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Theorem pm2mp 20850
Description: The transformation of a sum of matrices having scaled monomials with the same power as entries into a sum of scaled monomials as a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 12-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
monmat2matmon.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
monmat2matmon.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
monmat2matmon.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
monmat2matmon.m1 = ( ·𝑠𝑄)
monmat2matmon.e1 = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
monmat2matmon.x 𝑋 = (var1𝐴)
monmat2matmon.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
monmat2matmon.k 𝐾 = (Base‘𝐴)
monmat2matmon.q 𝑄 = (Poly1𝐴)
monmat2matmon.i 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
monmat2matmon.e2 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
monmat2matmon.y 𝑌 = (var1𝑅)
monmat2matmon.m2 · = ( ·𝑠𝐶)
monmat2matmon.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
pm2mp (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾𝑚0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → (𝐼‘(𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛)))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀𝑛) (𝑛 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐼   𝑛,𝐾   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑇,𝑛   𝑛,𝑌   · ,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝑄(𝑛)   (𝑛)   (𝑛)   𝑋(𝑛)

Proof of Theorem pm2mp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monmat2matmon.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 eqid 2771 . . 3 (0g𝐶) = (0g𝐶)
3 crngring 18766 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
43anim2i 603 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
5 monmat2matmon.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
6 monmat2matmon.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
75, 6pmatring 20718 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
8 ringcmn 18789 . . . . 5 (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ CMnd)
94, 7, 83syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐶 ∈ CMnd)
109adantr 466 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾𝑚0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → 𝐶 ∈ CMnd)
11 monmat2matmon.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
1211matring 20466 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
133, 12sylan2 580 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
14 monmat2matmon.q . . . . . 6 𝑄 = (Poly1𝐴)
1514ply1ring 19833 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
16 ringmnd 18764 . . . . 5 (𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Mnd)
1713, 15, 163syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑄 ∈ Mnd)
1817adantr 466 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾𝑚0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → 𝑄 ∈ Mnd)
19 nn0ex 11500 . . . 4 0 ∈ V
2019a1i 11 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾𝑚0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → ℕ0 ∈ V)
21 monmat2matmon.m1 . . . . . . 7 = ( ·𝑠𝑄)
22 monmat2matmon.e1 . . . . . . 7 = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
23 monmat2matmon.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1𝐴)
24 eqid 2771 . . . . . . 7 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
25 monmat2matmon.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
265, 6, 1, 21, 22, 23, 11, 14, 24, 25pm2mpghm 20841 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼 ∈ (𝐶 GrpHom 𝑄))
273, 26sylan2 580 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐼 ∈ (𝐶 GrpHom 𝑄))
2827adantr 466 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾𝑚0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → 𝐼 ∈ (𝐶 GrpHom 𝑄))
29 ghmmhm 17878 . . . 4 (𝐼 ∈ (𝐶 GrpHom 𝑄) → 𝐼 ∈ (𝐶 MndHom 𝑄))
3028, 29syl 17 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾𝑚0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → 𝐼 ∈ (𝐶 MndHom 𝑄))
314adantr 466 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾𝑚0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3231adantr 466 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾𝑚0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
33 elmapi 8031 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (𝐾𝑚0) → 𝑀:ℕ0𝐾)
3433adantr 466 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (𝐾𝑚0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴)) → 𝑀:ℕ0𝐾)
3534adantl 467 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾𝑚0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → 𝑀:ℕ0𝐾)
3635ffvelrnda 6502 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾𝑚0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑛) ∈ 𝐾)
37 simpr 471 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾𝑚0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
38 monmat2matmon.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐴)
39 monmat2matmon.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
40 monmat2matmon.m2 . . . . 5 · = ( ·𝑠𝐶)
41 monmat2matmon.e2 . . . . 5 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
42 monmat2matmon.y . . . . 5 𝑌 = (var1𝑅)
4311, 38, 39, 5, 6, 1, 40, 41, 42mat2pmatscmxcl 20765 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑀𝑛) ∈ 𝐾𝑛 ∈ ℕ0)) → ((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) ∈ 𝐵)
4432, 36, 37, 43syl12anc 1474 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾𝑚0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) ∈ 𝐵)
45 fvexd 6344 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾𝑚0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → (0g𝐶) ∈ V)
46 ovexd 6825 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾𝑚0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) ∈ V)
47 simpr 471 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾𝑚0)) → 𝑀 ∈ (𝐾𝑚0))
48 fvex 6342 . . . . . . 7 (0g𝐴) ∈ V
49 fsuppmapnn0ub 13002 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (𝐾𝑚0) ∧ (0g𝐴) ∈ V) → (𝑀 finSupp (0g𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → (𝑀𝑥) = (0g𝐴))))
5047, 48, 49sylancl 574 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾𝑚0)) → (𝑀 finSupp (0g𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → (𝑀𝑥) = (0g𝐴))))
51 csbov12g 6834 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = (𝑥 / 𝑛(𝑛𝐸𝑌) · 𝑥 / 𝑛(𝑇‘(𝑀𝑛))))
52 csbov1g 6835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑛(𝑛𝐸𝑌) = (𝑥 / 𝑛𝑛𝐸𝑌))
53 csbvarg 4147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑛𝑛 = 𝑥)
5453oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 / 𝑛𝑛𝐸𝑌) = (𝑥𝐸𝑌))
5552, 54eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑛(𝑛𝐸𝑌) = (𝑥𝐸𝑌))
56 csbfv2g 6373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑛(𝑇‘(𝑀𝑛)) = (𝑇𝑥 / 𝑛(𝑀𝑛)))
57 csbfv2g 6373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑛(𝑀𝑛) = (𝑀𝑥 / 𝑛𝑛))
5853fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑥 / 𝑛𝑛) = (𝑀𝑥))
5957, 58eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑛(𝑀𝑛) = (𝑀𝑥))
6059fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑇𝑥 / 𝑛(𝑀𝑛)) = (𝑇‘(𝑀𝑥)))
6156, 60eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑛(𝑇‘(𝑀𝑛)) = (𝑇‘(𝑀𝑥)))
6255, 61oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 / 𝑛(𝑛𝐸𝑌) · 𝑥 / 𝑛(𝑇‘(𝑀𝑛))) = ((𝑥𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑥))))
6351, 62eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = ((𝑥𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑥))))
6463adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾𝑚0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = ((𝑥𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑥))))
6564adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾𝑚0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀𝑥) = (0g𝐴)) → 𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = ((𝑥𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑥))))
66 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀𝑥) = (0g𝐴) → (𝑇‘(𝑀𝑥)) = (𝑇‘(0g𝐴)))
6766oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀𝑥) = (0g𝐴) → ((𝑥𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑥))) = ((𝑥𝐸𝑌) · (𝑇‘(0g𝐴))))
6839, 11, 38, 5, 6, 1mat2pmatghm 20755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶))
693, 68sylan2 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶))
7069ad3antrrr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾𝑚0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶))
71 ghmmhm 17878 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶) → 𝑇 ∈ (𝐴 MndHom 𝐶))
72 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝐴) = (0g𝐴)
7372, 2mhm0 17551 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ (𝐴 MndHom 𝐶) → (𝑇‘(0g𝐴)) = (0g𝐶))
7470, 71, 733syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾𝑚0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑇‘(0g𝐴)) = (0g𝐶))
7574oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾𝑚0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐸𝑌) · (𝑇‘(0g𝐴))) = ((𝑥𝐸𝑌) · (0g𝐶)))
765ply1ring 19833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
773, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
786matlmod 20452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ LMod)
7977, 78sylan2 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐶 ∈ LMod)
8079ad3antrrr 709 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾𝑚0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ LMod)
8177adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ Ring)
82 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
8382ringmgp 18761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
8481, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
8584ad3antrrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾𝑚0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
86 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾𝑚0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
873adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
88 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
8942, 5, 88vr1cl 19802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
9087, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
9190ad3antrrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾𝑚0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
9282, 88mgpbas 18703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
9392, 41mulgnn0cl 17766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ ℕ0𝑌 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑥𝐸𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
9485, 86, 91, 93syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾𝑚0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐸𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
955ply1crng 19783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
966matsca2 20443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing) → 𝑃 = (Scalar‘𝐶))
9795, 96sylan2 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 = (Scalar‘𝐶))
9897eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Scalar‘𝐶) = 𝑃)
9998ad3antrrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾𝑚0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (Scalar‘𝐶) = 𝑃)
10099fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾𝑚0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘𝑃))
10194, 100eleqtrrd 2853 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾𝑚0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐸𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
102 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
103 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
104102, 40, 103, 2lmodvs0 19107 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑥𝐸𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶))) → ((𝑥𝐸𝑌) · (0g𝐶)) = (0g𝐶))
10580, 101, 104syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾𝑚0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐸𝑌) · (0g𝐶)) = (0g𝐶))
10675, 105eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾𝑚0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐸𝑌) · (𝑇‘(0g𝐴))) = (0g𝐶))
10767, 106sylan9eqr 2827 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾𝑚0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀𝑥) = (0g𝐴)) → ((𝑥𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑥))) = (0g𝐶))
10865, 107eqtrd 2805 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾𝑚0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀𝑥) = (0g𝐴)) → 𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = (0g𝐶))
109108ex 397 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾𝑚0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑥) = (0g𝐴) → 𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = (0g𝐶)))
110109imim2d 57 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾𝑚0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑦 < 𝑥 → (𝑀𝑥) = (0g𝐴)) → (𝑦 < 𝑥𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = (0g𝐶))))
111110ralimdva 3111 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾𝑚0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → (𝑀𝑥) = (0g𝐴)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = (0g𝐶))))
112111reximdva 3165 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾𝑚0)) → (∃𝑦 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → (𝑀𝑥) = (0g𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = (0g𝐶))))
11350, 112syld 47 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾𝑚0)) → (𝑀 finSupp (0g𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = (0g𝐶))))
114113impr 442 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾𝑚0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = (0g𝐶)))
11545, 46, 114mptnn0fsupp 13004 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾𝑚0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛)))) finSupp (0g𝐶))
1161, 2, 10, 18, 20, 30, 44, 115gsummptmhm 18547 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾𝑚0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐼‘((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛)))))) = (𝐼‘(𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛)))))))
117 simpll 750 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾𝑚0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
1185, 6, 1, 21, 22, 23, 11, 38, 14, 25, 41, 42, 40, 39monmat2matmon 20849 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ ((𝑀𝑛) ∈ 𝐾𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝐼‘((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛)))) = ((𝑀𝑛) (𝑛 𝑋)))
119117, 36, 37, 118syl12anc 1474 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾𝑚0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐼‘((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛)))) = ((𝑀𝑛) (𝑛 𝑋)))
120119mpteq2dva 4878 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾𝑚0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐼‘((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀𝑛) (𝑛 𝑋))))
121120oveq2d 6809 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾𝑚0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐼‘((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛)))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀𝑛) (𝑛 𝑋)))))
122116, 121eqtr3d 2807 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾𝑚0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → (𝐼‘(𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛)))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀𝑛) (𝑛 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3351  csb 3682   class class class wbr 4786  cmpt 4863  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  𝑚 cmap 8009  Fincfn 8109   finSupp cfsupp 8431   < clt 10276  0cn0 11494  Basecbs 16064  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  0gc0g 16308   Σg cgsu 16309  Mndcmnd 17502   MndHom cmhm 17541  .gcmg 17748   GrpHom cghm 17865  CMndccmn 18400  mulGrpcmgp 18697  Ringcrg 18755  CRingccrg 18756  LModclmod 19073  var1cv1 19761  Poly1cpl1 19762   Mat cmat 20430   matToPolyMat cmat2pmat 20729   pMatToMatPoly cpm2mp 20817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-ot 4325  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-ofr 7045  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-hom 16174  df-cco 16175  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-prds 16316  df-pws 16318  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-assa 19527  df-ascl 19529  df-psr 19571  df-mvr 19572  df-mpl 19573  df-opsr 19575  df-psr1 19765  df-vr1 19766  df-ply1 19767  df-coe1 19768  df-dsmm 20293  df-frlm 20308  df-mamu 20407  df-mat 20431  df-mat2pmat 20732  df-decpmat 20788  df-pm2mp 20818
This theorem is referenced by:  cpmidpmat  20898  cpmadumatpoly  20908
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