Theorem csbfv 6924

Description: Substitution for a function value. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Revised by NM, 20-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
csbfv	⊢ ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem csbfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbfv2g 6923	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐹‘𝑥) = (𝐹‘⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑥))
2		csbvarg 4392	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑥 = 𝐴)
3	2	fveq2d 6881	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐹‘⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑥) = (𝐹‘𝐴))
4	1, 3	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
5		csbprc 4367	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐹‘𝑥) = ∅)
6		fvprc 6869	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐹‘𝐴) = ∅)
7	5, 6	eqtr4d 2799	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
8	4, 7	pm2.61i 184	1 ⊢ ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ⦋csb 3847  ∅c0 4279  ‘cfv 6531

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-dm 5661  df-iota 6487  df-fv 6539

This theorem is used by:  mptcoe1fsupp  22513  mptcoe1matfsupp  23100  mp2pm2mplem4  23107  chfacfscmulfsupp  23157  chfacfpmmulfsupp  23161  cpmidpmatlem3  23170  cayhamlem4  23186  cayleyhamilton1  23190  logbmpt  27098  nbgrcl  29898  nbgrnvtx0  29902  iuninc  33137  disjxpin  33164  finixpnum  38496  cdlemkid3N  41958  cdlemkid4  41959  cdlemk39s  41964  mccllem  46553  clnbgrcl  48863  clnbgrnvtx0  48869  veroquadmodzerod  50928