Theorem coe1fzgsumdlem 21482

Description: Lemma for coe1fzgsumd 21483 (induction step). (Contributed by AV, 8-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1fzgsumd.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1fzgsumd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1fzgsumd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1fzgsumd.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
coe1fzgsumdlem	⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑚   𝑥,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑎)   𝐵(𝑚,𝑎)   𝑃(𝑥,𝑚,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑚,𝑎)   𝐾(𝑚,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑎)

Proof of Theorem coe1fzgsumdlem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralunb 4124	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝐵 ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵))
2		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦𝑀
3		nfcsb1v 3856	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀
4		csbeq1a 3845	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑀 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
5	2, 3, 4	cbvmpt 5184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀) = (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
6	5	oveq2i 7278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))
7		coe1fzgsumd.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
9		coe1fzgsumd.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10		coe1fzgsumd.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
11	10	ply1ring 21429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
12	9, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
13		ringcmn 19830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CMnd)
15	14	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → 𝑃 ∈ CMnd)
16	15	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ CMnd)
17		simpll1 1211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑚 ∈ Fin)
18		rspcsbela 4369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑚 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵)
19	18	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝑚 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵))
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝑚 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵))
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝑚 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵))
22	21	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵)
23		vex 3433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑎 ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ V)
25		simpll2 1212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑎 ∈ 𝑚)
26		vsnid 4598	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑎 ∈ {𝑎}
27		rspcsbela 4369	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑎} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵)
28	26, 27	mpan 687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵 → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵)
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵)
30		csbeq1 3834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
31	7, 8, 16, 17, 22, 24, 25, 29, 30	gsumunsn 19571	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))
32	6, 31	eqtrid 2790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))
33	2, 3, 4	cbvmpt 5184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀) = (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
34	33	eqcomi 2747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)
35	34	oveq2i 7278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))
36	35	oveq1i 7277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀) = ((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
37	32, 36	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))
38	37	fveq2d 6770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀))) = (coe1‘((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)))
39	38	fveq1d 6768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = ((coe1‘((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))‘𝐾))
40	9	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → 𝑅 ∈ Ring)
41	40	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
42		simplr 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵)
43	7, 16, 17, 42	gsummptcl 19578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)) ∈ 𝐵)
44		coe1fzgsumd.k	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
45	44	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → 𝐾 ∈ ℕ0)
46	45	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℕ0)
47		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
48	10, 7, 8, 47	coe1addfv 21446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)) ∈ 𝐵 ∧ ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))‘𝐾) = (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾)(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)))
49	41, 43, 29, 46, 48	syl31anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))‘𝐾) = (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾)(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)))
50	39, 49	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾)(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)))
51		oveq1 7274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾)(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)))
52	50, 51	sylan9eq 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)))
53		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦((coe1‘𝑀)‘𝐾)
54		nfcsb1v 3856	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾)
55		csbeq1a 3845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((coe1‘𝑀)‘𝐾) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾))
56	53, 54, 55	cbvmpt 5184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)) = (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾))
57	56	oveq2i 7278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾)))
58		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
59		ringcmn 19830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
60	9, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
61	60	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → 𝑅 ∈ CMnd)
62	61	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
63		csbfv12 6809	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾) = (⦋𝑦 / 𝑥⦌(coe1‘𝑀)‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾)
64		csbfv2g 6810	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ V → ⦋𝑦 / 𝑥⦌(coe1‘𝑀) = (coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))
65	64	elv 3435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌(coe1‘𝑀) = (coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
66		csbconstg 3850	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ V → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾 = 𝐾)
67	66	elv 3435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾 = 𝐾
68	65, 67	fveq12i 6772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⦋𝑦 / 𝑥⦌(coe1‘𝑀)‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾) = ((coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)
69	63, 68	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾) = ((coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)
70		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀) = (coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
71	70, 7, 10, 58	coe1f 21392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵 → (coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
72	22, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → (coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
73	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℕ0)
74	73	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → 𝐾 ∈ ℕ0)
75	72, 74	ffvelrnd 6954	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → ((coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
76	69, 75	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
77		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀) = (coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
78	77, 7, 10, 58	coe1f 21392	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵 → (coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
79	29, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
80	79, 46	ffvelrnd 6954	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
81		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝑎
82		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥coe1
83		nfcsb1v 3856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀
84	82, 83	nffv 6776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
85		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥𝐾
86	84, 85	nffv 6776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)
87		csbeq1a 3845	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → 𝑀 = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
88	87	fveq2d 6770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (coe1‘𝑀) = (coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))
89	88	fveq1d 6768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((coe1‘𝑀)‘𝐾) = ((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾))
90	81, 86, 89	csbhypf 3860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾) = ((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾))
91	58, 47, 62, 17, 76, 24, 25, 80, 90	gsumunsn 19571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾))) = ((𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)))
92	57, 91	eqtrid 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) = ((𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)))
93	53, 54, 55	cbvmpt 5184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)) = (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾))
94	93	eqcomi 2747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾)) = (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))
95	94	oveq2i 7278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))
96	95	oveq1i 7277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾))
97	92, 96	eqtr2di 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))
98	97	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) → ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))
99	52, 98	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))
100	99	exp31 420	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵 → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))))
101	100	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))))
102	101	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))))))
103	102	a2d 29	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) → (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))))))
104	103	imp4b 422	. . 3 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))))
105	1, 104	syl5bi 241	. 2 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))))
106	105	ex 413	1 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3429  ⦋csb 3831   ∪ cun 3884  {csn 4561   ↦ cmpt 5156  ⟶wf 6422  ‘cfv 6426  (class class class)co 7267  Fincfn 8720  ℕ₀cn0 12243  Basecbs 16922  +_gcplusg 16972   Σ_g cgsu 17161  CMndccmn 19396  Ringcrg 19793  Poly₁cpl1 21358  coe₁cco1 21359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-of 7523  df-ofr 7524  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-supp 7965  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-map 8604  df-pm 8605  df-ixp 8673  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-fsupp 9116  df-oi 9256  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-seq 13732  df-hash 14055  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-sca 16988  df-vsca 16989  df-tset 16991  df-ple 16992  df-0g 17162  df-gsum 17163  df-mre 17305  df-mrc 17306  df-acs 17308  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-mhm 18440  df-submnd 18441  df-grp 18590  df-minusg 18591  df-mulg 18711  df-subg 18762  df-ghm 18842  df-cntz 18933  df-cmn 19398  df-abl 19399  df-mgp 19731  df-ur 19748  df-ring 19795  df-subrg 20032  df-psr 21122  df-mpl 21124  df-opsr 21126  df-psr1 21361  df-ply1 21363  df-coe1 21364

This theorem is referenced by:  coe1fzgsumd  21483