Theorem coe1fzgsumdlem 21672

Description: Lemma for coe1fzgsumd 21673 (induction step). (Contributed by AV, 8-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1fzgsumd.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1fzgsumd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1fzgsumd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1fzgsumd.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
coe1fzgsumdlem	⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑚   𝑥,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑎)   𝐵(𝑚,𝑎)   𝑃(𝑥,𝑚,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑚,𝑎)   𝐾(𝑚,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑎)

Proof of Theorem coe1fzgsumdlem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralunb 4151	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝐵 ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵))
2		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦𝑀
3		nfcsb1v 3880	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀
4		csbeq1a 3869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑀 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
5	2, 3, 4	cbvmpt 5216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀) = (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
6	5	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))
7		coe1fzgsumd.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
9		coe1fzgsumd.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10		coe1fzgsumd.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
11	10	ply1ring 21619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
12	9, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
13		ringcmn 20003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CMnd)
15	14	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → 𝑃 ∈ CMnd)
16	15	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ CMnd)
17		simpll1 1212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑚 ∈ Fin)
18		rspcsbela 4395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑚 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵)
19	18	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝑚 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵))
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝑚 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵))
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝑚 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵))
22	21	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵)
23		vex 3449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑎 ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ V)
25		simpll2 1213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑎 ∈ 𝑚)
26		vsnid 4623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑎 ∈ {𝑎}
27		rspcsbela 4395	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑎} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵)
28	26, 27	mpan 688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵 → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵)
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵)
30		csbeq1 3858	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
31	7, 8, 16, 17, 22, 24, 25, 29, 30	gsumunsn 19737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))
32	6, 31	eqtrid 2788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))
33	2, 3, 4	cbvmpt 5216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀) = (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
34	33	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)
35	34	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))
36	35	oveq1i 7367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀) = ((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
37	32, 36	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))
38	37	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀))) = (coe1‘((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)))
39	38	fveq1d 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = ((coe1‘((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))‘𝐾))
40	9	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → 𝑅 ∈ Ring)
41	40	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
42		simplr 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵)
43	7, 16, 17, 42	gsummptcl 19744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)) ∈ 𝐵)
44		coe1fzgsumd.k	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
45	44	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → 𝐾 ∈ ℕ0)
46	45	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℕ0)
47		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
48	10, 7, 8, 47	coe1addfv 21636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)) ∈ 𝐵 ∧ ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))‘𝐾) = (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾)(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)))
49	41, 43, 29, 46, 48	syl31anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘((𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))(+g‘𝑃)⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))‘𝐾) = (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾)(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)))
50	39, 49	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾)(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)))
51		oveq1 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾)(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)))
52	50, 51	sylan9eq 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)))
53		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦((coe1‘𝑀)‘𝐾)
54		nfcsb1v 3880	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾)
55		csbeq1a 3869	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((coe1‘𝑀)‘𝐾) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾))
56	53, 54, 55	cbvmpt 5216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)) = (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾))
57	56	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾)))
58		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
59		ringcmn 20003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
60	9, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
61	60	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → 𝑅 ∈ CMnd)
62	61	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
63		csbfv12 6890	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾) = (⦋𝑦 / 𝑥⦌(coe1‘𝑀)‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾)
64		csbfv2g 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ V → ⦋𝑦 / 𝑥⦌(coe1‘𝑀) = (coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀))
65	64	elv 3451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌(coe1‘𝑀) = (coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
66		csbconstg 3874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ V → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾 = 𝐾)
67	66	elv 3451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾 = 𝐾
68	65, 67	fveq12i 6848	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⦋𝑦 / 𝑥⦌(coe1‘𝑀)‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾) = ((coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)
69	63, 68	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾) = ((coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)
70		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀) = (coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)
71	70, 7, 10, 58	coe1f 21582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵 → (coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
72	22, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → (coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
73	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℕ0)
74	73	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → 𝐾 ∈ ℕ0)
75	72, 74	ffvelcdmd 7036	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → ((coe1‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
76	69, 75	eqeltrid 2842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑚) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
77		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀) = (coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
78	77, 7, 10, 58	coe1f 21582	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀 ∈ 𝐵 → (coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
79	29, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
80	79, 46	ffvelcdmd 7036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
81		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝑎
82		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥coe1
83		nfcsb1v 3880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀
84	82, 83	nffv 6852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
85		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥𝐾
86	84, 85	nffv 6852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)
87		csbeq1a 3869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → 𝑀 = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)
88	87	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (coe1‘𝑀) = (coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀))
89	88	fveq1d 6844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((coe1‘𝑀)‘𝐾) = ((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾))
90	81, 86, 89	csbhypf 3884	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾) = ((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾))
91	58, 47, 62, 17, 76, 24, 25, 80, 90	gsumunsn 19737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾))) = ((𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)))
92	57, 91	eqtrid 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) = ((𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)))
93	53, 54, 55	cbvmpt 5216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)) = (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾))
94	93	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾)) = (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))
95	94	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))
96	95	oveq1i 7367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝑚 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾))
97	92, 96	eqtr2di 2793	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))
98	97	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) → ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))(+g‘𝑅)((coe1‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝑀)‘𝐾)) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))
99	52, 98	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))
100	99	exp31 420	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵 → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))))
101	100	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))))
102	101	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))))))
103	102	a2d 29	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) → (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))))))
104	103	imp4b 422	. . 3 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))))
105	1, 104	biimtrid 241	. 2 ⊢ (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))))
106	105	ex 413	1 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3445  ⦋csb 3855   ∪ cun 3908  {csn 4586   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  ℕ₀cn0 12413  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133   Σ_g cgsu 17322  CMndccmn 19562  Ringcrg 19964  Poly₁cpl1 21548  coe₁cco1 21549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-psr 21311  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-psr1 21551  df-ply1 21553  df-coe1 21554

This theorem is referenced by:  coe1fzgsumd  21673