Theorem csbfv 6881

Description: Substitution for a function value. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Revised by NM, 20-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
csbfv	⊢ ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem csbfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbfv2g 6880	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐹‘𝑥) = (𝐹‘⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑥))
2		csbvarg 4386	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑥 = 𝐴)
3	2	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐹‘⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑥) = (𝐹‘𝐴))
4	1, 3	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
5		csbprc 4361	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐹‘𝑥) = ∅)
6		fvprc 6826	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐹‘𝐴) = ∅)
7	5, 6	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
8	4, 7	pm2.61i 182	1 ⊢ ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  ⦋csb 3849  ∅c0 4285  ‘cfv 6492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fv 6500

This theorem is referenced by:  mptcoe1fsupp  22156  mptcoe1matfsupp  22746  mp2pm2mplem4  22753  chfacfscmulfsupp  22803  chfacfpmmulfsupp  22807  cpmidpmatlem3  22816  cayhamlem4  22832  cayleyhamilton1  22836  logbmpt  26754  nbgrcl  29408  nbgrnvtx0  29412  iuninc  32635  disjxpin  32663  finixpnum  37802  cdlemkid3N  41189  cdlemkid4  41190  cdlemk39s  41195  mccllem  45839  clnbgrcl  48063  clnbgrnvtx0  48069