Theorem coe1fzgsumdlem 22282

Description: Lemma for coe1fzgsumd 22283 (induction step). (Contributed by AV, 8-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1fzgsumd.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1fzgsumd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1fzgsumd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1fzgsumd.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
coe1fzgsumdlem	⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑚   𝑥,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑎)   𝐵(𝑚,𝑎)   𝑃(𝑥,𝑚,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑚,𝑎)   𝐾(𝑚,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑎)

Proof of Theorem coe1fzgsumdlem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralunb 4138	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝐵 ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵))
2		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦𝑀
3		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀
4		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑀 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
5	2, 3, 4	cbvmpt 5188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀) = (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
6	5	oveq2i 7373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))
7		coe1fzgsumd.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
9		coe1fzgsumd.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10		coe1fzgsumd.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
11	10	ply1ring 22225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
12	9, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
13		ringcmn 20258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CMnd)
15	14	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → 𝑃 ∈ CMnd)
16	15	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ CMnd)
17		simpll1 1214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑚 ∈ Fin)
18		rspcsbela 4379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑚 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵)
19	18	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝑚 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝑚 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵))
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝑚 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵))
22	21	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵)
23		vex 3434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑎 ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ V)
25		simpll2 1215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑎 ∈ 𝑚)
26		vsnid 4608	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑎 ∈ {𝑎}
27		rspcsbela 4379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑎} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵)
28	26, 27	mpan 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵 → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵)
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵)
30		csbeq1 3841	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
31	7, 8, 16, 17, 22, 24, 25, 29, 30	gsumunsn 19930	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))
32	6, 31	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))
33	2, 3, 4	cbvmpt 5188	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀) = (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
34	33	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)
35	34	oveq2i 7373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))
36	35	oveq1i 7372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀) = ((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
37	32, 36	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))
38	37	fveq2d 6840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀))) = (coe1‘((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)))
39	38	fveq1d 6838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = ((coe1‘((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))‘𝐾))
40	9	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → 𝑅 ∈ Ring)
41	40	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
42		simplr 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵)
43	7, 16, 17, 42	gsummptcl 19937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)) ∈ 𝐵)
44		coe1fzgsumd.k	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
45	44	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → 𝐾 ∈ ℕ0)
46	45	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℕ0)
47		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
48	10, 7, 8, 47	coe1addfv 22244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)) ∈ 𝐵 ∧ ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))‘𝐾) = (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾)(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)))
49	41, 43, 29, 46, 48	syl31anc 1376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))‘𝐾) = (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾)(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)))
50	39, 49	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾)(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)))
51		oveq1 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾)(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)))
52	50, 51	sylan9eq 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)))
53		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦((coe1‘𝑀)‘𝐾)
54		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾)
55		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((coe1‘𝑀)‘𝐾) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾))
56	53, 54, 55	cbvmpt 5188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)) = (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾))
57	56	oveq2i 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾)))
58		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
59		ringcmn 20258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
60	9, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
61	60	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → 𝑅 ∈ CMnd)
62	61	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
63		csbfv12 6881	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾) = (⦋𝑦 / 𝑥⦌(coe1‘𝑀)‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾)
64		csbfv2g 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ V → ⦋𝑦 / 𝑥⦌(coe1‘𝑀) = (coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))
65	64	elv 3435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌(coe1‘𝑀) = (coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
66		csbconstg 3857	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ V → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾 = 𝐾)
67	66	elv 3435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾 = 𝐾
68	65, 67	fveq12i 6842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⦋𝑦 / 𝑥⦌(coe1‘𝑀)‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾) = ((coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)
69	63, 68	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾) = ((coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)
70		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀) = (coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
71	70, 7, 10, 58	coe1f 22189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵 → (coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
72	22, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → (coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
73	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℕ0)
74	73	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → 𝐾 ∈ ℕ0)
75	72, 74	ffvelcdmd 7033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → ((coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
76	69, 75	eqeltrid 2841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
77		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀) = (coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
78	77, 7, 10, 58	coe1f 22189	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵 → (coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
79	29, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
80	79, 46	ffvelcdmd 7033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
81		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝑎
82		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥coe1
83		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀
84	82, 83	nffv 6846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
85		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥𝐾
86	84, 85	nffv 6846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)
87		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → 𝑀 = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
88	87	fveq2d 6840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (coe1‘𝑀) = (coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))
89	88	fveq1d 6838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((coe1‘𝑀)‘𝐾) = ((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾))
90	81, 86, 89	csbhypf 3866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾) = ((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾))
91	58, 47, 62, 17, 76, 24, 25, 80, 90	gsumunsn 19930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾))) = ((𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)))
92	57, 91	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) = ((𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)))
93	53, 54, 55	cbvmpt 5188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)) = (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾))
94	93	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾)) = (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))
95	94	oveq2i 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))
96	95	oveq1i 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾))
97	92, 96	eqtr2di 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))
98	97	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) → ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))
99	52, 98	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))
100	99	exp31 419	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵 → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))))
101	100	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))))
102	101	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))))))
103	102	a2d 29	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) → (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))))))
104	103	imp4b 421	. . 3 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))))
105	1, 104	biimtrid 242	. 2 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))))
106	105	ex 412	1 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430  ⦋csb 3838   ∪ cun 3888  {csn 4568   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Fincfn 8888  ℕ₀cn0 12432  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215   Σ_g cgsu 17398  CMndccmn 19750  Ringcrg 20209  Poly₁cpl1 22154  coe₁cco1 22155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-ofr 7627  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-sup 9350  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-psr 21903  df-mpl 21905  df-opsr 21907  df-psr1 22157  df-ply1 22159  df-coe1 22160

This theorem is referenced by:  coe1fzgsumd  22283