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Theorem pm2mp 22190
Description: The transformation of a sum of matrices having scaled monomials with the same power as entries into a sum of scaled monomials as a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 12-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
monmat2matmon.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
monmat2matmon.c 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
monmat2matmon.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
monmat2matmon.m1 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
monmat2matmon.e1 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘„))
monmat2matmon.x 𝑋 = (var1β€˜π΄)
monmat2matmon.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
monmat2matmon.k 𝐾 = (Baseβ€˜π΄)
monmat2matmon.q 𝑄 = (Poly1β€˜π΄)
monmat2matmon.i 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
monmat2matmon.e2 𝐸 = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
monmat2matmon.y π‘Œ = (var1β€˜π‘…)
monmat2matmon.m2 Β· = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
monmat2matmon.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
pm2mp (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ (πΌβ€˜(𝐢 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)))))) = (𝑄 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π‘€β€˜π‘›) βˆ— (𝑛 ↑ 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐡,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐼   𝑛,𝐾   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑇,𝑛   𝑛,π‘Œ   Β· ,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝑄(𝑛)   ↑ (𝑛)   βˆ— (𝑛)   𝑋(𝑛)

Proof of Theorem pm2mp
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monmat2matmon.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
2 eqid 2733 . . 3 (0gβ€˜πΆ) = (0gβ€˜πΆ)
3 crngring 19981 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
43anim2i 618 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
5 monmat2matmon.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
6 monmat2matmon.c . . . . . 6 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
75, 6pmatring 22057 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐢 ∈ Ring)
8 ringcmn 20008 . . . . 5 (𝐢 ∈ Ring β†’ 𝐢 ∈ CMnd)
94, 7, 83syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝐢 ∈ CMnd)
109adantr 482 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ 𝐢 ∈ CMnd)
11 monmat2matmon.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
1211matring 21808 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
133, 12sylan2 594 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
14 monmat2matmon.q . . . . . 6 𝑄 = (Poly1β€˜π΄)
1514ply1ring 21635 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ring β†’ 𝑄 ∈ Ring)
16 ringmnd 19979 . . . . 5 (𝑄 ∈ Ring β†’ 𝑄 ∈ Mnd)
1713, 15, 163syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑄 ∈ Mnd)
1817adantr 482 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ 𝑄 ∈ Mnd)
19 nn0ex 12424 . . . 4 β„•0 ∈ V
2019a1i 11 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ β„•0 ∈ V)
21 monmat2matmon.m1 . . . . . . 7 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
22 monmat2matmon.e1 . . . . . . 7 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘„))
23 monmat2matmon.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1β€˜π΄)
24 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘„) = (Baseβ€˜π‘„)
25 monmat2matmon.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
265, 6, 1, 21, 22, 23, 11, 14, 24, 25pm2mpghm 22181 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐼 ∈ (𝐢 GrpHom 𝑄))
273, 26sylan2 594 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝐼 ∈ (𝐢 GrpHom 𝑄))
2827adantr 482 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ 𝐼 ∈ (𝐢 GrpHom 𝑄))
29 ghmmhm 19023 . . . 4 (𝐼 ∈ (𝐢 GrpHom 𝑄) β†’ 𝐼 ∈ (𝐢 MndHom 𝑄))
3028, 29syl 17 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ 𝐼 ∈ (𝐢 MndHom 𝑄))
314adantr 482 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3231adantr 482 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
33 elmapi 8790 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) β†’ 𝑀:β„•0⟢𝐾)
3433adantr 482 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄)) β†’ 𝑀:β„•0⟢𝐾)
3534adantl 483 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ 𝑀:β„•0⟢𝐾)
3635ffvelcdmda 7036 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘€β€˜π‘›) ∈ 𝐾)
37 simpr 486 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
38 monmat2matmon.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π΄)
39 monmat2matmon.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
40 monmat2matmon.m2 . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
41 monmat2matmon.e2 . . . . 5 𝐸 = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
42 monmat2matmon.y . . . . 5 π‘Œ = (var1β€˜π‘…)
4311, 38, 39, 5, 6, 1, 40, 41, 42mat2pmatscmxcl 22105 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((π‘€β€˜π‘›) ∈ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) ∈ 𝐡)
4432, 36, 37, 43syl12anc 836 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) ∈ 𝐡)
45 fvexd 6858 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ (0gβ€˜πΆ) ∈ V)
46 ovexd 7393 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) ∈ V)
47 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) β†’ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0))
48 fvex 6856 . . . . . . 7 (0gβ€˜π΄) ∈ V
49 fsuppmapnn0ub 13906 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ (0gβ€˜π΄) ∈ V) β†’ (𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄))))
5047, 48, 49sylancl 587 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) β†’ (𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄))))
51 csbov12g 7402 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = (⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘›πΈπ‘Œ) Β· ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))))
52 csbov1g 7403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘›πΈπ‘Œ) = (⦋π‘₯ / π‘›β¦Œπ‘›πΈπ‘Œ))
53 csbvarg 4392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œπ‘› = π‘₯)
5453oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ (⦋π‘₯ / π‘›β¦Œπ‘›πΈπ‘Œ) = (π‘₯πΈπ‘Œ))
5552, 54eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘›πΈπ‘Œ) = (π‘₯πΈπ‘Œ))
56 csbfv2g 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)) = (π‘‡β€˜β¦‹π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘€β€˜π‘›)))
57 csbfv2g 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘€β€˜π‘›) = (π‘€β€˜β¦‹π‘₯ / π‘›β¦Œπ‘›))
5853fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ (π‘€β€˜β¦‹π‘₯ / π‘›β¦Œπ‘›) = (π‘€β€˜π‘₯))
5957, 58eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘€β€˜π‘›) = (π‘€β€˜π‘₯))
6059fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ (π‘‡β€˜β¦‹π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘€β€˜π‘›)) = (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘₯)))
6156, 60eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)) = (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘₯)))
6255, 61oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ (⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘›πΈπ‘Œ) Β· ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ(π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘₯))))
6351, 62eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘₯))))
6463adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘₯))))
6564adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄)) β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘₯))))
66 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄) β†’ (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘₯)) = (π‘‡β€˜(0gβ€˜π΄)))
6766oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄) β†’ ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘₯))) = ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(0gβ€˜π΄))))
6839, 11, 38, 5, 6, 1mat2pmatghm 22095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐢))
693, 68sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐢))
7069ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐢))
71 ghmmhm 19023 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐢) β†’ 𝑇 ∈ (𝐴 MndHom 𝐢))
72 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0gβ€˜π΄) = (0gβ€˜π΄)
7372, 2mhm0 18615 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ (𝐴 MndHom 𝐢) β†’ (π‘‡β€˜(0gβ€˜π΄)) = (0gβ€˜πΆ))
7470, 71, 733syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (π‘‡β€˜(0gβ€˜π΄)) = (0gβ€˜πΆ))
7574oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(0gβ€˜π΄))) = ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (0gβ€˜πΆ)))
765ply1ring 21635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
773, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ Ring)
786matlmod 21794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) β†’ 𝐢 ∈ LMod)
7977, 78sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝐢 ∈ LMod)
8079ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ LMod)
81 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (mulGrpβ€˜π‘ƒ) = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
82 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
8381, 82mgpbas 19907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
8477adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
8581ringmgp 19975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
8786ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
88 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ π‘₯ ∈ β„•0)
893adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
9042, 5, 82vr1cl 21604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
9291ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
9383, 41, 87, 88, 92mulgnn0cld 18902 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (π‘₯πΈπ‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
945ply1crng 21585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ CRing)
956matsca2 21785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing) β†’ 𝑃 = (Scalarβ€˜πΆ))
9694, 95sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑃 = (Scalarβ€˜πΆ))
9796eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (Scalarβ€˜πΆ) = 𝑃)
9897ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (Scalarβ€˜πΆ) = 𝑃)
9998fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (Baseβ€˜π‘ƒ))
10093, 99eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (π‘₯πΈπ‘Œ) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))
101 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Scalarβ€˜πΆ) = (Scalarβ€˜πΆ)
102 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))
103101, 40, 102, 2lmodvs0 20371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐢 ∈ LMod ∧ (π‘₯πΈπ‘Œ) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))) β†’ ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (0gβ€˜πΆ)) = (0gβ€˜πΆ))
10480, 100, 103syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (0gβ€˜πΆ)) = (0gβ€˜πΆ))
10575, 104eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(0gβ€˜π΄))) = (0gβ€˜πΆ))
10667, 105sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄)) β†’ ((π‘₯πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘₯))) = (0gβ€˜πΆ))
10765, 106eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄)) β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = (0gβ€˜πΆ))
108107ex 414 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄) β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = (0gβ€˜πΆ)))
109108imim2d 57 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 < π‘₯ β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄)) β†’ (𝑦 < π‘₯ β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = (0gβ€˜πΆ))))
110109ralimdva 3161 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = (0gβ€˜πΆ))))
111110reximdva 3162 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π΄)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = (0gβ€˜πΆ))))
11250, 111syld 47 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0)) β†’ (𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = (0gβ€˜πΆ))))
113112impr 456 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ ⦋π‘₯ / π‘›β¦Œ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))) = (0gβ€˜πΆ)))
11445, 46, 113mptnn0fsupp 13908 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)))) finSupp (0gβ€˜πΆ))
1151, 2, 10, 18, 20, 30, 44, 114gsummptmhm 19722 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ (𝑄 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (πΌβ€˜((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)))))) = (πΌβ€˜(𝐢 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)))))))
116 simpll 766 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
1175, 6, 1, 21, 22, 23, 11, 38, 14, 25, 41, 42, 40, 39monmat2matmon 22189 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ ((π‘€β€˜π‘›) ∈ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ (πΌβ€˜((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)))) = ((π‘€β€˜π‘›) βˆ— (𝑛 ↑ 𝑋)))
118116, 36, 37, 117syl12anc 836 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΌβ€˜((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)))) = ((π‘€β€˜π‘›) βˆ— (𝑛 ↑ 𝑋)))
119118mpteq2dva 5206 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (πΌβ€˜((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›))))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π‘€β€˜π‘›) βˆ— (𝑛 ↑ 𝑋))))
120119oveq2d 7374 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ (𝑄 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (πΌβ€˜((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)))))) = (𝑄 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π‘€β€˜π‘›) βˆ— (𝑛 ↑ 𝑋)))))
121115, 120eqtr3d 2775 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝑀 finSupp (0gβ€˜π΄))) β†’ (πΌβ€˜(𝐢 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π‘›πΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜(π‘€β€˜π‘›)))))) = (𝑄 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π‘€β€˜π‘›) βˆ— (𝑛 ↑ 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3444  β¦‹csb 3856   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ↑m cmap 8768  Fincfn 8886   finSupp cfsupp 9308   < clt 11194  β„•0cn0 12418  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  0gc0g 17326   Ξ£g cgsu 17327  Mndcmnd 18561   MndHom cmhm 18604  .gcmg 18877   GrpHom cghm 19010  CMndccmn 19567  mulGrpcmgp 19901  Ringcrg 19969  CRingccrg 19970  LModclmod 20336  var1cv1 21563  Poly1cpl1 21564   Mat cmat 21770   matToPolyMat cmat2pmat 22069   pMatToMatPoly cpm2mp 22157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-assa 21275  df-ascl 21277  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-psr1 21567  df-vr1 21568  df-ply1 21569  df-coe1 21570  df-mamu 21749  df-mat 21771  df-mat2pmat 22072  df-decpmat 22128  df-pm2mp 22158
This theorem is referenced by:  cpmidpmat  22238  cpmadumatpoly  22248
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