Theorem coe1fzgsumdlem 20930

Description: Lemma for coe1fzgsumd 20931 (induction step). (Contributed by AV, 8-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1fzgsumd.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1fzgsumd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1fzgsumd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1fzgsumd.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
coe1fzgsumdlem	⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑚   𝑥,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑎)   𝐵(𝑚,𝑎)   𝑃(𝑥,𝑚,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑚,𝑎)   𝐾(𝑚,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑎)

Proof of Theorem coe1fzgsumdlem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralunb 4118	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝐵 ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵))
2		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦𝑀
3		nfcsb1v 3852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀
4		csbeq1a 3842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑀 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
5	2, 3, 4	cbvmpt 5131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀) = (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
6	5	oveq2i 7146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))
7		coe1fzgsumd.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
9		coe1fzgsumd.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10		coe1fzgsumd.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
11	10	ply1ring 20877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
12	9, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
13		ringcmn 19327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CMnd)
15	14	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → 𝑃 ∈ CMnd)
16	15	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ CMnd)
17		simpll1 1209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑚 ∈ Fin)
18		rspcsbela 4343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑚 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵)
19	18	expcom 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝑚 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵))
20	19	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝑚 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵))
21	20	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝑚 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵))
22	21	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵)
23		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑎 ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ V)
25		simpll2 1210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑎 ∈ 𝑚)
26		vsnid 4562	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑎 ∈ {𝑎}
27		rspcsbela 4343	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑎} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵)
28	26, 27	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵 → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵)
29	28	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵)
30		csbeq1 3831	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
31	7, 8, 16, 17, 22, 24, 25, 29, 30	gsumunsn 19073	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))
32	6, 31	syl5eq 2845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))
33	2, 3, 4	cbvmpt 5131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀) = (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
34	33	eqcomi 2807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)
35	34	oveq2i 7146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))
36	35	oveq1i 7145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀) = ((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
37	32, 36	eqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))
38	37	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀))) = (coe1‘((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)))
39	38	fveq1d 6647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = ((coe1‘((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))‘𝐾))
40	9	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → 𝑅 ∈ Ring)
41	40	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
42		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵)
43	7, 16, 17, 42	gsummptcl 19080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)) ∈ 𝐵)
44		coe1fzgsumd.k	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
45	44	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → 𝐾 ∈ ℕ0)
46	45	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℕ0)
47		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
48	10, 7, 8, 47	coe1addfv 20894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)) ∈ 𝐵 ∧ ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))‘𝐾) = (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾)(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)))
49	41, 43, 29, 46, 48	syl31anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))‘𝐾) = (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾)(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)))
50	39, 49	eqtrd 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾)(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)))
51		oveq1 7142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾)(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)))
52	50, 51	sylan9eq 2853	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)))
53		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦((coe1‘𝑀)‘𝐾)
54		nfcsb1v 3852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾)
55		csbeq1a 3842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((coe1‘𝑀)‘𝐾) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾))
56	53, 54, 55	cbvmpt 5131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)) = (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾))
57	56	oveq2i 7146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾)))
58		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
59		ringcmn 19327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
60	9, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
61	60	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → 𝑅 ∈ CMnd)
62	61	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
63		csbfv12 6688	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾) = (⦋𝑦 / 𝑥⦌(coe1‘𝑀)‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾)
64		csbfv2g 6689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ V → ⦋𝑦 / 𝑥⦌(coe1‘𝑀) = (coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))
65	64	elv 3446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌(coe1‘𝑀) = (coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
66		csbconstg 3847	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ V → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾 = 𝐾)
67	66	elv 3446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾 = 𝐾
68	65, 67	fveq12i 6651	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⦋𝑦 / 𝑥⦌(coe1‘𝑀)‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾) = ((coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)
69	63, 68	eqtri 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾) = ((coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)
70		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀) = (coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
71	70, 7, 10, 58	coe1f 20840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵 → (coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
72	22, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → (coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
73	45	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℕ0)
74	73	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → 𝐾 ∈ ℕ0)
75	72, 74	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → ((coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
76	69, 75	eqeltrid 2894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
77		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀) = (coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
78	77, 7, 10, 58	coe1f 20840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵 → (coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
79	29, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
80	79, 46	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
81		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝑎
82		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥coe1
83		nfcsb1v 3852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀
84	82, 83	nffv 6655	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
85		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥𝐾
86	84, 85	nffv 6655	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)
87		csbeq1a 3842	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → 𝑀 = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
88	87	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (coe1‘𝑀) = (coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))
89	88	fveq1d 6647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((coe1‘𝑀)‘𝐾) = ((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾))
90	81, 86, 89	csbhypf 3856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾) = ((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾))
91	58, 47, 62, 17, 76, 24, 25, 80, 90	gsumunsn 19073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾))) = ((𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)))
92	57, 91	syl5eq 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) = ((𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)))
93	53, 54, 55	cbvmpt 5131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)) = (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾))
94	93	eqcomi 2807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾)) = (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))
95	94	oveq2i 7146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))
96	95	oveq1i 7145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾))
97	92, 96	eqtr2di 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))
98	97	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) → ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))
99	52, 98	eqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))
100	99	exp31 423	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵 → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))))
101	100	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))))
102	101	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))))))
103	102	a2d 29	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) → (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))))))
104	103	imp4b 425	. . 3 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))))
105	1, 104	syl5bi 245	. 2 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))))
106	105	ex 416	1 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  Vcvv 3441  ⦋csb 3828   ∪ cun 3879  {csn 4525   ↦ cmpt 5110  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  ℕ₀cn0 11885  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557   Σ_g cgsu 16706  CMndccmn 18898  Ringcrg 19290  Poly₁cpl1 20806  coe₁cco1 20807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-ofr 7390  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-tset 16576  df-ple 16577  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-subrg 19526  df-psr 20594  df-mpl 20596  df-opsr 20598  df-psr1 20809  df-ply1 20811  df-coe1 20812

This theorem is referenced by:  coe1fzgsumd  20931