Theorem cdlemk39s 41563

Description: Substitution version of cdlemk39 41540. TODO: Can any commonality with cdlemk35s 41561 be exploited? (Contributed by NM, 23-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk5.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
cdlemk5.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
cdlemk5.x	⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
cdlemk39s	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝑅‘⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋) ≤ (𝑅‘𝐺))

Distinct variable groups:   ∧ ,𝑔   ∨ ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ∧ ,𝑏,𝑧   ≤ ,𝑏   𝑧,𝑔, ≤   ∨ ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑋(𝑧,𝑔,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk39s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp22l 1306	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
2		cdlemk5.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		cdlemk5.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		cdlemk5.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		cdlemk5.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
6		cdlemk5.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		cdlemk5.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		cdlemk5.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9		cdlemk5.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
10		cdlemk5.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
11		cdlemk5.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
12		cdlemk5.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))
13	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	cdlemk39 41540	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝑅‘𝑋) ≤ (𝑅‘𝑔))
14	13	sbcth 3759	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → [𝐺 / 𝑔](((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝑅‘𝑋) ≤ (𝑅‘𝑔)))
15		sbcimg 3792	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → ([𝐺 / 𝑔](((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝑅‘𝑋) ≤ (𝑅‘𝑔)) ↔ ([𝐺 / 𝑔]((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → [𝐺 / 𝑔](𝑅‘𝑋) ≤ (𝑅‘𝑔))))
16	14, 15	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → ([𝐺 / 𝑔]((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → [𝐺 / 𝑔](𝑅‘𝑋) ≤ (𝑅‘𝑔)))
17		eleq1 2850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔 ∈ 𝑇 ↔ 𝐺 ∈ 𝑇))
18		neeq1 3019	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
19	17, 18	anbi12d 641	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ↔ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))))
20	19	3anbi2d 1462	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ↔ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇)))
21	20	3anbi2d 1462	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)))))
22	21	sbcieg 3783	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → ([𝐺 / 𝑔]((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)))))
23		sbcbr12g 5156	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → ([𝐺 / 𝑔](𝑅‘𝑋) ≤ (𝑅‘𝑔) ↔ ⦋𝐺 / 𝑔⦌(𝑅‘𝑋) ≤ ⦋𝐺 / 𝑔⦌(𝑅‘𝑔)))
24		csbfv2g 6913	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → ⦋𝐺 / 𝑔⦌(𝑅‘𝑋) = (𝑅‘⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋))
25		csbfv 6914	. . . . . 6 ⊢ ⦋𝐺 / 𝑔⦌(𝑅‘𝑔) = (𝑅‘𝐺)
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → ⦋𝐺 / 𝑔⦌(𝑅‘𝑔) = (𝑅‘𝐺))
27	24, 26	breq12d 5113	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → (⦋𝐺 / 𝑔⦌(𝑅‘𝑋) ≤ ⦋𝐺 / 𝑔⦌(𝑅‘𝑔) ↔ (𝑅‘⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋) ≤ (𝑅‘𝐺)))
28	23, 27	bitrd 281	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → ([𝐺 / 𝑔](𝑅‘𝑋) ≤ (𝑅‘𝑔) ↔ (𝑅‘⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋) ≤ (𝑅‘𝐺)))
29	16, 22, 28	3imtr3d 295	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝑅‘⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋) ≤ (𝑅‘𝐺)))
30	1, 29	mpcom 38	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → (𝑅‘⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋) ≤ (𝑅‘𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3076  [wsbc 3744  ⦋csb 3852   class class class wbr 5100   I cid 5541  ^◡ccnv 5646   ↾ cres 5649   ∘ ccom 5651  ‘cfv 6521  ℩crio 7352  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  lecple 17293  joincjn 18343  meetcmee 18344  Atomscatm 39887  HLchlt 39974  LHypclh 40608  LTrncltrn 40725  trLctrl 40782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-riotaBAD 39577

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-undef 8253  df-map 8810  df-proset 18326  df-poset 18345  df-plt 18360  df-lub 18376  df-glb 18377  df-join 18378  df-meet 18379  df-p0 18455  df-p1 18456  df-lat 18464  df-clat 18531  df-oposet 39800  df-ol 39802  df-oml 39803  df-covers 39890  df-ats 39891  df-atl 39922  df-cvlat 39946  df-hlat 39975  df-llines 40122  df-lplanes 40123  df-lvols 40124  df-lines 40125  df-psubsp 40127  df-pmap 40128  df-padd 40420  df-lhyp 40612  df-laut 40613  df-ldil 40728  df-ltrn 40729  df-trl 40783

This theorem is referenced by:  cdlemk39s-id  41564  cdlemk51  41577