MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pm2mp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pm2mp 22002
Description: The transformation of a sum of matrices having scaled monomials with the same power as entries into a sum of scaled monomials as a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 12-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
monmat2matmon.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
monmat2matmon.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
monmat2matmon.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
monmat2matmon.m1 = ( ·𝑠𝑄)
monmat2matmon.e1 = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
monmat2matmon.x 𝑋 = (var1𝐴)
monmat2matmon.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
monmat2matmon.k 𝐾 = (Base‘𝐴)
monmat2matmon.q 𝑄 = (Poly1𝐴)
monmat2matmon.i 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
monmat2matmon.e2 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
monmat2matmon.y 𝑌 = (var1𝑅)
monmat2matmon.m2 · = ( ·𝑠𝐶)
monmat2matmon.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
pm2mp (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → (𝐼‘(𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛)))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀𝑛) (𝑛 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐼   𝑛,𝐾   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑇,𝑛   𝑛,𝑌   · ,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝑄(𝑛)   (𝑛)   (𝑛)   𝑋(𝑛)

Proof of Theorem pm2mp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monmat2matmon.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 eqid 2733 . . 3 (0g𝐶) = (0g𝐶)
3 crngring 19823 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
43anim2i 616 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
5 monmat2matmon.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
6 monmat2matmon.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
75, 6pmatring 21869 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
8 ringcmn 19848 . . . . 5 (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ CMnd)
94, 7, 83syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐶 ∈ CMnd)
109adantr 480 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → 𝐶 ∈ CMnd)
11 monmat2matmon.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
1211matring 21620 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
133, 12sylan2 592 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
14 monmat2matmon.q . . . . . 6 𝑄 = (Poly1𝐴)
1514ply1ring 21447 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
16 ringmnd 19821 . . . . 5 (𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Mnd)
1713, 15, 163syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑄 ∈ Mnd)
1817adantr 480 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → 𝑄 ∈ Mnd)
19 nn0ex 12267 . . . 4 0 ∈ V
2019a1i 11 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → ℕ0 ∈ V)
21 monmat2matmon.m1 . . . . . . 7 = ( ·𝑠𝑄)
22 monmat2matmon.e1 . . . . . . 7 = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
23 monmat2matmon.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1𝐴)
24 eqid 2733 . . . . . . 7 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
25 monmat2matmon.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
265, 6, 1, 21, 22, 23, 11, 14, 24, 25pm2mpghm 21993 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼 ∈ (𝐶 GrpHom 𝑄))
273, 26sylan2 592 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐼 ∈ (𝐶 GrpHom 𝑄))
2827adantr 480 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → 𝐼 ∈ (𝐶 GrpHom 𝑄))
29 ghmmhm 18872 . . . 4 (𝐼 ∈ (𝐶 GrpHom 𝑄) → 𝐼 ∈ (𝐶 MndHom 𝑄))
3028, 29syl 17 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → 𝐼 ∈ (𝐶 MndHom 𝑄))
314adantr 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3231adantr 480 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
33 elmapi 8657 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (𝐾m0) → 𝑀:ℕ0𝐾)
3433adantr 480 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴)) → 𝑀:ℕ0𝐾)
3534adantl 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → 𝑀:ℕ0𝐾)
3635ffvelcdmda 6981 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑛) ∈ 𝐾)
37 simpr 484 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
38 monmat2matmon.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐴)
39 monmat2matmon.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
40 monmat2matmon.m2 . . . . 5 · = ( ·𝑠𝐶)
41 monmat2matmon.e2 . . . . 5 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
42 monmat2matmon.y . . . . 5 𝑌 = (var1𝑅)
4311, 38, 39, 5, 6, 1, 40, 41, 42mat2pmatscmxcl 21917 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑀𝑛) ∈ 𝐾𝑛 ∈ ℕ0)) → ((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) ∈ 𝐵)
4432, 36, 37, 43syl12anc 833 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) ∈ 𝐵)
45 fvexd 6807 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → (0g𝐶) ∈ V)
46 ovexd 7330 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) ∈ V)
47 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) → 𝑀 ∈ (𝐾m0))
48 fvex 6805 . . . . . . 7 (0g𝐴) ∈ V
49 fsuppmapnn0ub 13743 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ (0g𝐴) ∈ V) → (𝑀 finSupp (0g𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → (𝑀𝑥) = (0g𝐴))))
5047, 48, 49sylancl 585 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) → (𝑀 finSupp (0g𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → (𝑀𝑥) = (0g𝐴))))
51 csbov12g 7339 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = (𝑥 / 𝑛(𝑛𝐸𝑌) · 𝑥 / 𝑛(𝑇‘(𝑀𝑛))))
52 csbov1g 7340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑛(𝑛𝐸𝑌) = (𝑥 / 𝑛𝑛𝐸𝑌))
53 csbvarg 4368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑛𝑛 = 𝑥)
5453oveq1d 7310 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 / 𝑛𝑛𝐸𝑌) = (𝑥𝐸𝑌))
5552, 54eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑛(𝑛𝐸𝑌) = (𝑥𝐸𝑌))
56 csbfv2g 6838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑛(𝑇‘(𝑀𝑛)) = (𝑇𝑥 / 𝑛(𝑀𝑛)))
57 csbfv2g 6838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑛(𝑀𝑛) = (𝑀𝑥 / 𝑛𝑛))
5853fveq2d 6796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑥 / 𝑛𝑛) = (𝑀𝑥))
5957, 58eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑛(𝑀𝑛) = (𝑀𝑥))
6059fveq2d 6796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑇𝑥 / 𝑛(𝑀𝑛)) = (𝑇‘(𝑀𝑥)))
6156, 60eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑛(𝑇‘(𝑀𝑛)) = (𝑇‘(𝑀𝑥)))
6255, 61oveq12d 7313 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 / 𝑛(𝑛𝐸𝑌) · 𝑥 / 𝑛(𝑇‘(𝑀𝑛))) = ((𝑥𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑥))))
6351, 62eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = ((𝑥𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑥))))
6463adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = ((𝑥𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑥))))
6564adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀𝑥) = (0g𝐴)) → 𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = ((𝑥𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑥))))
66 fveq2 6792 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀𝑥) = (0g𝐴) → (𝑇‘(𝑀𝑥)) = (𝑇‘(0g𝐴)))
6766oveq2d 7311 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀𝑥) = (0g𝐴) → ((𝑥𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑥))) = ((𝑥𝐸𝑌) · (𝑇‘(0g𝐴))))
6839, 11, 38, 5, 6, 1mat2pmatghm 21907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶))
693, 68sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶))
7069ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶))
71 ghmmhm 18872 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶) → 𝑇 ∈ (𝐴 MndHom 𝐶))
72 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝐴) = (0g𝐴)
7372, 2mhm0 18466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ (𝐴 MndHom 𝐶) → (𝑇‘(0g𝐴)) = (0g𝐶))
7470, 71, 733syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑇‘(0g𝐴)) = (0g𝐶))
7574oveq2d 7311 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐸𝑌) · (𝑇‘(0g𝐴))) = ((𝑥𝐸𝑌) · (0g𝐶)))
765ply1ring 21447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
773, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
786matlmod 21606 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ LMod)
7977, 78sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐶 ∈ LMod)
8079ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ LMod)
8177adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ Ring)
82 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
8382ringmgp 19817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
8481, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
8584ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
86 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
873adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
88 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
8942, 5, 88vr1cl 21416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
9087, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
9190ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
9282, 88mgpbas 19754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
9392, 41mulgnn0cl 18748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ ℕ0𝑌 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑥𝐸𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
9485, 86, 91, 93syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐸𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
955ply1crng 21397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
966matsca2 21597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing) → 𝑃 = (Scalar‘𝐶))
9795, 96sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 = (Scalar‘𝐶))
9897eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Scalar‘𝐶) = 𝑃)
9998ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (Scalar‘𝐶) = 𝑃)
10099fveq2d 6796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘𝑃))
10194, 100eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐸𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
102 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
103 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
104102, 40, 103, 2lmodvs0 20185 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑥𝐸𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶))) → ((𝑥𝐸𝑌) · (0g𝐶)) = (0g𝐶))
10580, 101, 104syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐸𝑌) · (0g𝐶)) = (0g𝐶))
10675, 105eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐸𝑌) · (𝑇‘(0g𝐴))) = (0g𝐶))
10767, 106sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀𝑥) = (0g𝐴)) → ((𝑥𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑥))) = (0g𝐶))
10865, 107eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀𝑥) = (0g𝐴)) → 𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = (0g𝐶))
109108ex 412 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑥) = (0g𝐴) → 𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = (0g𝐶)))
110109imim2d 57 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑦 < 𝑥 → (𝑀𝑥) = (0g𝐴)) → (𝑦 < 𝑥𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = (0g𝐶))))
111110ralimdva 3158 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → (𝑀𝑥) = (0g𝐴)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = (0g𝐶))))
112111reximdva 3159 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) → (∃𝑦 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → (𝑀𝑥) = (0g𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = (0g𝐶))))
11350, 112syld 47 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑀 ∈ (𝐾m0)) → (𝑀 finSupp (0g𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = (0g𝐶))))
114113impr 454 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥𝑥 / 𝑛((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))) = (0g𝐶)))
11545, 46, 114mptnn0fsupp 13745 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛)))) finSupp (0g𝐶))
1161, 2, 10, 18, 20, 30, 44, 115gsummptmhm 19569 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐼‘((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛)))))) = (𝐼‘(𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛)))))))
117 simpll 763 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
1185, 6, 1, 21, 22, 23, 11, 38, 14, 25, 41, 42, 40, 39monmat2matmon 22001 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ ((𝑀𝑛) ∈ 𝐾𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝐼‘((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛)))) = ((𝑀𝑛) (𝑛 𝑋)))
119117, 36, 37, 118syl12anc 833 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐼‘((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛)))) = ((𝑀𝑛) (𝑛 𝑋)))
120119mpteq2dva 5177 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐼‘((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛))))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀𝑛) (𝑛 𝑋))))
121120oveq2d 7311 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐼‘((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛)))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀𝑛) (𝑛 𝑋)))))
122116, 121eqtr3d 2775 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ (𝐾m0) ∧ 𝑀 finSupp (0g𝐴))) → (𝐼‘(𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛𝐸𝑌) · (𝑇‘(𝑀𝑛)))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀𝑛) (𝑛 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2101  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3434  csb 3834   class class class wbr 5077  cmpt 5160  wf 6443  cfv 6447  (class class class)co 7295  m cmap 8635  Fincfn 8753   finSupp cfsupp 9156   < clt 11037  0cn0 12261  Basecbs 16940  Scalarcsca 16993   ·𝑠 cvsca 16994  0gc0g 17178   Σg cgsu 17179  Mndcmnd 18413   MndHom cmhm 18456  .gcmg 18728   GrpHom cghm 18859  CMndccmn 19414  mulGrpcmgp 19748  Ringcrg 19811  CRingccrg 19812  LModclmod 20151  var1cv1 21375  Poly1cpl1 21376   Mat cmat 21582   matToPolyMat cmat2pmat 21881   pMatToMatPoly cpm2mp 21969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-ot 4573  df-uni 4842  df-int 4883  df-iun 4929  df-iin 4930  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-se 5547  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-isom 6456  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-of 7553  df-ofr 7554  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-supp 7998  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-er 8518  df-map 8637  df-pm 8638  df-ixp 8706  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-fsupp 9157  df-sup 9229  df-oi 9297  df-card 9725  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-4 12066  df-5 12067  df-6 12068  df-7 12069  df-8 12070  df-9 12071  df-n0 12262  df-z 12348  df-dec 12466  df-uz 12611  df-fz 13268  df-fzo 13411  df-seq 13750  df-hash 14073  df-struct 16876  df-sets 16893  df-slot 16911  df-ndx 16923  df-base 16941  df-ress 16970  df-plusg 17003  df-mulr 17004  df-sca 17006  df-vsca 17007  df-ip 17008  df-tset 17009  df-ple 17010  df-ds 17012  df-hom 17014  df-cco 17015  df-0g 17180  df-gsum 17181  df-prds 17186  df-pws 17188  df-mre 17323  df-mrc 17324  df-acs 17326  df-mgm 18354  df-sgrp 18403  df-mnd 18414  df-mhm 18458  df-submnd 18459  df-grp 18608  df-minusg 18609  df-sbg 18610  df-mulg 18729  df-subg 18780  df-ghm 18860  df-cntz 18951  df-cmn 19416  df-abl 19417  df-mgp 19749  df-ur 19766  df-ring 19813  df-cring 19814  df-subrg 20050  df-lmod 20153  df-lss 20222  df-sra 20462  df-rgmod 20463  df-dsmm 20967  df-frlm 20982  df-assa 21088  df-ascl 21090  df-psr 21140  df-mvr 21141  df-mpl 21142  df-opsr 21144  df-psr1 21379  df-vr1 21380  df-ply1 21381  df-coe1 21382  df-mamu 21561  df-mat 21583  df-mat2pmat 21884  df-decpmat 21940  df-pm2mp 21970
This theorem is referenced by:  cpmidpmat  22050  cpmadumatpoly  22060
  Copyright terms: Public domain W3C validator