Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk39s Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk39s 38228
Description: Substitution version of cdlemk39 38205. TODO: Can any commonality with cdlemk35s 38226 be exploited? (Contributed by NM, 23-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l = (le‘𝐾)
cdlemk5.j = (join‘𝐾)
cdlemk5.m = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
cdlemk5.y 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
cdlemk5.x 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
Assertion
Ref Expression
cdlemk39s (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋) (𝑅𝐺))
Distinct variable groups:   ,𝑔   ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ,𝑏,𝑧   ,𝑏   𝑧,𝑔,   ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑧,𝑔,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk39s
StepHypRef Expression
1 simp22l 1289 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝐺𝑇)
2 cdlemk5.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 cdlemk5.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
4 cdlemk5.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
5 cdlemk5.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
6 cdlemk5.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 cdlemk5.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 cdlemk5.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9 cdlemk5.r . . . . . 6 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
10 cdlemk5.z . . . . . 6 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
11 cdlemk5.y . . . . . 6 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
12 cdlemk5.x . . . . . 6 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
132, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cdlemk39 38205 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → (𝑅𝑋) (𝑅𝑔))
1413sbcth 3738 . . . 4 (𝐺𝑇[𝐺 / 𝑔](((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → (𝑅𝑋) (𝑅𝑔)))
15 sbcimg 3770 . . . 4 (𝐺𝑇 → ([𝐺 / 𝑔](((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → (𝑅𝑋) (𝑅𝑔)) ↔ ([𝐺 / 𝑔]((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → [𝐺 / 𝑔](𝑅𝑋) (𝑅𝑔))))
1614, 15mpbid 235 . . 3 (𝐺𝑇 → ([𝐺 / 𝑔]((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → [𝐺 / 𝑔](𝑅𝑋) (𝑅𝑔)))
17 eleq1 2880 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (𝑔𝑇𝐺𝑇))
18 neeq1 3052 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
1917, 18anbi12d 633 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → ((𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ↔ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))))
20193anbi2d 1438 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → (((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ↔ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇)))
21203anbi2d 1438 . . . 4 (𝑔 = 𝐺 → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))))
2221sbcieg 3761 . . 3 (𝐺𝑇 → ([𝐺 / 𝑔]((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))))
23 sbcbr12g 5089 . . . 4 (𝐺𝑇 → ([𝐺 / 𝑔](𝑅𝑋) (𝑅𝑔) ↔ 𝐺 / 𝑔(𝑅𝑋) 𝐺 / 𝑔(𝑅𝑔)))
24 csbfv2g 6693 . . . . 5 (𝐺𝑇𝐺 / 𝑔(𝑅𝑋) = (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋))
25 csbfv 6694 . . . . . 6 𝐺 / 𝑔(𝑅𝑔) = (𝑅𝐺)
2625a1i 11 . . . . 5 (𝐺𝑇𝐺 / 𝑔(𝑅𝑔) = (𝑅𝐺))
2724, 26breq12d 5046 . . . 4 (𝐺𝑇 → (𝐺 / 𝑔(𝑅𝑋) 𝐺 / 𝑔(𝑅𝑔) ↔ (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋) (𝑅𝐺)))
2823, 27bitrd 282 . . 3 (𝐺𝑇 → ([𝐺 / 𝑔](𝑅𝑋) (𝑅𝑔) ↔ (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋) (𝑅𝐺)))
2916, 22, 283imtr3d 296 . 2 (𝐺𝑇 → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋) (𝑅𝐺)))
301, 29mpcom 38 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋) (𝑅𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  [wsbc 3723  csb 3831   class class class wbr 5033   I cid 5427  ccnv 5522  cres 5525  ccom 5527  cfv 6328  crio 7096  (class class class)co 7139  Basecbs 16478  lecple 16567  joincjn 17549  meetcmee 17550  Atomscatm 36552  HLchlt 36639  LHypclh 37273  LTrncltrn 37390  trLctrl 37447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-riotaBAD 36242
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-undef 7926  df-map 8395  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-p1 17645  df-lat 17651  df-clat 17713  df-oposet 36465  df-ol 36467  df-oml 36468  df-covers 36555  df-ats 36556  df-atl 36587  df-cvlat 36611  df-hlat 36640  df-llines 36787  df-lplanes 36788  df-lvols 36789  df-lines 36790  df-psubsp 36792  df-pmap 36793  df-padd 37085  df-lhyp 37277  df-laut 37278  df-ldil 37393  df-ltrn 37394  df-trl 37448
This theorem is referenced by:  cdlemk39s-id  38229  cdlemk51  38242
  Copyright terms: Public domain W3C validator