Theorem cdlemk39s 40933

Description: Substitution version of cdlemk39 40910. TODO: Can any commonality with cdlemk35s 40931 be exploited? (Contributed by NM, 23-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk5.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
cdlemk5.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
cdlemk5.x	⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
cdlemk39s	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝑅‘⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋) ≤ (𝑅‘𝐺))

Distinct variable groups:   ∧ ,𝑔   ∨ ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ∧ ,𝑏,𝑧   ≤ ,𝑏   𝑧,𝑔, ≤   ∨ ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑋(𝑧,𝑔,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk39s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp22l 1293	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
2		cdlemk5.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		cdlemk5.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		cdlemk5.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		cdlemk5.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
6		cdlemk5.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		cdlemk5.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		cdlemk5.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9		cdlemk5.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
10		cdlemk5.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
11		cdlemk5.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
12		cdlemk5.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))
13	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	cdlemk39 40910	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝑅‘𝑋) ≤ (𝑅‘𝑔))
14	13	sbcth 3768	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → [𝐺 / 𝑔](((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝑅‘𝑋) ≤ (𝑅‘𝑔)))
15		sbcimg 3802	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → ([𝐺 / 𝑔](((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝑅‘𝑋) ≤ (𝑅‘𝑔)) ↔ ([𝐺 / 𝑔]((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → [𝐺 / 𝑔](𝑅‘𝑋) ≤ (𝑅‘𝑔))))
16	14, 15	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → ([𝐺 / 𝑔]((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → [𝐺 / 𝑔](𝑅‘𝑋) ≤ (𝑅‘𝑔)))
17		eleq1 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔 ∈ 𝑇 ↔ 𝐺 ∈ 𝑇))
18		neeq1 2987	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
19	17, 18	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ↔ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))))
20	19	3anbi2d 1443	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ↔ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇)))
21	20	3anbi2d 1443	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)))))
22	21	sbcieg 3793	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → ([𝐺 / 𝑔]((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)))))
23		sbcbr12g 5163	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → ([𝐺 / 𝑔](𝑅‘𝑋) ≤ (𝑅‘𝑔) ↔ ⦋𝐺 / 𝑔⦌(𝑅‘𝑋) ≤ ⦋𝐺 / 𝑔⦌(𝑅‘𝑔)))
24		csbfv2g 6907	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → ⦋𝐺 / 𝑔⦌(𝑅‘𝑋) = (𝑅‘⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋))
25		csbfv 6908	. . . . . 6 ⊢ ⦋𝐺 / 𝑔⦌(𝑅‘𝑔) = (𝑅‘𝐺)
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → ⦋𝐺 / 𝑔⦌(𝑅‘𝑔) = (𝑅‘𝐺))
27	24, 26	breq12d 5120	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → (⦋𝐺 / 𝑔⦌(𝑅‘𝑋) ≤ ⦋𝐺 / 𝑔⦌(𝑅‘𝑔) ↔ (𝑅‘⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋) ≤ (𝑅‘𝐺)))
28	23, 27	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → ([𝐺 / 𝑔](𝑅‘𝑋) ≤ (𝑅‘𝑔) ↔ (𝑅‘⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋) ≤ (𝑅‘𝐺)))
29	16, 22, 28	3imtr3d 293	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝑅‘⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋) ≤ (𝑅‘𝐺)))
30	1, 29	mpcom 38	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝑅‘⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋) ≤ (𝑅‘𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  [wsbc 3753  ⦋csb 3862   class class class wbr 5107   I cid 5532  ^◡ccnv 5637   ↾ cres 5640   ∘ ccom 5642  ‘cfv 6511  ℩crio 7343  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  lecple 17227  joincjn 18272  meetcmee 18273  Atomscatm 39256  HLchlt 39343  LHypclh 39978  LTrncltrn 40095  trLctrl 40152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-riotaBAD 38946

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-undef 8252  df-map 8801  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18391  df-clat 18458  df-oposet 39169  df-ol 39171  df-oml 39172  df-covers 39259  df-ats 39260  df-atl 39291  df-cvlat 39315  df-hlat 39344  df-llines 39492  df-lplanes 39493  df-lvols 39494  df-lines 39495  df-psubsp 39497  df-pmap 39498  df-padd 39790  df-lhyp 39982  df-laut 39983  df-ldil 40098  df-ltrn 40099  df-trl 40153

This theorem is referenced by:  cdlemk39s-id  40934  cdlemk51  40947