Theorem csbfv 6910

Description: Substitution for a function value. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Revised by NM, 20-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
csbfv	⊢ ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem csbfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbfv2g 6909	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐹‘𝑥) = (𝐹‘⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑥))
2		csbvarg 4387	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑥 = 𝐴)
3	2	fveq2d 6867	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐹‘⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑥) = (𝐹‘𝐴))
4	1, 3	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
5		csbprc 4362	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐹‘𝑥) = ∅)
6		fvprc 6855	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐹‘𝐴) = ∅)
7	5, 6	eqtr4d 2799	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
8	4, 7	pm2.61i 183	1 ⊢ ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ⦋csb 3852  ∅c0 4285  ‘cfv 6517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-nul 5255  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-dm 5655  df-iota 6473  df-fv 6525

This theorem is referenced by:  mptcoe1fsupp  22257  mptcoe1matfsupp  22842  mp2pm2mplem4  22849  chfacfscmulfsupp  22899  chfacfpmmulfsupp  22903  cpmidpmatlem3  22912  cayhamlem4  22928  cayleyhamilton1  22932  logbmpt  26830  nbgrcl  29482  nbgrnvtx0  29486  iuninc  32709  disjxpin  32737  finixpnum  38068  cdlemkid3N  41521  cdlemkid4  41522  cdlemk39s  41527  mccllem  46137  clnbgrcl  48407  clnbgrnvtx0  48413