Theorem evl1gsumdlem 21722

Description: Lemma for evl1gsumd 21723 (induction step). (Contributed by AV, 17-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1gsumd.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1gsumd.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1gsumd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1gsumd.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1gsumd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1gsumd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evl1gsumdlem	⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑂   𝑥,𝑈   𝑥,𝑌   𝑥,𝑎   𝑥,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑎)   𝐵(𝑥,𝑚,𝑎)   𝑃(𝑥,𝑚,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑚,𝑎)   𝑈(𝑚,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑎)   𝑂(𝑚,𝑎)   𝑌(𝑚,𝑎)

Proof of Theorem evl1gsumdlem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralunb 4151	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈))
2		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦𝑀
3		nfcsb1v 3880	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀
4		csbeq1a 3869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑀 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
5	2, 3, 4	cbvmpt 5216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀) = (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
6	5	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))
7		evl1gsumd.u	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
8		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
9		evl1gsumd.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10		crngring 19976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12		evl1gsumd.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
13	12	ply1ring 21619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
15		ringcmn 20003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CMnd)
17	16	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → 𝑃 ∈ CMnd)
18	17	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑃 ∈ CMnd)
19		simpll1 1212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑚 ∈ Fin)
20		rspcsbela 4395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑚 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
21	20	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → (𝑦 ∈ 𝑚 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈))
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ 𝑚 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈))
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ 𝑚 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈))
24	23	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
25		vex 3449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑎 ∈ V
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑎 ∈ V)
27		simpll2 1213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ¬ 𝑎 ∈ 𝑚)
28		vsnid 4623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑎 ∈ {𝑎}
29		rspcsbela 4395	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑎} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
30	28, 29	mpan 688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈 → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
32		csbeq1 3858	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
33	7, 8, 18, 19, 24, 26, 27, 31, 32	gsumunsn 19737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑃 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))
34	6, 33	eqtrid 2788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))
35	2, 3, 4	cbvmpt 5216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀) = (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
36	35	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)
37	36	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))
38	37	oveq1i 7367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀) = ((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
39	34, 38	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))
40	39	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀))) = (𝑂‘((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)))
41	40	fveq1d 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))‘𝑌))
42		evl1gsumd.q	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
43		evl1gsumd.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
44	9	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → 𝑅 ∈ CRing)
45	44	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ CRing)
46		evl1gsumd.y	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
47	46	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → 𝑌 ∈ 𝐵)
48	47	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝐵)
49		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈)
50	7, 18, 19, 49	gsummptcl 19744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)) ∈ 𝑈)
51		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌))
52	50, 51	jca 512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌)))
53		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌))
54	31, 53	jca 512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
55		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
56	42, 12, 43, 7, 45, 48, 52, 54, 8, 55	evl1addd 21707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))‘𝑌) = (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌))))
57	56	simprd 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))‘𝑌) = (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
58	41, 57	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
59		oveq1 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
60	58, 59	sylan9eq 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
61		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑂‘𝑀)‘𝑌)
62		nfcsb1v 3880	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)
63		csbeq1a 3869	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))
64	61, 62, 63	cbvmpt 5216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))
65	64	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
66		ringcmn 20003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
67	11, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
68	67	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → 𝑅 ∈ CMnd)
69	68	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ CMnd)
70		csbfv12 6890	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = (⦋𝑦 / 𝑥⦌(𝑂‘𝑀)‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑌)
71		csbfv2g 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ V → ⦋𝑦 / 𝑥⦌(𝑂‘𝑀) = (𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))
72	71	elv 3451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌(𝑂‘𝑀) = (𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
73		csbconstg 3874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ V → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑌 = 𝑌)
74	73	elv 3451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑌 = 𝑌
75	72, 74	fveq12i 6848	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⦋𝑦 / 𝑥⦌(𝑂‘𝑀)‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)
76	70, 75	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)
77	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → 𝑅 ∈ CRing)
78	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → 𝑌 ∈ 𝐵)
79	42, 12, 43, 7, 77, 78, 24	fveval1fvcl 21699	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → ((𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌) ∈ 𝐵)
80	76, 79	eqeltrid 2842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌) ∈ 𝐵)
81	42, 12, 43, 7, 45, 48, 31	fveval1fvcl 21699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌) ∈ 𝐵)
82		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝑎
83		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥𝑂
84		nfcsb1v 3880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀
85	83, 84	nffv 6852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
86		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
87	85, 86	nffv 6852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)
88		csbeq1a 3869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → 𝑀 = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
89	88	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑂‘𝑀) = (𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))
90	89	fveq1d 6844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌))
91	82, 87, 90	csbhypf 3884	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌))
92	43, 55, 69, 19, 80, 26, 27, 81, 91	gsumunsn 19737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = ((𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
93	65, 92	eqtrid 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = ((𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
94	61, 62, 63	cbvmpt 5216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))
95	94	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))
96	95	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
97	96	oveq1i 7367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌))
98	93, 97	eqtr2di 2793	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
99	98	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
100	60, 99	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
101	100	exp31 420	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈 → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
102	101	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
103	102	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))))
104	103	a2d 29	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))))
105	104	imp4b 422	. . 3 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
106	1, 105	biimtrid 241	. 2 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
107	106	ex 413	1 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3445  ⦋csb 3855   ∪ cun 3908  {csn 4586   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133   Σ_g cgsu 17322  CMndccmn 19562  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  Poly₁cpl1 21548  eval₁ce1 21680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-srg 19918  df-ring 19966  df-cring 19967  df-rnghom 20146  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-assa 21259  df-asp 21260  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-evls 21482  df-evl 21483  df-psr1 21551  df-ply1 21553  df-evl1 21682

This theorem is referenced by:  evl1gsumd  21723