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Theorem pm2mp 22174
Description: The transformation of a sum of matrices having scaled monomials with the same power as entries into a sum of scaled monomials as a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 12-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
monmat2matmon.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
monmat2matmon.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
monmat2matmon.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
monmat2matmon.m1 = ( ·𝑠𝑄)
monmat2matmon.e1 = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
monmat2matmon.x 𝑋 = (var1𝐴)
monmat2matmon.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
monmat2matmon.k 𝐾 = (Base‘𝐴)
monmat2matmon.q 𝑄 = (Poly1𝐴)
monmat2matmon.i 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
monmat2matmon.e2 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
monmat2matmon.y 𝑌 = (var1𝑅)
monmat2matmon.m2 · = ( ·𝑠𝐶)
monmat2matmon.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
pm2mp (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → (𝐼‘(𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛)))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀𝑛) (𝑛 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐼   𝑛,𝐾   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑇,𝑛   𝑛,𝑌   · ,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝑄(𝑛)   (𝑛)   (𝑛)   𝑋(𝑛)

Proof of Theorem pm2mp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monmat2matmon.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 eqid 2736 . . 3 (0g𝐶) = (0g𝐶)
3 crngring 19976 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
43anim2i 617 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
5 monmat2matmon.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
6 monmat2matmon.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
75, 6pmatring 22041 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
8 ringcmn 20003 . . . . 5 (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ CMnd)
94, 7, 83syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐶 ∈ CMnd)
109adantr 481 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → 𝐶 ∈ CMnd)
11 monmat2matmon.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
1211matring 21792 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
133, 12sylan2 593 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
14 monmat2matmon.q . . . . . 6 𝑄 = (Poly1𝐴)
1514ply1ring 21619 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
16 ringmnd 19974 . . . . 5 (𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Mnd)
1713, 15, 163syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑄 ∈ Mnd)
1817adantr 481 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → 𝑄 ∈ Mnd)
19 nn0ex 12419 . . . 4 0 ∈ V
2019a1i 11 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → ℕ0 ∈ V)
21 monmat2matmon.m1 . . . . . . 7 = ( ·𝑠𝑄)
22 monmat2matmon.e1 . . . . . . 7 = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
23 monmat2matmon.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1𝐴)
24 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
25 monmat2matmon.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
265, 6, 1, 21, 22, 23, 11, 14, 24, 25pm2mpghm 22165 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼 ∈ (𝐶 GrpHom 𝑄))
273, 26sylan2 593 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐼 ∈ (𝐶 GrpHom 𝑄))
2827adantr 481 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → 𝐼 ∈ (𝐶 GrpHom 𝑄))
29 ghmmhm 19018 . . . 4 (𝐼 ∈ (𝐶 GrpHom 𝑄) → 𝐼 ∈ (𝐶 MndHom 𝑄))
3028, 29syl 17 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → 𝐼 ∈ (𝐶 MndHom 𝑄))
314adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3231adantr 481 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
33 elmapi 8787 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (𝐾m0) → 𝑀:ℕ0𝐾)
3433adantr 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴)) → 𝑀:ℕ0𝐾)
3534adantl 482 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → 𝑀:ℕ0𝐾)
3635ffvelcdmda 7035 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑛) ∈ 𝐾)
37 simpr 485 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
38 monmat2matmon.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐴)
39 monmat2matmon.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
40 monmat2matmon.m2 . . . . 5 · = ( ·𝑠𝐶)
41 monmat2matmon.e2 . . . . 5 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
42 monmat2matmon.y . . . . 5 𝑌 = (var1𝑅)
4311, 38, 39, 5, 6, 1, 40, 41, 42mat2pmatscmxcl 22089 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑀𝑛) ∈ 𝐾𝑛 ∈ ℕ0)) → ((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) ∈ 𝐵)
4432, 36, 37, 43syl12anc 835 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) ∈ 𝐵)
45 fvexd 6857 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → (0g𝐶) ∈ V)
46 ovexd 7392 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) ∈ V)
47 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) → 𝑀 ∈ (𝐾m0))
48 fvex 6855 . . . . . . 7 (0g𝐴) ∈ V
49 fsuppmapnn0ub 13900 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ (0g𝐴) ∈ V) → (𝑀 finSupp (0g𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → (𝑀𝑥) = (0g𝐴))))
5047, 48, 49sylancl 586 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) → (𝑀 finSupp (0g𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → (𝑀𝑥) = (0g𝐴))))
51 csbov12g 7401 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = (𝑥 / 𝑛(𝑛𝐸𝑌) · 𝑥 / 𝑛(𝑇‘(𝑀𝑛))))
52 csbov1g 7402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑛(𝑛𝐸𝑌) = (𝑥 / 𝑛𝑛𝐸𝑌))
53 csbvarg 4391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑛𝑛 = 𝑥)
5453oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 / 𝑛𝑛𝐸𝑌) = (𝑥𝐸𝑌))
5552, 54eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑛(𝑛𝐸𝑌) = (𝑥𝐸𝑌))
56 csbfv2g 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑛(𝑇‘(𝑀𝑛)) = (𝑇𝑥 / 𝑛(𝑀𝑛)))
57 csbfv2g 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑛(𝑀𝑛) = (𝑀𝑥 / 𝑛𝑛))
5853fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑥 / 𝑛𝑛) = (𝑀𝑥))
5957, 58eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑛(𝑀𝑛) = (𝑀𝑥))
6059fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑇𝑥 / 𝑛(𝑀𝑛)) = (𝑇‘(𝑀𝑥)))
6156, 60eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑛(𝑇‘(𝑀𝑛)) = (𝑇‘(𝑀𝑥)))
6255, 61oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 / 𝑛(𝑛𝐸𝑌) · 𝑥 / 𝑛(𝑇‘(𝑀𝑛))) = ((𝑥𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑥))))
6351, 62eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = ((𝑥𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑥))))
6463adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = ((𝑥𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑥))))
6564adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀𝑥) = (0g𝐴)) → 𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = ((𝑥𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑥))))
66 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀𝑥) = (0g𝐴) → (𝑇‘(𝑀𝑥)) = (𝑇‘(0g𝐴)))
6766oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀𝑥) = (0g𝐴) → ((𝑥𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑥))) = ((𝑥𝐸𝑌) · (𝑇‘(0g𝐴))))
6839, 11, 38, 5, 6, 1mat2pmatghm 22079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶))
693, 68sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶))
7069ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶))
71 ghmmhm 19018 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶) → 𝑇 ∈ (𝐴 MndHom 𝐶))
72 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝐴) = (0g𝐴)
7372, 2mhm0 18610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ (𝐴 MndHom 𝐶) → (𝑇‘(0g𝐴)) = (0g𝐶))
7470, 71, 733syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑇‘(0g𝐴)) = (0g𝐶))
7574oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐸𝑌) · (𝑇‘(0g𝐴))) = ((𝑥𝐸𝑌) · (0g𝐶)))
765ply1ring 21619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
773, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
786matlmod 21778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ LMod)
7977, 78sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐶 ∈ LMod)
8079ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ LMod)
81 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
82 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
8381, 82mgpbas 19902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
8477adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ Ring)
8581ringmgp 19970 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
8786ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
88 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
893adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
9042, 5, 82vr1cl 21588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
9291ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
9383, 41, 87, 88, 92mulgnn0cld 18897 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐸𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
945ply1crng 21569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
956matsca2 21769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing) → 𝑃 = (Scalar‘𝐶))
9694, 95sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 = (Scalar‘𝐶))
9796eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Scalar‘𝐶) = 𝑃)
9897ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (Scalar‘𝐶) = 𝑃)
9998fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘𝑃))
10093, 99eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐸𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
101 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
102 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
103101, 40, 102, 2lmodvs0 20356 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑥𝐸𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶))) → ((𝑥𝐸𝑌) · (0g𝐶)) = (0g𝐶))
10480, 100, 103syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐸𝑌) · (0g𝐶)) = (0g𝐶))
10575, 104eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐸𝑌) · (𝑇‘(0g𝐴))) = (0g𝐶))
10667, 105sylan9eqr 2798 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀𝑥) = (0g𝐴)) → ((𝑥𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑥))) = (0g𝐶))
10765, 106eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀𝑥) = (0g𝐴)) → 𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = (0g𝐶))
108107ex 413 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑥) = (0g𝐴) → 𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = (0g𝐶)))
109108imim2d 57 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑦 < 𝑥 → (𝑀𝑥) = (0g𝐴)) → (𝑦 < 𝑥𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = (0g𝐶))))
110109ralimdva 3164 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → (𝑀𝑥) = (0g𝐴)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = (0g𝐶))))
111110reximdva 3165 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) → (∃𝑦 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → (𝑀𝑥) = (0g𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = (0g𝐶))))
11250, 111syld 47 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) → (𝑀 finSupp (0g𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = (0g𝐶))))
113112impr 455 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = (0g𝐶)))
11445, 46, 113mptnn0fsupp 13902 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛)))) finSupp (0g𝐶))
1151, 2, 10, 18, 20, 30, 44, 114gsummptmhm 19717 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐼‘((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛)))))) = (𝐼‘(𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛)))))))
116 simpll 765 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
1175, 6, 1, 21, 22, 23, 11, 38, 14, 25, 41, 42, 40, 39monmat2matmon 22173 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ ((𝑀𝑛) ∈ 𝐾𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝐼‘((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛)))) = ((𝑀𝑛) (𝑛 𝑋)))
118116, 36, 37, 117syl12anc 835 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐼‘((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛)))) = ((𝑀𝑛) (𝑛 𝑋)))
119118mpteq2dva 5205 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐼‘((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀𝑛) (𝑛 𝑋))))
120119oveq2d 7373 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐼‘((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛)))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀𝑛) (𝑛 𝑋)))))
121115, 120eqtr3d 2778 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → (𝐼‘(𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛)))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀𝑛) (𝑛 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  csb 3855   class class class wbr 5105  cmpt 5188  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9305   < clt 11189  0cn0 12413  Basecbs 17083  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556   MndHom cmhm 18599  .gcmg 18872   GrpHom cghm 19005  CMndccmn 19562  mulGrpcmgp 19896  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  LModclmod 20322  var1cv1 21547  Poly1cpl1 21548   Mat cmat 21754   matToPolyMat cmat2pmat 22053   pMatToMatPoly cpm2mp 22141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-assa 21259  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-psr1 21551  df-vr1 21552  df-ply1 21553  df-coe1 21554  df-mamu 21733  df-mat 21755  df-mat2pmat 22056  df-decpmat 22112  df-pm2mp 22142
This theorem is referenced by:  cpmidpmat  22222  cpmadumatpoly  22232
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