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Theorem coe1fzgsumdlem 21688
Description: Lemma for coe1fzgsumd 21689 (induction step). (Contributed by AV, 8-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1fzgsumd.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
coe1fzgsumd.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
coe1fzgsumd.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
coe1fzgsumd.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
coe1fzgsumdlem ((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡 β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀)))β€˜πΎ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ)))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž})𝑀 ∈ 𝐡 β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ 𝑀)))β€˜πΎ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ))))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐾   π‘₯,π‘š   π‘₯,π‘Ž
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘š,π‘Ž)   𝐡(π‘š,π‘Ž)   𝑃(π‘₯,π‘š,π‘Ž)   𝑅(π‘₯,π‘š,π‘Ž)   𝐾(π‘š,π‘Ž)   𝑀(π‘₯,π‘š,π‘Ž)

Proof of Theorem coe1fzgsumdlem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ralunb 4152 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž})𝑀 ∈ 𝐡 ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡))
2 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑦𝑀
3 nfcsb1v 3881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘€
4 csbeq1a 3870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝑀 = ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘€)
52, 3, 4cbvmpt 5217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ 𝑀) = (𝑦 ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘€)
65oveq2i 7369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ 𝑀)) = (𝑃 Ξ£g (𝑦 ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘€))
7 coe1fzgsumd.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
8 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘ƒ)
9 coe1fzgsumd.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
10 coe1fzgsumd.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
1110ply1ring 21635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
13 ringcmn 20008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
15143ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
1615ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
17 simpll1 1213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) β†’ π‘š ∈ Fin)
18 rspcsbela 4396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ π‘š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘€ ∈ 𝐡)
1918expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡 β†’ (𝑦 ∈ π‘š β†’ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘€ ∈ 𝐡))
2019adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ π‘š β†’ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘€ ∈ 𝐡))
2120adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ π‘š β†’ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘€ ∈ 𝐡))
2221imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘š) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘€ ∈ 𝐡)
23 vex 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π‘Ž ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) β†’ π‘Ž ∈ V)
25 simpll2 1214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) β†’ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š)
26 vsnid 4624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π‘Ž ∈ {π‘Ž}
27 rspcsbela 4396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Ž ∈ {π‘Ž} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) β†’ β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€ ∈ 𝐡)
2826, 27mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡 β†’ β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€ ∈ 𝐡)
2928adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) β†’ β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€ ∈ 𝐡)
30 csbeq1 3859 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = π‘Ž β†’ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘€ = β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€)
317, 8, 16, 17, 22, 24, 25, 29, 30gsumunsn 19742 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 Ξ£g (𝑦 ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘€)) = ((𝑃 Ξ£g (𝑦 ∈ π‘š ↦ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘€))(+gβ€˜π‘ƒ)β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€))
326, 31eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ 𝑀)) = ((𝑃 Ξ£g (𝑦 ∈ π‘š ↦ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘€))(+gβ€˜π‘ƒ)β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€))
332, 3, 4cbvmpt 5217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀) = (𝑦 ∈ π‘š ↦ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘€)
3433eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ π‘š ↦ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘€) = (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀)
3534oveq2i 7369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 Ξ£g (𝑦 ∈ π‘š ↦ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘€)) = (𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀))
3635oveq1i 7368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 Ξ£g (𝑦 ∈ π‘š ↦ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘€))(+gβ€˜π‘ƒ)β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€) = ((𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀))(+gβ€˜π‘ƒ)β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€)
3732, 36eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ 𝑀)) = ((𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀))(+gβ€˜π‘ƒ)β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€))
3837fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ 𝑀))) = (coe1β€˜((𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀))(+gβ€˜π‘ƒ)β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€)))
3938fveq1d 6845 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ 𝑀)))β€˜πΎ) = ((coe1β€˜((𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀))(+gβ€˜π‘ƒ)β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€))β€˜πΎ))
4093ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4140ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
42 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡)
437, 16, 17, 42gsummptcl 19749 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀)) ∈ 𝐡)
44 coe1fzgsumd.k . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
45443ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
47 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
4810, 7, 8, 47coe1addfv 21652 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀)) ∈ 𝐡 ∧ β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€ ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜((𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀))(+gβ€˜π‘ƒ)β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€))β€˜πΎ) = (((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀)))β€˜πΎ)(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€)β€˜πΎ)))
4941, 43, 29, 46, 48syl31anc 1374 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜((𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀))(+gβ€˜π‘ƒ)β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€))β€˜πΎ) = (((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀)))β€˜πΎ)(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€)β€˜πΎ)))
5039, 49eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ 𝑀)))β€˜πΎ) = (((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀)))β€˜πΎ)(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€)β€˜πΎ)))
51 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀)))β€˜πΎ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ))) β†’ (((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀)))β€˜πΎ)(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€)β€˜πΎ)) = ((𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ)))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€)β€˜πΎ)))
5250, 51sylan9eq 2793 . . . . . . . . 9 (((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) ∧ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀)))β€˜πΎ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ)))) β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ 𝑀)))β€˜πΎ) = ((𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ)))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€)β€˜πΎ)))
53 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑦((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ)
54 nfcsb1v 3881 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ)
55 csbeq1a 3870 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ) = ⦋𝑦 / π‘₯⦌((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ))
5653, 54, 55cbvmpt 5217 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ)) = (𝑦 ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ))
5756oveq2i 7369 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ))) = (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ)))
58 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
59 ringcmn 20008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
609, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
61603ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
6261ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
63 csbfv12 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 ⦋𝑦 / π‘₯⦌((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ) = (⦋𝑦 / π‘₯⦌(coe1β€˜π‘€)β€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐾)
64 csbfv2g 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ V β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(coe1β€˜π‘€) = (coe1β€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘€))
6564elv 3450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ⦋𝑦 / π‘₯⦌(coe1β€˜π‘€) = (coe1β€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘€)
66 csbconstg 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ V β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐾 = 𝐾)
6766elv 3450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐾 = 𝐾
6865, 67fveq12i 6849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⦋𝑦 / π‘₯⦌(coe1β€˜π‘€)β€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯⦌𝐾) = ((coe1β€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘€)β€˜πΎ)
6963, 68eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 ⦋𝑦 / π‘₯⦌((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ) = ((coe1β€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘€)β€˜πΎ)
70 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (coe1β€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘€) = (coe1β€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘€)
7170, 7, 10, 58coe1f 21598 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘€ ∈ 𝐡 β†’ (coe1β€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘€):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
7222, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘š) β†’ (coe1β€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘€):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
7345adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
7473ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘š) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
7572, 74ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘š) β†’ ((coe1β€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘€)β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7669, 75eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘š) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
77 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (coe1β€˜β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€) = (coe1β€˜β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€)
7877, 7, 10, 58coe1f 21598 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€ ∈ 𝐡 β†’ (coe1β€˜β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
7929, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (coe1β€˜β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
8079, 46ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€)β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
81 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯π‘Ž
82 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯coe1
83 nfcsb1v 3881 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€
8482, 83nffv 6853 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯(coe1β€˜β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€)
85 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯𝐾
8684, 85nffv 6853 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯((coe1β€˜β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€)β€˜πΎ)
87 csbeq1a 3870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = π‘Ž β†’ 𝑀 = β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€)
8887fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (coe1β€˜π‘€) = (coe1β€˜β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€))
8988fveq1d 6845 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = π‘Ž β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ) = ((coe1β€˜β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€)β€˜πΎ))
9081, 86, 89csbhypf 3885 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = π‘Ž β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ) = ((coe1β€˜β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€)β€˜πΎ))
9158, 47, 62, 17, 76, 24, 25, 80, 90gsumunsn 19742 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ))) = ((𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ π‘š ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ)))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€)β€˜πΎ)))
9257, 91eqtrid 2785 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ))) = ((𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ π‘š ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ)))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€)β€˜πΎ)))
9353, 54, 55cbvmpt 5217 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ)) = (𝑦 ∈ π‘š ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ))
9493eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ π‘š ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ)) = (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ))
9594oveq2i 7369 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ π‘š ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ))) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ)))
9695oveq1i 7368 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ π‘š ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ)))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€)β€˜πΎ)) = ((𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ)))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€)β€˜πΎ))
9792, 96eqtr2di 2790 . . . . . . . . . 10 ((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ)))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€)β€˜πΎ)) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ))))
9897adantr 482 . . . . . . . . 9 (((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) ∧ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀)))β€˜πΎ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ)))) β†’ ((𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ)))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜β¦‹π‘Ž / π‘₯β¦Œπ‘€)β€˜πΎ)) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ))))
9952, 98eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (((((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) ∧ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀)))β€˜πΎ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ)))) β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ 𝑀)))β€˜πΎ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ))))
10099exp31 421 . . . . . . 7 (((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡 β†’ (((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀)))β€˜πΎ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ))) β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ 𝑀)))β€˜πΎ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ))))))
101100com23 86 . . . . . 6 (((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀)))β€˜πΎ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡 β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ 𝑀)))β€˜πΎ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ))))))
102101ex 414 . . . . 5 ((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡 β†’ (((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀)))β€˜πΎ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡 β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ 𝑀)))β€˜πΎ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ)))))))
103102a2d 29 . . . 4 ((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡 β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀)))β€˜πΎ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ)))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡 β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ 𝑀)))β€˜πΎ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ)))))))
104103imp4b 423 . . 3 (((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡 β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀)))β€˜πΎ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ))))) β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž}𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ 𝑀)))β€˜πΎ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ)))))
1051, 104biimtrid 241 . 2 (((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡 β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀)))β€˜πΎ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ))))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž})𝑀 ∈ 𝐡 β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ 𝑀)))β€˜πΎ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ)))))
106105ex 414 1 ((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ 𝐡 β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀)))β€˜πΎ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ)))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž})𝑀 ∈ 𝐡 β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ 𝑀)))β€˜πΎ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ((coe1β€˜π‘€)β€˜πΎ))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3444  β¦‹csb 3856   βˆͺ cun 3909  {csn 4587   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  β„•0cn0 12418  Basecbs 17088  +gcplusg 17138   Ξ£g cgsu 17327  CMndccmn 19567  Ringcrg 19969  Poly1cpl1 21564  coe1cco1 21565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-subrg 20234  df-psr 21327  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-psr1 21567  df-ply1 21569  df-coe1 21570
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