MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1fzgsumdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1fzgsumdlem 22196
Description: Lemma for coe1fzgsumd 22197 (induction step). (Contributed by AV, 8-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1fzgsumd.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1fzgsumd.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1fzgsumd.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
coe1fzgsumd.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
coe1fzgsumdlem ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → ((∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑚   𝑥,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑎)   𝐵(𝑚,𝑎)   𝑃(𝑥,𝑚,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑚,𝑎)   𝐾(𝑚,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑎)

Proof of Theorem coe1fzgsumdlem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ralunb 4187 . . 3 (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵 ↔ (∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵))
2 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦𝑀
3 nfcsb1v 3914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑦 / 𝑥𝑀
4 csbeq1a 3903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦𝑀 = 𝑦 / 𝑥𝑀)
52, 3, 4cbvmpt 5253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀) = (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝑀)
65oveq2i 7425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝑀))
7 coe1fzgsumd.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘𝑃)
8 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (+g𝑃) = (+g𝑃)
9 coe1fzgsumd.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
10 coe1fzgsumd.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑃 = (Poly1𝑅)
1110ply1ring 22140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
13 ringcmn 20200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑃 ∈ CMnd)
15143ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → 𝑃 ∈ CMnd)
1615ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ CMnd)
17 simpll1 1210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → 𝑚 ∈ Fin)
18 rspcsbela 4431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦𝑚 ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) → 𝑦 / 𝑥𝑀𝐵)
1918expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀𝐵))
2019adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) → (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀𝐵))
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀𝐵))
2221imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) ∧ 𝑦𝑚) → 𝑦 / 𝑥𝑀𝐵)
23 vex 3473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑎 ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → 𝑎 ∈ V)
25 simpll2 1211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → ¬ 𝑎𝑚)
26 vsnid 4661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑎 ∈ {𝑎}
27 rspcsbela 4431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ {𝑎} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → 𝑎 / 𝑥𝑀𝐵)
2826, 27mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵𝑎 / 𝑥𝑀𝐵)
2928adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → 𝑎 / 𝑥𝑀𝐵)
30 csbeq1 3892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑎𝑦 / 𝑥𝑀 = 𝑎 / 𝑥𝑀)
317, 8, 16, 17, 22, 24, 25, 29, 30gsumunsn 19899 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → (𝑃 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀))
326, 31eqtrid 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀))
332, 3, 4cbvmpt 5253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑚𝑀) = (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀)
3433eqcomi 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀) = (𝑥𝑚𝑀)
3534oveq2i 7425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))
3635oveq1i 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀) = ((𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀)
3732, 36eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀))
3837fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀))) = (coe1‘((𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀)))
3938fveq1d 6893 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = ((coe1‘((𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀))‘𝐾))
4093ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → 𝑅 ∈ Ring)
4140ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
42 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵)
437, 16, 17, 42gsummptcl 19906 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → (𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)) ∈ 𝐵)
44 coe1fzgsumd.k . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
45443ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → 𝐾 ∈ ℕ0)
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → 𝐾 ∈ ℕ0)
47 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4810, 7, 8, 47coe1addfv 22158 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)) ∈ 𝐵𝑎 / 𝑥𝑀𝐵) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀))‘𝐾) = (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾)(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)))
4941, 43, 29, 46, 48syl31anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → ((coe1‘((𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀))‘𝐾) = (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾)(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)))
5039, 49eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾)(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)))
51 oveq1 7421 . . . . . . . . . 10 (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾)(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)) = ((𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)))
5250, 51sylan9eq 2787 . . . . . . . . 9 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) ∧ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = ((𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)))
53 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦((coe1𝑀)‘𝐾)
54 nfcsb1v 3914 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾)
55 csbeq1a 3903 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → ((coe1𝑀)‘𝐾) = 𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾))
5653, 54, 55cbvmpt 5253 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)) = (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾))
5756oveq2i 7425 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾)))
58 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
59 ringcmn 20200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
609, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
61603ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → 𝑅 ∈ CMnd)
6261ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
63 csbfv12 6939 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾) = (𝑦 / 𝑥(coe1𝑀)‘𝑦 / 𝑥𝐾)
64 csbfv2g 6940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ V → 𝑦 / 𝑥(coe1𝑀) = (coe1𝑦 / 𝑥𝑀))
6564elv 3475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 / 𝑥(coe1𝑀) = (coe1𝑦 / 𝑥𝑀)
66 csbconstg 3908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ V → 𝑦 / 𝑥𝐾 = 𝐾)
6766elv 3475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 / 𝑥𝐾 = 𝐾
6865, 67fveq12i 6897 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 / 𝑥(coe1𝑀)‘𝑦 / 𝑥𝐾) = ((coe1𝑦 / 𝑥𝑀)‘𝐾)
6963, 68eqtri 2755 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾) = ((coe1𝑦 / 𝑥𝑀)‘𝐾)
70 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (coe1𝑦 / 𝑥𝑀) = (coe1𝑦 / 𝑥𝑀)
7170, 7, 10, 58coe1f 22104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 / 𝑥𝑀𝐵 → (coe1𝑦 / 𝑥𝑀):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
7222, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) ∧ 𝑦𝑚) → (coe1𝑦 / 𝑥𝑀):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
7345adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) → 𝐾 ∈ ℕ0)
7473ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) ∧ 𝑦𝑚) → 𝐾 ∈ ℕ0)
7572, 74ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) ∧ 𝑦𝑚) → ((coe1𝑦 / 𝑥𝑀)‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
7669, 75eqeltrid 2832 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) ∧ 𝑦𝑚) → 𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
77 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (coe1𝑎 / 𝑥𝑀) = (coe1𝑎 / 𝑥𝑀)
7877, 7, 10, 58coe1f 22104 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 / 𝑥𝑀𝐵 → (coe1𝑎 / 𝑥𝑀):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
7929, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → (coe1𝑎 / 𝑥𝑀):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
8079, 46ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → ((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
81 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑎
82 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥coe1
83 nfcsb1v 3914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝑎 / 𝑥𝑀
8482, 83nffv 6901 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(coe1𝑎 / 𝑥𝑀)
85 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝐾
8684, 85nffv 6901 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)
87 csbeq1a 3903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑎𝑀 = 𝑎 / 𝑥𝑀)
8887fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎 → (coe1𝑀) = (coe1𝑎 / 𝑥𝑀))
8988fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑎 → ((coe1𝑀)‘𝐾) = ((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾))
9081, 86, 89csbhypf 3918 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑎𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾) = ((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾))
9158, 47, 62, 17, 76, 24, 25, 80, 90gsumunsn 19899 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾))) = ((𝑅 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾)))(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)))
9257, 91eqtrid 2779 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) = ((𝑅 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾)))(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)))
9353, 54, 55cbvmpt 5253 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)) = (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾))
9493eqcomi 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾)) = (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))
9594oveq2i 7425 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))
9695oveq1i 7424 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾)))(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)) = ((𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾))
9792, 96eqtr2di 2784 . . . . . . . . . 10 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → ((𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))
9897adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) ∧ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) → ((𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))
9952, 98eqtrd 2767 . . . . . . . 8 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) ∧ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))
10099exp31 419 . . . . . . 7 (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵 → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
101100com23 86 . . . . . 6 (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
102101ex 412 . . . . 5 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → (∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))))))
103102a2d 29 . . . 4 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → ((∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) → (∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))))))
104103imp4b 421 . . 3 (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ (∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))) → ((∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))))
1051, 104biimtrid 241 . 2 (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ (∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))))
106105ex 412 1 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → ((∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3056  Vcvv 3469  csb 3889  cun 3942  {csn 4624  cmpt 5225  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8953  0cn0 12488  Basecbs 17165  +gcplusg 17218   Σg cgsu 17407  CMndccmn 19719  Ringcrg 20157  Poly1cpl1 22070  coe1cco1 22071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-prds 17414  df-pws 17416  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-mulg 19008  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-subrng 20465  df-subrg 20490  df-psr 21822  df-mpl 21824  df-opsr 21826  df-psr1 22073  df-ply1 22075  df-coe1 22076
This theorem is referenced by:  coe1fzgsumd  22197
  Copyright terms: Public domain W3C validator