MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodabs 15915
Description: The absolute value of a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 25-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodabs.1 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
fprodabs.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
fprodabs.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
fprodabs (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)(absโ€˜๐ด))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘€   ๐‘˜,๐‘   ๐‘˜,๐‘   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐ด(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodabs
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodabs.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
2 fprodabs.1 . . 3 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
31, 2eleqtrdi 2844 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
4 oveq2 7414 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐‘€ โ†’ (๐‘€...๐‘Ž) = (๐‘€...๐‘€))
54prodeq1d 15862 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐‘€ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)๐ด)
65fveq2d 6893 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐‘€ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด) = (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)๐ด))
74prodeq1d 15862 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐‘€ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)(absโ€˜๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)(absโ€˜๐ด))
86, 7eqeq12d 2749 . . . 4 (๐‘Ž = ๐‘€ โ†’ ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)(absโ€˜๐ด) โ†” (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)(absโ€˜๐ด)))
98imbi2d 341 . . 3 (๐‘Ž = ๐‘€ โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)(absโ€˜๐ด)) โ†” (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)(absโ€˜๐ด))))
10 oveq2 7414 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐‘› โ†’ (๐‘€...๐‘Ž) = (๐‘€...๐‘›))
1110prodeq1d 15862 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐‘› โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด)
1211fveq2d 6893 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐‘› โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด) = (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด))
1310prodeq1d 15862 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐‘› โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)(absโ€˜๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด))
1412, 13eqeq12d 2749 . . . 4 (๐‘Ž = ๐‘› โ†’ ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)(absโ€˜๐ด) โ†” (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด)))
1514imbi2d 341 . . 3 (๐‘Ž = ๐‘› โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)(absโ€˜๐ด)) โ†” (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด))))
16 oveq2 7414 . . . . . . 7 (๐‘Ž = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘€...๐‘Ž) = (๐‘€...(๐‘› + 1)))
1716prodeq1d 15862 . . . . . 6 (๐‘Ž = (๐‘› + 1) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))๐ด)
1817fveq2d 6893 . . . . 5 (๐‘Ž = (๐‘› + 1) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด) = (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))๐ด))
1916prodeq1d 15862 . . . . 5 (๐‘Ž = (๐‘› + 1) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)(absโ€˜๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))(absโ€˜๐ด))
2018, 19eqeq12d 2749 . . . 4 (๐‘Ž = (๐‘› + 1) โ†’ ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)(absโ€˜๐ด) โ†” (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))(absโ€˜๐ด)))
2120imbi2d 341 . . 3 (๐‘Ž = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)(absโ€˜๐ด)) โ†” (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))(absโ€˜๐ด))))
22 oveq2 7414 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (๐‘€...๐‘Ž) = (๐‘€...๐‘))
2322prodeq1d 15862 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด)
2423fveq2d 6893 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด) = (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด))
2522prodeq1d 15862 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)(absโ€˜๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)(absโ€˜๐ด))
2624, 25eqeq12d 2749 . . . 4 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)(absโ€˜๐ด) โ†” (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)(absโ€˜๐ด)))
2726imbi2d 341 . . 3 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)(absโ€˜๐ด)) โ†” (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)(absโ€˜๐ด))))
28 csbfv2g 6938 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ(absโ€˜๐ด) = (absโ€˜โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด))
2928adantl 483 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ(absโ€˜๐ด) = (absโ€˜โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด))
30 fzsn 13540 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€...๐‘€) = {๐‘€})
3130adantl 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€...๐‘€) = {๐‘€})
3231prodeq1d 15862 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)(absโ€˜๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘€} (absโ€˜๐ด))
33 simpr 486 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
34 uzid 12834 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
3534, 2eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐‘)
36 fprodabs.3 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3736ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด โˆˆ โ„‚)
38 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด
3938nfel1 2920 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚
40 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ๐ด = โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
4140eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚))
4239, 41rspc 3601 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ โˆˆ ๐‘ โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚))
4337, 42mpan9 508 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘) โ†’ โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
4435, 43sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
4544abscld 15380 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด) โˆˆ โ„)
4645recnd 11239 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด) โˆˆ โ„‚)
4729, 46eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ(absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
48 prodsns 15913 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ(absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘€} (absโ€˜๐ด) = โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ(absโ€˜๐ด))
4933, 47, 48syl2anc 585 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘€} (absโ€˜๐ด) = โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ(absโ€˜๐ด))
5032, 49eqtrd 2773 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)(absโ€˜๐ด) = โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ(absโ€˜๐ด))
5130prodeq1d 15862 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)๐ด = โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘€}๐ด)
5251adantl 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)๐ด = โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘€}๐ด)
53 prodsns 15913 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘€}๐ด = โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
5433, 44, 53syl2anc 585 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘€}๐ด = โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
5552, 54eqtrd 2773 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)๐ด = โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
5655fveq2d 6893 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)๐ด) = (absโ€˜โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด))
5729, 50, 563eqtr4rd 2784 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)(absโ€˜๐ด))
5857expcom 415 . . 3 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)(absโ€˜๐ด)))
59 simp3 1139 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด))
60 ovex 7439 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› + 1) โˆˆ V
61 csbfv2g 6938 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› + 1) โˆˆ V โ†’ โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ(absโ€˜๐ด) = (absโ€˜โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด))
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ(absโ€˜๐ด) = (absโ€˜โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
6362eqcomi 2742 . . . . . . . . 9 (absโ€˜โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด) = โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ(absโ€˜๐ด)
6463a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด) = โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ(absโ€˜๐ด))
6559, 64oveq12d 7424 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) ยท (absโ€˜โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด) ยท โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ(absโ€˜๐ด)))
66 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
67 elfzuz 13494 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
6867, 2eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
6968, 36sylan2 594 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7069adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7166, 70fprodp1s 15912 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))๐ด = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด ยท โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด))
7271fveq2d 6893 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))๐ด) = (absโ€˜(โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด ยท โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)))
73 fzfid 13935 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐‘€...๐‘›) โˆˆ Fin)
74 elfzuz 13494 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
7574, 2eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
7675, 36sylan2 594 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7776adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7873, 77fprodcl 15893 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด โˆˆ โ„‚)
79 peano2uz 12882 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
8079, 2eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ ๐‘)
81 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด
8281nfel1 2920 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚
83 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ๐ด = โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
8483eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚))
8582, 84rspc 3601 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› + 1) โˆˆ ๐‘ โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚))
8637, 85mpan9 508 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› + 1) โˆˆ ๐‘) โ†’ โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
8780, 86sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
8878, 87absmuld 15398 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (absโ€˜(โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด ยท โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)) = ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) ยท (absโ€˜โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)))
8972, 88eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))๐ด) = ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) ยท (absโ€˜โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)))
90893adant3 1133 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))๐ด) = ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) ยท (absโ€˜โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)))
9170abscld 15380 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
9291recnd 11239 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
9366, 92fprodp1s 15912 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))(absโ€˜๐ด) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด) ยท โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ(absโ€˜๐ด)))
94933adant3 1133 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด)) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))(absโ€˜๐ด) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด) ยท โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ(absโ€˜๐ด)))
9565, 90, 943eqtr4d 2783 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))(absโ€˜๐ด))
96953exp 1120 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))(absโ€˜๐ด))))
9796com12 32 . . . 4 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))(absโ€˜๐ด))))
9897a2d 29 . . 3 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))(absโ€˜๐ด))))
999, 15, 21, 27, 58, 98uzind4 12887 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)(absโ€˜๐ด)))
1003, 99mpcom 38 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)(absโ€˜๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  Vcvv 3475  โฆ‹csb 3893  {csn 4628  โ€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  โ„‚cc 11105  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112  โ„คcz 12555  โ„คโ‰ฅcuz 12819  ...cfz 13481  abscabs 15178  โˆcprod 15846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-prod 15847
This theorem is referenced by:  etransclem23  44960
  Copyright terms: Public domain W3C validator