MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1gsumdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1gsumdlem 20007
Description: Lemma for evl1gsumd 20008 (induction step). (Contributed by AV, 17-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1gsumd.q 𝑂 = (eval1𝑅)
evl1gsumd.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
evl1gsumd.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1gsumd.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1gsumd.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evl1gsumd.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
evl1gsumdlem ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → ((∀𝑥𝑚 𝑀𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑂   𝑥,𝑈   𝑥,𝑌   𝑥,𝑎   𝑥,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑎)   𝐵(𝑥,𝑚,𝑎)   𝑃(𝑥,𝑚,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑚,𝑎)   𝑈(𝑚,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑎)   𝑂(𝑚,𝑎)   𝑌(𝑚,𝑎)

Proof of Theorem evl1gsumdlem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ralunb 3958 . . 3 (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝑈 ↔ (∀𝑥𝑚 𝑀𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈))
2 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦𝑀
3 nfcsb1v 3709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑦 / 𝑥𝑀
4 csbeq1a 3702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦𝑀 = 𝑦 / 𝑥𝑀)
52, 3, 4cbvmpt 4910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀) = (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝑀)
65oveq2i 6857 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝑀))
7 evl1gsumd.u . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑈 = (Base‘𝑃)
8 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (+g𝑃) = (+g𝑃)
9 evl1gsumd.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
10 crngring 18839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
12 evl1gsumd.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑃 = (Poly1𝑅)
1312ply1ring 19905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
1411, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
15 ringcmn 18862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑃 ∈ CMnd)
17163ad2ant3 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → 𝑃 ∈ CMnd)
1817ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) → 𝑃 ∈ CMnd)
19 simpll1 1269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) → 𝑚 ∈ Fin)
20 rspcsbela 4170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦𝑚 ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) → 𝑦 / 𝑥𝑀𝑈)
2120expcom 402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑥𝑚 𝑀𝑈 → (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀𝑈))
2221adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) → (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀𝑈))
2322adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) → (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀𝑈))
2423imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) ∧ 𝑦𝑚) → 𝑦 / 𝑥𝑀𝑈)
25 vex 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑎 ∈ V
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) → 𝑎 ∈ V)
27 simpll2 1271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) → ¬ 𝑎𝑚)
28 vsnid 4369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑎 ∈ {𝑎}
29 rspcsbela 4170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ {𝑎} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) → 𝑎 / 𝑥𝑀𝑈)
3028, 29mpan 681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈𝑎 / 𝑥𝑀𝑈)
3130adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) → 𝑎 / 𝑥𝑀𝑈)
32 csbeq1 3696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑎𝑦 / 𝑥𝑀 = 𝑎 / 𝑥𝑀)
337, 8, 18, 19, 24, 26, 27, 31, 32gsumunsn 18639 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) → (𝑃 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀))
346, 33syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀))
352, 3, 4cbvmpt 4910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑚𝑀) = (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀)
3635eqcomi 2774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀) = (𝑥𝑚𝑀)
3736oveq2i 6857 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))
3837oveq1i 6856 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀) = ((𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀)
3934, 38syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀))
4039fveq2d 6383 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀))) = (𝑂‘((𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀)))
4140fveq1d 6381 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘((𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀))‘𝑌))
42 evl1gsumd.q . . . . . . . . . . . . 13 𝑂 = (eval1𝑅)
43 evl1gsumd.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘𝑅)
4493ad2ant3 1165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → 𝑅 ∈ CRing)
4544ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) → 𝑅 ∈ CRing)
46 evl1gsumd.y . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑌𝐵)
47463ad2ant3 1165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → 𝑌𝐵)
4847ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) → 𝑌𝐵)
49 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) → ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈)
507, 18, 19, 49gsummptcl 18646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) → (𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)) ∈ 𝑈)
51 eqidd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝑌))
5250, 51jca 507 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) → ((𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝑌)))
53 eqidd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) → ((𝑂𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝑌) = ((𝑂𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝑌))
5431, 53jca 507 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) → (𝑎 / 𝑥𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝑌) = ((𝑂𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝑌)))
55 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝑅) = (+g𝑅)
5642, 12, 43, 7, 45, 48, 52, 54, 8, 55evl1addd 19992 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) → (((𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘((𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀))‘𝑌) = (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝑌)(+g𝑅)((𝑂𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝑌))))
5756simprd 489 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) → ((𝑂‘((𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀))‘𝑌) = (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝑌)(+g𝑅)((𝑂𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝑌)))
5841, 57eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝑌)(+g𝑅)((𝑂𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝑌)))
59 oveq1 6853 . . . . . . . . . 10 (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))) → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝑌)(+g𝑅)((𝑂𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝑌)) = ((𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))(+g𝑅)((𝑂𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝑌)))
6058, 59sylan9eq 2819 . . . . . . . . 9 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) ∧ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))(+g𝑅)((𝑂𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝑌)))
61 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦((𝑂𝑀)‘𝑌)
62 nfcsb1v 3709 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌)
63 csbeq1a 3702 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌))
6461, 62, 63cbvmpt 4910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)) = (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌))
6564oveq2i 6857 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌)))
66 ringcmn 18862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
6711, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
68673ad2ant3 1165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → 𝑅 ∈ CMnd)
6968ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) → 𝑅 ∈ CMnd)
70 csbfv12 6423 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌) = (𝑦 / 𝑥(𝑂𝑀)‘𝑦 / 𝑥𝑌)
71 vex 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦 ∈ V
72 csbfv2g 6424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ V → 𝑦 / 𝑥(𝑂𝑀) = (𝑂𝑦 / 𝑥𝑀))
7371, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 / 𝑥(𝑂𝑀) = (𝑂𝑦 / 𝑥𝑀)
74 csbconstg 3706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ V → 𝑦 / 𝑥𝑌 = 𝑌)
7571, 74ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 / 𝑥𝑌 = 𝑌
7673, 75fveq12i 6385 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 / 𝑥(𝑂𝑀)‘𝑦 / 𝑥𝑌) = ((𝑂𝑦 / 𝑥𝑀)‘𝑌)
7770, 76eqtri 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌) = ((𝑂𝑦 / 𝑥𝑀)‘𝑌)
7845adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) ∧ 𝑦𝑚) → 𝑅 ∈ CRing)
7948adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) ∧ 𝑦𝑚) → 𝑌𝐵)
8042, 12, 43, 7, 78, 79, 24fveval1fvcl 19984 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) ∧ 𝑦𝑚) → ((𝑂𝑦 / 𝑥𝑀)‘𝑌) ∈ 𝐵)
8177, 80syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) ∧ 𝑦𝑚) → 𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌) ∈ 𝐵)
8242, 12, 43, 7, 45, 48, 31fveval1fvcl 19984 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) → ((𝑂𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝑌) ∈ 𝐵)
83 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑎
84 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝑂
85 nfcsb1v 3709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝑎 / 𝑥𝑀
8684, 85nffv 6389 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(𝑂𝑎 / 𝑥𝑀)
87 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑌
8886, 87nffv 6389 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥((𝑂𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝑌)
89 csbeq1a 3702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑎𝑀 = 𝑎 / 𝑥𝑀)
9089fveq2d 6383 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎 → (𝑂𝑀) = (𝑂𝑎 / 𝑥𝑀))
9190fveq1d 6381 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑎 → ((𝑂𝑀)‘𝑌) = ((𝑂𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝑌))
9283, 88, 91csbhypf 3712 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑎𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌) = ((𝑂𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝑌))
9343, 55, 69, 19, 81, 26, 27, 82, 92gsumunsn 18639 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌))) = ((𝑅 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌)))(+g𝑅)((𝑂𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝑌)))
9465, 93syl5eq 2811 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))) = ((𝑅 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌)))(+g𝑅)((𝑂𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝑌)))
9561, 62, 63cbvmpt 4910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)) = (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌))
9695eqcomi 2774 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌)) = (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))
9796oveq2i 6857 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))
9897oveq1i 6856 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥((𝑂𝑀)‘𝑌)))(+g𝑅)((𝑂𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝑌)) = ((𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))(+g𝑅)((𝑂𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝑌))
9994, 98syl6req 2816 . . . . . . . . . 10 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) → ((𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))(+g𝑅)((𝑂𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))
10099adantr 472 . . . . . . . . 9 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) ∧ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))(+g𝑅)((𝑂𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))
10160, 100eqtrd 2799 . . . . . . . 8 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) ∧ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))
102101exp31 410 . . . . . . 7 (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈 → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))))
103102com23 86 . . . . . 6 (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))))
104103ex 401 . . . . 5 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → (∀𝑥𝑚 𝑀𝑈 → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))))))
105104a2d 29 . . . 4 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → ((∀𝑥𝑚 𝑀𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → (∀𝑥𝑚 𝑀𝑈 → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))))))
106105imp4b 412 . . 3 (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ (∀𝑥𝑚 𝑀𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))) → ((∀𝑥𝑚 𝑀𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))))
1071, 106syl5bi 233 . 2 (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ (∀𝑥𝑚 𝑀𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))))
108107ex 401 1 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → ((∀𝑥𝑚 𝑀𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  Vcvv 3350  csb 3693  cun 3732  {csn 4336  cmpt 4890  cfv 6070  (class class class)co 6846  Fincfn 8164  Basecbs 16144  +gcplusg 16228   Σg cgsu 16381  CMndccmn 18473  Ringcrg 18828  CRingccrg 18829  Poly1cpl1 19834  eval1ce1 19966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-ofr 7100  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-supp 7502  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-2o 7769  df-oadd 7772  df-er 7951  df-map 8066  df-pm 8067  df-ixp 8118  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-fsupp 8487  df-sup 8559  df-oi 8626  df-card 9020  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-4 11341  df-5 11342  df-6 11343  df-7 11344  df-8 11345  df-9 11346  df-n0 11543  df-z 11629  df-dec 11746  df-uz 11892  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-seq 13014  df-hash 13327  df-struct 16146  df-ndx 16147  df-slot 16148  df-base 16150  df-sets 16151  df-ress 16152  df-plusg 16241  df-mulr 16242  df-sca 16244  df-vsca 16245  df-ip 16246  df-tset 16247  df-ple 16248  df-ds 16250  df-hom 16252  df-cco 16253  df-0g 16382  df-gsum 16383  df-prds 16388  df-pws 16390  df-mre 16526  df-mrc 16527  df-acs 16529  df-mgm 17522  df-sgrp 17564  df-mnd 17575  df-mhm 17615  df-submnd 17616  df-grp 17706  df-minusg 17707  df-sbg 17708  df-mulg 17822  df-subg 17869  df-ghm 17936  df-cntz 18027  df-cmn 18475  df-abl 18476  df-mgp 18771  df-ur 18783  df-srg 18787  df-ring 18830  df-cring 18831  df-rnghom 18998  df-subrg 19061  df-lmod 19148  df-lss 19216  df-lsp 19258  df-assa 19600  df-asp 19601  df-ascl 19602  df-psr 19644  df-mvr 19645  df-mpl 19646  df-opsr 19648  df-evls 19793  df-evl 19794  df-psr1 19837  df-ply1 19839  df-evl1 19968
This theorem is referenced by:  evl1gsumd  20008
  Copyright terms: Public domain W3C validator