Theorem evl1gsumdlem 22349

Description: Lemma for evl1gsumd 22350 (induction step). (Contributed by AV, 17-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1gsumd.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1gsumd.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1gsumd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1gsumd.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1gsumd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1gsumd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evl1gsumdlem	⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑂   𝑥,𝑈   𝑥,𝑌   𝑥,𝑎   𝑥,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑎)   𝐵(𝑥,𝑚,𝑎)   𝑃(𝑥,𝑚,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑚,𝑎)   𝑈(𝑚,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑎)   𝑂(𝑚,𝑎)   𝑌(𝑚,𝑎)

Proof of Theorem evl1gsumdlem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralunb 4133	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈))
2		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦𝑀
3		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀
4		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑀 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
5	2, 3, 4	cbvmpt 5181	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀) = (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
6	5	oveq2i 7374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))
7		evl1gsumd.u	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
8		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
9		evl1gsumd.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10		crngring 20224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12		evl1gsumd.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
13	12	ply1ring 22239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
15		ringcmn 20261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CMnd)
17	16	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → 𝑃 ∈ CMnd)
18	17	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑃 ∈ CMnd)
19		simpll1 1219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑚 ∈ Fin)
20		rspcsbela 4373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑚 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
21	20	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → (𝑦 ∈ 𝑚 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈))
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ 𝑚 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈))
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ 𝑚 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈))
24	23	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
25		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑎 ∈ V
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑎 ∈ V)
27		simpll2 1220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ¬ 𝑎 ∈ 𝑚)
28		vsnid 4602	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑎 ∈ {𝑎}
29		rspcsbela 4373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑎} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
30	28, 29	mpan 696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈 → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
32		csbeq1 3841	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
33	7, 8, 18, 19, 24, 26, 27, 31, 32	gsumunsn 19933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑃 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))
34	6, 33	eqtrid 2787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))
35	2, 3, 4	cbvmpt 5181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀) = (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
36	35	eqcomi 2749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)
37	36	oveq2i 7374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))
38	37	oveq1i 7373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀) = ((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
39	34, 38	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))
40	39	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀))) = (𝑂‘((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)))
41	40	fveq1d 6836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))‘𝑌))
42		evl1gsumd.q	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
43		evl1gsumd.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
44	9	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → 𝑅 ∈ CRing)
45	44	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ CRing)
46		evl1gsumd.y	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
47	46	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → 𝑌 ∈ 𝐵)
48	47	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝐵)
49		simplr 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈)
50	7, 18, 19, 49	gsummptcl 19940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)) ∈ 𝑈)
51		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌))
52	50, 51	jca 516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌)))
53		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌))
54	31, 53	jca 516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
55		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
56	42, 12, 43, 7, 45, 48, 52, 54, 8, 55	evl1addd 22334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))‘𝑌) = (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌))))
57	56	simprd 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))‘𝑌) = (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
58	41, 57	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
59		oveq1 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
60	58, 59	sylan9eq 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
61		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑂‘𝑀)‘𝑌)
62		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)
63		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))
64	61, 62, 63	cbvmpt 5181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))
65	64	oveq2i 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
66		ringcmn 20261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
67	11, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
68	67	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → 𝑅 ∈ CMnd)
69	68	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ CMnd)
70		csbfv12 6879	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = (⦋𝑦 / 𝑥⦌(𝑂‘𝑀)‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑌)
71		csbfv2g 6880	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ V → ⦋𝑦 / 𝑥⦌(𝑂‘𝑀) = (𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))
72	71	elv 3437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌(𝑂‘𝑀) = (𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
73		csbconstg 3857	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ V → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑌 = 𝑌)
74	73	elv 3437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑌 = 𝑌
75	72, 74	fveq12i 6840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⦋𝑦 / 𝑥⦌(𝑂‘𝑀)‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)
76	70, 75	eqtri 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)
77	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → 𝑅 ∈ CRing)
78	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → 𝑌 ∈ 𝐵)
79	42, 12, 43, 7, 77, 78, 24	fveval1fvcl 22326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → ((𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌) ∈ 𝐵)
80	76, 79	eqeltrid 2844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌) ∈ 𝐵)
81	42, 12, 43, 7, 45, 48, 31	fveval1fvcl 22326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌) ∈ 𝐵)
82		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝑎
83		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥𝑂
84		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀
85	83, 84	nffv 6844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
86		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
87	85, 86	nffv 6844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)
88		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → 𝑀 = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
89	88	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑂‘𝑀) = (𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))
90	89	fveq1d 6836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌))
91	82, 87, 90	csbhypf 3866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌))
92	43, 55, 69, 19, 80, 26, 27, 81, 91	gsumunsn 19933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = ((𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
93	65, 92	eqtrid 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = ((𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
94	61, 62, 63	cbvmpt 5181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))
95	94	eqcomi 2749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))
96	95	oveq2i 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
97	96	oveq1i 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌))
98	93, 97	eqtr2di 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
99	98	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
100	60, 99	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
101	100	exp31 420	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈 → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
102	101	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
103	102	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))))
104	103	a2d 29	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))))
105	104	imp4b 422	. . 3 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
106	1, 105	biimtrid 243	. 2 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
107	106	ex 413	1 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  Vcvv 3432  ⦋csb 3838   ∪ cun 3888  {csn 4562   ↦ cmpt 5160  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Fincfn 8890  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218   Σ_g cgsu 17401  CMndccmn 19753  Ringcrg 20212  CRingccrg 20213  Poly₁cpl1 22169  eval₁ce1 22307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-ofr 7628  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-hash 14291  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-prds 17408  df-pws 17410  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-ghm 19186  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-srg 20166  df-ring 20214  df-cring 20215  df-rhm 20450  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-assa 21835  df-asp 21836  df-ascl 21837  df-psr 21891  df-mvr 21892  df-mpl 21893  df-opsr 21895  df-evls 22057  df-evl 22058  df-psr1 22172  df-ply1 22174  df-evl1 22309

This theorem is referenced by:  evl1gsumd  22350