘₯ / π‘›β¦Œπ‘›))
5853fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ (π‘€β€˜β¦‹π‘₯ / π‘›β¦Œπ‘›) = (π‘€β€˜π‘₯))
5957, 58eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘€β€˜π‘›) = (π‘€β€˜π‘₯))
6059fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ (π‘‡β€˜β¦‹π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘€β€˜π‘›)) = (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘₯)))
6156, 60eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)) = (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘₯)))
6255, 61oveq12d 7431 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ (⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘›πΈπ‘Œ) Β· ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘₯))))
6351, 62eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘₯))))
6463adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘₯))))
6564adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄)) β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘₯))))
66 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄) β†’ (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘₯)) = (π‘‡β€˜(0gβ€˜π΄)))
6766oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄) β†’ ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘₯))) = ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(0gβ€˜π΄))))
6839, 11, 38, 5, 6, 1mat2pmatghm 22454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐢))
693, 68sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐢))
7069ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐢))
71 ghmmhm 19142 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐢) β†’ 𝑇 ∈ (𝐴 MndHom 𝐢))
72 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0gβ€˜π΄) = (0gβ€˜π΄)
7372, 2mhm0 18718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ (𝐴 MndHom 𝐢) β†’ (π‘‡β€˜(0gβ€˜π΄)) = (0gβ€˜πΆ))
7470, 71, 733syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (π‘‡β€˜(0gβ€˜π΄)) = (0gβ€˜πΆ))
7574oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(0gβ€˜π΄))) = ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (0gβ€˜πΆ)))
765ply1ring 21992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
773, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ Ring)
786matlmod 22153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) β†’ 𝐢 ∈ LMod)
7977, 78sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝐢 ∈ LMod)
8079ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ LMod)
81 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (mulGrpβ€˜π‘ƒ) = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
82 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
8381, 82mgpbas 20036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
8477adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
8581ringmgp 20135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
8786ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
88 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ π‘₯ ∈ β„•0)
893adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
9042, 5, 82vr1cl 21962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
9291ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
9383, 41, 87, 88, 92mulgnn0cld 19013 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (π‘₯πΈπ‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
945ply1crng 21943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ CRing)
956matsca2 22144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing) β†’ 𝑃 = (Scalarβ€˜πΆ))
9694, 95sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑃 = (Scalarβ€˜πΆ))
9796eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (Scalarβ€˜πΆ) = 𝑃)
9897ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (Scalarβ€˜πΆ) = 𝑃)
9998fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (Baseβ€˜π‘ƒ))
10093, 99eleqtrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (π‘₯πΈπ‘Œ) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))
101 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Scalarβ€˜πΆ) = (Scalarβ€˜πΆ)
102 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))
103101, 40, 102, 2lmodvs0 20652 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐢 ∈ LMod ∧ (π‘₯πΈπ‘Œ) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))) β†’ ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (0gβ€˜πΆ)) = (0gβ€˜πΆ))
10480, 100, 103syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (0gβ€˜πΆ)) = (0gβ€˜πΆ))
10575, 104eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(0gβ€˜π΄))) = (0gβ€˜πΆ))
10667, 105sylan9eqr 2792 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄)) β†’ ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘₯))) = (0gβ€˜πΆ))
10765, 106eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄)) β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = (0gβ€˜πΆ))
108107ex 411 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄) β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = (0gβ€˜πΆ)))
109108imim2d 57 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 < π‘₯ β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄)) β†’ (𝑦 < π‘₯ β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = (0gβ€˜πΆ))))
110109ralimdva 3165 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = (0gβ€˜πΆ))))
111110reximdva 3166 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = (0gβ€˜πΆ))))
11250, 111syld 47 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) β†’ (𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = (0gβ€˜πΆ))))
113112impr 453 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = (0gβ€˜πΆ)))
11445, 46, 113mptnn0fsupp 13968 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)))) finSupp (0gβ€˜πΆ))
1151, 2, 10, 18, 20, 30, 44, 114gsummptmhm 19851 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ (𝑄 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (πΌβ€˜((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)))))) = (πΌβ€˜(𝐢 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)))))))
116 simpll 763 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
1175, 6, 1, 21, 22, 23, 11, 38, 14, 25, 41, 42, 40, 39monmat2matmon 22548 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ ((π‘€β€˜π‘›) ∈ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ (πΌβ€˜((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)))) = ((π‘€β€˜π‘›) βˆ— (𝑛 ↑ 𝑋)))
118116, 36, 37, 117syl12anc 833 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΌβ€˜((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)))) = ((π‘€β€˜π‘›) βˆ— (𝑛 ↑ 𝑋)))
119118mpteq2dva 5249 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (πΌβ€˜((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π‘€β€˜π‘›) βˆ— (𝑛 ↑ 𝑋))))
120119oveq2d 7429 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ (𝑄 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (πΌβ€˜((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)))))) = (𝑄 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π‘€β€˜π‘›) βˆ— (𝑛 ↑ 𝑋)))))
121115, 120eqtr3d 2772 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ (πΌβ€˜(𝐢 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)))))) = (𝑄 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π‘€β€˜π‘›) βˆ— (𝑛 ↑ 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472  β¦‹csb 3894   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413   ↑m cmap 8824  Fincfn 8943   finSupp cfsupp 9365   < clt 11254  β„•0cn0 12478  Basecbs 17150  Scalarcsca 17206   ·𝑠 cvsca 17207  0gc0g 17391   Ξ£g cgsu 17392  Mndcmnd 18661   MndHom cmhm 18705  .gcmg 18988   GrpHom cghm 19129  CMndccmn 19691  mulGrpcmgp 20030  Ringcrg 20129  CRingccrg 20130  LModclmod 20616  var1cv1 21921  Poly1cpl1 21922   Mat cmat 22129   matToPolyMat cmat2pmat 22428   pMatToMatPoly cpm2mp 22516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14297  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18707  df-submnd 18708  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-sbg 18862  df-mulg 18989  df-subg 19041  df-ghm 19130  df-cntz 19224  df-cmn 19693  df-abl 19694  df-mgp 20031  df-rng 20049  df-ur 20078  df-ring 20131  df-cring 20132  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-lmod 20618  df-lss 20689  df-sra 20932  df-rgmod 20933  df-dsmm 21508  df-frlm 21523  df-assa 21629  df-ascl 21631  df-psr 21683  df-mvr 21684  df-mpl 21685  df-opsr 21687  df-psr1 21925  df-vr1 21926  df-ply1 21927  df-coe1 21928  df-mamu 22108  df-mat 22130  df-mat2pmat 22431  df-decpmat 22487  df-pm2mp 22517
This theorem is referenced by:  cpmidpmat  22597  cpmadumatpoly  22607
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