Theorem evl1gsumdlem 22667

Description: Lemma for evl1gsumd 22668 (induction step). (Contributed by AV, 17-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1gsumd.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1gsumd.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1gsumd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1gsumd.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1gsumd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1gsumd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evl1gsumdlem	⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑂   𝑥,𝑈   𝑥,𝑌   𝑥,𝑎   𝑥,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑚, 𝑎)   𝐵(𝑥, 𝑚, 𝑎)   𝑃(𝑥, 𝑚, 𝑎)   𝑅(𝑥, 𝑚, 𝑎)   𝑈(𝑚, 𝑎)   𝑀(𝑥, 𝑚, 𝑎)   𝑂(𝑚, 𝑎)   𝑌(𝑚, 𝑎)

Proof of Theorem evl1gsumdlem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralunb 4143	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈))
2		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦𝑀
3		nfcsb1v 3871	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀
4		csbeq1a 3861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑀 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
5	2, 3, 4	cbvmpt 5207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀) = (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
6	5	oveq2i 7429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))
7		evl1gsumd.u	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
8		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
9		evl1gsumd.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10		crngring 20465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12		evl1gsumd.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
13	12	ply1ring 22558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
14	11, 13	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
15		ringcmn 20504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
16	14, 15	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CMnd)
17	16	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → 𝑃 ∈ CMnd)
18	17	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑃 ∈ CMnd)
19		simpll1 1231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑚 ∈ Fin)
20		rspcsbela 4396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑚 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
21	20	expcom 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → (𝑦 ∈ 𝑚 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈))
22	21	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ 𝑚 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈))
23	22	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ 𝑚 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈))
24	23	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
25		vex 3455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑎 ∈ V
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑎 ∈ V)
27		simpll2 1232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ¬ 𝑎 ∈ 𝑚)
28		vsnid 4624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑎 ∈ {𝑎}
29		rspcsbela 4396	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑎} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
30	28, 29	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈 → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
31	30	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈)
32		csbeq1 3850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
33	7, 8, 18, 19, 24, 26, 27, 31, 32	gsumunsn 20167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑃 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))
34	6, 33	eqtrid 2808	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))
35	2, 3, 4	cbvmpt 5207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀) = (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
36	35	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)
37	36	oveq2i 7429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))
38	37	oveq1i 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀) = ((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
39	34, 38	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))
40	39	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀))) = (𝑂‘((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)))
41	40	fveq1d 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))‘𝑌))
42		evl1gsumd.q	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
43		evl1gsumd.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
44	9	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → 𝑅 ∈ CRing)
45	44	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ CRing)
46		evl1gsumd.y	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
47	46	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → 𝑌 ∈ 𝐵)
48	47	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝐵)
49		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈)
50	7, 18, 19, 49	gsummptcl 20174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)) ∈ 𝑈)
51		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌))
52	50, 51	jca 521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌)))
53		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌))
54	31, 53	jca 521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
55		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
56	42, 12, 43, 7, 45, 48, 52, 54, 8, 55	evl1addd 22652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))‘𝑌) = (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌))))
57	56	simprd 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))‘𝑌) = (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
58	41, 57	eqtrd 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
59		oveq1 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌)(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
60	58, 59	sylan9eq 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
61		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑂‘𝑀)‘𝑌)
62		nfcsb1v 3871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)
63		csbeq1a 3861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))
64	61, 62, 63	cbvmpt 5207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))
65	64	oveq2i 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
66		ringcmn 20504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
67	11, 66	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
68	67	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → 𝑅 ∈ CMnd)
69	68	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ CMnd)
70		csbfv12 6928	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = (⦋𝑦 / 𝑥⦌(𝑂‘𝑀)‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑌)
71		csbfv2g 6929	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ V → ⦋𝑦 / 𝑥⦌(𝑂‘𝑀) = (𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))
72	71	elv 3456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌(𝑂‘𝑀) = (𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
73		csbconstg 3866	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ V → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑌 = 𝑌)
74	73	elv 3456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑌 = 𝑌
75	72, 74	fveq12i 6889	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⦋𝑦 / 𝑥⦌(𝑂‘𝑀)‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)
76	70, 75	eqtri 2784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)
77	45	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → 𝑅 ∈ CRing)
78	48	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → 𝑌 ∈ 𝐵)
79	42, 12, 43, 7, 77, 78, 24	fveval1fvcl 22644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → ((𝑂‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌) ∈ 𝐵)
80	76, 79	eqeltrid 2865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌) ∈ 𝐵)
81	42, 12, 43, 7, 45, 48, 31	fveval1fvcl 22644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌) ∈ 𝐵)
82		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝑎
83		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥𝑂
84		nfcsb1v 3871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀
85	83, 84	nffv 6893	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
86		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
87	85, 86	nffv 6893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)
88		csbeq1a 3861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → 𝑀 = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
89	88	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑂‘𝑀) = (𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))
90	89	fveq1d 6885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌))
91	82, 87, 90	csbhypf 3875	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = ((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌))
92	43, 55, 69, 19, 80, 26, 27, 81, 91	gsumunsn 20167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = ((𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
93	65, 92	eqtrid 2808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = ((𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)))
94	61, 62, 63	cbvmpt 5207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))
95	94	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))
96	95	oveq2i 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
97	96	oveq1i 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌))
98	93, 97	eqtr2di 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
99	98	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))(+g‘𝑅)((𝑂‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
100	60, 99	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
101	100	exp31 425	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈 → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
102	101	com23 87	. . . . . 6 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
103	102	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))))
104	103	a2d 30	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))))
105	104	imp4b 427	. . 3 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
106	1, 105	biimtrid 245	. 2 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
107	106	ex 418	1 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451  ⦋csb 3847   ∪ cun 3897  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Fincfn 8966  Basecbs 17380  +_gcplusg 17421   Σ_g cgsu 17604  CMndccmn 19987  Ringcrg 20452  CRingccrg 20453  Poly₁cpl1 22488  eval₁ce1 22625

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-sup 9427  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-hash 14468  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-hom 17445  df-cco 17446  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-prds 17611  df-pws 17613  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-mhm 18971  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-mulg 19271  df-subg 19326  df-ghm 19421  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-srg 20406  df-ring 20454  df-cring 20455  df-rhm 20695  df-subrng 20791  df-subrg 20815  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-lsp 21240  df-assa 22154  df-asp 22155  df-ascl 22156  df-psr 22210  df-mvr 22211  df-mpl 22212  df-opsr 22214  df-evls 22376  df-evl 22377  df-psr1 22491  df-ply1 22493  df-evl1 22627

This theorem is used by:  evl1gsumd  22668