MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodeq2ii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodeq2ii 15854
Description: Equality theorem for product, with the class expressions ๐ต and ๐ถ guarded by I to be always sets. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
prodeq2ii (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘˜)   ๐ถ(๐‘˜)

Proof of Theorem prodeq2ii
Dummy variables ๐‘“ ๐‘š ๐‘› ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12829 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
21adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
3 nfra1 3282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 โ„ฒ๐‘˜โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ)
4 rsp 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†’ ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ)))
54adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†’ ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ)))
6 ifeq1 4532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ( I โ€˜๐ต), ( I โ€˜1)) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ( I โ€˜๐ถ), ( I โ€˜1)))
75, 6syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ( I โ€˜๐ต), ( I โ€˜1)) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ( I โ€˜๐ถ), ( I โ€˜1))))
8 iffalse 4537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ( I โ€˜๐ต), ( I โ€˜1)) = ( I โ€˜1))
9 iffalse 4537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ( I โ€˜๐ถ), ( I โ€˜1)) = ( I โ€˜1))
108, 9eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ( I โ€˜๐ต), ( I โ€˜1)) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ( I โ€˜๐ถ), ( I โ€˜1)))
117, 10pm2.61d1 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ( I โ€˜๐ต), ( I โ€˜1)) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ( I โ€˜๐ถ), ( I โ€˜1)))
12 fvif 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( I โ€˜if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ( I โ€˜๐ต), ( I โ€˜1))
13 fvif 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( I โ€˜if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1)) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ( I โ€˜๐ถ), ( I โ€˜1))
1411, 12, 133eqtr4g 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ( I โ€˜if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)) = ( I โ€˜if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1)))
153, 14mpteq2da 5246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ ( I โ€˜if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ ( I โ€˜if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))))
1615adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ ( I โ€˜if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ ( I โ€˜if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))))
1716fveq1d 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ ( I โ€˜if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ ( I โ€˜if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1)))โ€˜๐‘ฅ))
1817adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ ( I โ€˜if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ ( I โ€˜if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1)))โ€˜๐‘ฅ))
19 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)) = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
20 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ ( I โ€˜if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ ( I โ€˜if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)))
2119, 20fvmptex 7010 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ ( I โ€˜if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)))โ€˜๐‘ฅ)
22 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1)) = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))
23 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ ( I โ€˜if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ ( I โ€˜if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1)))
2422, 23fvmptex 7010 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ ( I โ€˜if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1)))โ€˜๐‘ฅ)
2518, 21, 243eqtr4g 2798 . . . . . . . . . . . 12 (((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))โ€˜๐‘ฅ))
262, 25seqfeq 13990 . . . . . . . . . . 11 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) = seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))))
2726breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ (seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ โ†” seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))
2827anbi2d 630 . . . . . . . . 9 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ ((๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฆ)))
2928exbidv 1925 . . . . . . . 8 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฆ)))
3029rexbidva 3177 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฆ)))
3130adantr 482 . . . . . 6 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฆ)))
32 simpr 486 . . . . . . . 8 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
3315adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ ( I โ€˜if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ ( I โ€˜if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))))
3433fveq1d 6891 . . . . . . . . . 10 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ ( I โ€˜if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ ( I โ€˜if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1)))โ€˜๐‘ฅ))
3534, 21, 243eqtr4g 2798 . . . . . . . . 9 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))โ€˜๐‘ฅ))
3635adantlr 714 . . . . . . . 8 (((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))โ€˜๐‘ฅ))
3732, 36seqfeq 13990 . . . . . . 7 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) = seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))))
3837breq1d 5158 . . . . . 6 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ โ†” seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฅ))
3931, 383anbi23d 1440 . . . . 5 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โ†” (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)))
4039rexbidva 3177 . . . 4 (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฅ)))
41 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
42 nnuz 12862 . . . . . . . . . 10 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
4341, 42eleqtrdi 2844 . . . . . . . . 9 (((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
44 f1of 6831 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โ†’ ๐‘“:(1...๐‘š)โŸถ๐ด)
4544ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ๐‘“:(1...๐‘š)โŸถ๐ด)
46 ffvelcdm 7081 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“:(1...๐‘š)โŸถ๐ด โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด)
4745, 46sylancom 589 . . . . . . . . . . . 12 ((((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด)
48 simplll 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ))
49 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘˜โฆŒ( I โ€˜๐ต)
50 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘˜โฆŒ( I โ€˜๐ถ)
5149, 50nfeq 2917 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘˜โฆŒ( I โ€˜๐ต) = โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘˜โฆŒ( I โ€˜๐ถ)
52 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = (๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ( I โ€˜๐ต) = โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘˜โฆŒ( I โ€˜๐ต))
53 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = (๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ( I โ€˜๐ถ) = โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘˜โฆŒ( I โ€˜๐ถ))
5452, 53eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = (๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โ†’ (( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โ†” โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘˜โฆŒ( I โ€˜๐ต) = โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘˜โฆŒ( I โ€˜๐ถ)))
5551, 54rspc 3601 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โ†’ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘˜โฆŒ( I โ€˜๐ต) = โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘˜โฆŒ( I โ€˜๐ถ)))
5647, 48, 55sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘˜โฆŒ( I โ€˜๐ต) = โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘˜โฆŒ( I โ€˜๐ถ))
57 fvex 6902 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ V
58 csbfv2g 6938 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ V โ†’ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘˜โฆŒ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘˜โฆŒ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
60 csbfv2g 6938 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ V โ†’ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘˜โฆŒ( I โ€˜๐ถ) = ( I โ€˜โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ))
6157, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘˜โฆŒ( I โ€˜๐ถ) = ( I โ€˜โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ)
6256, 59, 613eqtr3g 2796 . . . . . . . . . 10 ((((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ( I โ€˜โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘˜โฆŒ๐ต) = ( I โ€˜โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ))
63 elfznn 13527 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘š) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
6463adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
65 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘›) = (๐‘“โ€˜๐‘ฅ))
6665csbeq1d 3897 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต = โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
67 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
6866, 67fvmpti 6995 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)โ€˜๐‘ฅ) = ( I โ€˜โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))
6964, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)โ€˜๐‘ฅ) = ( I โ€˜โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))
7065csbeq1d 3897 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ = โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ)
71 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ)
7270, 71fvmpti 6995 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) = ( I โ€˜โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ))
7364, 72syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) = ( I โ€˜โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ))
7462, 69, 733eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 ((((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ)โ€˜๐‘ฅ))
7543, 74seqfveq 13989 . . . . . . . 8 (((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ))โ€˜๐‘š))
7675eqeq2d 2744 . . . . . . 7 (((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ (๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š) โ†” ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ))โ€˜๐‘š)))
7776pm5.32da 580 . . . . . 6 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)) โ†” (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ))โ€˜๐‘š))))
7877exbidv 1925 . . . . 5 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)) โ†” โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ))โ€˜๐‘š))))
7978rexbidva 3177 . . . 4 (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ))โ€˜๐‘š))))
8040, 79orbi12d 918 . . 3 (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))) โ†” (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ))โ€˜๐‘š)))))
8180iotabidv 6525 . 2 (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)))) = (โ„ฉ๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ))โ€˜๐‘š)))))
82 df-prod 15847 . 2 โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (โ„ฉ๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))))
83 df-prod 15847 . 2 โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ = (โ„ฉ๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ถ, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ถ))โ€˜๐‘š))))
8481, 82, 833eqtr4g 2798 1 (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ( I โ€˜๐ต) = ( I โ€˜๐ถ) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071  Vcvv 3475  โฆ‹csb 3893   โŠ† wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231   I cid 5573  โ„ฉcio 6491  โŸถwf 6537  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6540  โ€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  0cc0 11107  1c1 11108   ยท cmul 11112  โ„•cn 12209  โ„คcz 12555  โ„คโ‰ฅcuz 12819  ...cfz 13481  seqcseq 13963   โ‡ cli 15425  โˆcprod 15846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-seq 13964  df-prod 15847
This theorem is referenced by:  prodeq2  15855  prod2id  15869
  Copyright terms: Public domain W3C validator